Fresnel et les nombres complexes · Électricité

Le chapitre précédent s'est arrêté sur un constat gênant : la loi des mailles reste vraie en alternatif, mais elle ne se calcule plus avec des additions ordinaires. Deux tensions de 100 V donnent 141 V ou 200 V ou 0 V selon leur déphasage, et rien dans les nombres eux-mêmes ne dit lequel.

Il manque une représentation qui porte deux informations à la fois, l'amplitude et la phase. Il en existe deux, et ce sont les mêmes : le vecteur tournant de Fresnel, qui se dessine, et le nombre complexe, qui se calcule. Ce chapitre établit leur équivalence, puis montre pourquoi l'un sert à comprendre et l'autre à aller vite.

Le vecteur qui tourne

Une grandeur sinusoïdale a une amplitude et une phase. Un vecteur du plan a une longueur et une direction. L'idée tient tout entière dans cette coïncidence.

Définition

À la grandeur $u(t) = U_{\max}\sin(\omega t + \varphi)$ on associe un vecteur de Fresnel de longueur $U_{\text{eff}}$ et faisant l'angle $\varphi$ avec l'axe horizontal.

Ce vecteur tourne à la vitesse $\omega$ , et la grandeur instantanée est sa projection sur l'axe vertical, multipliée par $\sqrt{2}$ .

Deux choix méritent d'être remarqués, parce qu'ils sont des conventions et non des faits. La longueur du vecteur est la valeur efficace et non l'amplitude, pour la même raison qu'au chapitre précédent : c'est la valeur efficace qu'on lit partout. Et tous les vecteurs d'une figure tournent ensemble, ce qui permet d'arrêter le temps sans rien perdre.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	instant
u	230 V	325 V	30,0°	163 V

Instant0 s

Fréquence 50 Hz, période 20 ms. Les vecteurs tournent tous à la même vitesse : leur écart angulaire, le déphasage, ne change donc jamais, et c'est la projection de chacun sur l'axe vertical qui décrit sa sinusoïde. Les grandeurs en gras sont calculées.

Un seul vecteur, et la sinusoïde qu'il engendre. Arrêter le mouvement, puis déplacer le curseur d'instant : le point de gauche suit exactement la projection verticale du vecteur de droite.

À manipuler

Amener le vecteur à la verticale, pointe vers le haut : la valeur instantanée atteint son maximum, 325 V.
L'amener à l'horizontale : la valeur instantanée passe par zéro, alors que le vecteur est de pleine longueur. Une projection nulle ne signifie pas un vecteur nul, et c'est tout le propos.
Remarquer que la longueur du vecteur ne change jamais : c'est la valeur efficace, et elle ne dépend pas de l'instant.

Pourquoi le temps peut être oublié

Tous les vecteurs d'une figure tournent à la même vitesse, puisqu'ils ont la même fréquence. Leurs positions relatives ne changent donc jamais.

Arrêter le temps à l'instant zéro ne perd aucune information, et c'est ce qu'on fait toujours : un diagramme de Fresnel est une photographie prise à $t = 0$ , et il décrit néanmoins le régime entier.

La somme, construite puis calculée

C'est l'opération pour laquelle le diagramme existe.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à ur	instant
ur	30 V	42,4 V	0,0°	—	0 V
ul	40 V	56,6 V	90,0°	90,0°	56,6 V
u= ur + ul	50 V	70,7 V	53,1°	53,1°	56,6 V

Instant0 s

La tension d'une résistance et celle d'une bobine, en série. Elles sont en quadrature, et leur somme se lit comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 30 et 40.

À manipuler

Lire la valeur efficace de la somme dans le tableau : 50 V, qui est l'hypoténuse du triangle 3-4-5.
Lire sa phase : 53,1 degrés. C'est l'arctangente de 40 sur 30, et ce sera le déphasage du circuit au chapitre suivant.
Arrêter le mouvement et vérifier que le vecteur somme se referme bien sur les deux autres posés bout à bout.

Le même résultat, par le calcul

Par projection. Sur l'axe horizontal : $30 + 40\cos 90° = 30$ . Sur l'axe vertical : $0 + 40\sin 90° = 40$ .

Le module vaut $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ V.

L'angle vaut $\arctan(40/30) \approx 53{,}1°$ .

La construction graphique et le calcul par projections sont la même opération. Le dessin sert à ne pas se tromper de configuration, le calcul à obtenir un nombre.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux tensions en quadrature valent 120 V et 50 V. Que vaut leur somme efficace ?

Le nombre complexe, qui est le même objet

Un vecteur du plan et un nombre complexe sont la même chose écrite deux fois. Le passage à l'écriture complexe n'apporte donc aucune notion nouvelle : il apporte de la vitesse de calcul, parce que les complexes se multiplient et se divisent, ce que les vecteurs ne savent pas faire.

Deux écritures d'un même nombre

Forme algébrique : $\underline{U} = a + jb$ , où $a$ est la projection horizontale et $b$ la projection verticale.

Forme polaire : $\underline{U} = U\,e^{j\varphi}$ , notée aussi $[U ; \varphi]$ , où $U$ est le module et $\varphi$ l'argument.

