Le pont diviseur de tension

Au parc de recharge de Belmarais, les deux bornes rapides redressent le réseau sur un bus continu de 400 V, et l'électronique de commande doit en connaître la tension à chaque instant. Son convertisseur, qui change une tension en nombre, n'accepte pourtant que quelques volts. Sur la carte, Hugo Sellier, technicien de maintenance, relève deux résistances en série entre le bus et la masse, 1,2 MΩ en haut et 10 kΩ en bas, le convertisseur étant branché entre leur point commun, la prise de mesure, et la masse. Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir quelle tension le convertisseur reçoit quand le bus est à 400 V, et ce que ces deux résistances coûtent en chaleur, jour et nuit. Elle se demande aussi ce que deviendrait la mesure si Hugo Sellier branchait un enregistreur sur la même prise, pour suivre le bus pendant une semaine.

La formule du partage tient en une ligne, mais elle repose sur une condition que presque personne ne retient avec elle. Elle se déduit des lois de Kirchhoff, et le chapitre Les sources réelles a déjà montré une résistance en série prélever sa part d'une tension.

Le partage se déduit, il ne se décrète pas

Deux résistances en série entre une source et la masse. Elles ne sont traversées que par un seul et même courant, puisqu'il n'existe aucun autre chemin : c'est la loi des nœuds, appliquée à un nœud qui n'a que deux branches.

R22 kΩ

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	4 mA	48 mW
R1A → B	1 kΩ	4 V	4 mA	16 mW
R2B → M	2 kΩ	8 V	4 mA	32 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 8 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Un pont diviseur. Le schéma porte les orientations choisies, le tableau porte ce qui se calcule. Déplacer le curseur et suivre la tension de R2 : elle suit le rapport de R2 à la somme des deux, et rien d'autre. La colonne des courants montre que les deux résistances en portent le même.

À manipuler

Placer R2 sur 1 kΩ, c'est-à-dire sur la même valeur que R1, et lire sa tension dans le tableau : la moitié de 12 V, soit 6 V. Deux résistances égales partagent en deux parts égales.
Comparer les flèches de courant de R1 et de R2 : le courant réel les traverse dans le sens de la flèche, donc les deux tensions sont positives, et leur somme redonne les 12 V de la source.
Pousser ensuite R2 vers 20 kΩ et regarder le courant s'effondrer dans toute la maille pendant que la tension de R2 monte vers 12 V.

Le courant unique vaut $I = E / (R_1 + R_2)$ , puisque les deux résistances en série se comportent comme leur somme. La tension aux bornes de $R_2$ vaut alors $R_2 I$ , ce qui donne la formule :

$U_2 = E \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Ce que la formule dit vraiment. Elle ne dit pas que la tension se répartit dans un circuit. Elle dit que le même courant traversant deux résistances y produit des tensions proportionnelles à ces résistances.
Toute la suite du chapitre découle de cette lecture : dès qu'un troisième chemin existe, le courant cesse d'être le même dans les deux résistances, et il n'y a plus de raison que le partage se fasse au prorata.

Sur la figure, 1 kΩ et 2 kΩ sous 12 V donnent 4 V et 8 V. Le rapport des tensions est celui des résistances, et leur somme redonne la tension de départ, ce qui est la loi des mailles et fournit une vérification gratuite : deux tensions qui ne se rajoutent pas à la tension de la source signalent une erreur de calcul.

Brancher quelque chose à la sortie

Un pont diviseur n'est jamais construit pour lui-même. Il produit une tension destinée à quelque chose, et ce quelque chose est relié entre la sortie et la masse. Il constitue donc une troisième branche.

RL2 kΩ

Potentiel de B6 V contre 8 V sans RL-25 %

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	6 mA	72 mW
R1A → B	1 kΩ	6 V	6 mA	36 mW
R2B → M	2 kΩ	6 V	3 mA	18 mW
RLB → M	2 kΩ	6 V	3 mA	18 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 6 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Le même pont, avec une charge branchée en sortie. La jauge porte une encoche à la tension que le pont délivrerait sans cette charge, celle qu'annonce la formule. Ramener le curseur vers la gauche et regarder la barre se détacher de l'encoche.

