Associer des résistances · Électricité

Les lois du chapitre précédent suffisent à tout résoudre, mais elles coûtent cher : un circuit à dix résistances demande dix équations, et personne ne mène ce calcul à la main sans se tromper. Il existe un raccourci, et il repose entièrement sur ces mêmes lois.

L'idée est de remplacer un groupe de résistances par une seule, qui se comporte de l'extérieur exactement comme le groupe. Répétée, l'opération réduit un schéma compliqué à une seule maille, dont le courant se calcule d'une division. Le chapitre établit les deux formules, puis montre la seule chose qui compte vraiment : dans quel ordre les appliquer, et ce que la réduction fait perdre en route.

En série, les résistances s'ajoutent

Deux résistances sont en série quand elles se suivent sur un même chemin, sans dérivation entre elles. Le point qui les relie n'a que deux branches, donc le même courant les traverse.

Résistance équivalente en série

$R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$

La démonstration tient en deux lignes et mérite d'être faite une fois. La loi des mailles donne $U = U_1 + U_2$ . La loi d'Ohm appliquée à chacune donne $U = R_1 I + R_2 I = (R_1 + R_2) I$ , puisque $I$ est commun. Le groupe se comporte donc comme une résistance unique valant la somme.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	20 mA	240 mW
R1A → B	100 Ω	2 V	20 mA	40 mW
R2B → C	200 Ω	4 V	20 mA	80 mW
R3C → M	300 Ω	6 V	20 mA	120 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 10 V, C = 6 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Trois résistances en série sous 12 V. Les porteurs avancent partout à la même allure, puisqu'il n'existe aucun autre chemin. La colonne des courants porte partout la même valeur, et les trois tensions s'ajoutent pour redonner 12 V.

À manipuler

Additionner les trois valeurs déclarées : 600 Ω. Diviser 12 par 600 : 20 mA, exactement le courant du tableau.
Comparer les trois tensions : 2 V, 4 V et 6 V. Elles sont dans le rapport des résistances, puisque le courant est commun.

Le sens physique

Mettre des résistances en série, c'est allonger le chemin. La formule $R = \rho L / S$ de la loi d'Ohm le dit déjà : deux longueurs bout à bout résistent comme leur somme.

Conséquence utile : la résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande du groupe. Un résultat inférieur signale une erreur, sans qu'il soit besoin de relire le calcul.

Vérification rapideon peut se reprendre

Trois résistances de 120 Ω, 330 Ω et 1 kΩ sont en série. Que vaut l'équivalente ?

En parallèle, ce sont les inverses qui s'ajoutent

Deux résistances sont en parallèle quand elles relient les deux mêmes points. Elles portent donc la même tension, et le courant se partage entre elles.

Résistance équivalente en parallèle

$\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$

La démonstration est le miroir de la précédente. La loi des nœuds donne $I = I_1 + I_2$ . La loi d'Ohm appliquée à chacune donne $I = U/R_1 + U/R_2 = U\,(1/R_1 + 1/R_2)$ , puisque $U$ est commune.

L'inverse d'une résistance s'appelle la conductance, et la formule se lit alors sans fraction : en parallèle, les conductances s'ajoutent. C'est la lecture la plus juste, parce qu'elle dit ce qui se passe réellement : ouvrir un second chemin augmente la facilité de passage.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	60 mA	720 mW
R1A → M	300 Ω	12 V	40 mA	480 mW
R2A → M	600 Ω	12 V	20 mA	240 mW

Potentiels : A = 12 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Deux résistances en parallèle sur la même source. La branche de 300 Ω emporte deux fois plus de porteurs que celle de 600 Ω, et le rail du bas les ramène tous ensemble. Les deux portent 12 V, et leurs courants s'ajoutent pour donner celui que la source débite.

À manipuler

Lire les deux courants : 40 mA et 20 mA, dans le rapport inverse des résistances. La plus petite résistance porte le plus de courant.
Additionner : 60 mA. Diviser 12 par 0,060 : 200 Ω, qui est la résistance équivalente du groupe. Elle est plus petite que chacune des deux.

Le contrôle qui ne trompe jamais

Une résistance équivalente en parallèle est toujours plus petite que la plus petite du groupe. Ajouter un chemin ne peut que faciliter le passage.

