Fresnel et les nombres complexes

Sur le départ qui alimente le local technique du parc de recharge pour véhicules électriques de Belmarais, le chargeur de la batterie de secours étant à l'arrêt, Hugo Sellier, technicien de maintenance, relève deux courants : 0,8 A pour le ventilateur, en retard de 36,87 degrés sur la tension, et 10,87 A pour le chauffage, purement résistif, en phase avec elle. Le chapitre précédent s'est arrêté sur un constat gênant : deux valeurs efficaces ne s'ajoutent comme des nombres que si elles sont en phase, et en quadrature comme les côtés d'un triangle rectangle. Ces deux courants ne sont ni l'un ni l'autre, et rien dans les nombres 0,8 et 10,87 ne dit comment les combiner.

Il manque une écriture qui porte deux informations à la fois, la valeur efficace et la phase, et qui se calcule. Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir comment écrire le courant du ventilateur en un seul nombre, quel courant porte le départ, et de combien il est décalé sur la tension. Au démarrage du ventilateur, son courant passe à 2,4 A, en retard de 63 degrés : le départ porte-t-il alors 13,27 A ?

Le vecteur qui tourne

Une grandeur sinusoïdale a une amplitude et une phase. Un vecteur du plan a une longueur et une direction. L'idée tient tout entière dans cette coïncidence.

Définition

À la grandeur $u(t) = U_{\max}\sin(\omega t + \varphi_u)$ on associe un vecteur de Fresnel de longueur $U_{\text{eff}}$ et faisant l'angle $\varphi_u$ , sa phase à l'origine, avec l'axe horizontal.

Ce vecteur tourne à la vitesse $\omega$ , et la grandeur instantanée est sa projection sur l'axe vertical, multipliée par $\sqrt{2}$ .

Deux choix méritent d'être remarqués, parce qu'ils sont des conventions et non des faits. La longueur du vecteur est la valeur efficace et non l'amplitude, pour la même raison qu'au chapitre précédent : c'est la valeur efficace qu'on lit partout. Et tous les vecteurs d'une figure tournent ensemble, ce qui permet d'arrêter le temps sans rien perdre.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	instant
u	230 V	325 V	30,0°	163 V

Instant0 s

Fréquence 50 Hz, période 20 ms. Les vecteurs tournent tous à la même vitesse : leur écart angulaire, le déphasage, ne change donc jamais, et c'est la projection de chacun sur l'axe vertical qui décrit sa sinusoïde. Les grandeurs en gras sont calculées.

Un seul vecteur, et la sinusoïde qu'il engendre. Arrêter le mouvement, puis déplacer le curseur d'instant : le point de gauche suit exactement la projection verticale du vecteur de droite.

À manipuler

Amener le vecteur à la verticale, pointe vers le haut : la valeur instantanée atteint son maximum, 325 V.
L'amener au plus près de l'horizontale : la valeur instantanée s'approche de zéro, et s'annulerait exactement sur l'horizontale, alors que le vecteur est de pleine longueur. Une projection nulle ne signifie pas un vecteur nul, et c'est tout le propos.
Remarquer que la longueur du vecteur ne change jamais : c'est la valeur efficace, et elle ne dépend pas de l'instant.

Pourquoi le temps peut être oublié. Tous les vecteurs d'une figure tournent à la même vitesse, puisqu'ils ont la même fréquence. Leurs positions relatives ne changent donc jamais.

Arrêter le temps à l'instant zéro ne perd aucune information, et c'est ce qu'on fait toujours : un diagramme de Fresnel est une photographie prise à $t = 0$ , et il décrit néanmoins le régime entier.

Vérification rapideon peut se reprendre

Sur un diagramme de Fresnel figé à l'instant zéro, la tension du ventilateur sert de référence, à l'horizontale. Le vecteur de son courant mesure 0,8 A et pointe 36,87° sous l'axe horizontal. Que dit-il du courant ?

La somme, construite puis calculée

C'est l'opération pour laquelle le diagramme existe.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à ur	instant
ur	30 V	42,4 V	0,0°	réf.	0 V
ul	40 V	56,6 V	90,0°	90,0°	56,6 V
u= ur + ul	50 V	70,7 V	53,1°	53,1°	56,6 V

Instant0 s

La tension d'une résistance et celle d'une bobine, en série. Elles sont en quadrature, et leur somme se lit comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 30 et 40.

