Les lois des nœuds et des mailles

Dans le local technique du parc de recharge de Belmarais, un tableau en continu alimente l'électronique de commande des bornes. Trois branches s'y rejoignent sur une même barre : le chargeur, qui tire son énergie du réseau et délivre 54,4 V à vide ; la batterie de secours, de 51,2 V, qui doit prendre le relais à la moindre coupure ; et la commande elle-même. Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir si la batterie est en train de se charger ou si elle débite déjà, et quel courant porte chaque branche. Hugo Sellier, technicien de maintenance, prévoit aussi le cas d'une coupure, où la batterie alimente seule les deux armoires de commande de l'aire : quel courant chacune reçoit-elle ?

La loi d'Ohm décrit un composant isolé, mais ne dit pas comment les courants se partagent entre plusieurs chemins et plusieurs sources. Il manque deux règles, qui suffisent à mettre n'importe quel circuit en équations : la conservation de la charge et celle de l'énergie, écrites dans le vocabulaire des schémas.

La loi des nœuds

Définition

En un nœud, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants.

$\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}$

La justification tient en une observation : la charge ne s'accumule pas en un point d'un fil. Ce qui arrive repart, à l'instant même. Un nœud n'est ni un réservoir ni une source, c'est un carrefour.

La loi s'écrit aussi en comptant tout dans le même sens, les courants sortants étant alors affectés du signe moins, et leur somme algébrique valant zéro. Les deux écritures sont équivalentes, et la seconde évite d'avoir à décider à l'avance qui entre et qui sort.

La conséquence qui sert le plus souvent. Deux composants en série sont traversés par le même courant, puisque le point qui les relie n'a que deux branches : ce qui entre par l'un sort par l'autre, sans alternative.

C'est ce fait, et non une propriété des résistances, qui fonde toute l'étude des associations de résistances.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	30 mA	360 mW
R1A → B	200 Ω	6 V	30 mA	180 mW
R2B → M	600 Ω	6 V	10 mA	60 mW
R3B → M	300 Ω	6 V	20 mA	120 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 6 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Un nœud véritable en B, où trois branches se rejoignent. Lancer l'animation par le bouton sous la figure, puis comparer l'allure des porteurs dans les deux barreaux : celui de 300 Ω en emporte deux fois plus que celui de 600 Ω, et la somme repart par le rail du bas. Le courant de R1 se partage entre R2 et R3, et la colonne des courants le montre : les deux derniers s'ajoutent pour redonner le premier.

À manipuler

Additionner les courants de R2 et de R3 dans le tableau, puis comparer au courant de R1 : les deux nombres coïncident, et c'est la loi des nœuds lue sur une figure.
Comparer ensuite les tensions de R2 et de R3 : elles sont égales, puisque les deux résistances relient les deux mêmes points. Deux branches en parallèle portent la même tension et se partagent le courant, ce qui est exactement l'inverse de la série.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un nœud reçoit 3 A par une branche et 2 A par une autre. Deux branches en sortent, dont l'une porte 4 A. Que porte la seconde ?

La loi des nœuds sur une portion entière

La loi ne vaut pas seulement en un point de jonction. Elle vaut pour toute surface fermée tracée autour d'une portion du circuit, et cette généralisation fait gagner beaucoup de temps.

Forme générale

La somme algébrique des courants qui traversent une surface fermée est nulle, quelle que soit la complexité de ce qu'elle contient :

$\sum I_{\text{traversants}} = 0$

Ce que cela permet d'ignorer. Un sous-ensemble de circuit, aussi compliqué soit-il, ne peut ni accumuler ni produire de charge. La somme des courants qui y entrent est égale à la somme de ceux qui en sortent, sans qu'il soit besoin de savoir ce qu'il y a dedans.

Entourer par la pensée toute une branche d'un schéma, et n'écrire qu'une équation sur ses fils d'entrée et de sortie, évite donc d'en analyser l'intérieur. C'est ce qu'on appelle un nœud généralisé, et c'est l'outil qui réduit le plus vite un schéma encombré.