À manipuler

Amener la charge sur 100 kΩ : la sortie affiche 7,95 V, soit les 8 V attendus à moins d'un pour cent près. La barre rejoint l'encoche, et le pont se comporte comme s'il n'était pas chargé.
Amener la charge sur 2 kΩ, la même valeur que R2 : la sortie tombe à 6 V. La formule annonce toujours 8, et le circuit délivre 6.
Amener la charge sur 100 Ω : il reste 1,04 V. La tension prévue a perdu sept huitièmes de sa valeur, sans qu'aucun composant ne soit défaillant.

La formule du diviseur ne s'applique qu'à un diviseur

Trois résistances sont branchées, et deux d'entre elles sont en parallèle. Le circuit n'est plus un pont diviseur à deux résistances : c'est un pont diviseur entre

R_1

d'un côté, et

R_2

en parallèle avec la charge de l'autre.
Rien n'est cassé, rien n'est faux dans le circuit, et la formule appliquée telle quelle donne un résultat qui ne s'y trouve pas. C'est la faute la plus répandue du sujet, et elle ne se voit pas à la relecture du calcul, puisque le calcul est juste. Elle se voit à la relecture du schéma.

Le calcul correct remplace $R_2$ par la résistance équivalente du parallèle. Avec 2 kΩ et une charge de 2 kΩ, le parallèle vaut 1 kΩ, le pont devient 1 kΩ sur 1 kΩ, et la sortie vaut la moitié de 12 V.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Sous 12 V, un pont de 1 kΩ et 2 kΩ délivre quelle tension aux bornes de la résistance de 2 kΩ, rien n'étant branché à sa sortie ?

2.Une charge de 2 kΩ est branchée en sortie du pont 1 kΩ / 2 kΩ sous 12 V. Que devient la tension de sortie, qui valait 8 V ?

De combien la sortie dérive

L'écart ne dépend pas de la charge en valeur absolue, mais de son rapport à une résistance du pont. Le tableau donne la sortie d'un pont 1 kΩ / 2 kΩ sous 12 V, dont la valeur à vide est 8 V ; la dernière colonne compare chaque charge à $R_1 \parallel R_2 = 667$ Ω, dont le rôle est expliqué juste après.

Charge	$R_2$ en parallèle avec elle	Sortie	Écart	Charge rapportée à 667 Ω
100 Ω	95 Ω	1,04 V	-87 %	0,15
1 kΩ	667 Ω	4,80 V	-40 %	1,5
2 kΩ	1 kΩ	6,00 V	-25 %	3
10 kΩ	1,67 kΩ	7,50 V	-6,3 %	15
100 kΩ	1,96 kΩ	7,95 V	-0,7 %	150

La dernière colonne livre la règle exacte. Si $k$ est le rapport de la charge à $R_1 \parallel R_2$ , la sortie perd exactement la fraction $1/(1 + k)$ de sa valeur à vide : $1/4 = 25$ % pour $k = 3$ , $1/16 \approx 6{,}3$ % pour $k = 15$ . Vu de sa sortie, le pont se comporte en effet comme une source de 8 V dont la résistance interne vaudrait $R_1 \parallel R_2$ , ce que le chapitre sur Thévenin démontre, et une charge y prélève sa part exactement comme sur une source réelle.

La règle du facteur dix. Ce qui compte est le rapport de la charge à la résistance vue depuis la sortie, $R_1 \parallel R_2$ . Un rapport de dix laisse environ 9 % d'écart, un rapport de cent environ 1 %, exactement comme pour une source réelle.
Comparer la charge à la seule résistance basse $R_2$ , plus grande que $R_1 \parallel R_2$ , est plus rapide et reste prudent : sur ce pont, une charge de dix fois $R_2$ , 20 kΩ, ne fait perdre que 3,2 %, moins que les 9 % d'un rapport de dix à $R_1 \parallel R_2$ . Qui vérifie « dix fois $R_2$  » est donc couvert.
C'est la règle de dimensionnement à retenir : un pont diviseur n'est valable que s'il débite dans une charge très grande devant lui, et « très grande » commence à un facteur dix.

La conséquence pratique se lit dans l'autre sens, et elle est moins intuitive. Pour qu'un pont tienne devant une charge donnée, il faut le construire avec des résistances petites. Or de petites résistances consomment en permanence : le pont 1 kΩ / 2 kΩ tire 4 mA sans rien alimenter du tout. Sur un appareil sur pile, ce courant permanent est une dépense pure, et le choix des valeurs devient un arbitrage entre la précision de la sortie et l'autonomie.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une charge vaut dix fois $R_1 \parallel R_2$ , la résistance vue depuis la sortie du pont. Quelle part de la tension à vide la sortie perd-elle ?

