Le condensateur, la bobine et le premier ordre

Un composant qui stocke des charges

Un condensateur est fait de deux surfaces conductrices séparées par un isolant. Aucun courant ne traverse cet isolant, et pourtant un courant circule dans les fils au moment où la tension change : les charges s'accumulent d'un côté et se retirent de l'autre.

Ce qui distingue un condensateur d'une résistance. Une résistance dissipe l'énergie en chaleur, et cette énergie est perdue.
Un condensateur stocke l'énergie et la restitue. Un condensateur chargé reste dangereux longtemps après la coupure de l'alimentation, ce qui est la première consigne de sécurité de tout montage qui en comporte.

La relation qui change tout

En dérivant la relation de définition par rapport au temps, et puisque le courant est le débit de charge :

Les minuscules désignent désormais des grandeurs qui varient dans le temps, $u(t)$ et $i(t)$ ; les majuscules gardent les valeurs constantes, comme la tension $E$ de la source.

Cette écriture dit trois choses, et chacune se retient comme une phrase.

Un courant nul impose une tension constante. C'est le régime établi : une fois la charge terminée, plus rien ne circule, et le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

Une tension constante impose un courant nul. C'est la même phrase lue à l'envers, et c'est ce qui fait qu'un condensateur bloque le continu.

Une tension ne peut pas sauter. Un saut de tension demanderait une dérivée infinie, donc un courant infini. La tension aux bornes d'un condensateur est donc continue, et c'est cette propriété qui fournit la condition initiale de tout calcul de régime transitoire.

Le circuit RC

Une source, une résistance, un condensateur, et un interrupteur. La loi des mailles s'écrit sans difficulté :

$E = R\,i + u$

En remplaçant $i$ par $C\,du/dt$ :

$RC \frac{du}{dt} + u = E$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, exactement celle que le chapitre des équations différentielles résout. Sa solution, avec un condensateur initialement déchargé, vaut :

$u(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec} \qquad \tau = RC$

Le courant de charge s'en déduit par $i = C\,du/dt$ : il part de $E/R$ et s'éteint avec la même constante de temps,

$i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$

Pourquoi une exponentielle. La maille donne le courant de charge : $i = (E - u)/R$. Il est proportionnel à ce qui reste à parcourir.
Au début, l'écart vaut $E$, le courant est maximal et la tension monte vite. À mi-chemin, l'écart a diminué de moitié, le courant aussi, et la tension monte deux fois moins vite.
Une grandeur qui avance d'autant moins vite qu'elle approche de son but ne l'atteint jamais, et chaque constante de temps comble la même fraction, 63 %, de l'écart qui restait : c'est ce qui définit une exponentielle.

La constante de temps

Sa valeur numérique ne se retient pas, mais les pourcentages se retiennent une fois pour toutes et servent partout.

La règle des cinq constantes de temps. Un régime transitoire est considéré comme terminé au bout de cinq constantes de temps : il reste alors moins d'un pour cent d'écart à la valeur finale, ce qui est sous la précision des composants eux-mêmes.

Mathématiquement, l'exponentielle n'atteint jamais sa limite. En ingénierie, la question n'est pas « quand est-ce fini » mais « quand l'écart devient-il plus petit que ce qu'on sait mesurer ».

La question inverse, celle du dimensionnement, demande de retourner l'exponentielle. Atteindre la fraction $f$ de la tension finale laisse $1 - f$ à parcourir : $e^{-t/\tau} = 1 - f$, d'où $t = \tau \ln\dfrac{1}{1 - f}$. La moitié de la tension finale est ainsi atteinte au bout de $\tau \ln 2 \approx 0{,}69\,\tau$. Le logarithme, fonction réciproque de l'exponentielle, est présenté dans le chapitre d'étude de fonctions.

La décharge

Le condensateur chargé, la source est retirée et remplacée par un fil. La maille devient $R\,i + u = 0$, et l'équation :

$RC \frac{du}{dt} + u = 0$

Sa solution est l'exponentielle décroissante, avec la même constante de temps :

$u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}$

Charge et décharge sont symétriques. À la charge, la tension atteint 63 % de sa valeur finale en une constante de temps.
À la décharge, il en reste 37 %, ce qui est le complément du même nombre.

Les deux valeurs ne sont pas deux choses à retenir, mais une seule : $e^{-1} \approx 0{,}37$.

L'énergie stockée

Le carré change tout : doubler la tension quadruple l'énergie stockée. Un condensateur de 10 µF chargé sous 5 V ne contient que 125 µJ, ce qui est négligeable. Le même sous 400 V en contient 0,8 J, ce qui suffit à provoquer un choc sérieux.

La charge à travers une résistance réserve une autre surprise. La source délivre toute la charge $Q = CE$ sous sa tension constante $E$ : elle fournit l'énergie $QE = CE^2$. Le condensateur, lui, a reçu cette charge sous une tension qui montait de 0 à $E$, et n'en garde que $\frac12 CE^2$. L'autre moitié est dissipée dans la résistance, quelle que soit sa valeur : une petite résistance laisse passer un courant plus fort pendant moins longtemps, et les deux effets se compensent exactement. Le rendement d'une charge RC est donc de cinquante pour cent, et il ne s'améliore pas en changeant de résistance.