Le cas le plus fréquent est celui d'un appareil entier : quelle que soit son électronique, le courant qui entre par sa phase ressort par son neutre, tant qu'aucun courant ne fuit vers la terre. Un écart de trente milliampères entre les deux est exactement ce que détecte un disjoncteur différentiel.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une surface fermée est tracée autour d'un montage compliqué à trois fils. Deux fils y apportent 4 A et 3 A. Que porte le troisième ?

La loi des mailles

Définition

Le long d'une maille parcourue dans un sens choisi, la somme algébrique des tensions est nulle.

$\sum U = 0$

La justification est la même que pour l'altitude : en revenant au point de départ après un tour complet, le potentiel retrouve sa valeur initiale. La somme des montées vaut donc la somme des descentes.

Ce qui rend cette loi délicate n'est pas son énoncé, c'est la mécanique des signes. Elle se règle une fois pour toutes par une règle de parcours, appliquée sans réfléchir.

La règle de parcours. Choisir un sens de parcours de la maille, et s'y tenir jusqu'au bout.
Une tension rencontrée dans le sens du parcours est comptée positivement, une tension rencontrée en sens inverse est comptée négativement.
Le sens choisi n'a aucune importance : le parcourir à l'envers change tous les signes à la fois, donc ne change aucune solution.

Une maille à deux résistances

Une source de 12 V alimente 200 Ω et 400 Ω en série. Le parcours part de la masse, traverse la source, puis les deux résistances, et revient à la masse.

$12 - 200\,I - 400\,I = 0$

D'où $600\,I = 12$ et $I = 0{,}020$ A, soit 20 mA. Les tensions valent alors 4 V et 8 V, et leur somme redonne bien les 12 V de départ.

Ce dernier contrôle est gratuit et attrape la majorité des fautes de signe : les tensions obtenues doivent se recomposer en la tension de la source. Deux tensions de 4 V et 10 V sous une source de 12 V signalent une erreur, sans qu'il soit besoin de relire le calcul.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une maille contient une source de 9 V et trois résistances portant respectivement 2 V, 3 V et 5 V. Que faut-il en conclure ?

Combien d'équations, et lesquelles

Un circuit à plusieurs mailles offre plus de boucles qu'il n'en faut, et en écrire trop mène à un système redondant que l'on croit contradictoire.

Le compte exact

Pour un circuit à $n$ nœuds et $b$ branches :

$n - 1$ équations de nœuds sont indépendantes. La dernière se déduit des autres.
$b - n + 1$ équations de mailles sont indépendantes. Ce sont les mailles qui ne contiennent aucune autre maille.

Le total, $b$ équations pour $b$ courants inconnus, tombe juste, et ce n'est pas un hasard : c'est exactement ce qu'il faut pour déterminer le circuit.

En pratique, la règle utile est la seconde : prendre les mailles élémentaires, celles qu'on voit comme des « fenêtres » du schéma, et ignorer les grandes boucles qui en font le tour. Une grande boucle n'apporte rien, elle est la somme des petites.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	15 V	15 V	55 mA	826 mW
R1A → B	100 Ω	5,5 V	55 mA	303 mW
R2B → M	220 Ω	9,5 V	43,2 mA	410 mW
R3B → C	470 Ω	5,58 V	11,9 mA	66,2 mW
R4C → M	330 Ω	3,92 V	11,9 mA	46,5 mW

Potentiels : A = 15 V, B = 9,5 V, C = 3,92 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Deux nœuds, B et la masse, donc une seule équation de nœud, et deux mailles élémentaires. Trois courants inconnus, donc trois équations : une de nœud, deux de mailles. Le tableau donne la solution, et les colonnes permettent de vérifier chaque équation une par une.

À manipuler

Vérifier la loi des nœuds en B : le courant de R1 doit valoir la somme de ceux de R2 et de R3.
Vérifier la première maille : la tension de R1 plus celle de R2 doit valoir 15 V.
Vérifier la seconde : la tension de R2 doit valoir celle de R3 plus celle de R4, puisque les deux chemins relient les mêmes points.

