Probabilités

Un composant sur mille est défectueux, une mesure est bruitée, un client arrive « en moyenne toutes les trois minutes ». Aucune de ces phrases ne permet de prédire ce qui va se passer, et toutes permettent pourtant de décider : combien de pièces commander, quelle marge de sécurité prendre, à partir de quand s'inquiéter. Les probabilités sont l'outil qui transforme une incertitude en un nombre sur lequel on peut calculer. Ce chapitre en pose les fondements, du vocabulaire au conditionnement, et s'arrête longuement sur le théorème de Bayes, qui est à la fois le plus utile et le plus contre-intuitif. Les lois elles-mêmes font l'objet du chapitre suivant.

Vocabulaire

Définitions

Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles et on ne sait pas laquelle se produira. L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues. Un événement est une partie de Ω.

Le dictionnaire à connaître, parce que les énoncés l'utilisent sans le traduire :

L'énoncé dit	On écrit	Cela signifie
A et B	$A \cap B$	les deux se produisent
A ou B	$A \cup B$	au moins l'un des deux (ou inclusif)
non A, « le contraire de A »	$\bar{A}$	A ne se produit pas
A et B incompatibles	$A \cap B = \emptyset$	ils ne peuvent pas se produire ensemble

Axiomes

$0 \leq P(A) \leq 1$ , $P(\Omega ) = 1$ , et si A et B sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Deux formules en découlent, et elles servent constamment :

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Le réflexe du contraire

Dès qu'un énoncé contient « au moins un », passe par le contraire : « au moins un » est le contraire de « aucun », et « aucun » est presque toujours beaucoup plus simple à calculer. C'est le raccourci le plus rentable du chapitre.

Équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance :

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

Tout se ramène alors à compter. D'où la section suivante.

Dénombrement

Trois situations, trois formules. Le seul vrai travail est de savoir dans laquelle on est.

Définition

$n!$ (factorielle de n) est le produit $n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ . Par convention, $0! = 1$ .

Situation	Formule	Exemple
Ranger n objets dans un ordre	$n!$	podiums possibles avec tous les coureurs
Choisir k objets parmi n, avec ordre (arrangement)	$A(n,k) = n!/(n-k)!$	podium des 3 premiers sur 10
Choisir k objets parmi n, sans ordre (combinaison)	$C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)$	une main de 5 cartes
Tirages avec remise, k fois parmi n	$n^k$	codes de 4 chiffres

La question qui tranche

« L'ordre compte-t-il ? » Un podium, oui : premier et deuxième ne sont pas interchangeables → arrangement. Une main de cartes, non : on a les mêmes cartes quel que soit l'ordre où on les a reçues → combinaison. C'est la seule question à se poser, et elle décide de tout le reste de l'exercice.

Les combinaisons, notées aussi « k parmi n », ont deux propriétés qui font gagner du temps :

$C(n,k) = C(n, n-k)$  : choisir 3 personnes parmi 10, c'est en écarter 7 ;
$C(n,0) = C(n,n) = 1$ et $C(n,1) = n$ .

Exemple travaillé. Dans une urne de 10 boules dont 4 rouges, on en tire 3 simultanément. Probabilité d'avoir exactement 2 rouges ?

Cas possibles : $C(10, 3) = 120$ .
Cas favorables : choisir 2 rouges parmi 4 et 1 non-rouge parmi 6, soit $C(4, 2) \times C(6, 1) = 6 \times 6 = 36$ .
$P = 36/120 =$ $0{,}3$

Notons le « et » traduit par une multiplication : c'est le principe multiplicatif, qui vaut chaque fois qu'on fait des choix successifs indépendants.

Conditionnement et Bayes

Une probabilité change dès qu'une information arrive. Un serveur pris au hasard dans le parc tombe rarement en panne ce mois-ci ; le même serveur, dont on vient d'apprendre que le ventilateur est arrêté, n'a plus du tout la même probabilité de tomber. C'est ce recalcul, et lui seul, que la notion suivante met en formule.

Définition

La probabilité de $A$ sachant $B$ (avec $P(B) > 0$ ) vaut :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

En clair : « probabilité de $A$ sachant $B$  ». Au numérateur, la probabilité que $A$ et $B$ se produisent ensemble ; au dénominateur, la probabilité de l'information déjà acquise, $B$ . La division ramène le poids total de $B$ à 1, et c'est pourquoi la définition exige $P(B) > 0$  : sur une information qui ne se produit jamais, il n'y a rien à conditionner.