À manipuler

Lire la valeur efficace de la somme dans le tableau : 50 V, qui est l'hypoténuse du triangle 3-4-5.
Lire sa phase : 53,1 degrés. C'est l'arctangente de 40 sur 30, et ce sera le déphasage

\varphi

du circuit au chapitre suivant.
Arrêter le mouvement et vérifier que le vecteur somme est la diagonale du rectangle construit sur les deux autres : sa pointe est là où arriverait celle de ul si on la faisait partir de la pointe de ur.

Le même résultat, par le calcul

Par projection. Sur l'axe horizontal : $30 + 40\cos 90° = 30$ . Sur l'axe vertical : $0 + 40\sin 90° = 40$ .

Le module vaut $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ V.

L'angle vaut $\arctan(40/30) \approx 53{,}1°$ .

La construction graphique et le calcul par projections sont la même opération. Le dessin sert à ne pas se tromper de configuration, le calcul à obtenir un nombre.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux tensions en quadrature valent 120 V et 50 V. Que vaut leur somme efficace ?

Là où le dessin s'arrête

Le diagramme de Fresnel fait très bien une chose, et plus mal une autre. Il vaut la peine de savoir laquelle, parce que c'est ce partage qui justifie la suite du chapitre.

Ce que le dessin fait bien. Une somme ou une différence. Deux vecteurs mis bout à bout donnent leur somme, et le résultat se lit à la règle. C'est tout ce dont les deux sections précédentes ont eu besoin.

Ce que le dessin fait mal

Un produit ou un quotient a bien un sens sur le dessin : multiplier par un nombre de longueur $r$ et d'angle $\theta$ , c'est tourner de $\theta$ et agrandir de $r$ , comme le montre le chapitre de mathématiques sur les complexes. La tension d'une bobine, un quart de tour en avance sur son courant, est exactement cela.

Mais une rotation se dessine, dix ne se dessinent plus. Or le chapitre suivant en demande sans interruption : la loi d'Ohm en alternatif s'écrit $\underline{U} = \underline{Z}\,\underline{I}$ , un produit ; chercher un courant à partir d'une tension demande un quotient ; associer deux impédances en parallèle demande un produit divisé par une somme. Mené au rapporteur, chacun de ces gestes ajoute une erreur de lecture à la précédente.

Un exemple chiffré rend la différence concrète. Une tension de 230 V en phase avec l'origine est appliquée à un dipôle dont l'impédance vaut 100 Ω et fait tourner de 60 degrés, c'est-à-dire d'argument $+60°$ . Le courant se trouve en divisant l'une par l'autre : son module vaut $230/100 = 2{,}3$ A, et sa phase $0 - 60 = -60$ degrés. Sur le dessin, c'est le vecteur tension raccourci et tourné de 60 degrés en arrière ; en complexes, c'est une ligne de calcul exacte, qui s'enchaîne avec la suivante sans rapporteur.

Deux outils, deux usages, et aucun des deux ne remplace l'autre. Le dessin sert à comprendre et à contrôler : voir qu'un courant est en retard, voir qu'une somme est plus courte que ses termes, repérer une réponse aberrante en un coup d'œil.

Le complexe sert à calculer : multiplier, diviser, enchaîner sans repasser par la géométrie.

Dans un calcul rédigé, les deux se complètent : le calcul mené en complexes, et un petit diagramme en marge pour vérifier que le résultat tombe du bon côté. Abandonner le dessin une fois les complexes acquis est une perte, parce que c'est le seul contrôle qui ne repasse pas par le même calcul.

Le nombre complexe, qui est le même objet

Un vecteur du plan et un nombre complexe sont la même chose écrite deux fois. Le passage à l'écriture complexe n'apporte donc aucune notion nouvelle : il apporte de la vitesse de calcul, parce que les rotations et les agrandissements que le dessin fait au rapporteur deviennent des multiplications exactes, qui s'enchaînent sans perte.

Deux écritures d'un même nombre

Forme algébrique : $\underline{U} = a + jb$ , où $a$ est la projection horizontale et $b$ la projection verticale.

Forme polaire : $\underline{U} = U\,e^{j\theta}$ , notée aussi $[U ; \theta]$ , où $U$ est le module et $\theta$ l'argument. Pour une grandeur sinusoïdale, le module est sa valeur efficace et l'argument sa phase à l'origine.

