Associer des résistances

Sur l'aire de recharge de Belmarais, chaque borne de recharge en alternatif perd 2,20 V dans les 40 m de son câble, dont chaque conducteur vaut 0,0688 Ω. Pour une borne plus éloignée, Inès Barral, responsable d'exploitation, envisage de doubler chaque conducteur par un second, identique, posé entre les mêmes points, plutôt que de chercher un câble plus gros : que deviennent la résistance, la chute et les pertes ? Dans le local technique, Hugo Sellier, technicien de maintenance, doit remplacer un élément grillé du chauffage qui garde la batterie de secours hors gel : trois résistances sous 230 V, l'une en série avec les deux autres, montées en parallèle. Quelle puissance chacune dissipe-t-elle ?

Les lois des nœuds et des mailles suffisent à tout résoudre, mais au prix d'une équation par branche. Il existe un raccourci, qui repose entièrement sur elles : remplacer un groupe de résistances par une seule, qui se comporte de l'extérieur exactement comme lui, puis savoir dans quel ordre réduire, et ce que la réduction fait perdre.

En série, les résistances s'ajoutent

Deux résistances sont en série quand elles se suivent sur un même chemin, sans dérivation entre elles. Le point qui les relie n'a que deux branches, donc le même courant les traverse.

Résistance équivalente en série

$R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$

La démonstration tient en deux lignes et mérite d'être faite une fois. La loi des mailles donne $U = U_1 + U_2$ . La loi d'Ohm appliquée à chacune donne $U = R_1 I + R_2 I = (R_1 + R_2) I$ , puisque $I$ est commun. Le groupe se comporte donc comme une résistance unique valant la somme.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	20 mA	240 mW
R1A → B	100 Ω	2 V	20 mA	40 mW
R2B → C	200 Ω	4 V	20 mA	80 mW
R3C → M	300 Ω	6 V	20 mA	120 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 10 V, C = 6 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Trois résistances en série sous 12 V. Lancer l'animation par le bouton sous la figure : les porteurs avancent partout à la même allure, puisqu'il n'existe aucun autre chemin. La colonne des courants porte partout la même valeur, et les trois tensions s'ajoutent pour redonner 12 V.

À manipuler

Additionner les trois valeurs déclarées : 600 Ω. Diviser 12 par 600 : 20 mA, exactement le courant du tableau.
Comparer les trois tensions : 2 V, 4 V et 6 V. Elles sont dans le rapport des résistances, puisque le courant est commun.

Le sens physique. Mettre des résistances en série, c'est allonger le chemin. La formule $R = \rho L / S$ de la loi d'Ohm le dit déjà : deux longueurs bout à bout résistent comme leur somme.

Conséquence utile : la résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande du groupe. Un résultat inférieur signale une erreur, sans qu'il soit besoin de relire le calcul.

Vérification rapideon peut se reprendre

Trois résistances de 120 Ω, 330 Ω et 1 kΩ sont en série. Que vaut l'équivalente ?

En parallèle, ce sont les inverses qui s'ajoutent

Deux résistances sont en parallèle quand elles relient les deux mêmes points. Elles portent donc la même tension, et le courant se partage entre elles.

Résistance équivalente en parallèle

$\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$

La démonstration est le miroir de la précédente. La loi des nœuds donne $I = I_1 + I_2$ . La loi d'Ohm appliquée à chacune donne $I = U/R_1 + U/R_2 = U\,(1/R_1 + 1/R_2)$ , puisque $U$ est commune.

L'inverse d'une résistance s'appelle la conductance, et la formule se lit alors sans fraction : en parallèle, les conductances s'ajoutent. C'est la lecture la plus juste, parce qu'elle dit ce qui se passe réellement : ouvrir un second chemin augmente la facilité de passage.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	60 mA	720 mW
R1A → M	300 Ω	12 V	40 mA	480 mW
R2A → M	600 Ω	12 V	20 mA	240 mW

Potentiels : A = 12 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Deux résistances en parallèle sur la même source. Lancer l'animation par le bouton sous la figure : la branche de 300 Ω emporte deux fois plus de porteurs que celle de 600 Ω, et le rail du bas les ramène tous ensemble. Les deux portent 12 V, et leurs courants s'ajoutent pour donner celui que la source débite.

À manipuler

Lire les deux courants : 40 mA et 20 mA, dans le rapport inverse des résistances. La plus petite résistance porte le plus de courant.
Additionner : 60 mA. Diviser 12 par 0,060 : 200 Ω, qui est la résistance équivalente du groupe. Elle est plus petite que chacune des deux.