Conditionner, c'est donc changer d'univers : on sait que $B$ s'est produit, on ne regarde plus que $B$ , et on se demande quelle part de $B$ est aussi dans $A$ . Retournée, la formule donne la probabilité d'un « et » : $P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B)$ . C'est elle qui fait fonctionner les arbres : on multiplie le long d'un chemin.

De là découlent deux formules qu'il faut savoir écrire de mémoire. La formule des probabilités totales, quand $B_1, \dots , B_n$ partitionnent l'univers (ils ne se chevauchent pas et couvrent tous les cas) :

P(A) = P(A \mid B_1)\,P(B_1) + \dots + P(A \mid B_n)\,P(B_n)

En clair : la probabilité de $A$ est la somme de ses probabilités dans chaque cas possible, chacune pesée par la probabilité de ce cas. Sur un arbre, c'est le second geste : on additionne les chemins qui mènent à $A$ . Puis la formule de Bayes, qui retourne le conditionnement :

P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \times P(B)}{P(A)}

En clair : la probabilité de $B$ sachant $A$ s'obtient à partir de celle de $A$ sachant $B$ , corrigée par la fréquence de $B$ et par celle de $A$ . Le numérateur est un chemin de l'arbre, le dénominateur la somme de tous les chemins qui mènent à $A$ . Bayes répond donc à une question simple : parmi tous les chemins qui aboutissent à $A$ , quelle part passe par $B$  ?

Une alerte de supervision fausse deux fois sur trois

Le système de supervision détecte 95 % des vrais incidents, et déclenche une fausse alerte 2 % du temps quand tout va bien. Les incidents réels touchent 1 % des heures d'exploitation. L'alerte sonne. Quelle est la probabilité qu'il y ait vraiment un incident ?

Avancer un nombre avant de lire la suite. La figure garde le sien tant qu'aucun nombre n'a été avancé, et c'est l'écart entre les deux qui vaut la leçon, pas le résultat.

Un détecteur fiable à 95 %, sur un incident qui touche une heure sur cent

Rareté de l'événement1,0 %Sur cent cas, combien en comportent un vraimentSensibilité du détecteur95,0 %Sur cent événements réels, combien il en repèreTaux de fausses alertes2,0 %Sur cent cas sans rien, combien le font sonner quand même

Avant de regarder : « alerte » vient de se déclencher. Dans quelle proportion des cas y a-t-il vraiment un incident ?

La sensibilité répond à « si l'incident a lieu, est-ce que ça sonne ? ». La figure répond à la question inverse, celle qu'on se pose réellement devant une alerte : « ça sonne, y a-t-il quelque chose ? ». Les deux ne coïncident que si l'événement est fréquent, et c'est toute l'affaire.

À manipuler

Laisser le détecteur à 95 % et descendre la rareté de l'incident sous 1 %. Trouver la rareté à partir de laquelle moins d'une alerte sur dix correspond à un incident réel. Le détecteur n'a pas changé de qualité pendant l'opération : c'est la rareté seule qui gouverne le résultat.

Le calcul, maintenant qu'on sait où il mène

Nommer les événements. Pour une heure d'exploitation prise au hasard, $I$ est « il y a un incident » et $A$ est « l'alerte sonne ». L'énoncé donne trois nombres, et il faut les traduire avant de calculer :

$P(I) = 0{,}01$ , donc $P(\bar{I}) = 0{,}99$  ;
$P(A \mid I) = 0{,}95$  : c'est la sensibilité, le taux de détection ;
$P(A \mid \bar{I}) = 0{,}02$  : c'est le taux de fausses alertes.

La question porte sur $P(I \mid A)$ , le conditionnement dans l'autre sens. C'est le travail de Bayes.

Dessiner l'arbre. Le premier niveau sépare incident et fonctionnement normal, le second dit si l'alerte sonne.

L'alerte de supervision. Deux chemins aboutissent à « alerte » : 0,0095 pour les vraies, 0,0198 pour les fausses. Le chemin des fausses alertes est deux fois plus lourd. Sur chaque branche, la probabilité conditionnelle ; à droite, le produit le long du chemin, c'est-à-dire la probabilité de l'intersection. Additionner ces valeurs pour les chemins qui mènent au même événement donne la formule des probabilités totales.