Le passage de l'une à l'autre :

$a = U\cos\theta \qquad b = U\sin\theta$ $U = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \tan\theta = \frac{b}{a}$

Ce qui change par rapport au chapitre de mathématiques

La lettre $i$ est déjà prise : elle désigne l'intensité. L'unité imaginaire s'écrit donc $j$ , avec $j^2 = -1$ .

Le chapitre de mathématiques s'applique pour tout le calcul, module, argument, produit et quotient, avec trois conventions propres à l'électricité. Le module est la valeur efficace, et non l'amplitude que les mathématiques associent à un signal. La grandeur instantanée se lit sur l'axe vertical, parce qu'elle s'écrit avec un sinus, là où les mathématiques emploient un cosinus et l'axe horizontal. Et les angles se donnent le plus souvent en degrés : $e^{j90°}$ , écriture courante chez les électriciens, signifie $e^{j\pi/2}$ .

Un module d'amplitude complexe pris dans le chapitre de mathématiques se divise donc par $\sqrt{2}$ avant de servir ici.

Laquelle employer, et quand. La forme algébrique sert à additionner : on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.
La forme polaire sert à multiplier et diviser : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. C'est l'écriture en nombres de la rotation et de l'agrandissement.

Un calcul d'électrotechnique alterne donc les deux, et savoir passer de l'une à l'autre sans y penser est la compétence qui fait gagner le plus de temps.

Pourquoi les complexes simplifient l'électricité. Multiplier par $j$ , de module 1 et d'argument 90 degrés, fait tourner d'un quart de tour vers l'avant, sans rien agrandir. Or c'est exactement ce que fait une dérivée sur une sinusoïde : la pente de $\sin(\omega t)$ est $\omega\cos(\omega t)$ , la même courbe avancée d'un quart de période et multipliée par $\omega$ .

Dériver revient donc à multiplier par $j\omega$ . Les relations du condensateur et de la bobine, qui contiennent une dérivée, deviennent de simples produits, et un circuit en alternatif se calcule comme un circuit en continu. Le chapitre des impédances en tire toute sa matière.

La somme précédente, en complexes

$\underline{U_R} = 30$ , qui est réel puisque sa phase est nulle.
$\underline{U_L} = 40\,e^{j90°} = 40j$ , puisque $e^{j90°} = j$ .

La somme : $\underline{U} = 30 + 40j$ .

Le module : $|\underline{U}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ V.
L'argument : $\arg \underline{U} = \arctan(40/30) \approx 53{,}1°$ .

On retrouve exactement la construction graphique, en trois lignes d'écriture au lieu d'un dessin.

Le piège du quadrant

L'arctangente ne distingue pas deux directions opposées : $\arctan(b/a)$ rend le même angle pour $(3 ; 4)$ et pour $(-3 ; -4)$ , alors que ces deux vecteurs pointent à l'opposé l'un de l'autre.

Toujours regarder les signes avant de conclure

L'arctangente rend un angle entre −90° et +90°. Si la partie réelle est négative, le vecteur est dans le deuxième ou le troisième quadrant, et il faut ajouter 180° au résultat de la calculatrice.

Le contrôle qui protège : placer le point sur un croquis avant d'annoncer l'angle. Une partie réelle négative et une partie imaginaire positive donnent un angle compris entre 90° et 180°, et aucun autre.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un calcul donne $\underline{Z} = -3 + 4j$ . La calculatrice rend $\arctan(4/{-3}) \approx -53°$ . Que vaut l'argument ?

Trois grandeurs et un point neutre

La construction se généralise sans changer d'un mot, et c'est ce qui permettra d'aborder le triphasé.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à v1	instant
v1	230 V	325 V	0,0°	réf.	0 V
v2	230 V	325 V	-120,0°	-120,0°	-282 V
v3	230 V	325 V	120,0°	120,0°	282 V
vn= v1 + v2 + v3	0 V	0 V	0,0°	0,0°	0 V

Instant0 s

Trois tensions de même valeur efficace, régulièrement déphasées d'un tiers de tour. Leur somme est nulle, ce qui est la propriété sur laquelle repose tout le réseau de distribution.

À manipuler

Lire la valeur efficace de la somme : elle est nulle, alors qu'aucune des trois n'est petite.
Arrêter le mouvement à un instant quelconque et additionner les trois valeurs instantanées de la dernière colonne : elles se compensent aussi, à chaque instant et pas seulement en moyenne.
Suivre la vue de gauche : les trois sinusoïdes sont décalées d'un tiers de période, soit 6,67 ms.

