Hasard, croyance et stratégies mixtes

Le hasard dans la rue

La rue à une seule voie du chapitre précédent avait deux équilibres purs : l'un s'engage, l'autre attend. Il arrive pourtant que la voie soit encombrée au milieu, par une camionnette en livraison ou par des bennes de chantier. Celui qui s'y est engagé doit alors ressortir en marche arrière. On note $p$ la probabilité que ce soit le cas. Ce $p$ est un hasard de la situation : personne ne le choisit, et il ne réagit à la décision de personne.

Construire les gains

La référence ne change pas : « rester à l'entrée de la rue », comptée 0. Tout se mesure en minutes gagnées, ou perdues, par rapport à cette attente. S'engager seul dans la rue :

• avec la probabilité $1 - p$, la voie est libre : le passage se fait d'un trait, et il fait gagner $+3$ minutes ;
• avec la probabilité $p$, la voie est encombrée : il faut ressortir en marche arrière et attendre qu'elle se dégage, ce qui revient à $-1$ minute par rapport à une attente à l'entrée.

L'espérance de gain de celui qui s'engage seul vaut donc :

Si A et B s'engagent tous les deux, les deux scénarios existent aussi, mais ils finissent de la même façon : voie libre ou non, les deux voitures se bloquent, et le modèle suppose que s'en dégager coûte autant dans les deux cas, $-2$ minutes pour chacun, comme au chapitre précédent. L'espérance vaut $-2(1 - p) + (-2)p = -2$ : elle ne dépend pas de $p$. Attendre vaut toujours 0.

La matrice

A choisit la ligne, B la colonne. Chaque case dit d'abord ce qui se passe, puis donne le couple (gain espéré de A ; gain espéré de B), en minutes.

Le curseur fixe $p$ et recalcule chaque gain. À $p = 0$, on retrouve exactement la matrice du chapitre précédent.

Discuter selon le risque

Les gains dépendent de $p$, donc l'équilibre aussi. Il faut discuter.

Les meilleures réponses de A. Si B s'engage, A compare $-2$, le face-à-face, à $0$, l'attente : il attend, et cela ne dépend pas de $p$. Si B attend, A compare $3 - 4p$ à $0$ :

Cette inégalité se lit ainsi : s'engager pendant que l'autre attend vaut la peine tant que le risque de trouver la voie encombrée reste sous trois chances sur quatre. Au-delà, la marche arrière est trop fréquente pour que l'avance la paie.

Les meilleures réponses de B sont les mêmes, le jeu étant symétrique.

En croisant les deux listes, deux régimes et une frontière :

• $p < 3/4$ : deux équilibres purs, (A s'engage, B attend) et (A attend, B s'engage). Chacun veut faire le contraire de l'autre, et la théorie ne dit pas lequel des deux sera joué.
• $p = 3/4$ : s'engager seul ne rapporte plus rien, et attendre devient aussi bon. Les deux équilibres précédents restent, et (A attend, B attend) en devient un troisième.
• $p > 3/4$ : attendre rapporte strictement plus que s'engager, quoi que fasse l'autre. Un seul équilibre, (A attend, B attend), et plus personne n'entre dans la rue.

Pour le vérifier, placer le curseur de la matrice de part et d'autre de $0{,}75$ et demander la vérification à chaque fois. Les équilibres changent exactement à ce seuil. Le programme des soulignements du chapitre précédent fait la même chose pour n'importe quelle valeur : y remplacer LIGNES et COLONNES par les deux décisions de la rue, et MATRICE par la rue à $p = 0{,}9$, où s'engager seul vaut $3 - 4 \times 0{,}9 = -0{,}6$, puis à $p = 0{,}5$, où il vaut $1$.

Voici la lecture graphique : l'espérance de gain de A selon $p$, pour chacune de ses deux décisions, face à un B qui attend.

Les deux droites se croisent en $p = 3/4$. À gauche du seuil, face à un B qui attend, s'engager rapporte plus qu'attendre ; à droite, A préfère attendre même quand B lui laisse le passage.