Mettre un circuit en équations

La démarche ne change jamais, et c'est ce qui la rend sûre.

Le circuit de la figure, mené à la main

Nommer et orienter. Trois courants : $I_1$ dans R1, $I_2$ dans R2, $I_3$ dans R3 et R4, tous orientés vers la masse.

Loi des nœuds en B : $I_1 = I_2 + I_3$ .

Maille de gauche : $15 - 100\,I_1 - 220\,I_2 = 0$ .

Maille de droite : $220\,I_2 - 470\,I_3 - 330\,I_3 = 0$ , c'est-à-dire $220\,I_2 = 800\,I_3$ .

Résolution. La dernière équation donne $I_2 = 3{,}64\,I_3$ . En reportant dans la première, $I_1 = 4{,}64\,I_3$ . La maille de gauche devient alors $15 = 100 \times 4{,}64\,I_3 + 220 \times 3{,}64\,I_3 = 1264\,I_3$ , d'où $I_3 \approx 11{,}9$ mA.

Contrôle. Le reste suit : $I_2 \approx 43{,}2$ mA et $I_1 \approx 55$ mA. La tension de R1 vaut environ 5,5 V, celle de R2 environ 9,5 V, et leur somme redonne 15 V.

Le contrôle final n'est pas une politesse : il emploie une relation qui n'a pas servi à résoudre, et c'est ce qui lui donne sa valeur. Vérifier avec l'équation qui a servi à trouver le résultat ne vérifie rien.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un circuit comporte 4 nœuds et 6 branches. Combien d'équations de mailles indépendantes ?

Écrire en potentiels plutôt qu'en courants

Le système précédent avait pour inconnues les courants de branches. Il existe une autre écriture, dont les inconnues sont les potentiels de nœuds, et elle est souvent bien plus courte.

Le principe, en trois gestes. Poser un nœud à la masse, donc à potentiel nul.
Nommer le potentiel de chaque autre nœud.
Écrire la loi des nœuds en chacun d'eux, en exprimant chaque courant par la loi d'Ohm à partir des potentiels.

Le circuit de la figure, repris en potentiels

Le seul nœud inconnu est B, la masse étant M et le potentiel de A valant 15 V. Les trois courants qui quittent B s'écrivent directement :

$\frac{V_B - 15}{100} + \frac{V_B}{220} + \frac{V_B}{470 + 330} = 0$

En regroupant les termes en $V_B$  : $V_B \left(\frac{1}{100} + \frac{1}{220} + \frac{1}{800}\right) = \frac{15}{100}$ , soit $0{,}0158\,V_B = 0{,}15$ et $V_B \approx 9{,}5$ V.

C'est la tension de R2 trouvée par l'écriture en courants, et celle que la figure affiche pour le point B. Chaque courant s'en déduit par une division : $(15 - 9{,}5)/100 = 55$ mA dans R1, $9{,}5/220 \approx 43{,}2$ mA dans R2, $9{,}5/800 \approx 11{,}9$ mA dans R3 et R4.

Une seule équation, une seule inconnue, là où l'écriture en courants en demandait trois.

Laquelle des deux écritures choisir

L'écriture en courants demande $b$ équations, une par branche. L'écriture en potentiels en demande $n - 1$ , une par nœud hors masse.

Sur un circuit à beaucoup de branches et peu de nœuds, la seconde gagne largement. Sur un circuit en série, elle n'apporte rien. Compter les deux nombres avant de se lancer coûte cinq secondes, et évite parfois d'écrire un système de quatre équations là où une seule suffisait.

Cette écriture porte un nom, la méthode nodale, et elle a une conséquence que le chapitre sur Thévenin exploitera : appliquée à un nœud unique, elle se résume à une formule.

Quand le résultat sort négatif

Deux situations produisent un courant négatif, et aucune des deux n'est une erreur.

La première est banale : l'orientation choisie au départ ne correspondait pas au sens réel. Le résultat le signale, et il suffit d'en prendre note.