Cette somme nulle n'est pas une curiosité. Quand les trois charges d'une installation triphasée sont identiques, les trois courants forment eux aussi trois vecteurs égaux décalés d'un tiers de tour, et leur somme est nulle de la même façon : aucun courant ne passe alors dans le conducteur de neutre, qui ramène cette somme à la source.

La méthode

Dessiner avant de calculer. Un croquis de Fresnel, même approximatif, dit dans quel quadrant tombe le résultat et attrape la plupart des erreurs de signe.
Choisir une origine des phases, généralement la tension d'alimentation ou le courant commun à une branche série, et la poser à zéro degré.
Écrire chaque grandeur en algébrique si l'opération est une somme, en polaire si c'est un produit ou un quotient.
Additionner les projections séparément, l'horizontale avec l'horizontale, la verticale avec la verticale.
Revenir au module et à l'argument, en vérifiant le quadrant sur les signes des deux parties.
Vérifier l'homogénéité de la construction : une projection s'ajoute à une projection, jamais à un module, et tous les modules d'un même calcul sont des valeurs efficaces, ou tous des amplitudes. Un calcul où une longueur de vecteur se retrouve additionnée à une composante est faux quelle que soit la suite.
Contrôler contre le dessin : le module de la somme de deux grandeurs est compris entre la différence et la somme de leurs modules, jamais en dehors.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

Le courant du ventilateur, puis celui du départ

1.
Le courant du ventilateur vaut 0,8 A, en retard de 36,87 degrés sur la tension, prise pour origine des phases. Quelle est la partie réelle de son nombre complexe, en ampères, à 0,01 A près ?
2.
Quelle est sa partie imaginaire, en ampères, avec son signe, à 0,01 A près ?
3.
Le chauffage du local, purement résistif, absorbe 2,5 kW sous 230 V, en phase avec la tension. Quelle est la valeur efficace du courant du départ, qui porte le chauffage et le ventilateur, en ampères, à 0,01 A près ?
4.
De combien de degrés le courant du départ est-il en retard sur la tension, à 0,1 degré près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : le courant du ventilateur s'écrit $\underline{I} = 0{,}64 - j\,0{,}48$ A, et celui du chauffage $2500/230 \approx 10{,}87$ A, sans partie imaginaire. Le départ porte leur somme, $11{,}51 - j\,0{,}48$ A, soit 11,52 A en retard de 2,4 degrés sur la tension, et non 11,67 A : l'écart reste faible, parce que le chauffage, en phase, porte l'essentiel du courant. Le démarrage du ventilateur change cela.

Au démarrage du ventilateur, le départ porte-t-il la somme des deux courants ?

Dans le local technique de Belmarais, le chargeur de la batterie de secours étant à l'arrêt, le chauffage tire 10,87 A en phase avec la tension de 230 V. Au démarrage du ventilateur, Hugo Sellier relève un courant de 2,4 A, en retard de 63 degrés sur la tension. Écrire le courant du ventilateur en forme algébrique, à 0,001 A près, puis calculer la valeur efficace du courant du départ, en ampères, à 0,01 A près, et son retard sur la tension, en degrés, à 0,1 degré près. Dire de combien, en pourcentage, l'addition des deux valeurs efficaces se tromperait.

Par où commencer ? Esquisser les deux vecteurs, la tension pour référence, avant d'écrire quoi que ce soit : le dessin dit dans quel quadrant tombera la somme.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi passer le courant du ventilateur en forme algébrique avant d'additionner ?