Le contrôle qui ne trompe jamais.

Une résistance équivalente en parallèle est toujours plus petite que la plus petite du groupe. Ajouter un chemin ne peut que faciliter le passage.

Un résultat compris entre les deux valeurs, ou au-dessus, signale une erreur de calcul, et le plus souvent la même : avoir oublié de reprendre l'inverse à la fin.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux résistances de 1 kΩ et 10 kΩ sont en parallèle. Entre quelles bornes se situe l'équivalente ?

Le cas de deux résistances, qui revient sans cesse

Pour deux résistances seulement, la formule se met sous une forme qui évite les inverses.

$R_{\text{éq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

C'est la même relation, écrite pour aller plus vite. Elle ne se généralise pas à trois résistances, et c'est l'erreur qui l'accompagne toujours : au-delà de deux, il faut revenir aux inverses, ou appliquer la formule deux fois de suite.

Deux cas particuliers à connaître de tête

Deux résistances égales : l'équivalente vaut la moitié. Deux fois 1 kΩ en parallèle donnent 500 Ω. Le produit sur la somme donne $R^2 / 2R = R/2$ .

Un rapport de dix : l'équivalente vaut à peu près la plus petite, à neuf pour cent près. 1 kΩ et 10 kΩ donnent 909 Ω.

Ces deux repères permettent de contrôler un calcul de tête. Le second reviendra dans le pont diviseur, quand il faudra juger si une charge est négligeable.

Réduire un circuit de proche en proche

La réduction n'est pas une formule de plus, c'est une démarche. Elle se conduit en partant du point le plus éloigné de la source, et en remontant.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	24 V	24 V	65,5 mA	1,57 W
R1A → B	100 Ω	6,55 V	65,5 mA	428 mW
R2B → M	400 Ω	17,5 V	43,6 mA	762 mW
R3B → C	200 Ω	4,36 V	21,8 mA	95,2 mW
R4C → M	600 Ω	13,1 V	21,8 mA	286 mW

Potentiels : A = 24 V, B = 17,5 V, C = 13,1 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Un circuit à réduire. Le groupe le plus éloigné de la source est R3 en série avec R4 ; ce groupe se retrouve en parallèle sur R2 ; le tout est en série avec R1.

La réduction, étape par étape

Étape 1. R3 et R4 se suivent sans dérivation entre elles : $R_{34} = 200 + 600 = 800\ \Omega$ .

Étape 2. Ce groupe relie B à la masse, comme R2 : les deux sont en parallèle. $R_{234} = (400 \times 800)/(400 + 800) = 320000/1200 \approx 267\ \Omega$ .

Étape 3. Ce qui reste est en série avec R1 : $R_{\text{tot}} = 100 + 267 = 367\ \Omega$ .

Le courant de la source vaut alors $24/366{,}7 \approx 65{,}5$ mA, la résistance étant prise avant arrondi, ce que confirme la première ligne du tableau.

Le dessin déguise souvent les associations

Deux résistances dessinées côte à côte ne sont pas forcément en parallèle, et deux résistances dessinées loin l'une de l'autre peuvent l'être. Le seul critère est celui des points de connexion : mêmes deux points pour un parallèle, un point commun sans dérivation pour une série.

Devant un schéma peu clair, le geste qui débloque est de nommer tous les nœuds, puis de relire chaque composant comme un couple de nœuds. Les associations apparaissent alors dans la liste, et non plus dans le dessin.

Un exemple : R1 de A à B, R2 de C à B, R3 de A à C. Dessinées l'une sous l'autre, R1 et R2 ont l'air en parallèle ; elles ne le sont pas, puisqu'elles ne relient pas les mêmes deux points. R2 et R3, elles, sont en série entre A et B, pourvu que rien d'autre ne soit branché en C, et ce groupe est en parallèle sur R1.

Remonter la chaîne

Réduire donne le courant total. Il faut ensuite redescendre pour obtenir ce qui traverse un composant particulier, et cette seconde moitié est celle qu'on oublie.

Le courant dans R4, sur le circuit ci-dessus

Redescendre d'un cran. Le courant total, 65,5 mA, traverse R1 et produit à ses bornes $100 \times 0{,}0655 \approx 6{,}55$ V. Le point B est donc à $24 - 6{,}55 \approx 17{,}5$ V.