Un résultat compris entre les deux valeurs, ou au-dessus, signale une erreur de calcul, et le plus souvent la même : avoir oublié de reprendre l'inverse à la fin.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux résistances de 1 kΩ et 10 kΩ sont en parallèle. Entre quelles bornes se situe l'équivalente ?

Le cas de deux résistances, qui revient sans cesse

Pour deux résistances seulement, la formule se met sous une forme qui évite les inverses.

$R_{\text{éq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

C'est la même relation, écrite pour aller plus vite. Elle ne se généralise pas à trois résistances, et c'est l'erreur qui l'accompagne toujours : au-delà de deux, il faut revenir aux inverses, ou appliquer la formule deux fois de suite.

Deux cas particuliers à connaître de tête

Deux résistances égales : l'équivalente vaut la moitié. Deux fois 1 kΩ en parallèle donnent 500 Ω. Le produit sur la somme donne $R^2 / 2R = R/2$ .

Un rapport de dix : l'équivalente vaut à peu près la plus petite, à dix pour cent près. 1 kΩ et 10 kΩ donnent 909 Ω.

Ces deux repères permettent de contrôler un calcul de tête, et le second sert de règle de décision dans le pont diviseur.

Réduire un circuit de proche en proche

La réduction n'est pas une formule de plus, c'est une démarche. Elle se conduit en partant du point le plus éloigné de la source, et en remontant.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	24 V	24 V	65,5 mA	1,57 W
R1A → B	100 Ω	6,55 V	65,5 mA	428 mW
R2B → M	400 Ω	17,5 V	43,6 mA	762 mW
R3B → C	200 Ω	4,36 V	21,8 mA	95,2 mW
R4C → M	600 Ω	13,1 V	21,8 mA	286 mW

Potentiels : A = 24 V, B = 17,5 V, C = 13,1 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Un circuit à réduire. Le groupe le plus éloigné de la source est R3 en série avec R4 ; ce groupe se retrouve en parallèle sur R2 ; le tout est en série avec R1.

La réduction, étape par étape

Étape 1. R3 et R4 se suivent sans dérivation entre elles : $R_{34} = 200 + 600 = 800\ \Omega$ .

Étape 2. Ce groupe relie B à la masse, comme R2 : les deux sont en parallèle. $R_{234} = (400 \times 800)/(400 + 800) = 320000/1200 \approx 267\ \Omega$ .

Étape 3. Ce qui reste est en série avec R1 : $R_{\text{tot}} = 100 + 267 = 367\ \Omega$ .

Le courant de la source vaut alors $24/367 \approx 65{,}5$ mA, ce que confirme la première ligne du tableau.

Le dessin déguise souvent les associations

Deux résistances dessinées côte à côte ne sont pas forcément en parallèle, et deux résistances dessinées loin l'une de l'autre peuvent l'être. Le seul critère est celui des points de connexion : mêmes deux points pour un parallèle, un point commun sans dérivation pour une série.

Devant un schéma peu clair, le geste qui débloque est de nommer tous les nœuds, puis de relire chaque composant comme un couple de nœuds. Les associations apparaissent alors dans la liste, et non plus dans le dessin.

Remonter la chaîne

Réduire donne le courant total. Il faut ensuite redescendre pour obtenir ce qui traverse un composant particulier, et cette seconde moitié est celle qu'on oublie.

Le courant dans R4, sur le circuit ci-dessus

Redescendre d'un cran. Le courant total, 65,5 mA, traverse R1 et produit à ses bornes $100 \times 0{,}0655 \approx 6{,}55$ V. Le point B est donc à $24 - 6{,}55 \approx 17{,}5$ V.

Redescendre encore. Cette tension de 17,5 V s'applique à R2 et au groupe R3-R4, qui sont en parallèle. Le courant dans la branche R3-R4 vaut $17{,}5 / 800 \approx 21{,}8$ mA.

Conclure. R3 et R4 étant en série, ce courant est celui de R4. Sa tension vaut $600 \times 0{,}0218 \approx 13{,}1$ V.

Contrôler. La tension de R3 vaut environ 4,4 V, et $4{,}4 + 13{,}1 = 17{,}5$ V, ce qui redonne la tension du point B.