Le diviseur de courant, dont la formule est inversée

Deux résistances en parallèle voient la même tension à leurs bornes et se partagent le courant $I$ qui arrive au nœud. Le partage suit alors la conductance, pas la résistance : la branche la moins résistante prend la plus grosse part.

Les deux branches portent la même tension, celle du courant total traversant leur résistance équivalente : $U = I \, R_1 R_2/(R_1 + R_2)$ . Le courant de la première en découle par la loi d'Ohm, $I_1 = U/R_1$ , soit :

$I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Le rapport est croisé

Dans le diviseur de tension, la tension aux bornes de

R_2

fait intervenir

R_2

au numérateur. Dans le diviseur de courant, le courant dans

R_1

fait intervenir

R_2

.
L'erreur de recopie est ici presque garantie, et elle se détecte sans retenir la formule : le courant le plus fort passe forcément par la résistance la plus faible. Un résultat qui dit le contraire est faux, quelle que soit la formule employée pour l'obtenir.

Avec 1 kΩ et 2 kΩ en parallèle sous 12 V, la première branche porte 12 mA et la seconde 6 mA. La branche deux fois moins résistante porte deux fois plus de courant, et la part de la première vaut bien $2/3$ du total.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux résistances de 1 kΩ et 2 kΩ sont en parallèle. Laquelle porte le plus de courant ?

Deux montages qui sont des ponts diviseurs

Le potentiomètre. Une piste résistive et un curseur qui la divise en deux portions dont la somme est constante. Le curseur à mi-course donne la moitié de la tension, au quart la donne au quart. C'est un pont diviseur dont les deux résistances varient ensemble, en sens contraire.

Un capteur sur une entrée de mesure. Une photorésistance, une thermistance ou un potentiomètre forment la branche haute, une résistance fixe la branche basse, et la tension du milieu part vers une entrée de mesure. C'est le montage décrit dans le chapitre lire le monde avec des boutons et des capteurs, et il fonctionne pour une raison qui est exactement le sujet de ce chapitre : une entrée de mesure présente une résistance de plusieurs mégohms, donc des milliers de fois plus que le pont, et la condition du facteur dix est satisfaite avec une marge considérable.

Le même montage cesse de marcher dès qu'on y branche autre chose

Remplacer l'entrée de mesure par un module électronique, un petit moteur ou un relais, qui demandent des dizaines de milliampères, fait s'effondrer la tension, pour la raison chiffrée plus haut. Un pont diviseur fabrique une tension à lire, jamais une tension à alimenter.
Une diode électroluminescente (LED) s'y allume pourtant. Vu de sa sortie, le pont 1 kΩ / 2 kΩ sous 12 V est une source de 8 V en série avec 667 Ω, c'est-à-dire exactement une LED et sa résistance de limitation : une LED rouge y prend

(8 - 2)/667 \approx 9

mA. Mais la sortie ne vaut plus 8 V, elle vaut les 2 V de la LED. Le pont éclaire, il ne fournit plus la tension annoncée.
C'est la distinction qui sépare un diviseur d'une alimentation, et c'est aussi ce qui explique l'existence des régulateurs de tension, dont la sortie tient bon quel que soit le courant demandé.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Un module demande 5 V sous 50 mA. Un pont de 1,4 kΩ et 1 kΩ tire bien 5 V de 12 V à vide. Que se passe-t-il quand le module y est branché ?

2.Un pont doit rester précis devant une charge donnée. Que faut-il faire de ses résistances ?

Sur une carte Arduino

L'entrée d'une carte Arduino emploie ce montage deux fois. Le mode INPUT_PULLUP relie la broche au 5 V par une résistance interne d'une trentaine de kiloohms, et le bouton la relie à la masse : c'est un pont diviseur dont la broche est le point milieu, et le bouton fermé, de résistance presque nulle, la ramène à 0 V. Un potentiomètre branché sur une entrée analogique en est un autre, dont le curseur déplace le point de coupure le long de la piste. Dans les deux cas, c'est le rapport des résistances, et non leur valeur, qui fixe la tension lue.