La seconde est plus intéressante. Dans un circuit à plusieurs sources, une source peut se retrouver traversée à contresens par le courant qu'imposent les autres. Son courant est alors négatif en convention générateur, ce qui signifie qu'elle reçoit de l'énergie au lieu d'en fournir : c'est exactement ce qui se passe quand une batterie se recharge.

Une batterie qui se recharge

Un chargeur de 13,8 V, relié par 0,1 Ω, et une batterie de 12 V, reliée par 0,05 Ω, alimentent ensemble un phare de 2 Ω. Les trois branches aboutissent au même point, de potentiel $V$ , et la loi des nœuds s'y écrit en potentiels :

$\frac{13{,}8 - V}{0{,}1} + \frac{12 - V}{0{,}05} = \frac{V}{2}$

D'où $V \approx 12{,}39$ V. Le courant débité par la batterie, en convention générateur, vaut $(12 - 12{,}39)/0{,}05 \approx -7{,}9$ A : il est négatif, et la batterie reçoit de l'énergie. Le chargeur débite 14,1 A, dont 6,2 A vont au phare et 7,9 A rechargent la batterie.

Le calcul n'a demandé aucune hypothèse sur le sens des courants. Les deux sources ont été orientées de la même façon, et le signe a dit laquelle fournissait.

Ne jamais corriger un signe à la main

La tentation, devant un courant négatif, est de retourner la flèche sur le schéma et de recommencer. C'est du temps perdu, et une occasion de se tromper ailleurs.

Le signe est le résultat. Le garder tel quel, et l'interpréter, coûte une phrase et ne risque rien.

Sur une carte Arduino

Le circuit d'une diode électroluminescente (LED) sur une carte Arduino est une seule maille : la broche à 5 V, la LED, la résistance, puis la masse. La loi des mailles impose que la tension de la LED et celle de la résistance s'additionnent pour redonner les 5 V de la broche. Connaître la chute de tension de la LED suffit donc à connaître celle de la résistance, et c'est de là que part tout le calcul de sa valeur.

La méthode

Compter les nœuds et les branches, et en déduire le nombre d'équations de chaque sorte.
Nommer et orienter tous les courants inconnus, sans chercher à deviner leur sens réel.
Écrire les équations de nœuds, une de moins qu'il n'y a de nœuds.
Écrire les équations de mailles élémentaires, en fixant un sens de parcours et en s'y tenant.
Compter les deux écritures possibles avant de se lancer : $b$ équations en courants de branches, $n - 1$ en potentiels de nœuds. La plus courte des deux est presque toujours la bonne.
Résoudre le système, par substitution quand il n'a que deux ou trois inconnues.
Vérifier l'homogénéité de chaque équation : tous les termes d'une loi des mailles sont des volts, tous ceux d'une loi des nœuds des ampères. Un terme qui ne l'est pas signale une relation de composant appliquée de travers, et cela se voit avant tout calcul.
Vérifier sur une relation non utilisée, et contrôler que les tensions d'une maille se recomposent en la tension de sa source.

Mettre en pratique

Le tableau de l'ouverture se met en schéma avec trois branches entre la barre et la masse. Le chargeur y est une source de 54,4 V derrière 0,1 Ω de câblage, et la commande une résistance de 2 Ω. La batterie de secours y est une source de 51,2 V derrière 0,04 Ω : sa résistance interne, que le chapitre sur les sources réelles expliquera, et qui se traite ici comme une résistance en série parmi d'autres. Le calcul répond à la première question de l'ouverture, le premier exercice type à la même question un soir de réseau faible, et le deuxième à celle de Hugo Sellier.