Vérification rapideon peut se reprendre

Après avoir réduit un circuit à une seule résistance, on obtient le courant total. Que reste-t-il à faire pour connaître le courant d'une résistance intérieure ?

Ce que la réduction fait perdre

Une résistance équivalente décrit fidèlement le comportement vu de l'extérieur, et rien d'autre. Deux différences méritent d'être retenues.

La première est la plus visible : le groupe réduit ne dit plus rien de ce qui se passe à l'intérieur. Aucune tension intermédiaire n'y est lisible, et c'est pourquoi la remontée existe.

La seconde est plus sournoise. Deux résistances de 1 kΩ en parallèle valent 500 Ω, mais elles ne se comportent pas comme une résistance de 500 Ω en un point : chacune ne dissipe que la moitié de la puissance. Un groupe de résistances répartit la chaleur, là où le composant unique la concentre. C'est d'ailleurs un montage courant lorsqu'une seule résistance ne tiendrait pas la puissance.

La réduction suppose que rien ne change

Toutes les formules de ce chapitre supposent des résistances constantes. Elles ne s'appliquent ni à une diode, ni à une lampe dont la résistance monte avec la température, ni à un composant dont la valeur dépend du courant qui le traverse.

Devant un composant non ohmique, la réduction n'est pas une approximation grossière : elle est sans objet, et il faut revenir aux lois des nœuds et des mailles.

Les valeurs qui existent réellement

Un calcul donne 367 Ω. Aucun fabricant ne vend cette valeur.

Les séries normalisées

Les résistances se vendent selon des séries de valeurs réparties régulièrement sur une échelle logarithmique. La série E12 en compte douze par décade, avec une tolérance de 10 % ; la série E24 en compte vingt-quatre, avec 5 %.

En E12 : 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82, puis les mêmes multipliées par dix.

La conséquence pratique est qu'un calcul se termine toujours par un arrondi vers une valeur disponible, et qu'il faut alors revenir vérifier ce que cet arrondi change. Dans le cas d'une résistance de limitation, arrondir vers le haut réduit le courant, ce qui est sans danger ; arrondir vers le bas l'augmente, ce qui peut l'être.

À cela s'ajoute la tolérance du composant lui-même : une résistance de 330 Ω à 5 % vaut en réalité entre 313 et 347 Ω. Un montage dont le fonctionnement dépendrait du troisième chiffre significatif d'une résistance est un montage qui ne fonctionnera pas deux fois de suite.

La méthode

Nommer tous les nœuds du schéma, et relire chaque composant comme un couple de nœuds. Les associations se lisent dans cette liste, pas dans le dessin.
Partir du plus loin de la source, repérer le premier groupe en série ou en parallèle, et le remplacer.
Répéter jusqu'à une maille unique, en gardant trace de chaque étape par écrit.
Calculer le courant total par une simple division.
Remonter la chaîne en sens inverse, en calculant à chaque étape la tension du nœud atteint.
Contrôler : une série est plus grande que sa plus grande, un parallèle plus petit que sa plus petite, et les tensions d'une maille se recomposent en celle de la source.
Arrondir à une valeur normalisée en dernier, puis reprendre le calcul avec cette valeur pour mesurer l'écart.

Synthèse

En série, les résistances s'ajoutent, parce que le courant est commun et que les tensions s'ajoutent.
En parallèle, ce sont les inverses qui s'ajoutent, parce que la tension est commune et que les courants s'ajoutent.
L'équivalente d'une série est plus grande que la plus grande du groupe ; celle d'un parallèle est plus petite que la plus petite.
Pour deux résistances, $R_1R_2/(R_1+R_2)$ évite les inverses, et ne se généralise pas à trois.
Deux résistances égales en parallèle donnent la moitié ; un rapport de dix laisse à peu près la plus petite.
La réduction se conduit du plus loin vers la source, puis se remonte pour retrouver les grandeurs intérieures.
Une résistance équivalente décrit le comportement vu de l'extérieur : elle ne dit rien des tensions intermédiaires ni de la répartition de la chaleur.
Les formules supposent des résistances constantes : elles sont sans objet sur une diode ou une lampe à filament.
Un calcul se termine par un arrondi à une valeur normalisée, suivi d'une vérification de ce que cet arrondi change.