La méthode

Vérifier que c'en est un. Compter les branches qui partent du nœud de sortie. S'il y en a plus d'une vers la masse, la formule à deux résistances ne s'applique pas telle quelle.
Réduire d'abord. Remplacer la branche basse par la résistance équivalente de tout ce qui s'y trouve en parallèle, charge comprise.
Appliquer le prorata sur les deux résistances qui restent.
Contrôler par la maille. Les deux tensions obtenues doivent se rajouter à la tension de la source.
Contrôler l'ordre de grandeur. La branche la plus résistante porte la plus grande tension, et jamais l'inverse.
Vérifier les unités avant le résultat : un rapport de pont diviseur est sans dimension, compris entre zéro et un. Un rapport supérieur à un sur un montage passif est impossible, et un rapport portant une unité signale une formule mal recopiée.
Regarder le courant permanent que le pont consomme, qui est la contrepartie d'une bonne tenue en charge.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

La mesure du bus de 400 V

1.
Le bus des bornes rapides est à 400 V, et le diviseur de l'ouverture compte 1,2 MΩ en haut et 10 kΩ en bas. L'entrée du convertisseur ne tire presque aucun courant. Quelle tension reçoit-il, en volts, à 0,001 V près ?
2.
Quelle puissance les deux résistances dissipent-elles en permanence, en watts, à 0,001 W près ?
3.
Vue de la prise du convertisseur, quelle résistance le pont présente-t-il, en kiloohms, à 0,01 kΩ près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : le convertisseur reçoit 3,306 V quand le bus est à 400 V, le rapport du pont valant 0,008264, et les deux résistances dissipent 0,132 W, jour et nuit, soit 1,16 kWh par an. Un pont cent fois moins résistant, de même rapport, donnerait la même tension pour une dépense cent fois plus grande, 13,2 W : c'est la raison des valeurs élevées. Leur contrepartie est la résistance de 9,92 kΩ que le pont présente à sa prise : toute charge qu'on y branche se compare à elle, et le premier exercice type en mesure le prix.

Que devient la mesure du bus quand un enregistreur est branché sur la prise du convertisseur ?

Pour suivre le bus des bornes rapides pendant une semaine, Hugo Sellier veut brancher un enregistreur entre la prise du convertisseur et la masse, sur le diviseur de 1,2 MΩ et 10 kΩ. L'entrée de l'enregistreur se comporte comme une résistance de 100 kΩ, et celle du convertisseur ne tire presque rien. Le bus est à 400 V. Calculer la tension de la prise, enregistreur branché, en volts, à 0,001 V près, et l'écart relatif qu'il introduit, en %, à 0,1 % près. Le convertisseur ne connaît que le rapport du pont à vide : dire quelle tension de bus il annoncera, en volts, à 1 V près. Calculer enfin la résistance d'entrée minimale d'un enregistreur qui laisserait l'écart sous 1 %, en kiloohms, à 1 kΩ près.

Par où commencer ? Compter les branches qui partent de la prise vers la masse une fois l'enregistreur branché.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le corrigé remplace-t-il d'abord 10 kΩ et 100 kΩ par une seule résistance ?

Le corrigé

Reconnaître le pont chargé. L'enregistreur part de la prise vers la masse, comme la résistance basse : deux branches au lieu d'une, et la formule à deux résistances ne s'applique plus telle quelle.
Réduire le parallèle. $10 \parallel 100 = 10 \times 100/110 \approx 9{,}09$ kΩ.
Appliquer le prorata. $400 \times 9{,}09/(1\,200 + 9{,}09) \approx$ 3,008 V, au lieu de 3,306 V à vide.
Chiffrer l'écart. $(3{,}306 - 3{,}008)/3{,}306 \approx$ 9,0 %. C'est la réponse à l'ouverture : l'enregistreur fausserait la mesure qu'il devait suivre.
Traduire en tension de bus. Le convertisseur multiplie sa lecture par l'inverse du rapport à vide, $1\,210/10 = 121$  : $3{,}008 \times 121 \approx$ 364 V. Pendant la semaine d'enregistrement, la commande croirait le bus à 364 V quand il est à 400 V.
Dimensionner l'enregistreur. Vu de la prise, le pont présente 9,92 kΩ, et l'écart vaut $9{,}92/(R + 9{,}92)$ . Le fixer à 1 % donne $R = 99 \times 9{,}917 \approx$ 982 kΩ : un enregistreur d'au moins 1 MΩ d'entrée.
Vérifier. L'enregistreur de 100 kΩ vaut $k = 100/9{,}917 \approx 10{,}1$ fois la résistance vue, et la règle du chapitre donne l'écart $1/(1 + k) \approx 9{,}0$ %, comme à l'étape 4.

Deux câbles en parallèle vers une borne rapide se partagent-ils le courant à parts égales ?