Sur cet arbre, il ne faut regarder ni la branche la plus probable ni la plus grosse probabilité affichée, mais les deux seules branches qui finissent sur « alerte ». L'une part d'un incident, l'autre d'une heure normale, et c'est leur poids relatif qui contient toute la réponse.

Étape 1, probabilités totales. On additionne les deux chemins qui font sonner l'alerte :

P(A) = \underbrace{0{,}95 \times 0{,}01}_{\text{vraies alertes}} + \underbrace{0{,}02 \times 0{,}99}_{\text{fausses alertes}} = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293

Étape 2, Bayes. On prend la part du chemin « incident » dans ce total :

P(I \mid A) = \frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 0{,}32

32 %. Deux alertes sur trois sont fausses, alors que le détecteur est excellent.

Vérifier en comptant des heures. Le même raisonnement sans aucune formule, sur 10 000 heures d'exploitation :

	Alerte	Silence	Total
Incident	95	5	100
Tout va bien	198	9 702	9 900
Total	293	9 707	10 000

L'alerte sonne 293 fois, et seules 95 de ces alertes correspondent à un incident : $95 / 293 \approx 0{,}32$ . La raison saute aux yeux : 2 % de 9 900 heures normales font 198 fausses alertes, plus que 95 % de 100 heures d'incident. Le taux de fausses alertes est petit, mais il s'applique à une population cent fois plus nombreuse.

95 % n'est pas la réponse

Le réflexe est de répondre « 95 % », parce que le détecteur est fiable à 95 %. Mais 95 % est $P(A \mid I)$  : la probabilité que l'alerte sonne quand il y a un incident. La question demande $P(I \mid A)$  : la probabilité d'un incident quand l'alerte sonne. Les deux ne valent pas la même chose ici : 95 % contre 32 %. Seule la formule de Bayes permet de passer de l'une à l'autre, parce qu'elle fait intervenir la rareté des incidents, $P(I)$ .

Ce que cela change en exploitation

Une équipe qui reçoit deux fausses alertes sur trois cesse de les lire au bout de quelques semaines. Le taux de détection de 95 % devient alors purement théorique, puisque personne n'ouvre plus les tickets. La qualité d'un détecteur ne se juge pas sur sa sensibilité mais sur sa valeur prédictive positive, $P(I \mid A)$ . Celle-ci dépend de la rareté de l'événement, donc du terrain autant que du détecteur.

On peut refaire le calcul pour chaque piste :

détecter 99 % des incidents au lieu de 95 % ne fait passer la valeur prédictive que de 32 à 33 % ;
diviser les fausses alertes par quatre (0,5 % au lieu de 2 %) la porte à 66 % ;
restreindre la surveillance à un périmètre où les incidents touchent 5 % des heures la porte à 71 %.

Le levier, c'est le taux de fausses alertes et la rareté de l'événement, pas la sensibilité.

Ces trois lignes se lisent sans y croire. Remonter à la figure : les trois pistes y sont trois boutons, chiffrés et cliquables, et ils se recalculent depuis le réglage courant. La conclusion ne tient donc pas à l'exemple choisi.

Pousser la sensibilité à 100 % : le pourcentage bouge à peine. Ramener les fausses alertes à 0,5 % : il double. Le détecteur n'est pas en cause, le terrain l'est, et c'est une conclusion qu'aucune fiche technique de produit ne mentionne.

La courbe sous les curseurs dit la même chose d'un seul trait. Le point marqué est le réglage courant ; le trait vertical est la bascule, la rareté au-delà de laquelle une alerte est plus souvent vraie que fausse. Avec ce détecteur elle tombe à 2,06 % : en deçà, l'équipe passera plus de temps sur du vide que sur des incidents, et aucun réglage du détecteur n'y changera rien.

Deux réglages méritent le détour, et ils encadrent tout le sujet. À 0,1 % de prévalence, ce même détecteur produit 21 fausses alertes pour une vraie et sa valeur prédictive tombe à 4,5 % : c'est la situation d'une supervision qui guette la panne rare. À 30 %, il atteint 95 % sans avoir changé d'une ligne.

Le détecteur est identique dans les deux cas. Ce qui a changé, c'est l'endroit où on l'a branché.

Une simulation vérifie ce calcul, et la manière dont elle le vérifie mérite d'être regardée. En tirant un million d'heures avec une probabilité d'incident de 1 %, une sensibilité de 95 % et 2 % de fausses alertes, la proportion d'alertes réellement fondées ressort à 0,325, contre 0,324 par la formule de Bayes.