Le tableau de commande du local technique

1.
Le chargeur (54,4 V derrière 0,1 Ω), la batterie (51,2 V derrière 0,04 Ω) et la commande (2 Ω) relient la même barre à la masse. Quel est le potentiel de la barre, en volts, à 0,01 V près ?
2.
Quel courant la batterie débite-t-elle, compté positivement quand elle fournit de l'énergie, en ampères, à 0,1 A près ? Garder le signe.
3.
Quel courant le chargeur débite-t-il, en ampères, à 0,1 A près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : la barre est à 51,38 V, au-dessus des 51,2 V de la batterie, qui reçoit donc 4,5 A et se charge. Le chargeur débite 30,2 A, dont 25,7 A vont à la commande. Le signe négatif du courant de la batterie, compté en convention générateur, est l'information cherchée, non une erreur.

Un soir de réseau faible, la batterie de secours se charge-t-elle encore, ou débite-t-elle déjà ?

Un soir, le réseau faiblit, et Hugo Sellier relève que la tension à vide du chargeur est tombée à 52,0 V, toujours derrière 0,1 Ω. Au même moment, les relais de toutes les bornes sont fermés, et la commande équivaut à 1,6 Ω. La batterie de secours reste à 51,2 V derrière ses 0,04 Ω. Calculer le potentiel de la barre, en volts, à 0,01 V près, puis le courant de chaque source, compté positivement quand elle fournit, en ampères, à 0,01 A près, et dire si la batterie se charge ou se décharge.

Par où commencer ? Compter les points dont le potentiel est inconnu, et choisir l'écriture qui demande le moins d'équations.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le courant de la batterie s'écrit-il $(51{,}2 - V)/0{,}04$ , et non $(V - 51{,}2)/0{,}04$  ?

Le corrigé

Compter les inconnues. La barre est le seul point de potentiel inconnu, la masse étant à zéro : l'écriture en potentiels demande une seule équation, là où l'écriture en courants en demanderait trois.
Écrire la loi des nœuds sur la barre. Chaque courant s'écrit par la loi d'Ohm, les deux sources fléchées vers la barre et la commande vers la masse : $\dfrac{52{,}0 - V}{0{,}1} + \dfrac{51{,}2 - V}{0{,}04} = \dfrac{V}{1{,}6}$ .
Résoudre. En regroupant les termes en $V$  : $520 + 1\,280 = V\,(10 + 25 + 0{,}625)$ , d'où $V = 1\,800 / 35{,}625 \approx$ 50,53 V.
Calculer chaque courant. Batterie : $(51{,}2 - 50{,}526)/0{,}04 \approx$ +16,84 A ; chargeur : $(52{,}0 - 50{,}526)/0{,}1 \approx$ +14,74 A.
Lire les signes. Les deux courants sont positifs : les deux sources fournissent. La barre est descendue sous les 51,2 V de la batterie, qui se décharge déjà alors que le chargeur fonctionne encore. C'est la réponse à l'ouverture pour ce soir-là : le signe dit si la batterie se charge, et la seule présence du chargeur ne le garantit pas.
Vérifier la loi des nœuds avec les courants trouvés. La commande reçoit $50{,}526 / 1{,}6 \approx 31{,}58$ A, et $16{,}84 + 14{,}74 = 31{,}58$ A : ce qui arrive sur la barre en repart.

Pendant une coupure, quel courant la batterie de secours envoie-t-elle à chacune des deux armoires de commande ?

Pendant une coupure, la batterie de secours, 51,2 V derrière sa résistance interne de 0,04 Ω, alimente seule les deux armoires de commande de l'aire de recharge. Un câble de 0,16 Ω la relie au point B, d'où l'armoire nord, équivalente à 4 Ω, rejoint la masse. De B, un second câble de 0,3 Ω mène à l'armoire sud, équivalente à 6 Ω, qui rejoint elle aussi la masse. Mettre le circuit en équations par les lois des nœuds et des mailles, calculer le courant de la batterie et celui de chaque armoire, en ampères, à 0,01 A près, et vérifier le résultat sur une maille qui n'a pas servi.

Par où commencer ? Compter les nœuds et les branches, pour savoir combien d'équations de chaque sorte écrire.