Le passage de l'une à l'autre :

$a = U\cos\varphi \qquad b = U\sin\varphi$ $U = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \tan\varphi = \frac{b}{a}$

En électricité, l'imaginaire se note j

La lettre $i$ est déjà prise : elle désigne l'intensité. L'unité imaginaire s'écrit donc $j$ , avec $j^2 = -1$ , et c'est la seule différence avec la notation du chapitre de mathématiques, dont tout le reste s'applique ici mot pour mot.

Laquelle employer, et quand

La forme algébrique sert à additionner : on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.
La forme polaire sert à multiplier et diviser : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent.

Un calcul d'électrotechnique alterne donc les deux, et savoir passer de l'une à l'autre sans y penser est la compétence qui fait gagner le plus de temps.

La somme précédente, en complexes

$\underline{U_R} = 30$ , qui est réel puisque sa phase est nulle.
$\underline{U_L} = 40\,e^{j90°} = 40j$ , puisque $e^{j90°} = j$ .

La somme : $\underline{U} = 30 + 40j$ .

Le module : $|\underline{U}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ V.
L'argument : $\arg \underline{U} = \arctan(40/30) \approx 53{,}1°$ .

On retrouve exactement la construction graphique, en trois lignes d'écriture au lieu d'un dessin.

Le piège du quadrant

L'arctangente ne distingue pas deux directions opposées : $\arctan(b/a)$ rend le même angle pour $(3 ; 4)$ et pour $(-3 ; -4)$ , alors que ces deux vecteurs pointent à l'opposé l'un de l'autre.

Toujours regarder les signes avant de conclure

L'arctangente rend un angle entre −90° et +90°. Si la partie réelle est négative, le vecteur est dans le deuxième ou le troisième quadrant, et il faut ajouter 180° au résultat de la calculatrice.

Le contrôle qui protège : placer le point sur un croquis avant d'annoncer l'angle. Une partie réelle négative et une partie imaginaire positive donnent un angle compris entre 90° et 180°, et aucun autre.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un calcul donne $\underline{Z} = -3 + 4j$ . La calculatrice rend $\arctan(4/{-3}) \approx -53°$ . Que vaut l'argument ?

Trois grandeurs et un point neutre

La construction se généralise sans changer d'un mot, et c'est ce qui permettra d'aborder le triphasé.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à v1	instant
v1	230 V	325 V	0,0°	—	0 V
v2	230 V	325 V	-120,0°	-120,0°	-282 V
v3	230 V	325 V	120,0°	120,0°	282 V
vn= v1 + v2 + v3	1,14e-7 µV	1,61e-7 µV	0,0°	0,0°	0 V

Instant0 s

Trois tensions de même valeur efficace, régulièrement déphasées d'un tiers de tour. Leur somme est nulle, ce qui est la propriété sur laquelle repose tout le réseau de distribution.

À manipuler

Lire la valeur efficace de la somme : elle est nulle, alors qu'aucune des trois n'est petite.
Arrêter le mouvement à un instant quelconque et additionner les trois valeurs instantanées de la dernière colonne : elles se compensent aussi, à chaque instant et pas seulement en moyenne.
Suivre la vue de gauche : les trois sinusoïdes sont décalées d'un tiers de période, soit 6,67 ms.

Cette somme nulle n'est pas une curiosité. C'est elle qui permet, dans une installation triphasée équilibrée, de ne faire passer aucun courant dans le conducteur de neutre, et donc de le dimensionner plus petit que les trois autres, voire de s'en passer.

La méthode

Dessiner avant de calculer. Un croquis de Fresnel, même approximatif, dit dans quel quadrant tombe le résultat et attrape la plupart des erreurs de signe.
Choisir une origine des phases, généralement la tension d'alimentation ou le courant commun à une branche série, et la poser à zéro degré.
Écrire chaque grandeur en algébrique si l'opération est une somme, en polaire si c'est un produit ou un quotient.
Additionner les projections séparément, l'horizontale avec l'horizontale, la verticale avec la verticale.
Revenir au module et à l'argument, en vérifiant le quadrant sur les signes des deux parties.
Contrôler contre le dessin : le module de la somme est compris entre la différence et la somme des modules, jamais en dehors.

Synthèse

Un vecteur de Fresnel a pour longueur la valeur efficace et pour angle la phase à l'origine.
La valeur instantanée est la projection verticale du vecteur tournant, multipliée par $\sqrt{2}$ .
Tous les vecteurs d'une figure tournant ensemble, le temps peut être arrêté sans perte : un diagramme est une photographie qui décrit le régime entier.
Une grandeur sinusoïdale s'écrit aussi comme un nombre complexe, en notation $j$ puisque $i$ désigne l'intensité.
La forme algébrique sert aux sommes, la forme polaire aux produits et quotients.
L'arctangente ignore le quadrant : une partie réelle négative impose d'ajouter 180 degrés.
Le module d'une somme est toujours compris entre la différence et la somme des modules.
Trois grandeurs égales déphasées de 120 degrés ont une somme nulle, à chaque instant, et c'est le fondement du triphasé.