L'accord n'est pas exact, et il ne peut pas l'être. Un million d'heures ne produit qu'environ 29 300 alertes, et c'est sur elles seules que la proportion se calcule : l'écart typique vaut $\sqrt{0{,}324 \times 0{,}676 / 29\,300} \approx 0{,}003$ , ce qui place les résultats attendus entre 0,318 et 0,330. Pour diviser cet écart par deux, il faut quatre fois plus d'heures. Une simulation confirme un calcul à sa précision près, jamais au-delà.

Pourquoi ça compte pour la supervision

C'est le résultat à retenir avant de régler un seuil d'alerte. Un détecteur très fiable produit majoritairement des faux positifs dès que l'événement cherché est rare, et une équipe noyée sous les fausses alertes finit par toutes les ignorer. On y revient au chapitre sur la détection d'anomalies.

Indépendance

Définition

A et B sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , ce qui équivaut à $P_B(A) = P(A)$  : savoir que B s'est produit ne change rien à la probabilité de A.

Indépendant n'est pas incompatible

Ce sont deux notions opposées, souvent confondues. Incompatibles : ils ne peuvent pas se produire ensemble, donc

P(A \cap B) = 0

. Indépendants : l'un n'informe pas sur l'autre. Deux événements incompatibles de probabilité non nulle sont d'ailleurs très dépendants. Si l'un se produit, on sait avec certitude que l'autre ne s'est pas produit.

L'indépendance se démontre (en vérifiant l'égalité) ou se suppose si l'énoncé le dit (tirages avec remise, composants d'un lot). On ne la devine pas.

Un second cas, compté plutôt que calculé

Le même piège se rencontre en dépistage médical, et il vaut la peine de le refaire sans aucune formule, en comptant des personnes sur une population fixée. Le résultat est le même, et la raison en devient palpable.

Exemple travaillé : le piège du test de dépistage. Une maladie touche 1 % de la population. Un test détecte 99 % des malades (sensibilité) et se trompe sur 2 % des personnes saines (faux positifs). Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Notons M « être malade » et T « test positif ».

$P(M) = 0{,}01$ , $P_M(T) = 0{,}99$ , $P_{\bar{M}}(T) = 0{,}02$
Probabilités totales : $P(T) = 0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0099 + 0{,}0198 = 0{,}0297$
Bayes : $P_T(M) = 0{,}0099 / 0{,}0297 \approx$ $0{,}33$

Le test de dépistage. Les deux chemins qui donnent un test positif pèsent 0,0099 et 0,0198 : le second, celui des faux positifs, est deux fois plus lourd que le premier. Tout le paradoxe est dans ces deux nombres. Sur chaque branche, la probabilité conditionnelle ; à droite, le produit le long du chemin, c'est-à-dire la probabilité de l'intersection. Additionner ces valeurs pour les chemins qui mènent au même événement donne la formule des probabilités totales.

Pourquoi ce résultat surprend

Un test « fiable à 99 % » ne donne ici qu'une chance sur trois d'être malade. La raison : les personnes saines sont tellement plus nombreuses que leurs 2 % de faux positifs (198 personnes sur 10 000) écrasent les 99 vrais positifs. Une probabilité conditionnelle ne se renverse jamais à l'intuition. C'est précisément pour ça que la formule de Bayes existe.

Ce résultat est si contre-intuitif qu'il vaut la peine de le vérifier sans aucune formule, en comptant des gens. Sur une population de 100 000 personnes, avec 1 % de malades, un test qui détecte 99 % des malades et se trompe sur 2 % des personnes saines :

	Effectif	Tests positifs
Malades	1 000	990
Sains	99 000	1 980
Total	100 000	2 970

Sur 2 970 tests positifs, 990 correspondent à un vrai malade, soit 33,3 %.

Le nombre sort du comptage, pas de la formule : les 2 % d'erreurs commises sur 99 000 personnes saines font deux fois plus de positifs que les 990 vrais malades détectés. C'est la rareté de la maladie qui gouverne le résultat, pas la qualité du test.

Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue de l'expérience. Sa loi de probabilité est la liste des valeurs possibles avec leurs probabilités. La somme de ces probabilités vaut toujours 1 : c'est le premier contrôle à faire.

Espérance

Définition

E(X) = \sum x_i P(X = x_i)

C'est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités : la valeur moyenne obtenue si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.