Une case remplie vite. La case où personne n'avance est comptée 0, comme l'attente ordinaire : on suppose que deux automobilistes qui s'attendent se départagent d'un signe de la main. Si ce flottement coûtait une minute à chacun, la case vaudrait $(-1 ; -1)$. Face à un B qui attend, s'engager rapporterait alors $3 - 4p$ contre $-1$, donc vaudrait mieux tant que $p < 1$. Le régime où plus personne n'entre dans la rue disparaîtrait : il resterait deux équilibres purs jusqu'à $p = 1$, même au-delà de trois quarts, où celui qui s'engage perd du temps en moyenne, mais moins qu'en restant planté face à un autre qui attend aussi. Tout modèle repose sur des cases comme celle-ci : on les remplit vite, et la conclusion en dépend.

La croyance sur l'autre

Le hasard de la voie ne réfléchit pas. L'autre automobiliste, si : il ne voit pas ce que fait A, mais il choisit en fonction de ce qu'il pense que A fera. Faute de savoir ce qu'il fera, A peut pourtant en avoir une idée : « il s'engage presque toujours », « il laisse passer une fois sur deux ». Cette estimation se traite comme une probabilité, à une différence près, qui change tout : elle porte sur la décision de quelqu'un qui, lui aussi, réfléchit.

Le chapitre précédent en a déjà rencontré une, avec la migration commune : deux équipes gagnent 4 chacune à migrer ensemble, 3 à rester ensemble, et celle qui migre seule ne gagne rien pendant que l'autre garde ses 3. Si l'équipe A croit que B migrera avec la probabilité $c$, elle gagne en moyenne $4c$ en migrant, et 3 de façon certaine en restant.

La meilleure réponse bascule en $c = 3/4$ : en dessous, rester ; au-dessus, migrer. Le même calcul vaut dans la rue. À $p = 0{,}25$, si A croit que B s'engage avec la probabilité $c$, s'engager lui rapporte

contre 0 en attendant : il s'engage tant que $c < 1/2$, c'est-à-dire tant qu'il croit que B laissera passer plus d'une fois sur deux.

Une croyance peut être fausse. Face à $c = 0{,}6$, l'équipe A reste, et le calcul est juste. Mais si l'équipe B migre réellement, la paire jouée est (Rester, Migrer) : 3 pour A, 0 pour B. Ce n'est pas un équilibre, puisque B regrette d'avoir migré seule et que A aurait gagné 4 en la suivant. La meilleure réponse était bonne, c'est la croyance qui était fausse. Voilà la différence avec le hasard de la voie : une estimation de $p$ peut se tromper aussi, mais la voie ne choisit pas son état en pensant à A. B, lui, choisit en fonction de ce qu'il croit de A, qui choisit en fonction de ce qu'il croit de B. Un équilibre referme ce cercle : chacun y croit juste sur l'autre, et chacun répond au mieux à cette croyance. En (Migrer, Migrer), A croit que B migre, et B migre.

Jeux à somme nulle

Un jeu est à somme nulle quand ce que l'un gagne, l'autre le perd : $g_A + g_B = 0$ dans chaque case, où $g_A$ et $g_B$ sont les gains des deux joueurs. On n'écrit alors qu'un seul nombre par case, celui du joueur des lignes.

La section précédente a montré qu'une meilleure réponse ne vaut que ce que vaut la croyance qui la fonde. Dans un jeu à somme nulle, on peut décider sans croyance du tout, et il faut dire pourquoi.

Dans un jeu à somme nulle, tout gain de l'un est exactement la perte de l'autre. Aucune case ne peut donc convenir aux deux, et il n'existe aucune entente possible : l'adversaire n'a pas seulement des intérêts différents, il a l'intérêt opposé. Supposer qu'il choisira toujours le coup le plus défavorable à l'autre joueur n'est plus une hypothèse pessimiste, c'est la seule hypothèse cohérente.