Le corrigé

Compter les nœuds et les branches. Deux nœuds, B et la masse, et trois branches : la batterie avec son câble, l'armoire nord, le second câble avec l'armoire sud. D'où $n - 1 = 1$ équation de nœud et $b - n + 1 = 2$ équations de mailles.
Nommer et orienter. $I_1$ de la batterie vers B, $I_2$ dans l'armoire nord et $I_3$ dans la branche sud, tous deux vers la masse. La résistance interne et le premier câble, traversés par le même courant, font $0{,}04 + 0{,}16 = 0{,}2\ \Omega$ en série.
Écrire le nœud et les deux mailles élémentaires. $I_1 = I_2 + I_3$  ; maille de gauche : $51{,}2 - 0{,}2\,I_1 - 4\,I_2 = 0$  ; maille de droite, qui compare les deux chemins de B à la masse : $4\,I_2 - 0{,}3\,I_3 - 6\,I_3 = 0$ .
Résoudre par substitution. La maille de droite donne $I_2 = 6{,}3\,I_3 / 4 = 1{,}575\,I_3$ , donc $I_1 = 2{,}575\,I_3$ . La maille de gauche devient $51{,}2 = (0{,}2 \times 2{,}575 + 4 \times 1{,}575)\,I_3 = 6{,}815\,I_3$ , d'où $I_3 \approx$ 7,51 A, $I_2 \approx$ 11,83 A et $I_1 \approx$ 19,35 A. C'est la réponse à la question de Hugo Sellier : l'armoire la plus proche reçoit le plus de courant.
Vérifier sur la grande maille, qui n'a pas servi : batterie, deux câbles, armoire sud. $0{,}2 \times 19{,}35 + 0{,}3 \times 7{,}51 + 6 \times 7{,}51 \approx 3{,}87 + 2{,}25 + 45{,}08 = 51{,}2$ V : les tensions se recomposent en celle de la source.

Dans un refuge de montagne, l'éolienne recharge-t-elle la batterie, ou la batterie aide-t-elle l'éolienne ?

Un refuge de haute montagne vit sur une petite éolienne et une batterie. Un jour de vent fort, l'éolienne équivaut à une source de 29,5 V derrière 0,5 Ω, la batterie à 25,6 V derrière 0,08 Ω, et l'éclairage avec la pompe à eau, en service, à 6 Ω. Les trois branches relient le même point à la masse. Calculer le potentiel de ce point, en volts, à 0,01 V près, puis le courant de chaque source, compté positivement quand elle fournit, en ampères, à 0,01 A près, et dire si la batterie se charge ou se décharge.

Par où commencer ? Compter les points dont le potentiel est inconnu, et choisir l'écriture qui demande le moins d'équations.

Le corrigé

Compter les inconnues. Un seul point de potentiel inconnu, la masse étant à zéro : une seule équation en potentiels.
Écrire la loi des nœuds sur ce point. Les deux sources fléchées vers lui, la charge vers la masse : $\dfrac{29{,}5 - V}{0{,}5} + \dfrac{25{,}6 - V}{0{,}08} = \dfrac{V}{6}$ .
Résoudre. $59 + 320 = V\,(2 + 12{,}5 + 0{,}1667)$ , d'où $V = 379 / 14{,}667 \approx$ 25,84 V.
Calculer chaque courant. Batterie : $(25{,}6 - 25{,}841)/0{,}08 \approx$ −3,01 A ; éolienne : $(29{,}5 - 25{,}841)/0{,}5 \approx$ +7,32 A.
Lire les signes. Le courant de la batterie est négatif : elle reçoit de l'énergie, elle se charge. L'éolienne alimente la charge et recharge la batterie à la fois.
Vérifier la loi des nœuds avec les courants trouvés. La charge reçoit $25{,}841 / 6 \approx 4{,}31$ A, et $7{,}32 - 3{,}01 = 4{,}31$ A : ce qui arrive au point en repart.

La loi des nœuds

La loi des nœuds sur une portion entière

La loi des mailles

Combien d'équations, et lesquelles

Mettre un circuit en équations

Écrire en potentiels plutôt qu'en courants

Quand le résultat sort négatif

La méthode

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