Associer des condensateurs

Les formules sont l'inverse de celles des résistances, et cette inversion se retient par sa cause plutôt que par cœur.

En parallèle, les deux condensateurs portent la même tension et leurs charges s'ajoutent : puisque $Q = CU$, les capacités s'ajoutent. C'est le même raisonnement que pour la mise en parallèle de deux réservoirs.

En série, les deux portent la même charge et leurs tensions s'ajoutent, ce qui inverse la relation. Une mise en série réduit donc la capacité, en échange d'une tension admissible plus grande.

La bobine, l'autre composant qui stocke

Un condensateur stocke de l'énergie dans un champ électrique, entre deux armatures. Une bobine en stocke dans un champ magnétique, autour d'un enroulement. Idéaux, ce sont les deux seuls composants passifs à ne rien dissiper, et tout le reste de ce chapitre s'applique aux deux.

La symétrie avec le condensateur est complète, et c'est elle qu'il faut retenir plutôt que deux formules séparées. Le condensateur s'oppose aux variations brusques de sa tension ; la bobine, à celles de son courant.

L'énergie suit la même symétrie. Une bobine parcourue par un courant $I$ stocke $W = \frac12 LI^2$ dans son champ magnétique, comme un condensateur sous la tension $U$ stocke $\frac12 CU^2$ dans son champ électrique, et elle la restitue quand le courant décroît.

Ce qui ne peut pas sauter n'est pas la même grandeur. Sur un condensateur, c'est la tension qui est continue : elle ne peut pas sauter, parce qu'un saut demanderait un courant infini.
Sur une bobine, c'est le courant qui est continu : il ne peut pas sauter, parce qu'un saut demanderait une tension infinie.

C'est de là que vient toute la différence de comportement aux instants remarquables, et c'est la seule chose à mémoriser pour les retrouver.

Les deux composants aux deux instants qui comptent.

À l'instant de la commutation, un condensateur déchargé est un fil, une bobine sans courant est un circuit ouvert.
En régime établi, sous tension continue, un condensateur est un circuit ouvert, une bobine est un fil.

Les deux lignes sont exactement l'inverse l'une de l'autre, et elles suffisent à répondre sans aucun calcul à la moitié des questions posées sur un régime transitoire.

Le circuit R-L

Une bobine en série avec une résistance, sous un échelon de tension $E$, obéit à la loi des mailles $L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = E$. Divisée par $R$, elle s'écrit

$\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}$

C'est l'équation du circuit R-C, avec le courant à la place de la tension, $L/R$ à la place de $RC$, et une valeur finale $E/R$. Elle a donc la même solution.

Un seul premier ordre, deux montages

Une seule équation, apprise une seule fois. Les deux montages obéissent à

$\tau\,\frac{dy}{dt} + y = y_\infty$

dont la solution est toujours la même : la grandeur va de sa valeur initiale à sa valeur finale, avec l'exponentielle de constante $\tau$.

$y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,e^{-t/\tau}$

Cette écriture dispense de refaire l'équation différentielle à chaque exercice. Elle vaut pour une charge, pour une décharge, pour un courant qui s'établit et pour un courant qui s'annule, et elle se contrôle aux deux bouts en une seconde.

La méthode

1. Repérer la grandeur continue : la tension pour un condensateur, le courant pour une bobine. Sa valeur juste avant la commutation est aussi sa valeur juste après.
2. Repérer l'état final : en régime établi, un condensateur est un circuit ouvert et une bobine un fil. Le circuit se résout alors avec les méthodes des chapitres précédents.
3. Calculer la constante de temps, $\tau = RC$ ou $\tau = L/R$, avec la résistance réellement vue par le composant, éventuellement un équivalent de Thévenin.
4. Écrire la solution sans repasser par l'équation différentielle : la grandeur va de sa valeur initiale à sa valeur finale, avec l'exponentielle de constante $\tau$.
5. Contrôler aux deux bouts : la formule doit redonner la valeur initiale en zéro, et la valeur finale à l'infini.
6. Vérifier les unités avant le résultat : $RC$ est un temps, et $L/R$ aussi. Écrire $RL$ par analogie produit des ohms fois des henrys, qui ne sont pas des secondes, et le contrôle d'unité attrape cette erreur bien avant l'ordre de grandeur.
7. Situer la durée à cinq constantes de temps, et vérifier qu'elle est compatible avec ce que le montage doit faire.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

La première question de l'ouverture a sa réponse : la précharge a une constante de temps de 0,2 s, et son courant part de 4 A, au lieu des 8 000 A que laisseraient passer les 0,05 Ω du câblage seul. Au bout de 0,6 s, le condensateur est à 380,1 V : le contacteur peut se fermer, l'écart qu'il court-circuite n'étant plus que de 19,9 V au lieu de 400 V. Le condensateur garde alors 160 J, assez pour un choc grave : c'est pourquoi un coffret de borne rapide ne s'ouvre pas aussitôt l'arrêt, comme le deuxième exercice type le chiffre.