Les lois des nœuds et des mailles · Électricité

La loi d'Ohm ne suffit pas à résoudre un circuit. Elle décrit un composant isolé, alors qu'un circuit est un assemblage : plusieurs chemins, plusieurs sources, et des grandeurs qui se contraignent mutuellement. Il manque les règles qui disent comment les composants se parlent.

Ces règles sont au nombre de deux, elles s'énoncent en une phrase chacune, et elles suffisent à mettre n'importe quel circuit en équations. Elles ne sont d'ailleurs pas des lois de l'électricité : ce sont la conservation de la charge et la conservation de l'énergie, écrites dans le vocabulaire des schémas.

La loi des nœuds

Définition

En un nœud, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants.

$\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}$

La justification tient en une observation : la charge ne s'accumule pas en un point d'un fil. Ce qui arrive repart, à l'instant même. Un nœud n'est ni un réservoir ni une source, c'est un carrefour.

La loi s'écrit aussi en comptant tout dans le même sens, les courants sortants étant alors affectés du signe moins, et leur somme algébrique valant zéro. Les deux écritures sont équivalentes, et la seconde évite d'avoir à décider à l'avance qui entre et qui sort.

La conséquence qui sert le plus souvent

Deux composants en série sont traversés par le même courant, puisque le point qui les relie n'a que deux branches : ce qui entre par l'un sort par l'autre, sans alternative.

C'est ce fait, et non une propriété des résistances, qui fonde toute l'étude des associations de résistances.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	30 mA	360 mW
R1A → B	200 Ω	6 V	30 mA	180 mW
R2B → M	600 Ω	6 V	10 mA	60 mW
R3B → M	300 Ω	6 V	20 mA	120 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 6 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Un nœud véritable en B, où trois branches se rejoignent. Comparer l'allure des porteurs dans les deux barreaux : celui de 300 Ω en emporte deux fois plus que celui de 600 Ω, et la somme repart par le rail du bas. Le courant de R1 se partage entre R2 et R3, et la colonne des courants le montre : les deux derniers s'ajoutent pour redonner le premier.

À manipuler

Additionner les courants de R2 et de R3 dans le tableau, puis comparer au courant de R1 : les deux nombres coïncident, et c'est la loi des nœuds lue sur une figure.
Comparer ensuite les tensions de R2 et de R3 : elles sont égales, puisque les deux résistances relient les deux mêmes points. Deux branches en parallèle portent la même tension et se partagent le courant, ce qui est exactement l'inverse de la série.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un nœud reçoit 3 A par une branche et 2 A par une autre. Deux branches en sortent, dont l'une porte 4 A. Que porte la seconde ?

La loi des mailles

Définition

Le long d'une maille parcourue dans un sens choisi, la somme algébrique des tensions est nulle.

$\sum U = 0$

La justification est la même que pour l'altitude : en revenant au point de départ après un tour complet, le potentiel retrouve sa valeur initiale. La somme des montées vaut donc la somme des descentes.

Ce qui rend cette loi délicate n'est pas son énoncé, c'est la mécanique des signes. Elle se règle une fois pour toutes par une règle de parcours, appliquée sans réfléchir.

La règle de parcours

Choisir un sens de parcours de la maille, et s'y tenir jusqu'au bout.
Une tension rencontrée dans le sens du parcours est comptée positivement, une tension rencontrée en sens inverse est comptée négativement.
Le sens choisi n'a aucune importance : le parcourir à l'envers change tous les signes à la fois, donc ne change aucune solution.

Une maille à deux résistances

Une source de 12 V alimente 200 Ω et 400 Ω en série. Le parcours part de la masse, traverse la source, puis les deux résistances, et revient à la masse.

$12 - 200\,I - 400\,I = 0$

D'où $600\,I = 12$ et $I = 0{,}020$ A, soit 20 mA. Les tensions valent alors 4 V et 8 V, et leur somme redonne bien les 12 V de départ.

Ce dernier contrôle est gratuit et attrape la majorité des fautes de signe : les tensions obtenues doivent se recomposer en la tension de la source. Deux tensions de 4 V et 10 V sous une source de 12 V signalent une erreur, sans qu'il soit besoin de relire le calcul.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une maille contient une source de 9 V et trois résistances portant respectivement 2 V, 3 V et 5 V. Que faut-il en conclure ?

Combien d'équations, et lesquelles

Un circuit à plusieurs mailles offre plus de boucles qu'il n'en faut, et en écrire trop mène à un système redondant que l'on croit contradictoire.

Le compte exact

Pour un circuit à $n$ nœuds et $b$ branches :

$n - 1$ équations de nœuds sont indépendantes. La dernière se déduit des autres.
$b - n + 1$ équations de mailles sont indépendantes. Ce sont les mailles qui ne contiennent aucune autre maille.

Le total, $b$ équations pour $b$ courants inconnus, tombe juste, et ce n'est pas un hasard : c'est exactement ce qu'il faut pour déterminer le circuit.

