Thévenin, Norton et la superposition · Électricité

Les lois des nœuds et des mailles résolvent tout, et c'est bien leur défaut : elles résolvent tout de la même façon, en écrivant autant d'équations qu'il y a de branches, y compris quand la question ne porte que sur un seul composant.

Ce chapitre installe trois outils qui répondent à des questions plus étroites, donc à moindre coût. Deux d'entre eux remplacent un circuit entier par un modèle à deux éléments, vu depuis les bornes qui intéressent. Le troisième découpe un problème à plusieurs sources en autant de problèmes à une source. Aucun n'ajoute de physique nouvelle : ce sont des réécritures, et c'est ce qui les rend sûres.

Une question étroite mérite un outil étroit

La situation typique est celle-ci : un montage compliqué alimente une charge, et la seule question est de savoir ce que cette charge reçoit, pour plusieurs valeurs de charge. Écrire le système complet une fois par valeur est absurde, puisque seule une résistance change.

Théorème de Thévenin

Vu de deux bornes, tout circuit composé de sources et de résistances se comporte exactement comme une source idéale $E_{\text{th}}$ en série avec une résistance $R_{\text{th}}$ .

$E_{\text{th}}$ est la tension à vide entre ces deux bornes, charge débranchée.
$R_{\text{th}}$ est la résistance vue entre ces deux bornes, toutes les sources éteintes.

Le mot important est « exactement ». Aucune approximation n'est faite : la charge branchée sur le modèle reçoit le même courant et la même tension que branchée sur le circuit d'origine. Ce qui est perdu, comme pour une résistance équivalente, est le détail de ce qui se passe à l'intérieur.

Éteindre une source n'est pas la supprimer

Éteindre une source de tension, c'est la remplacer par un fil : une source idéale sans force électromotrice impose zéro volt entre ses bornes, ce qui est exactement ce que fait un fil.

Éteindre une source de courant, c'est au contraire ouvrir le circuit à sa place : elle impose alors zéro ampère.

L'erreur symétrique, ouvrir là où il fallait court-circuiter, change complètement la résistance vue, et elle se commet une fois sur deux tant que la règle n'est pas retenue par sa justification.

Calculer un équivalent de Thévenin

La démarche tient en deux calculs indépendants, menés sur deux schémas différents.

Potentiel de B6,86 V contre 8 V sans RL-14 %

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	12 V	12 V	5,14 mA	61,7 mW
R1A → B	1 kΩ	5,14 V	5,14 mA	26,4 mW
R2B → M	2 kΩ	6,86 V	3,43 mA	23,5 mW
RLB → M	4 kΩ	6,86 V	1,71 mA	11,8 mW

Potentiels : A = 12 V, B = 6,86 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Un pont diviseur chargé. Le repère annonce ce que vaudrait la tension en B sans la charge, et c'est exactement la force électromotrice du modèle de Thévenin vu des bornes de RL.

Le modèle vu des bornes de la charge

Tension à vide. La charge débranchée, R1 et R2 forment un pont diviseur simple :

$E_{\text{th}} = 12 \times \frac{2000}{1000 + 2000} = 8\ \text{V}$

Résistance vue. La source de 12 V est remplacée par un fil. R1 et R2 se retrouvent alors toutes deux entre B et la masse, donc en parallèle :

$R_{\text{th}} = \frac{1000 \times 2000}{3000} \approx 667\ \Omega$

Vérification. Le modèle, chargé par 4 kΩ, donne $8 \times 4000/(667 + 4000) \approx 6{,}86$ V. Le tableau de la figure porte la même valeur sur la ligne de RL.

L'intérêt apparaît à la question suivante : que reçoit une charge de 1 kΩ, puis de 10 kΩ, puis de 100 kΩ ? Sur le circuit d'origine, trois systèmes à résoudre. Sur le modèle, trois divisions.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pour calculer la résistance de Thévenin d'un circuit, que fait-on des sources de tension ?

Norton, le même modèle vu autrement

Le modèle de Thévenin décrit la source par la tension qu'elle produit à vide. Le modèle de Norton la décrit par le courant qu'elle produit en court-circuit.

Théorème de Norton

Le même circuit se modélise par une source idéale de courant $I_{\text{n}}$ en parallèle avec une résistance $R_{\text{n}}$ , avec :

$I_{\text{n}} = \frac{E_{\text{th}}}{R_{\text{th}}} \qquad R_{\text{n}} = R_{\text{th}}$

Les deux modèles sont interchangeables et décrivent le même comportement. Le choix se fait sur la question posée, et la règle est simple : Thévenin pour ce qui se met en série, Norton pour ce qui se met en parallèle. Un montage où des branches se rejoignent en un nœud se traite plus vite en Norton, puisque les courants s'y ajoutent directement.

Sur l'exemple précédent, $I_{\text{n}} = 8 / 667 \approx 12$ mA, ce qui est le courant de court-circuit à travers R1, soit $12/1000$ .

