Le condensateur et le régime transitoire

Un composant qui stocke des charges

Un condensateur est fait de deux surfaces conductrices séparées par un isolant. Aucun courant ne traverse cet isolant, et pourtant un courant circule dans les fils au moment où la tension change : les charges s'accumulent d'un côté et se retirent de l'autre.

La relation qui change tout

En dérivant la relation de définition par rapport au temps, et puisque le courant est le débit de charge :

Cette écriture dit trois choses, et chacune se retient comme une phrase.

Un courant nul impose une tension constante. C'est le régime établi : une fois la charge terminée, plus rien ne circule, et le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

Une tension constante impose un courant nul. C'est la même phrase lue à l'envers, et c'est ce qui fait qu'un condensateur bloque le continu.

Une tension ne peut pas sauter. Un saut de tension demanderait une dérivée infinie, donc un courant infini. La tension aux bornes d'un condensateur est donc continue, et c'est cette propriété qui fournit la condition initiale de tout calcul de régime transitoire.

Le circuit RC

Une source, une résistance, un condensateur, et un interrupteur. La loi des mailles s'écrit sans difficulté :

$E = R\,i + u$

En remplaçant $i$ par $C\,du/dt$ :

$RC \frac{du}{dt} + u = E$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, exactement celle que le chapitre des équations différentielles résout. Sa solution, avec un condensateur initialement déchargé, vaut :

$u(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec} \qquad \tau = RC$

La constante de temps

Sa valeur numérique ne se retient pas, mais les pourcentages se retiennent une fois pour toutes et servent partout.

La décharge

Le condensateur chargé, la source est retirée et remplacée par un fil. La maille devient $R\,i + u = 0$, et l'équation :

$RC \frac{du}{dt} + u = 0$

Sa solution est l'exponentielle décroissante, avec la même constante de temps :

$u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}$

L'énergie stockée

Le carré change tout : doubler la tension quadruple l'énergie stockée. Un condensateur de 10 µF chargé sous 5 V ne contient que 125 µJ, ce qui est négligeable. Le même sous 400 V en contient 0,8 J, ce qui suffit à provoquer un choc sérieux.

Cette dépendance quadratique explique aussi une observation contre-intuitive : charger un condensateur à travers une résistance dissipe dans cette résistance exactement autant d'énergie que le condensateur en stocke, quelle que soit la valeur de la résistance. Le rendement d'une charge RC est donc de cinquante pour cent, et il ne s'améliore pas en changeant de résistance.

Associer des condensateurs

Les formules sont l'inverse de celles des résistances, et cette inversion se retient par sa cause plutôt que par cœur.

En parallèle, les deux condensateurs portent la même tension et leurs charges s'ajoutent : puisque $Q = CU$, les capacités s'ajoutent. C'est le même raisonnement que pour la mise en parallèle de deux réservoirs.

En série, les deux portent la même charge et leurs tensions s'ajoutent, ce qui inverse la relation. Une mise en série réduit donc la capacité, en échange d'une tension admissible plus grande.

La méthode

1. Repérer l'état initial : la tension aux bornes du condensateur juste avant la commutation, qui est aussi celle juste après, puisqu'elle ne peut pas sauter.
2. Repérer l'état final : le condensateur se comporte alors comme un circuit ouvert, et le circuit se résout avec les méthodes des chapitres précédents.
3. Calculer la constante de temps $\tau = RC$, avec la résistance réellement vue par le condensateur, éventuellement un équivalent de Thévenin.
4. Écrire la solution sans repasser par l'équation différentielle : elle va de la valeur initiale à la valeur finale, avec l'exponentielle de constante $\tau$.
5. Contrôler aux deux bouts : la formule doit redonner la valeur initiale en zéro, et la valeur finale à l'infini.
6. Situer la durée à cinq constantes de temps, et vérifier qu'elle est compatible avec ce que le montage doit faire.

Synthèse

• Un condensateur stocke de l'énergie au lieu de la dissiper, et reste dangereux après la coupure de l'alimentation.
• $Q = CU$, et en dérivant, $i = C\,du/dt$ : le courant dépend de la variation de la tension, pas de sa valeur.
• La tension aux bornes d'un condensateur est continue : elle ne peut pas sauter, ce qui fournit la condition initiale.
• À l'instant de la fermeture, un condensateur déchargé se comporte comme un fil ; en régime établi, comme un circuit ouvert.
• Un circuit RC conduit à une équation différentielle du premier ordre, déjà résolue dans le parcours de mathématiques.
• La constante de temps $\tau = RC$ fixe seule la durée : 63 % au bout de $\tau$, 95 % au bout de $3\tau$, 99,3 % au bout de $5\tau$.
• La décharge suit la même constante de temps, et il en reste 37 % après $\tau$ : c'est le même $e^{-1}$.
• L'énergie vaut $\frac{1}{2}CU^2$ : elle croît comme le carré de la tension.
• Les associations de condensateurs sont l'inverse de celles des résistances : somme en parallèle, inverses en série.