Redescendre encore. Cette tension de 17,5 V s'applique à R2 et au groupe R3-R4, qui sont en parallèle. Le courant dans la branche R3-R4 vaut $17{,}5 / 800 \approx 21{,}8$ mA.

Conclure. R3 et R4 étant en série, ce courant est celui de R4. Sa tension vaut $600 \times 0{,}0218 \approx 13{,}1$ V.

Contrôler. La tension de R3 vaut environ 4,4 V, et $4{,}4 + 13{,}1 = 17{,}5$ V, ce qui redonne la tension du point B.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Après avoir réduit un circuit à une seule résistance, on obtient le courant total. Que reste-t-il à faire pour connaître le courant d'une résistance intérieure ?

2.Un schéma relie R1 de A à B, R2 de B à C et R3 de A à C, et un fil part de B vers une autre partie du circuit. R1 et R2 sont-elles en série ?

Ce que la réduction fait perdre

Une résistance équivalente décrit fidèlement le comportement vu de l'extérieur, et rien d'autre. Deux différences méritent d'être retenues, et une limite.

La première est la plus visible : le groupe réduit ne dit plus rien de ce qui se passe à l'intérieur. Aucune tension intermédiaire n'y est lisible, et c'est pourquoi la remontée existe.

La seconde est plus sournoise. Deux résistances de 1 kΩ en parallèle valent 500 Ω, mais elles ne se comportent pas comme une résistance de 500 Ω en un point : chacune ne dissipe que la moitié de la puissance. Un groupe de résistances répartit la chaleur, là où le composant unique la concentre. C'est d'ailleurs un montage courant lorsqu'une seule résistance ne tiendrait pas la puissance.

Enfin, tous les circuits ne se réduisent pas. Cinq résistances montées en losange avec une diagonale, le pont de Wheatstone, n'offrent aucune paire en série ni en parallèle : la réduction bloque dès le premier pas. Ce n'est pas une erreur de lecture, et il faut alors revenir aux lois des nœuds et des mailles, ou à la méthode nodale, qui ne demandent aucune association.

La réduction suppose que rien ne change

Toutes les formules de ce chapitre supposent des résistances constantes. Elles ne s'appliquent ni à une diode, ni à une lampe dont la résistance monte avec la température, ni à un composant dont la valeur dépend du courant qui le traverse.

Devant un composant non ohmique, la réduction n'est pas une approximation grossière : elle est sans objet, et il faut revenir aux lois des nœuds et des mailles.

Les valeurs qui existent réellement

Un calcul de résistance de limitation donne 250 Ω. Aucun fabricant ne vend cette valeur en série E12.

Les séries normalisées

Les résistances se vendent selon des séries de valeurs réparties régulièrement sur une échelle logarithmique. La série E12 en compte douze par décade, avec une tolérance de 10 % ; la série E24 en compte vingt-quatre, avec 5 %.

En E12 : 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82, puis les mêmes multipliées par dix.

La conséquence pratique est qu'un calcul se termine toujours par un arrondi vers une valeur disponible, et qu'il faut alors revenir vérifier ce que cet arrondi change. Dans le cas d'une résistance de limitation, arrondir vers le haut réduit le courant, ce qui est sans danger ; arrondir vers le bas l'augmente, ce qui peut l'être.

À cela s'ajoute la tolérance du composant lui-même : une résistance de 330 Ω à 5 % vaut en réalité entre 313,5 et 346,5 Ω. Un montage dont le fonctionnement dépendrait du troisième chiffre significatif d'une résistance est un montage qui ne fonctionnera pas deux fois de suite.

La méthode

Nommer tous les nœuds du schéma, et relire chaque composant comme un couple de nœuds. Les associations se lisent dans cette liste, pas dans le dessin.
Partir du plus loin de la source, repérer le premier groupe en série ou en parallèle, et le remplacer.
Répéter jusqu'à une maille unique, en gardant trace de chaque étape par écrit. Si aucune paire ne se présente, comme dans un pont, revenir aux lois des nœuds et des mailles.
Calculer le courant total par une simple division.
Remonter la chaîne en sens inverse, en calculant à chaque étape la tension du nœud atteint.
Contrôler : une série est plus grande que sa plus grande, un parallèle plus petit que sa plus petite, et les tensions d'une maille se recomposent en celle de la source.
Vérifier les unités avant le résultat : une somme de conductances est en siemens, et non en ohms. Oublier de l'inverser à la fin d'un calcul de parallèle est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et le contrôle d'unité l'attrape à coup sûr.
Arrondir à une valeur normalisée en dernier, puis reprendre le calcul avec cette valeur pour mesurer l'écart.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde. Des résistances chauffantes sous les 230 V du réseau se calculent comme en continu, avec la tension que le réseau annonce : le chapitre sur le régime sinusoïdal dira pourquoi.