Pour doubler la section, l'installateur a relié le bus de 400 V à l'une des bornes rapides par deux câbles de même section posés en parallèle, mais de longueurs différentes : 25 m pour l'un, 35 m pour l'autre. Aller et retour compris, le premier présente 0,050 Ω, le second 0,070 Ω. La borne charge à 50 kW, et chaque câble est donné pour 70 A au plus. Calculer le courant total, en ampères, puis le courant de chaque câble, en ampères, à 0,1 A près, et dire si l'un d'eux est surchargé.

Par où commencer ? Se demander quelle grandeur les deux câbles ont en commun, et lequel des deux doit prendre la plus grosse part.

Le corrigé

Calculer le courant total. La borne tire $50\,000/400 =$ 125 A du bus, qui arrivent au nœud de départ des deux câbles.
Prévoir le sens du partage. Les deux câbles relient les mêmes points, donc portent la même tension : le moins résistant, celui de 25 m, prend la plus grosse part.
Appliquer le diviseur de courant. Le courant d'un câble fait intervenir la résistance de l'autre : $I_{25} = 125 \times 0{,}070/(0{,}050 + 0{,}070) \approx$ 72,9 A, et $I_{35} = 125 \times 0{,}050/0{,}120 \approx$ 52,1 A.
Conclure. Le câble court porte 72,9 A pour 70 A admissibles : il est surchargé, alors que l'ensemble, 125 A pour 140 A, semblait tenir. Deux câbles de même longueur porteraient 62,5 A chacun.
Vérifier. Les deux courants redonnent le total, $72{,}9 + 52{,}1 = 125$ A, et les deux câbles portent bien la même tension : $0{,}050 \times 72{,}92 \approx 0{,}070 \times 52{,}08 \approx 3{,}65$ V.

Un enregistreur portable fausse-t-il la mesure de la ligne d'un tramway ?

Dans un dépôt de tramways, la tension de la ligne aérienne, 750 V, est mesurée par un diviseur de 1,5 MΩ en haut et 6,8 kΩ en bas, dont la prise attaque l'entrée d'un automate, qui ne tire presque rien. Un électricien de la traction branche sur la même prise un enregistreur portable de 47 kΩ d'entrée. Calculer la tension de la prise à vide, puis enregistreur branché, en volts, à 0,001 V près, l'écart relatif, en %, à 0,1 % près, et la tension de ligne qu'annoncerait l'automate, en volts, à 1 V près. Calculer enfin la résistance d'entrée minimale qui laisserait l'écart sous 0,5 %, en kiloohms, à 1 kΩ près.

Par où commencer ? Compter les branches qui partent de la prise vers la masse une fois l'enregistreur branché.

Le corrigé

Calculer la prise à vide. $750 \times 6{,}8/(1\,500 + 6{,}8) \approx$ 3,385 V.
Reconnaître le pont chargé. L'enregistreur relie la prise à la masse, en parallèle sur la résistance basse : la formule à deux résistances ne s'applique plus telle quelle.
Réduire le parallèle. $6{,}8 \parallel 47 = 6{,}8 \times 47/53{,}8 \approx 5{,}94$ kΩ.
Appliquer le prorata et chiffrer l'écart. $750 \times 5{,}94/(1\,500 + 5{,}94) \approx$ 2,959 V, d'où un écart de $(3{,}385 - 2{,}959)/3{,}385 \approx$ 12,6 %.
Traduire en tension de ligne. L'automate divise sa lecture par le rapport à vide, $6{,}8/1\,506{,}8$  : $2{,}959 \times 1\,506{,}8/6{,}8 \approx$ 656 V pour 750 V réels.
Dimensionner l'enregistreur. Vu de la prise, le pont présente $1\,500 \parallel 6{,}8 \approx 6{,}77$ kΩ ; l'écart vaut $6{,}77/(R + 6{,}77)$ , et le fixer à 0,5 % donne $R = 199 \times 6{,}769 \approx$ 1 347 kΩ, soit 1,35 MΩ.
Vérifier. L'enregistreur de 47 kΩ vaut $k = 47/6{,}769 \approx 6{,}94$ fois la résistance vue, et $1/(1 + k) \approx 12{,}6$ % : la règle redonne l'écart de l'étape 4.

Le partage se déduit, il ne se décrète pas

Brancher quelque chose à la sortie

De combien la sortie dérive

Le diviseur de courant, dont la formule est inversée

Deux montages qui sont des ponts diviseurs

La méthode

Mettre en pratique

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