Le régime sinusoïdal

Dans le local technique du parc de recharge pour véhicules électriques de Belmarais, Hugo Sellier, technicien de maintenance, branche un analyseur sur le ventilateur. Son multimètre affichait deux nombres fixes, 230 V et 0,8 A ; l'écran montre une tension et un courant qui changent de signe cent fois par seconde, sans passer par zéro au même instant, et annonce un retard du courant de 36,87 degrés. Le chapitre précédent suivait un circuit jusqu'à un régime établi immobile ; celui du réseau ne l'est jamais. Les lois des chapitres précédents restent vraies à chaque instant, mais il faudrait les écrire pour chacun de ces instants.

Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir quelle tension crête l'isolant du moteur doit tenir, quel courant crête le traverse, et combien de millisecondes séparent le sommet de la tension de celui du courant. Au démarrage, le courant monte à 2,4 A et passe par zéro 3,5 ms après la tension : quel courant crête traverse alors le contacteur du ventilateur, et que vaut le courant quand la tension culmine ?

Une grandeur qui ne tient pas en place

Une tension alternative sinusoïdale s'écrit ainsi :

Définition

$u(t) = U_{\max} \sin(\omega t + \varphi_u)$

$U_{\max}$ est l'amplitude, en volts. $\omega$ est la pulsation, en radians par seconde. $\varphi_u$ est la phase à l'origine de la tension, en radians ou en degrés : elle dit où en est la grandeur à l'instant zéro. Un courant s'écrit de la même façon, $i(t) = I_{\max} \sin(\omega t + \varphi_i)$ .

Trois nombres suffisent donc à décrire complètement la tension, pour tous les instants passés et à venir. C'est beaucoup moins qu'il n'y paraît, et c'est ce qui rend le calcul possible.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	instant
u	230 V	325 V	0,0°	0 V

Instant0 s

Fréquence 50 Hz, période 20 ms. Les vecteurs tournent tous à la même vitesse : leur écart angulaire, le déphasage, ne change donc jamais, et c'est la projection de chacun sur l'axe vertical qui décrit sa sinusoïde. Les grandeurs en gras sont calculées.

Une tension sinusoïdale de 230 V efficaces à 50 Hz. Déplacer le curseur d'instant et suivre la valeur instantanée dans la dernière colonne du tableau : elle parcourt tout l'intervalle entre plus et moins l'amplitude, alors que la valeur efficace, elle, ne bouge pas.

À manipuler

Arrêter le mouvement et amener le curseur au sommet de la courbe : la valeur instantanée y vaut 325 V, et non 230.
L'amener ensuite sur un passage par zéro : la valeur instantanée est nulle, et la tension efficace vaut toujours 230 V. Une valeur efficace ne décrit pas un instant, elle décrit la grandeur entière.
Repérer le trait vertical marqué T : c'est la période, et la courbe se répète à l'identique après lui.

Période, fréquence, pulsation

Trois façons de dire la même chose, et il faut savoir passer de l'une à l'autre sans réfléchir.

Définitions

La période $T$ est la durée d'un motif complet, en secondes.
La fréquence $f$ est le nombre de motifs par seconde, en hertz : $f = 1/T$ .
La pulsation $\omega$ est l'angle parcouru par seconde, en radians par seconde, un motif complet valant $2\pi$ radians : $\omega = 2\pi f$ .

Sur le réseau français, $f = 50$ Hz, donc $T = 20$ ms et $\omega \approx 314$ rad/s. Ces trois nombres sont à connaître comme on connaît une table de multiplication : ils reviennent dans chaque calcul du parcours.

La pulsation n'est pas la fréquence

Confondre $f$ et $\omega$ introduit un facteur $2\pi$ , soit un écart de plus de six, et le résultat reste plausible : une bobine de 1 H sur le réseau s'oppose au courant comme 314 Ω, et les 50 Ω obtenus en prenant la fréquence pour la pulsation ne choquent pas l'œil.

Le contrôle qui protège : une pulsation se compte en centaines pour le réseau, une fréquence en dizaines. Un nombre voisin de 314 est une pulsation ; un nombre voisin de 50 est une fréquence.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une tension a une période de 20 ms. Que vaut sa pulsation ?

La valeur efficace

Une tension qui passe son temps à changer pose une question simple : que vaut-elle ? La moyenne ne convient pas, elle est nulle, puisque la courbe passe autant de temps au-dessus qu'en dessous de zéro. Il faut une autre définition, et elle se prend du côté de l'effet produit.

Définition

La valeur efficace d'une grandeur alternative est la valeur continue qui produirait la même puissance moyenne dissipée dans une même résistance.

Pour une sinusoïde :

$U_{\text{eff}} = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}} \qquad \text{donc} \qquad U_{\max} = U_{\text{eff}}\sqrt{2}$

Le facteur $\sqrt{2}$ se retrouve en deux lignes. À chaque instant, la résistance dissipe $u^2/R = U_{\max}^2 \sin^2(\omega t)/R$ . Or $\sin^2$ oscille entre 0 et 1, symétriquement autour de $1/2$ , et vaut donc en moyenne $1/2$  : la puissance moyenne est $U_{\max}^2/(2R)$ . Une tension continue $U$ dissiperait $U^2/R$ . L'égalité des deux impose $U^2 = U_{\max}^2/2$ , d'où $U = U_{\max}/\sqrt{2}$ . Le calcul par l'intégrale est mené au chapitre de mathématiques sur l'intégration.

Le facteur est donc propre à la sinusoïde : un signal carré ou triangulaire a un autre rapport entre amplitude et valeur efficace. Cette définition explique aussi pourquoi on ne parle presque jamais de l'amplitude en pratique : une plaque signalétique, un multimètre et une facture donnent tous des valeurs efficaces, parce que c'est l'effet qui se paie et qui chauffe.

Les deux nombres du réseau. Le réseau domestique délivre 230 V efficaces. Son amplitude vaut donc $230\sqrt{2} \approx 325$ V, et c'est cette valeur-là que subit l'isolant d'un câble.

Un composant se choisit sur la valeur efficace pour son échauffement, et sur l'amplitude pour sa tenue en tension. Les deux calculs sont nécessaires, et ils ne donnent pas le même nombre.

Sinus et valeur efficace ici, cosinus et amplitude en mathématiques

Ce parcours écrit une grandeur alternative avec un sinus, et la décrit par sa valeur efficace, parce que c'est elle qu'affichent les appareils et les plaques. Le chapitre de mathématiques sur les complexes écrit la même grandeur avec un cosinus, $A\cos(\omega t + \varphi)$ , et la décrit par son amplitude $A$ .

Les deux choix sont des conventions, et aucun n'est plus juste que l'autre : un sinus n'est qu'un cosinus décalé d'un quart de tour, $\sin x = \cos(x - 90°)$ . Mais ils ne se mélangent pas. Un résultat pris dans le chapitre de mathématiques se divise par $\sqrt{2}$ avant de servir ici comme valeur efficace, et une phase lue sur un cosinus diffère de 90 degrés de celle lue sur un sinus. Tant que les deux grandeurs comparées sont écrites de la même façon, leur déphasage est le même dans les deux conventions.

Une résistance sur le réseau

Un radiateur de 1 000 W est branché sur 230 V efficaces.

Le courant efficace vaut $I = P/U = 1000/230 \approx 4{,}35$ A.
La résistance vaut $R = U/I = 230/4{,}35 \approx 52{,}9\ \Omega$ , ou directement $U^2/P$ .
L'amplitude du courant vaut $4{,}35 \times \sqrt{2} \approx 6{,}15$ A, et c'est elle que le conducteur voit passer aux crêtes.

Pour une résistance, les formules du chapitre sur la loi d'Ohm restent valables, à condition d'y mettre des valeurs efficaces partout, et jamais un mélange des deux. La suite du chapitre montre pourquoi cela cesse d'être vrai dès que deux grandeurs sont décalées.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un appareil porte la mention « 24 V ». Quelle est l'amplitude de cette tension si elle est alternative ?

Le déphasage

Deux grandeurs de même fréquence ne passent pas forcément par zéro au même instant. L'écart entre les deux s'appelle le déphasage, et c'est la notion centrale de tout ce qui suit.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à u	instant
u	230 V	325 V	0,0°	réf.	0 V
i	15 A	21,2 A	-60,0°	-60,0°	-18,4 A

Instant0 s

Une tension et un courant décalés de 60 degrés. Le courant passe par zéro après la tension : il est en retard. La colonne « phase » du tableau donne 0° pour la tension et −60° pour le courant, et cet écart ne change jamais.

À manipuler

Suivre les deux points colorés pendant que le temps avance : celui du courant atteint son maximum après celui de la tension, toujours du même retard.
Arrêter le mouvement sur un maximum de la tension et lire la valeur instantanée du courant : elle n'est pas maximale, et c'est exactement ce que coûte un déphasage.
Comparer les deux échelles : la tension se compte en volts, le courant en ampères, et la figure emploie une échelle par unité. Leurs hauteurs ne se comparent donc pas, seuls leurs instants le peuvent.

Un décalage se lit sur la figure en temps, et se compte en degrés. Le passage de l'un à l'autre tient en une règle : un motif complet dure une période $T$ et correspond à un tour, soit 360 degrés ou $2\pi$ radians. Un décalage $\Delta t$ entre deux passages par zéro vaut donc

$360 \times \frac{\Delta t}{T} \text{ degrés}$

Sur le réseau à 50 Hz, les 60 degrés de la figure représentent le sixième de 20 ms, soit environ 3,33 ms.

Définition : la convention de tout le parcours

Le déphasage de la tension sur le courant, noté $\varphi$ , est la différence de leurs phases à l'origine :

$\varphi = \varphi_u - \varphi_i$

Il est positif quand le courant est en retard sur la tension, négatif quand il est en avance, et nul quand les deux passent par zéro ensemble.

C'est la convention de l'électrotechnique, et celle de tous les chapitres qui suivent : ce $\varphi$ sera l'argument de l'impédance, et c'est son cosinus qui sera le facteur de puissance.

Deux exemples, un dans chaque sens, fixent le signe.

Un courant en retard. Sur la figure, $\varphi_u = 0°$ et $\varphi_i = -60°$ . Le déphasage vaut $\varphi = 0 - (-60) = +60°$  : positif, et le courant est bien en retard.

Un courant en avance. Sous la même tension, un courant de phase à l'origine $\varphi_i = +30°$ donne $\varphi = 0 - 30 = -30°$  : négatif, et le courant passe par zéro avant la tension.

Sur une figure ou dans un compte rendu, le plus sûr reste de doubler le signe par les mots : « le courant est en retard de 60 degrés » ne laisse aucune place au doute.

Ce qui décide du signe. Un circuit inductif, c'est-à-dire qui contient une bobine, met le courant en retard : $\varphi > 0$ . C'est le cas de tout ce qui contient un moteur ou un transformateur, donc de la plus grande partie d'une installation industrielle.
Un circuit capacitif, qui contient un condensateur, met le courant en avance : $\varphi < 0$ .
Un circuit purement résistif ne déphase rien : $\varphi = 0$ .

Ces trois faits sont établis au chapitre des impédances. Ils sont annoncés ici parce que le signe du déphasage se lit sur une figure bien avant de se calculer.

Vérification rapideon peut se reprendre

Sur un diagramme temporel, le courant passe par zéro 4 ms après la tension, dans un réseau à 50 Hz. Que vaut le déphasage ?

Pourquoi deux tensions efficaces ne s'ajoutent pas

C'est le point qui justifie tout le chapitre suivant, et il se voit mieux qu'il ne se raconte.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à u1	instant
u1	100 V	141 V	0,0°	réf.	0 V
u2	100 V	141 V	90,0°	90,0°	141 V
ut= u1 + u2	141 V	200 V	45,0°	45,0°	141 V

Instant0 s

Deux tensions de 100 V efficaces, déphasées d'un quart de période. Leur somme ne vaut pas 200 V. La vue de droite dit pourquoi : les deux vecteurs ne pointent pas dans la même direction, et c'est leur somme vectorielle que la ligne calculée donne.

À manipuler

Lire la valeur efficace de la somme dans le tableau : 141 V, et non 200. C'est

100\sqrt{2}

, la diagonale d'un carré de côté 100.
Suivre la courbe de la somme sur la vue de gauche : elle est bien une sinusoïde de même fréquence, mais son maximum ne tombe ni avec celui de u1 ni avec celui de u2.
Regarder la vue de droite pendant que le temps avance : les trois vecteurs tournent ensemble, sans jamais changer d'écart angulaire. C'est cette rigidité qui permet d'oublier le temps et de ne raisonner que sur les angles, ce que fait le chapitre suivant.

L'erreur qui coûte le plus cher du parcours

Additionner deux valeurs efficaces comme deux nombres est juste dans un seul cas : quand les deux grandeurs sont en phase. Dans tous les autres, le résultat est trop grand. Deux tensions égales en quadrature donnent 141 V et non 200 : l'addition surestime de 41 %. Et l'écart grandit encore au-delà du quart de tour, jusqu'à l'opposition de phase, où la somme vraie est nulle.

La règle à retenir tient en une phrase : en alternatif, les grandeurs s'additionnent comme des vecteurs, jamais comme des nombres, et la loi des mailles reste vraie à condition de l'entendre ainsi.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux tensions de 60 V et 80 V efficaces sont en quadrature. Que vaut leur somme ?

La méthode

Repérer si l'énoncé donne une valeur efficace ou une amplitude. En l'absence de précision, une valeur donnée en alternatif est efficace.
Convertir une fois pour toutes, en début de calcul, et ne plus mélanger les deux ensuite.
Passer de la période à la fréquence puis à la pulsation dès le début, puisque c'est $\omega$ qui apparaît dans les formules d'impédance.
Compter le déphasage de la tension sur le courant, $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ , et vérifier son signe sur le diagramme : un courant qui passe par zéro après la tension est en retard, et $\varphi$ est alors positif.
Ne jamais additionner deux valeurs efficaces sans avoir vérifié qu'elles sont en phase.
Vérifier les unités et les angles : une pulsation est en radians par seconde, et un produit $\omega t$ est donc en radians. Calculer un sinus en degrés sur une calculatrice réglée en radians, ou l'inverse, produit un nombre plausible et faux.
Contrôler l'ordre de grandeur : une valeur efficace est plus petite que l'amplitude, d'un facteur $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , exactement.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

La tension et le courant du ventilateur

1.
Le ventilateur de l'ouverture est alimenté sous 230 V efficaces. Quelle tension crête son isolant doit-il tenir, en volts, à 0,1 V près ?
2.
Il tire 0,8 A efficaces. Quel est son courant crête, en ampères, à 0,01 A près ?
3.
Le courant est en retard de 36,87 degrés sur la tension. Combien de millisecondes séparent le sommet de la tension de celui du courant, à 0,01 ms près ?
4.
Que vaut le courant à l'instant où la tension atteint son sommet, en ampères, à 0,01 A près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : l'isolant du moteur doit tenir 325,3 V crête, et non 230 V ; le courant culmine à 1,13 A, 2,05 ms après la tension, et ne vaut que 0,91 A quand la tension est à son sommet. Ce décalage de 2 ms sur 20 ne se voit pas au multimètre, qui n'affiche que des valeurs efficaces : il faut l'analyseur, ou un oscilloscope.

Au démarrage du ventilateur, quel courant crête traverse le contacteur, et que vaut le courant quand la tension culmine ?

Au démarrage, le moteur du ventilateur du local technique de Belmarais tire 2,4 A efficaces sous 230 V, 50 Hz, et Hugo Sellier relève sur l'analyseur que son courant passe par zéro en montant 3,5 ms après la tension. Le démarrage dure environ deux secondes, une centaine de périodes : chacune se traite comme en régime sinusoïdal. Calculer le courant crête, en ampères, à 0,01 A près, le déphasage $\varphi$ , en degrés, avec son signe, et la valeur du courant à l'instant où la tension atteint son sommet, en ampères, à 0,01 A près.

Par où commencer ? Convertir d'abord le décalage en angle : la période du réseau donne la règle de conversion.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le courant vaut-il $I_{\max}\sin 27°$ quand la tension culmine, et non $I_{\max}$  ?

Le corrigé

Passer de la valeur efficace à la crête. $I_{\max} = 2{,}4 \times \sqrt{2} \approx 3{,}39$ A : l'analyseur et le multimètre affichent une valeur efficace, et c'est la crête que le contacteur voit passer.
Calculer la période. $T = 1/f = 1/50 = 20$ ms : c'est la durée qui vaut un tour, 360 degrés.
Convertir le décalage en angle. $360 \times 3{,}5/20 = 63$ degrés. Le courant passe par zéro après la tension : il est en retard, donc $\varphi = \varphi_u - \varphi_i = +63°$ .
Placer le sommet de la tension. Elle culmine un quart de période après son passage par zéro en montant, à $t = 5$ ms, soit à 90° de son motif.
Calculer le courant à cet instant. $i = I_{\max}\sin(90° - 63°) = 3{,}394 \times \sin 27° \approx 3{,}394 \times 0{,}454 \approx 1{,}54$ A : à peine 45 % de sa crête, parce que le courant est en retard.
Vérifier. Le courant culmine 3,5 ms après la tension, à $t = 8{,}5$ ms : $\sin(360 \times 8{,}5/20 - 63) = \sin 90° = 1$ , et il vaut bien $I_{\max}$ . C'est la réponse à l'ouverture : au démarrage, le contacteur voit passer 3,39 A crête, trois fois la crête de 1,13 A du régime normal, et un courant plus en retard, de 63 degrés au lieu de 36,87.

Les deux tensions relevées sur une lampe et son ballast sont-elles cohérentes avec le réseau ?

Dans un gymnase, un électricien vérifie un projecteur à lampe à décharge, alimenté par le réseau de 230 V, 50 Hz. Le ballast, une bobine montée en série avec la lampe, limite son courant. Le voltmètre lit 100 V aux bornes de la lampe et 207 V aux bornes du ballast, et l'oscilloscope montre que la tension du ballast passe par zéro 5 ms avant celle de la lampe. Leur somme, 307 V, fait douter de l'appareil. Calculer le déphasage entre les deux tensions, en degrés, puis la valeur efficace de leur somme, en volts, à 1 V près, et dire si les mesures sont cohérentes. Calculer enfin la tension crête que l'isolant du ballast doit tenir, en volts, à 1 V près.

Par où commencer ? Avant toute somme, convertir le décalage de 5 ms en angle, et regarder ce qu'il dit de la position des deux tensions.

Le corrigé

Convertir le décalage en angle. $360 \times 5/20 = 90$ degrés : la tension du ballast est en avance d'un quart de tour sur celle de la lampe, et les deux sont en quadrature.
Écarter la somme des nombres. Additionner $100 + 207 = 307$ V ne vaut que pour deux tensions en phase ; en quadrature, le résultat est trop grand, et 307 V dépasseraient d'ailleurs les 230 V du réseau qui alimente l'ensemble.
Calculer la somme en quadrature. Comme pour l'hypoténuse d'un triangle rectangle : $\sqrt{100^2 + 207^2} = \sqrt{52\,849} \approx 230$ V.
Conclure. La somme vraie retrouve les 230 V du réseau : les mesures sont cohérentes, et le voltmètre n'est pas en cause. L'addition des deux lectures surestimait la somme de 33,5 %.
Calculer la crête du ballast. $207 \times \sqrt{2} \approx 293$ V : c'est la tension que son isolant doit tenir, la lecture de 207 V n'en donnant que la valeur efficace.
Vérifier. Chaque tension est plus petite que leur somme, comme les côtés d'un triangle rectangle devant son hypoténuse ; et la somme trouvée, 229,9 V, s'écarte de moins de 0,1 % des 230 V du réseau, bien moins que la précision d'un voltmètre.

Quel courant crête traverse le moteur d'une pompe de cale, et que vaut-il quand la tension culmine ?

À bord d'un navire de pêche, le réseau électrique délivre 440 V efficaces à 60 Hz. Le moteur de la pompe de cale tire 6 A efficaces, et son courant passe par zéro en montant 2,5 ms après la tension. Calculer la tension crête, en volts, à 1 V près, le courant crête, en ampères, à 0,01 A près, le déphasage $\varphi$ , en degrés, avec son signe, et la valeur du courant à l'instant où la tension atteint son sommet, en ampères, à 0,01 A près.

Par où commencer ? La fréquence n'est pas celle du réseau domestique : recalculer d'abord la période, qui donne la conversion du décalage en angle.

Le corrigé

Passer des valeurs efficaces aux crêtes. $U_{\max} = 440\sqrt{2} \approx 622$ V et $I_{\max} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ A : les appareils du bord affichent des valeurs efficaces.
Calculer la période. $T = 1/60 \approx 16{,}67$ ms, et non 20 ms : à 60 Hz, un tour dure moins longtemps.
Convertir le décalage en angle. $360 \times 2{,}5/16{,}67 = 54$ degrés. Le courant passe par zéro après la tension : il est en retard, et $\varphi = +54°$ .
Placer le sommet de la tension. Il arrive un quart de période après le passage par zéro en montant, à $t \approx 4{,}17$ ms, soit à 90° du motif.
Calculer le courant à cet instant. $i = 8{,}485 \times \sin(90° - 54°) = 8{,}485 \times \sin 36° \approx 8{,}485 \times 0{,}588 \approx 4{,}99$ A.
Vérifier. Le courant culmine 2,5 ms plus tard, à $t \approx 6{,}67$ ms : $\sin(360 \times 6{,}67/16{,}67 - 54) = \sin 90° = 1$ . La démarche est celle du premier exercice, avec une autre période : un retard en millisecondes ne se convertit en degrés qu'avec la période du réseau qui l'a produit, et les mêmes 2,5 ms n'auraient fait que 45° à 50 Hz.

Une grandeur qui ne tient pas en place

Période, fréquence, pulsation

La valeur efficace

Le déphasage

Pourquoi deux tensions efficaces ne s'ajoutent pas

La méthode

Mettre en pratique

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