Doubler les conducteurs d'une borne

1.
Chaque conducteur de phase du câble de 40 m vaut 0,0688 Ω. Il est doublé par un second, identique, posé entre les mêmes points. Quelle résistance présente le groupe, en ohms, à 0,0001 Ω près ?
2.
À 32 A, quelle tension le groupe fait-il perdre à la borne, en volts, à 0,01 V près ?
3.
Les trois conducteurs de phase, doublés de la même façon, portent chacun 32 A. Quelle puissance perdent-ils ensemble, en watts, à 1 W près ?
4.
Jusqu'à quelle longueur le câble ainsi doublé pourrait-il aller en gardant la chute de 2,20 V du câble simple de 40 m, en mètres, à 1 m près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : doubler chaque conducteur divise par deux la résistance, 0,0344 Ω, la chute, 1,10 V, et les pertes, 106 W au lieu de 211 W. À chute égale, la borne peut s'éloigner jusqu'à 80 m. Deux conducteurs de 10 mm² en parallèle valent un conducteur de 20 mm² : c'est la formule $R = \rho L/S$ du chapitre sur la loi d'Ohm, lue sur des sections qui s'ajoutent.

Quelle puissance chaque élément du chauffage du local technique dissipe-t-il, et que doit tenir le remplaçant de l'élément grillé ?

Le chauffage qui garde la batterie de secours hors gel, dans le local technique, compte trois éléments sous 230 V : R1, de 22 Ω, en série avec un groupe de deux éléments en parallèle, R2 de 82 Ω et R3 de 120 Ω. R2 a grillé, et Hugo Sellier doit commander un élément de même valeur. Réduire le montage, calculer le courant total, en ampères, à 0,01 A près, puis la puissance de chaque élément, en watts, à 1 W près, et dire quelle puissance le remplaçant de R2 doit tenir.

Par où commencer ? Repérer le groupe le plus éloigné du réseau, et ce qu'il devient vu de l'extérieur.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi la tension du groupe en parallèle vaut-elle 230 V moins celle de R1 ?

Le corrigé

Réduire le groupe le plus éloigné. R2 et R3 relient les deux mêmes points, donc sont en parallèle : $R_{23} = 82 \times 120 / (82 + 120) \approx 48{,}71\ \Omega$ , plus petit que 82 Ω, comme il se doit.
Réduire ce qui reste. Le groupe est en série avec R1, traversé par le même courant : $R_{\text{éq}} = 22 + 48{,}71 = 70{,}71\ \Omega$ .
Calculer le courant total. $I = 230 / 70{,}71 \approx$ 3,25 A, qui traverse R1 tout entier.
Remonter jusqu'au groupe. R1 prend $22 \times 3{,}253 \approx 71{,}6$ V ; le groupe reçoit le reste, $230 - 71{,}6 \approx 158{,}4$ V, par la loi des mailles.
Calculer chaque puissance avec les grandeurs déjà connues. R1 : $R\,I^2 = 22 \times 3{,}253^2 \approx$ 233 W ; R2 : $U^2/R = 158{,}4^2 / 82 \approx$ 306 W ; R3 : $158{,}4^2 / 120 \approx$ 209 W. L'élément traversé par tout le courant n'est pas celui qui chauffe le plus. Le remplaçant de R2 doit tenir au moins 306 W : c'est la réponse à la seconde question de l'ouverture.
Vérifier. $233 + 306 + 209 = 748$ W, et le réseau fournit $U\,I = 230 \times 3{,}253 \approx 748$ W : la somme des puissances redonne celle de la source.

Avec quatre résistances identiques de la série E12, comment refaire la résistance de précharge de 100 Ω ?

Sur une borne rapide, le bus, la liaison continue à 400 V qui alimente la charge du véhicule, porte un condensateur, un composant qui stocke de l'énergie. À la mise sous tension, une résistance de précharge de 100 Ω limite à 4 A le courant qui le charge : au premier instant, le condensateur vide ne porte aucune tension, et les 400 V tombent entièrement dans la résistance (le chapitre sur le condensateur le montrera). Hugo Sellier doit la refaire avec quatre résistances identiques de la série E12, pour que chacune ne reçoive que le quart de la chaleur. Trois montages sont possibles : les quatre en parallèle, les quatre en série, ou deux branches de deux résistances en série, mises en parallèle. Pour chacun, choisir la valeur E12 la plus proche de celle qu'il faudrait, calculer la résistance obtenue, en ohms, à 0,1 Ω près, et le courant initial qui en résulte, en ampères, à 0,01 A près, puis retenir le montage le plus juste.