En pratique, la règle utile est la seconde : prendre les mailles élémentaires, celles qu'on voit comme des « fenêtres » du schéma, et ignorer les grandes boucles qui en font le tour. Une grande boucle n'apporte rien, elle est la somme des petites.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	15 V	15 V	55 mA	826 mW
R1A → B	100 Ω	5,5 V	55 mA	303 mW
R2B → M	220 Ω	9,5 V	43,2 mA	410 mW
R3B → C	470 Ω	5,58 V	11,9 mA	66,2 mW
R4C → M	330 Ω	3,92 V	11,9 mA	46,5 mW

Potentiels : A = 15 V, B = 9,5 V, C = 3,92 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Deux mailles élémentaires et un nœud en B. Trois courants inconnus, donc trois équations : une de nœud, deux de mailles. Le tableau donne la solution, et les colonnes permettent de vérifier chaque équation une par une.

À manipuler

Vérifier la loi des nœuds en B : le courant de R1 doit valoir la somme de ceux de R2 et de R3.
Vérifier la première maille : la tension de R1 plus celle de R2 doit valoir 15 V.
Vérifier la seconde : la tension de R2 doit valoir celle de R3 plus celle de R4, puisque les deux chemins relient les mêmes points.

Mettre un circuit en équations

La démarche ne change jamais, et c'est ce qui la rend sûre.

Le circuit de la figure, mené à la main

Nommer et orienter. Trois courants : $I_1$ dans R1, $I_2$ dans R2, $I_3$ dans R3 et R4, tous orientés vers la masse.

Loi des nœuds en B : $I_1 = I_2 + I_3$ .

Maille de gauche : $15 - 100\,I_1 - 220\,I_2 = 0$ .

Maille de droite : $220\,I_2 - 470\,I_3 - 330\,I_3 = 0$ , c'est-à-dire $220\,I_2 = 800\,I_3$ .

Résolution. La dernière équation donne $I_2 = 3{,}64\,I_3$ . En reportant dans la première, $I_1 = 4{,}64\,I_3$ . La maille de gauche devient alors $15 = 100 \times 4{,}64\,I_3 + 220 \times 3{,}64\,I_3 = 1264\,I_3$ , d'où $I_3 \approx 11{,}9$ mA.

Contrôle. Le reste suit : $I_2 \approx 43{,}2$ mA et $I_1 \approx 55$ mA. La tension de R1 vaut environ 5,5 V, celle de R2 environ 9,5 V, et leur somme redonne 15 V.

Le contrôle final n'est pas une politesse : il emploie une relation qui n'a pas servi à résoudre, et c'est ce qui lui donne sa valeur. Vérifier avec l'équation qui a servi à trouver le résultat ne vérifie rien.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un circuit comporte 4 nœuds et 6 branches. Combien d'équations de mailles indépendantes ?

Quand le résultat sort négatif

Deux situations produisent un courant négatif, et aucune des deux n'est une erreur.

La première est banale : l'orientation choisie au départ ne correspondait pas au sens réel. Le résultat le signale, et il suffit d'en prendre note.

La seconde est plus intéressante. Dans un circuit à plusieurs sources, une source peut se retrouver traversée à contresens par le courant qu'imposent les autres. Son courant est alors négatif en convention générateur, ce qui signifie qu'elle reçoit de l'énergie au lieu d'en fournir : c'est exactement ce qui se passe quand une batterie se recharge.

Ne jamais corriger un signe à la main

La tentation, devant un courant négatif, est de retourner la flèche sur le schéma et de recommencer. C'est du temps perdu, et une occasion de se tromper ailleurs.

Le signe est le résultat. Le garder tel quel, et l'interpréter, coûte une phrase et ne risque rien.

La méthode

Compter les nœuds et les branches, et en déduire le nombre d'équations de chaque sorte.
Nommer et orienter tous les courants inconnus, sans chercher à deviner leur sens réel.
Écrire les équations de nœuds, une de moins qu'il n'y a de nœuds.
Écrire les équations de mailles élémentaires, en fixant un sens de parcours et en s'y tenant.
Résoudre le système, par substitution quand il n'a que deux ou trois inconnues.
Vérifier sur une relation non utilisée, et contrôler que les tensions d'une maille se recomposent en la tension de sa source.

Synthèse

La loi des nœuds traduit la conservation de la charge : ce qui entre en un point en ressort.
La loi des mailles traduit la conservation de l'énergie : après un tour, le potentiel retrouve sa valeur.
Deux composants en série portent le même courant ; deux branches en parallèle portent la même tension.
Le sens de parcours d'une maille est arbitraire : l'inverser change tous les signes, donc aucune solution.
Un circuit à $n$ nœuds et $b$ branches demande $n - 1$ équations de nœuds et $b - n + 1$ équations de mailles, et pas une de plus.
Les mailles à retenir sont les élémentaires : une grande boucle est la somme des petites et n'apporte rien.
Un courant négatif signale une orientation contraire à la réalité, ou une source qui reçoit de l'énergie.
La vérification ne vaut que si elle emploie une relation qui n'a pas servi à la résolution.