De là vient le changement de méthode. Plutôt que de répondre à un coup supposé, chaque joueur se demande ce qu'il peut se garantir quoi qu'il arrive.

Le joueur des lignes raisonne en maximin : pour chaque ligne il regarde son pire cas, puis choisit la ligne dont le pire cas est le meilleur. Il s'assure ainsi un gain plancher, que l'adversaire ne peut pas lui retirer. Le joueur des colonnes raisonne symétriquement en minimax : il choisit la colonne qui limite le mieux le gain maximal de l'autre.

Quand les deux valeurs coïncident, la case qui croise une ligne maximin et une colonne minimax est un point selle : c'est un équilibre de Nash du jeu (s'il y en a plusieurs, ils ont tous la même valeur), et la valeur commune est la valeur du jeu.

Un jeu à somme nulle simple se rencontre en sécurité informatique, à condition d'accepter une simplification. Cette nuit, l'équipe de défense (A) ne peut renforcer la surveillance que d'une zone : le réseau, la messagerie ou les postes de travail. Un attaquant (B) choisit son mode d'attaque : intrusion, hameçonnage ou rançongiciel. Chaque case donne le bilan de la nuit pour la défense, en k€, par rapport à une nuit sans surveillance renforcée ; on suppose que ce que la défense gagne, l'attaquant le perd. Surveiller la bonne zone est toujours ce qui rapporte le plus face à une attaque donnée, et l'hameçonnage, qui passe par les personnes, ne laisse jamais beaucoup à la défense.

Deux balayages suffisent à lire ce tableau : relever le plus petit nombre de chaque ligne, puis le plus grand de chaque colonne. Les pires cas des lignes valent $-1$, $1$ et $-2$ : le maximin vaut 1, sur la ligne Messagerie. Les pires cas des colonnes, vus par l'attaquant, sont les maximums de chaque colonne, $5$, $1$ et $4$ : le minimax vaut 1, sur la colonne Hameçonnage. Le maximin et le minimax valent tous deux 1 : la case (Messagerie, Hameçonnage) est un point selle, et la valeur du jeu vaut 1.

La lecture métier est immédiate. Surveiller la messagerie garantit à la défense le meilleur plancher, quelle que soit l'attaque ; face à cette défense, l'hameçonnage est l'attaque qui limite le mieux les pertes de l'attaquant. Aucun des deux n'a intérêt à changer seul : c'est pour cela que le point selle est un équilibre.

Stratégies mixtes

Il arrive qu'aucune case ne soit stable. L'audit inopiné l'a montré au chapitre précédent : le contrôleur poursuit l'équipe, l'équipe fuit le contrôleur, et toute habitude se fait exploiter. Il faut alors être imprévisible, et l'outil s'appelle la stratégie mixte. Elle sert aussi ailleurs : un jeu qui a deux équilibres purs en possède en général un troisième, en stratégies mixtes, et celui-là ne se lit pas comme une recommandation.

L'audit inopiné, enfin résolu

Un contrôleur qualité (A) passe le matin ou le soir ; une équipe (B) saute une étape de procédure le matin ou le soir. A gagne 1 s'il tombe sur l'écart, B gagne 1 sinon.

La figure montre le jeu deux fois. D'abord la matrice et ses flèches de déviation, comme au chapitre précédent. Puis le carré des stratégies mixtes : chaque point y est un couple de probabilités, $q$ en abscisse, la probabilité que le joueur des lignes joue sa première ligne, et $r$ en ordonnée, la probabilité que le joueur des colonnes joue sa première colonne. Les quatre coins sont les quatre cases de la matrice. La courbe de meilleure réponse du joueur des lignes dit, pour chaque hauteur $r$, quel $q$ il a intérêt à choisir : elle longe le bord droit ($q = 1$) quand sa première ligne rapporte le plus, le bord gauche ($q = 0$) quand c'est la seconde, et traverse le carré à l'horizontale à la hauteur où il est indifférent. Celle du joueur des colonnes fait de même dans l'autre sens : elle longe le haut ou le bas, et traverse à la verticale à l'abscisse où il est indifférent. Chacune a la forme d'un escalier à une marche, et les équilibres sont les points où les deux escaliers se croisent.