Attention, l'espérance n'est pas nécessairement une valeur possible. Un dé équilibré a pour espérance 3,5, que le dé n'affichera jamais.

Propriétés

$E(aX + b) = a E(X) + b$ , et $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ , cette dernière toujours, même si X et Y ne sont pas indépendantes.

Un jeu est dit équitable si l'espérance de gain est nulle. Le calcul suit toujours le même chemin : on établit la loi du gain, on calcule l'espérance, on conclut.

Variance et écart-type

Définitions

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ (formule de König-Huygens, celle qu'on utilise en pratique), et l'écart-type est $\sigma (X) = \sqrt{V}(X)$ .

L'espérance dit où se situe le centre ; la variance dit à quel point les valeurs s'en écartent. Deux lois de même espérance peuvent être très différentes : l'une concentrée, l'autre très dispersée.

L'écart-type se lit dans la même unité que X : c'est pourquoi on le préfère à la variance pour commenter un résultat.

Propriétés

$V(aX + b) = a^2 V(X)$  : le décalage $b$ ne change pas la dispersion, et le facteur $a$ intervient au carré. Et si X et Y sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ .

Vérification

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Une probabilité conditionnelle P(A | B) se lit…

2.Un test détecte 95 % des incidents et se trompe 2 % du temps sur les situations saines. Sur mille situations dont dix incidents, combien d'alertes sont fausses ?

3.Pourquoi une bonne sensibilité ne suffit-elle pas à rendre un test utile ?

4.Espérance de 0,7 panne par mois. Comment le lire ?

Le dépistage, autant de fois qu'il faut

La probabilité d'être porteur sachant que le test est positif n'est pas la probabilité que le test soit positif sachant qu'on est porteur. La formule de Bayes le corrige, mais elle s'applique sans que rien ne surprenne, et ce qui n'a pas surpris n'est pas retenu. L'exercice ne demande donc aucune probabilité avant la dernière question : il fait compter des gens.

Compter les positifs avant de conclure

Une population de 32800 personnes, dont 400 sont porteuses. Le test déclare positives 90 pour cent des personnes porteuses, et 10 pour cent des personnes non porteuses.

Le nombre de porteurs déclarés positifs
Le nombre de non-porteurs déclarés positifs
Le nombre total de personnes déclarées positives
Sur cent personnes déclarées positives, le nombre de porteurssur cent

Comparer la dernière réponse au taux annoncé dans l'énoncé. L'écart ne vient d'aucune faiblesse du test : il vient de ce que les non-porteurs sont beaucoup plus nombreux, si bien qu'un petit pourcentage d'entre eux fournit malgré tout la plupart des positifs.

Où la démarche dérape

Une probabilité qui dépasse un, obtenue par une addition que personne ne conteste sur le moment.

Des probabilités qui s'additionnent de trop

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

Deux serveurs tombent en panne indépendamment l'un de l'autre, chacun avec la probabilité $p$ au cours d'une journée. On cherche la probabilité qu'au moins l'un des deux tombe en panne.

À calculer soi-même

Cinq questions qui couvrent le chapitre : un dénombrement, une probabilité conditionnelle, une espérance, une variance, et le calcul par l'événement contraire.

Compter, conditionner, espérer

1.
Combien de mains de 5 cartes peut-on former dans un jeu de 32 cartes ?
2.
Un test détecte 99 % des malades et se trompe sur 2 % des personnes saines. La maladie touche une personne sur mille. Quelle est la probabilité qu'une personne au test positif soit réellement malade ?
3.
L'espérance du résultat d'un dé équilibré à six faces.
4.
La variance du même dé.
5.
La probabilité d'obtenir au moins un six en quatre lancers d'un dé.

Exercices type

Combien de codes de 4 chiffres avec des chiffres tous différents ?

L'ordre compte (1234 ≠ 4321) et il n'y a pas de répétition : c'est un arrangement.

$A(10, 4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 =$ $5040$

Si les répétitions étaient autorisées : $10^4 = 10 000$ .

On lance deux dés. Probabilité que la somme fasse 7 ?

36 issues équiprobables. Les couples de somme 7 sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) : 6 cas.

$P = 6/36 =$ $1/6$

C'est la somme la plus probable, d'où sa place centrale dans beaucoup de jeux.

Deux machines produisent 60 % et 40 % des pièces, avec 2 % et 5 % de défauts. Une pièce est défectueuse : de quelle machine vient-elle probablement ?