La superposition

Le troisième outil répond à une autre question : que devient un circuit qui comporte plusieurs sources ?

Théorème de superposition

Dans un circuit linéaire, la réponse à plusieurs sources agissant ensemble est la somme des réponses à chaque source agissant seule, les autres étant éteintes.

La justification est la linéarité : les équations des nœuds et des mailles sont des équations linéaires en les courants, et la solution d'un système linéaire dépend linéairement de son second membre, qui n'est fait que des sources.

Deux sources sur une même résistance

Un point X est relié à une alimentation de 12 V par une résistance de 200 Ω, à une alimentation de 5 V par une résistance de 300 Ω, et à la masse par une résistance de 100 Ω. La question porte sur la tension du point X.

Première source seule. La source de 5 V est remplacée par un fil. La résistance de 100 Ω se retrouve en parallèle avec les 300 Ω, soit 75 Ω, en série avec les 200 Ω. Le courant issu des 12 V vaut $12/275 \approx 43{,}6$ mA, la tension sur le groupe vaut $75 \times 0{,}0436 \approx 3{,}27$ V.

Seconde source seule. La source de 12 V est remplacée par un fil. Les 100 Ω se retrouvent en parallèle avec les 200 Ω, soit 66,7 Ω, en série avec les 300 Ω. Le courant vaut $5/366{,}7 \approx 13{,}6$ mA, et la tension sur le groupe $66{,}7 \times 0{,}0136 \approx 0{,}91$ V.

Superposition. La tension du point X vaut $3{,}27 + 0{,}91 \approx 4{,}18$ V. Le calcul direct par la loi des nœuds donne $46/11 \approx 4{,}18$ V : les deux voies coïncident.

Ce qui se superpose, et ce qui ne se superpose pas

Les tensions et les courants se superposent, parce que les équations qui les lient sont linéaires.
Les puissances ne se superposent pas. La puissance est quadratique : $P = RI^2$ , et $(I_1 + I_2)^2$ ne vaut pas $I_1^2 + I_2^2$ .

Additionner les puissances calculées source par source est l'erreur classique du théorème, et elle donne toujours un résultat trop faible.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux sources agissent sur une résistance. Prise seule, la première y dissipe 4 W, la seconde 9 W. Que dissipe-t-elle lorsque les deux agissent ensemble ?

Là où ces théorèmes ne s'appliquent pas

Les trois outils reposent sur une hypothèse unique et jamais dite : le circuit est linéaire. Chaque composant doit obéir à une relation proportionnelle entre sa tension et son courant.

Une diode, un transistor, une lampe dont la résistance monte avec la température rompent cette hypothèse. Devant un tel composant, la superposition donne un résultat faux, et non approché : il n'existe aucune raison pour que les réponses s'ajoutent.

Le réflexe qui coûte du temps

Écrire un système complet de Kirchhoff devant une question qui ne porte que sur un composant est le réflexe le plus fréquent, et le plus coûteux. Il mène au bon résultat, en trois fois plus de lignes, donc avec trois fois plus d'occasions de se tromper de signe.

La question à se poser avant de commencer est celle du résultat cherché : un seul composant, plusieurs valeurs de charge, plusieurs sources. Chacune de ces trois formes a son outil.

La méthode

Lire la question avant de choisir la technique : une grandeur dans un composant, une charge qui varie, ou plusieurs sources.
Pour un équivalent de Thévenin, débrancher la charge et calculer la tension à vide, puis éteindre les sources et calculer la résistance vue. Les deux calculs sont indépendants.
Éteindre correctement : un fil à la place d'une source de tension, une coupure à la place d'une source de courant.
Pour la superposition, traiter une source à la fois et tenir un tableau des contributions, une ligne par source.
Additionner les tensions et les courants, jamais les puissances.
Vérifier l'équivalent en rebranchant la charge d'origine et en comparant à un calcul direct, une fois.

Synthèse

Vu de deux bornes, un circuit linéaire se comporte exactement comme une source en série avec une résistance : c'est le modèle de Thévenin.
$E_{\text{th}}$ est la tension à vide, $R_{\text{th}}$ la résistance vue sources éteintes, et les deux se calculent séparément.
Éteindre une source de tension, c'est la remplacer par un fil ; éteindre une source de courant, c'est ouvrir le circuit.
Norton est le même modèle en source de courant, avec $I_{\text{n}} = E_{\text{th}}/R_{\text{th}}$  : Thévenin pour les séries, Norton pour les parallèles.
La superposition traite les sources une à une et additionne les réponses : elle repose entièrement sur la linéarité.
Les tensions et les courants se superposent, les puissances non, parce que la puissance est quadratique.
Aucun de ces théorèmes ne s'applique à un circuit contenant un composant non linéaire.
Le modèle équivalent prend tout son intérêt quand une charge varie : il transforme un système à résoudre en une simple division.