Si le contrôleur passe toujours le matin, l'équipe triche le soir ; s'il passe toujours le soir, elle triche le matin. Toute habitude se fait exploiter, et c'est vrai pour l'équipe aussi.

C'est un jeu à somme nulle : dans chaque case, ce que l'un gagne, l'autre le perd. Le plancher du contrôleur vaut $-1$ (maximin) et le plafond que l'équipe peut lui imposer vaut $1$ (minimax) : pas de point selle, exactement le cas que la section précédente laissait ouvert.

Soit $q$ la probabilité que le contrôleur passe le matin. L'équipe gagne en moyenne $-q + (1 - q) = 1 - 2q$ si elle triche le matin, et $q - (1 - q) = 2q - 1$ si elle triche le soir. Tant que ces deux nombres diffèrent, l'équipe a un créneau préféré, et le contrôleur, qui le sait, va l'y attendre. Le seul $q$ qui ne laisse aucune prise est celui qui les égalise :

Par symétrie, l'équipe triche le matin avec la probabilité $r = 1/2$. Chacun tire au hasard, comme à pile ou face, et l'espérance de gain est nulle pour les deux. C'est le seul équilibre du jeu, et c'est la raison pour laquelle un audit sérieux est tiré au sort : un calendrier prévisible ne contrôle rien. Cette espérance nulle, la valeur du jeu, tombe entre $-1$ et $1$ : en tirant au sort, le contrôleur relève son plancher et l'équipe abaisse son plafond, jusqu'à ce qu'ils se rejoignent. C'est ce que garantit le théorème de von Neumann pour tout jeu à somme nulle.

Pourquoi l'indifférence, et pas autre chose

Le principe d'indifférence surprend parce qu'il semble demander à chaque joueur de travailler pour l'autre. Il se démontre pourtant en trois lignes, et la démonstration dit pourquoi il est inévitable.

La rue, quand chacun tente sa chance

Sous trois quarts, rien ne désigne qui passe. Chaque automobiliste peut alors s'engager avec une certaine probabilité, et l'équilibre mixte se calcule comme pour l'audit. Si B s'engage avec la probabilité $r$, A est indifférent quand s'engager lui rapporte autant qu'attendre, c'est-à-dire 0 :

Par symétrie, A s'engage avec la même probabilité $q = r$. À $p = 0{,}25$, $q = r = 1/2$ : un face-à-face une fois sur quatre, personne n'avance une fois sur quatre, et une espérance nulle pour chacun.

Ce $1/2$ n'est pas nouveau : c'est le seuil de bascule de la section sur la croyance, où s'engager rapportait $2 - 4c$ à A. L'équation est la même, une seule chose change : qui tient la probabilité. Là, $c$ était l'estimation de A, et rien ne garantissait qu'elle soit juste. Ici, $r$ est la fréquence que B choisit réellement. L'équilibre mixte est le cas où l'estimation de A tombe juste et se trouve exactement sur son seuil : s'engager et attendre s'y valent, et A n'a aucune raison de préférer l'un à l'autre.

Une règle de priorité, qui désigne l'un des deux équilibres purs, fait passer la rue de 0 à 2 minutes gagnées par rencontre, et supprime ce quart de face-à-face. C'est ce que vaut un panneau de priorité. Ethernet fait l'inverse : faute de priorité, deux stations qui ont émis ensemble attendent chacune un délai tiré au sort avant de réessayer, et paient ce hasard en collisions. Le chapitre sur l'accès au support décrit ce délai, qui est exactement une stratégie mixte.

Un troisième équilibre dans un jeu de coordination

Retour à la seconde guerre des prix du chapitre précédent. La stratégie Élevé y était strictement dominée pour les deux fournisseurs ; une fois barrée, il reste un jeu 2 × 2 où Moyen et Cassé ne se dominent plus. Colonne Moyen, A préfère Moyen, qui lui rapporte 7 contre 6 ; colonne Cassé, il préfère Cassé, qui lui rapporte 4 contre 3. C'est un jeu de coordination, avec ses deux équilibres purs. Il en a pourtant un troisième, qui ne se lit sur aucune case.

Soit $q$ la probabilité que A joue Moyen. B est indifférent quand ses deux stratégies lui rapportent autant :

• gain de B s'il joue Moyen : $7q + 3(1 - q) = 3 + 4q$
• gain de B s'il joue Cassé : $6q + 4(1 - q) = 4 + 2q$

$3 + 4q = 4 + 2q$ donne $2q = 1$, soit $q = 1/2$. Par symétrie du tableau, B joue Moyen avec la probabilité $r = 1/2$ également, et chacun obtient une espérance de $5$. Traduit sur le marché : chaque fournisseur tient le prix moyen un appel d'offres sur deux, tiré au hasard et sans lien avec le choix de l'autre.

Ce troisième équilibre n'est pas un régime que le marché choisirait. Ce n'est pas une ruse pour surprendre : ici, être prévisible ne coûterait rien, au contraire, puisqu'un A qu'on sait au prix moyen obtient 7. Ce n'est pas non plus une alternance : deux fournisseurs qui alterneraient en cadence choisiraient toujours le même prix et ne se rateraient jamais, alors qu'à l'équilibre mixte chacun tire de son côté, et les deux prix diffèrent une fois sur deux. Il décrit deux fournisseurs dont aucun ne sait sur quel régime l'autre s'est calé, et qui tirent chacun de leur côté ; il leur rapporte 5, un peu plus que la guerre des prix, à 4, et bien moins que les prix tenus, à 7. Le cas pratique, plus bas, en fait un diagnostic : l'écart entre 5 et 7 est ce que coûte l'absence de repère commun.

Dans le carré, $q$ est la probabilité que A joue Moyen et $r$ celle que B joue Moyen. L'escalier de A traverse à la hauteur $r = 1/2$, celui de B à l'abscisse $q = 1/2$, et ils se croisent trois fois.

Ce jeu a donc trois équilibres : deux purs et un mixte. Le théorème de Nash étend celui de von Neumann à tous les jeux : un jeu fini, à nombre fini de joueurs et de stratégies, possède toujours au moins un équilibre, éventuellement en stratégies mixtes. C'est l'équilibre mixte qui prend le relais quand aucune case n'est stable, comme pour l'audit.

Cas pratique démontré : deux équipes, une interface

Ce cas reprend toute la démarche des deux chapitres sur une seule situation, de l'énoncé à la recommandation, sans sauter d'étape. Il sert de modèle pour toute étude complète.

Étape 1 : modéliser

Les joueurs : l'équipe Mobile (lignes) et l'équipe Données (colonnes). Les stratégies : REST ou gRPC pour chacune. Les gains : les jours économisés, avec pour référence le cas où il faut écrire une passerelle, compté 0. Les deux décident simultanément, sans communiquer : c'est un jeu sous forme normale.

Étape 2 : construire la matrice

Chaque case se remplit en appliquant l'énoncé mot pour mot, le gain de Mobile d'abord :

Contrôle d'une case au hasard : (gRPC, gRPC) donne $(2 ; 3)$, soit 2 jours pour Mobile, qui doit se former, et 3 pour Données, qui reste sur son terrain. C'est conforme à l'énoncé.

Étape 3 : chercher une stratégie dominante

Pour Mobile : face à REST, REST rapporte 3 et gRPC 0 ; face à gRPC, REST rapporte 0 et gRPC 2. La meilleure ligne change selon la colonne : aucune stratégie dominante. Même constat pour Données, par symétrie. Aucune élimination possible : il faut passer aux déviations.

Étape 4 : tester les quatre cases

Deux équilibres purs, (REST, REST) et (gRPC, gRPC). C'est un jeu de coordination : les deux équipes veulent avant tout choisir la même chose, et ne sont en désaccord que sur laquelle.

Étape 5 : l'équilibre mixte

Sans réunion, aucune équipe ne sait sur quel équilibre l'autre va se caler. Le jeu a alors un troisième équilibre, mixte : chaque équipe tire son protocole au sort, dans des proportions telles que l'autre n'a aucune raison de préférer REST ou gRPC. Ce sont des stratégies mixtes, pas des croyances, et le principe d'indifférence en donne les proportions.

Soit $q$ la probabilité que Mobile choisisse REST. L'équipe Données gagne en moyenne $2q$ si elle choisit REST, et $3(1 - q)$ si elle choisit gRPC. Elle est indifférente quand

Soit $r$ la probabilité que Données choisisse REST. L'équipe Mobile gagne en moyenne $3r$ si elle choisit REST, et $2(1 - r)$ si elle choisit gRPC. Elle est indifférente quand

Un détail désarçonne toujours : Mobile, qui préfère REST, ne le choisit qu'avec la probabilité $\frac{3}{5}$, et ce nombre sort des gains de Données, pas des siens. C'est le principe d'indifférence : à l'équilibre, les probabilités de chacun sont celles qui rendent l'autre indifférent.

Vérification. Face à $r = \frac{2}{5}$, le gain moyen de Mobile vaut, quel que soit son propre $q$ :

Il ne dépend pas de $q$ : Mobile n'a aucun moyen de faire mieux en changeant ses probabilités. Le même calcul pour Données donne $\frac{6}{5}$ face à $q = \frac{3}{5}$. Aucun des deux n'a de déviation rentable : c'est bien un équilibre de Nash.

Étape 6 : comparer les issues

La dernière colonne se calcule directement. La passerelle est nécessaire quand les choix diffèrent :

Plus d'une fois sur deux, les équipes se ratent. Chacune y perd 40 % de ce que lui aurait rapporté le pire des deux équilibres purs, 1,2 jour contre 2, et les deux ensemble perdent 2,6 jours sur 5.

Une stratégie mixte est une fréquence d'issues, pas une alternance. Le programme ci-dessous fait tirer leur protocole aux deux équipes, indépendamment, sur mille sprints, et compte les passerelles : il en trouve 517, à peu de chose près les 52 % du calcul.

Étape 7 : recommander

La conclusion ne porte pas sur le protocole : REST et gRPC sont deux équilibres également défendables, avec 5 jours économisés au total dans les deux cas. Elle porte sur la coordination.

• Rétablir la réunion. Dix minutes de synchronisation font passer l'espérance totale de 2,4 à 5 jours. La réunion annulée « pour gagner du temps » coûtait 2,6 jours par sprint. Ce chiffre suppose que chaque équipe tire son protocole au sort dans les proportions de l'équilibre. Si chacune prend son protocole préféré, la passerelle est certaine et la perte monte à 5 jours ; si une habitude désigne déjà REST, elle tombe à zéro. La réunion vaut donc entre 0 et 5 jours, et 2,6 est l'estimation du cas où rien ne départage les équipes.
• À défaut, fixer un point focal. Une règle écrite de la direction technique, « les nouvelles interfaces sont en REST, sauf exception motivée », désigne un équilibre sans qu'aucune réunion soit nécessaire. Peu importe lequel est choisi : c'est l'existence de la règle qui supprime les 52 % de ratés.
• Ou organiser l'ordre de décision. Si Données publie son contrat d'interface en premier, Mobile s'y conforme, et le jeu devient séquentiel : l'équilibre sera (gRPC, gRPC), qui avantage celle qui a parlé la première. Le chapitre suivant montre pourquoi jouer en premier peut valoir de l'or.

À calculer soi-même

Maximin et minimax se lisent par deux balayages, et la valeur du jeu est le nombre où les deux se rejoignent. Les poser à la main est le seul moyen de ne plus confondre les deux sens de lecture.

Le second jeu montre pourquoi les stratégies mixtes existent. Maximin vaut $-1$ et minimax vaut 2 : aucune case ne convient aux deux joueurs, et il n'y a donc pas d'équilibre en stratégies pures. Le théorème de von Neumann garantit qu'il en existe toujours un en stratégies mixtes. Le calcul ci-dessus en trouve une partie, la stratégie du joueur des lignes : il joue chaque ligne une fois sur deux, ce qui lui garantit $1/2$ en moyenne, quoi que fasse l'autre. Le joueur des colonnes, lui, joue sa première colonne avec la probabilité $3/8$, qui rend le joueur des lignes indifférent à son tour. La valeur $1/2$ tombe entre le maximin $-1$ et le minimax $2$ : le tirage au sort a relevé le plancher de l'un et abaissé le plafond de l'autre jusqu'à les faire se rejoindre.

Où la démarche dérape

Une équation juste, résolue pour la mauvaise inconnue.

Exercices type

La méthode

1. Modéliser : nommer les joueurs, leurs stratégies, l'unité des gains et la référence, écrite une fois pour toutes. Dire si les décisions sont simultanées, et nommer chaque probabilité : hasard, croyance ou stratégie mixte.
2. Construire la matrice, le gain du joueur des lignes d'abord, et relire en français une case où les deux gains diffèrent. S'il y a du hasard, écrire l'espérance case par case, en séparant les scénarios ($p$ et $1 - p$).
3. Éliminer les stratégies strictement dominées, tour à tour pour chaque joueur, et seulement les strictement dominées.
4. Chercher les équilibres purs par les soulignements : colonne par colonne pour le joueur des lignes, ligne par ligne pour celui des colonnes. Dans un jeu à somme nulle, comparer maximin et minimax.
5. Chercher l'équilibre mixte s'il n'y a pas d'équilibre pur, ou pour chiffrer ce que coûte l'absence de coordination : les probabilités de chacun se lisent sur l'indifférence de l'autre.
6. Comparer les issues : laquelle est meilleure pour tous, laquelle est prudente, laquelle saute aux yeux ; et, s'il y a un paramètre ou une croyance, à partir de quelle valeur la réponse change.
7. Recommander en français, avec le chiffre qui fonde la recommandation et ce qui la ferait tomber.

Synthèse

• Trois probabilités à ne pas confondre : le hasard de la situation ($p$), la croyance sur l'autre ($c$), la stratégie mixte que le joueur choisit ($q$, $r$).
• Quand le hasard s'en mêle, les gains deviennent des espérances et l'équilibre se discute selon $p$ : pour la rue, deux équilibres purs sous $3/4$, un seul au-dessus.
• Face à une croyance, on joue sa meilleure réponse, et elle bascule à un seuil. Ce n'est pas forcément la stratégie d'équilibre, qui suppose que chacun croie juste.
• Somme nulle : maximin $=$ minimax $\Rightarrow$ point selle, et cette valeur commune est la valeur du jeu.
• Stratégies mixtes : un joueur ne mélange que s'il est indifférent, et c'est l'indifférence de l'autre qui fixe ses probabilités. Tout jeu fini possède au moins un équilibre, éventuellement mixte (théorème de Nash).
• Un équilibre mixte est la solution quand aucune case n'est stable (l'audit inopiné), et un diagnostic quand le jeu a déjà deux équilibres purs : il chiffre ce que coûte l'absence de repère commun, donc ce que vaut une réunion, une règle ou un standard.
• Une information sur l'état du monde, donnée aux deux à la fois, ne désigne pas qui passe : il y faut une règle.

Et ensuite

Tout ce chapitre a supposé que les deux joueurs décident au même instant. Jeux séquentiels et information incomplète lève cette hypothèse : l'un parle en premier, l'autre répond en sachant, et la matrice cède la place à un arbre.

Il a par ailleurs raisonné « en fonction de $p$ », cette probabilité d'encombrement posée sans jamais être calculée. Elle ne tombe pas du ciel : elle se déduit d'un modèle, et Les lois discrètes et le risque installe les quatre lois qui la produisent.