P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

$P_D(A) = 0{,}012 / 0{,}032 =$ $0{,}375$ et $P_D(B) = 0{,}020/0{,}032 =$ $0{,}625$

Elle vient plus probablement de la machine B, bien que B produise moins de pièces : son taux de défaut plus élevé l'emporte.

Un jeu coûte 2 €. On gagne 10 € avec probabilité 0,1, rien sinon. Est-il équitable ?

Gain net X : $+8$ avec probabilité 0,1 ; $-2$ avec probabilité 0,9.

$E(X) = 8 \times 0{,}1 + (-2) \times 0{,}9 = 0{,}8 - 1{,}8 =$ −1 €

Le jeu n'est pas équitable : on perd en moyenne 1 € par partie. Pour l'équilibrer, il faudrait un prix de 1 €.

X ~ B(10 ; 0,3). Calculer P(X = 3), E(X) et σ(X)

$P(X = 3) = C(10, 3) \times 0{,}3^3 \times 0{,}7^7 = 120 \times 0{,}027 \times 0{,}0824 \approx$ $0{,}267$

$E(X) = 10 \times 0{,}3 =$ $3$

$V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1$ , donc $\sigma = \sqrt{2{,}1} \approx$ $1{,}45$

Une pièce mesure en moyenne 50 mm avec un écart-type de 0,5 mm. Quelle proportion est hors tolérance [49 ; 51] ?

L'intervalle $[49 ; 51]$ est exactement $[\mu - 2\sigma ; \mu + 2\sigma ]$ .

Environ 95 % des pièces sont dedans, donc environ 5 % sont hors tolérance, soit 1 pièce sur 20, dont la moitié trop courtes et la moitié trop longues.

La méthode sur feuille

Nommer les événements en une ligne (« M : la pièce est défectueuse ») avant tout calcul. Les raisonnements qui s'embrouillent sont ceux où on ne sait plus ce que désigne A.
Faire un arbre dès qu'il y a un conditionnement. On y lit les probabilités totales et Bayes sans effort.
Devant « au moins un », passe au contraire.
Devant un dénombrement, se poser la question : l'ordre compte-t-il ?
Avant d'écrire une binomiale, vérifier les trois conditions : n fixé, indépendance, p constant.
Contrôle : une probabilité est entre 0 et 1, la somme des probabilités d'une loi vaut 1, une variance est positive.
Sur une loi normale, vérifier le résultat avec les repères 68 / 95 / 99,7.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.On lance un dé. A = « obtenir un 6 », B = « obtenir un nombre impair ». Ces deux événements sont :

2.Un test détecte 99 % des malades, et la maladie touche une personne sur cent. Un test revient positif. Quelle est la probabilité d'être malade ?

3.Un tirage de 3 boules sans remise dans une urne de 10 : le nombre de boules rouges obtenues suit-il une loi binomiale ?

4. $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ . Cette égalité exige-t-elle l'indépendance de X et Y ?

Synthèse

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Équiprobabilité → compter. Ordre → arrangement $A(n,k)$  ; sans ordre → combinaison $C(n,k)$  ; avec remise → $n^k$ .
Conditionnelle : $P_B(A) = P(A \cap B)/P(B)$ . Sur un arbre, un chemin se multiplie.
Indépendants ⟺ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . À ne pas confondre avec incompatibles.
Probabilités totales : on somme tous les chemins menant à A. Bayes renverse le conditionnement, et le résultat contredit souvent l'intuition.
Espérance $E(X) = \sum x_i p_i$ (moyenne pondérée) ; variance $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (dispersion) ; $\sigma = \sqrt{V}$ .
$E(aX + b) = aE(X) + b$ mais $V(aX + b) = a^2 V(X)$ .
Binomiale $B(n,p)$  : $P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$ , $E = np$ , $V = np(1-p)$ . Trois conditions à vérifier.
Poisson $P(\lambda )$  : événements rares, $E = V = \lambda$ .
Normale : courbe en cloche, repères 68 / 95 / 99,7 %, centrer-réduire avec $Z = (X - \mu )/\sigma$ .

Vocabulaire

Équiprobabilité

Dénombrement

Conditionnement et Bayes

Indépendance

Un second cas, compté plutôt que calculé

Variables aléatoires

Espérance

Variance et écart-type

Vérification

Le dépistage, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique