Le régime sinusoïdal · Électricité

Tout ce qui précède décrit un courant qui va dans un sens et garde sa valeur. Le réseau, lui, ne fait ni l'un ni l'autre : sa tension change de signe cent fois par seconde et ne reste jamais deux instants à la même valeur. Les lois des chapitres précédents restent vraies à chaque instant, mais elles deviennent inutilisables telles quelles, puisqu'il faudrait les écrire pour chacun de ces instants.

Ce chapitre installe les trois grandeurs qui rendent l'alternatif calculable : la valeur efficace, qui remplace la valeur instantanée ; la période et la fréquence, qui disent à quelle vitesse tout cela se répète ; et le déphasage, qui dit de combien deux grandeurs sont décalées. Rien d'autre n'est nécessaire pour la suite du parcours, et rien de moins ne suffit.

Une grandeur qui ne tient pas en place

Une tension alternative sinusoïdale s'écrit ainsi :

Définition

$u(t) = U_{\max} \sin(\omega t + \varphi)$

$U_{\max}$ est l'amplitude, en volts. $\omega$ est la pulsation, en radians par seconde. $\varphi$ est la phase à l'origine, en radians : elle dit où en est la grandeur à l'instant zéro.

Trois nombres suffisent donc à décrire complètement la tension, pour tous les instants passés et à venir. C'est beaucoup moins qu'il n'y paraît, et c'est ce qui rend le calcul possible.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	instant
u	230 V	325 V	0,0°	0 V

Instant0 s

Fréquence 50 Hz, période 20 ms. Les vecteurs tournent tous à la même vitesse : leur écart angulaire, le déphasage, ne change donc jamais, et c'est la projection de chacun sur l'axe vertical qui décrit sa sinusoïde. Les grandeurs en gras sont calculées.

Une tension sinusoïdale de 230 V efficaces à 50 Hz. Déplacer le curseur d'instant et suivre la valeur instantanée dans la dernière colonne du tableau : elle parcourt tout l'intervalle entre plus et moins l'amplitude, alors que la valeur efficace, elle, ne bouge pas.

À manipuler

Arrêter le mouvement et amener le curseur au sommet de la courbe : la valeur instantanée y vaut 325 V, et non 230.
L'amener ensuite sur un passage par zéro : la valeur instantanée est nulle, et la tension efficace vaut toujours 230 V. Une valeur efficace ne décrit pas un instant, elle décrit la grandeur entière.
Repérer le trait vertical marqué T : c'est la période, et la courbe se répète à l'identique après lui.

Période, fréquence, pulsation

Trois façons de dire la même chose, et il faut savoir passer de l'une à l'autre sans réfléchir.

Définitions

La période $T$ est la durée d'un motif complet, en secondes.
La fréquence $f$ est le nombre de motifs par seconde, en hertz : $f = 1/T$ .
La pulsation $\omega$ est la vitesse angulaire du vecteur tournant du chapitre suivant, en radians par seconde : $\omega = 2\pi f$ .

Sur le réseau français, $f = 50$ Hz, donc $T = 20$ ms et $\omega \approx 314$ rad/s. Ces trois nombres sont à connaître comme on connaît une table de multiplication : ils reviennent dans chaque calcul du parcours.

La pulsation n'est pas la fréquence

Confondre $f$ et $\omega$ introduit un facteur $2\pi$ , soit un écart de plus de six, et le résultat reste plausible : une impédance de 50 Ω au lieu de 314 Ω ne choque pas l'œil.

Le contrôle qui protège : une pulsation se compte en centaines pour le réseau, une fréquence en dizaines. Un nombre voisin de 314 est une pulsation ; un nombre voisin de 50 est une fréquence.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une tension a une période de 20 ms. Que vaut sa pulsation ?

La valeur efficace

Une tension qui passe son temps à changer pose une question simple : que vaut-elle ? La moyenne ne convient pas, elle est nulle, puisque la courbe passe autant de temps au-dessus qu'en dessous de zéro. Il faut une autre définition, et elle se prend du côté de l'effet produit.

Définition

La valeur efficace d'une grandeur alternative est la valeur continue qui produirait la même puissance dissipée dans une même résistance.

Pour une sinusoïde :

$U_{\text{eff}} = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}} \qquad \text{donc} \qquad U_{\max} = U_{\text{eff}}\sqrt{2}$

Cette définition est la seule raison pour laquelle le facteur racine de deux existe, et elle explique pourquoi on ne parle presque jamais de l'amplitude en pratique : une plaque signalétique, un multimètre et une facture donnent tous des valeurs efficaces, parce que c'est l'effet qui se paie et qui chauffe.

Les deux nombres du réseau

Le réseau domestique délivre 230 V efficaces. Son amplitude vaut donc $230\sqrt{2} \approx 325$ V, et c'est cette valeur-là que subit l'isolant d'un câble.

Un composant se choisit sur la valeur efficace pour son échauffement, et sur l'amplitude pour sa tenue en tension. Les deux calculs sont nécessaires, et ils ne donnent pas le même nombre.

Une résistance sur le réseau

Un radiateur de 1 000 W est branché sur 230 V efficaces.

Le courant efficace vaut $I = P/U = 1000/230 \approx 4{,}35$ A.
La résistance vaut $R = U/I = 230/4{,}35 \approx 52{,}9\ \Omega$ , ou directement $U^2/P$ .
L'amplitude du courant vaut $4{,}35 \times \sqrt{2} \approx 6{,}15$ A, et c'est elle que le conducteur voit passer aux crêtes.

Toutes les formules du chapitre 2 restent valables, à condition d'y mettre des valeurs efficaces partout, et jamais un mélange des deux.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un appareil porte la mention « 24 V ». Quelle est l'amplitude de cette tension si elle est alternative ?

Le déphasage

Deux grandeurs de même fréquence ne passent pas forcément par zéro au même instant. L'écart entre les deux s'appelle le déphasage, et c'est la notion centrale de tout ce qui suit.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à u	instant
u	230 V	325 V	0,0°	—	0 V
i	15 A	21,2 A	-60,0°	-60,0°	-18,4 A

Instant0 s

Une tension et un courant déphasés de 60 degrés. Le courant passe par zéro après la tension : il est en retard. La colonne « écart à u » du tableau donne ce retard en degrés, et il ne change jamais.

À manipuler

Suivre les deux points colorés pendant que le temps avance : celui du courant atteint son maximum après celui de la tension, toujours du même retard.
Arrêter le mouvement sur un maximum de la tension et lire la valeur instantanée du courant : elle n'est pas maximale, et c'est exactement ce que coûte un déphasage.
Comparer les deux échelles : la tension se compte en volts, le courant en ampères, et la figure emploie une échelle par unité. Leurs hauteurs ne se comparent donc pas, seuls leurs instants le peuvent.

Définition

Le déphasage de $i$ par rapport à $u$ , noté $\varphi$ , est la différence de leurs phases à l'origine :

$\varphi = \varphi_i - \varphi_u$

Il est négatif quand le courant est en retard sur la tension, positif quand il est en avance, et nul quand les deux passent par zéro ensemble.

Ce qui décide du signe

Un circuit inductif, c'est-à-dire qui contient une bobine, met le courant en retard. C'est le cas de tout ce qui contient un moteur ou un transformateur, donc de la plus grande partie d'une installation industrielle.
Un circuit capacitif, qui contient un condensateur, met le courant en avance.
Un circuit purement résistif ne déphase rien.

Ces trois faits sont établis au chapitre des impédances. Ils sont annoncés ici parce que le signe du déphasage se lit sur une figure bien avant de se calculer.

Vérification rapideon peut se reprendre

Sur un diagramme temporel, le courant passe par zéro 4 ms après la tension, dans un réseau à 50 Hz. Que vaut le déphasage ?

Pourquoi deux tensions efficaces ne s'ajoutent pas

C'est le point qui justifie tout le chapitre suivant, et il se voit mieux qu'il ne se raconte.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à u1	instant
u1	100 V	141 V	0,0°	—	0 V
u2	100 V	141 V	90,0°	90,0°	141 V
ut= u1 + u2	141 V	200 V	45,0°	45,0°	141 V

Instant0 s

Deux tensions de 100 V efficaces, déphasées d'un quart de période. Leur somme ne vaut pas 200 V. La vue de droite dit pourquoi : les deux vecteurs ne pointent pas dans la même direction, et c'est leur somme vectorielle que la ligne calculée donne.

À manipuler

Lire la valeur efficace de la somme dans le tableau : 141 V, et non 200. C'est

100\sqrt{2}

, la diagonale d'un carré de côté 100.
Suivre la courbe de la somme sur la vue de gauche : elle est bien une sinusoïde de même fréquence, mais son maximum ne tombe ni avec celui de u1 ni avec celui de u2.
Regarder la vue de droite pendant que le temps avance : les trois vecteurs tournent ensemble, sans jamais changer d'écart angulaire. C'est cette rigidité qui permet d'oublier le temps et de ne raisonner que sur les angles, ce que fait le chapitre suivant.

L'erreur qui coûte le plus cher du parcours

Additionner deux valeurs efficaces comme deux nombres est juste dans un seul cas : quand les deux grandeurs sont en phase. Dans tous les autres, le résultat est trop grand, et l'écart atteint 30 % en quadrature.

La règle à retenir tient en une phrase : en alternatif, les grandeurs s'additionnent comme des vecteurs, jamais comme des nombres, et la loi des mailles du chapitre 3 reste vraie à condition de l'entendre ainsi.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux tensions de 60 V et 80 V efficaces sont en quadrature. Que vaut leur somme ?

La méthode

Repérer si l'énoncé donne une valeur efficace ou une amplitude. En l'absence de précision, une valeur donnée en alternatif est efficace.
Convertir une fois pour toutes, en début de calcul, et ne plus mélanger les deux ensuite.
Passer de la période à la fréquence puis à la pulsation dès le début, puisque c'est $\omega$ qui apparaît dans les formules d'impédance.
Compter un déphasage de la grandeur vers sa référence, et vérifier son signe sur le diagramme : un courant qui passe par zéro après la tension est en retard.
Ne jamais additionner deux valeurs efficaces sans avoir vérifié qu'elles sont en phase.
Contrôler l'ordre de grandeur : une valeur efficace est plus petite que l'amplitude, d'un facteur 1,41 exactement.

Synthèse

Une grandeur sinusoïdale est décrite par trois nombres : amplitude, pulsation et phase à l'origine.
$T = 1/f$ et $\omega = 2\pi f$ . Sur le réseau français : 20 ms, 50 Hz, 314 rad/s.
La valeur efficace est la valeur continue qui produirait la même puissance dissipée, et vaut l'amplitude divisée par $\sqrt{2}$ .
Une plaque signalétique, un multimètre et une facture donnent des valeurs efficaces ; l'isolant, lui, subit l'amplitude.
Le déphasage est l'écart de phase entre deux grandeurs de même fréquence, et il ne change pas au cours du temps.
Un circuit inductif met le courant en retard, un circuit capacitif en avance, un circuit résistif ne déphase rien.
Deux valeurs efficaces ne s'additionnent comme deux nombres que si elles sont en phase : sinon, elles s'additionnent comme des vecteurs.
Toutes les formules du régime continu restent valables en efficace, à condition de ne jamais mélanger efficace et amplitude dans un même calcul.