Par où commencer ? Écrire, pour chaque montage, la résistance équivalente en fonction de la valeur $R$ d'une seule résistance, avant de chercher $R$ .

Le corrigé

Exprimer chaque montage en fonction de R. Quatre en parallèle : $R/4$ . Quatre en série : $4R$ . Deux branches de $2R$ en parallèle : $2R \times 2R / (2R + 2R) = R$ .
En déduire la valeur qu'il faudrait. Pour obtenir 100 Ω : 400 Ω, 25 Ω et 100 Ω respectivement.
Arrondir à la série E12. 400 Ω n'existe pas : la plus proche est 390 Ω, qui donne $390 / 4 = 97{,}5\ \Omega$ . 25 Ω non plus : 27 Ω, plus proche que 22 Ω, donne $4 \times 27 = 108\ \Omega$ . 100 Ω existe, puisque 10 figure dans la série : le montage mixte donne 100 Ω exactement.
Mesurer l'effet sur le courant initial. $400 / 97{,}5 \approx$ 4,10 A, 2,6 % de trop ; $400 / 108 \approx$ 3,70 A, 7,4 % de moins, donc une précharge plus lente ; $400 / 100 =$ 4,00 A, la valeur visée.
Retenir le montage mixte, deux branches de deux résistances de 100 Ω mises en parallèle : il est le seul à redonner la valeur exacte.
Vérifier la répartition de la chaleur. Chaque branche porte la moitié du courant, 2 A, et chaque résistance la moitié des 400 V, 200 V : $200 \times 2 = 400$ W au premier instant, le quart des $400 \times 4 = 1\,600$ W de l'ensemble.

Dans la chambre froide d'un restaurant, que doit tenir l'élément de dégivrage qui remplace celui qui a grillé ?

Dans la chambre froide d'un restaurant, l'évaporateur, l'échangeur où le froid est produit, se couvre de givre, que des résistances chauffantes font fondre plusieurs fois par jour. Sous 230 V, l'élément R1, de 39 Ω, est en série avec un groupe de deux éléments en parallèle, R2 de 150 Ω et R3 de 100 Ω. R3 a grillé, et le frigoriste doit commander un élément de même valeur. Réduire le montage, calculer le courant total, en ampères, à 0,01 A près, puis la puissance de chaque élément, en watts, à 1 W près, et dire quelle puissance le remplaçant de R3 doit tenir.

Par où commencer ? Repérer le groupe le plus éloigné du réseau, et ce qu'il devient vu de l'extérieur.

Le corrigé

Réduire le groupe le plus éloigné. R2 et R3 relient les deux mêmes points : $R_{23} = 150 \times 100 / (150 + 100) = 60\ \Omega$ , plus petit que 100 Ω.
Réduire ce qui reste. Le groupe est en série avec R1 : $R_{\text{éq}} = 39 + 60 = 99\ \Omega$ .
Calculer le courant total. $I = 230 / 99 \approx$ 2,32 A, qui traverse R1 tout entier.
Remonter jusqu'au groupe. R1 prend $39 \times 2{,}323 \approx 90{,}6$ V ; le groupe reçoit le reste, $230 - 90{,}6 \approx 139{,}4$ V.
Calculer chaque puissance. R1 : $39 \times 2{,}323^2 \approx$ 210 W ; R2 : $139{,}4^2 / 150 \approx$ 130 W ; R3 : $139{,}4^2 / 100 \approx$ 194 W. Ici, c'est l'élément en série qui chauffe le plus. Le remplaçant de R3 doit tenir au moins 194 W.
Vérifier. $210 + 130 + 194 = 534$ W, et le réseau fournit $230 \times 2{,}323 \approx 534$ W.

En série, les résistances s'ajoutent

En parallèle, ce sont les inverses qui s'ajoutent

Le cas de deux résistances, qui revient sans cesse

Réduire un circuit de proche en proche

Remonter la chaîne

Ce que la réduction fait perdre

Les valeurs qui existent réellement

La méthode

Mettre en pratique

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