Le corrigé

Choisir la référence et esquisser. La tension est à 0° ; le courant du chauffage est sur l'axe horizontal, celui du ventilateur 63° en dessous. La somme tombera sous l'axe, entre les deux, dans le quatrième quadrant.
Écrire chaque courant en forme algébrique. Le chauffage : $10{,}87$ A. Le ventilateur : $2{,}4\cos 63° \approx 1{,}090$ A et $-2{,}4\sin 63° \approx -2{,}138$ A, soit $1{,}090 - j\,2{,}138$ A. La forme algébrique, parce que l'opération est une somme.
Additionner partie par partie. $\underline{I} = (10{,}87 + 1{,}090) - j\,2{,}138 = 11{,}96 - j\,2{,}138$ A.
Revenir au module et à l'argument. $|\underline{I}| = \sqrt{11{,}96^2 + 2{,}138^2} \approx 12{,}15$ A, et $\arctan(2{,}138/11{,}96) \approx 10{,}1°$ , sans quadrant à corriger puisque la partie réelle est positive : le courant du départ est en retard de 10,1° sur la tension.
Comparer à l'addition des nombres. $10{,}87 + 2{,}4 = 13{,}27$ A, soit $13{,}27/12{,}15 - 1 \approx 9{,}2$ % de trop. C'est la réponse à l'ouverture : au démarrage, le départ porte 12,15 A et non 13,27 A, contre 11,52 A en marche normale.
Vérifier contre le dessin. 12,15 A est compris entre $10{,}87 - 2{,}4 = 8{,}47$ A et $10{,}87 + 2{,}4 = 13{,}27$ A, comme toute somme de deux vecteurs, et le retard de 10,1° tombe bien entre 0° et 63°.

Quelle tension prend une self de ligne traversée par le courant d'un variateur ?

Dans une station de pompage d'eau potable, une self de ligne, une bobine de 3 mH, est placée devant le variateur de vitesse d'une pompe pour en lisser le courant. Elle est traversée par un courant de 12 A efficaces à 50 Hz, de phase à l'origine −20° par rapport à la tension du réseau. La tension d'une bobine vaut $u = L\,\dfrac{di}{dt}$ . Écrire le courant en forme polaire et en forme algébrique, puis calculer la tension de la self en complexe, sa valeur efficace, en volts, à 0,01 V près, et sa phase, en degrés.

Par où commencer ? Se rappeler ce que devient une dérivée quand la grandeur est sinusoïdale et écrite en complexe.

Le corrigé

Écrire le courant en complexe. En forme polaire, $\underline{I} = 12\,e^{-j20°}$  ; en forme algébrique, $12\cos 20° - j\,12\sin 20° \approx 11{,}28 - j\,4{,}10$ A. La forme polaire servira, puisque l'opération à venir est un produit.
Remplacer la dérivée par un produit. Pour une grandeur sinusoïdale, dériver revient à multiplier par $j\omega$  : $\underline{U} = j\omega L\,\underline{I}$ , avec $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314{,}2$ rad/s.
Calculer le module. $\omega L = 314{,}2 \times 0{,}003 \approx 0{,}942\ \Omega$ , donc $U = 0{,}942 \times 12 \approx 11{,}31$ V : multiplier par $j\omega L$ agrandit le vecteur courant de $\omega L$ .
Calculer l'argument. $j$ a pour argument 90°, et les arguments s'ajoutent dans un produit : $-20 + 90 = 70°$ . La tension de la self est en avance d'un quart de tour sur son courant.
Écrire la tension en forme algébrique. $11{,}31\cos 70° + j\,11{,}31\sin 70° \approx 3{,}87 + j\,10{,}63$ V.
Vérifier par la dérivée. Avec $i(t) = 12\sqrt{2}\sin(\omega t - 20°)$ , $L\,\dfrac{di}{dt} = 12\sqrt{2}\,\omega L\cos(\omega t - 20°) = 12\sqrt{2}\,\omega L\sin(\omega t + 70°)$  : la même valeur efficace, $12\,\omega L \approx 11{,}31$ V, et la même phase, 70°. La self prend ainsi environ 4,9 % des 230 V du réseau, l'ordre de grandeur habituel de ce composant.

Le disjoncteur d'une ligne de boulangerie déclenche-t-il quand le four et le pétrin tournent ensemble ?

Dans une boulangerie, une ligne monophasée de 230 V, 50 Hz, alimente un four électrique, purement résistif, qui tire 12 A, et le moteur d'un pétrin, qui tire 6 A en retard de 40 degrés sur la tension. Le disjoncteur de la ligne déclenche au-delà de 17,5 A. Calculer la valeur efficace du courant de la ligne, en ampères, à 0,01 A près, et son retard sur la tension, en degrés, à 0,1 degré près, puis dire si le disjoncteur déclenche.

Par où commencer ? Esquisser les deux vecteurs, la tension pour référence, puis se demander quelle forme des nombres complexes se prête à une somme.

Le corrigé

Choisir la référence et esquisser. La tension est à 0° ; le courant du four est sur l'axe horizontal, celui du pétrin 40° en dessous. La somme tombera dans le quatrième quadrant, entre les deux.
Écrire chaque courant en forme algébrique. Le four : $12$ A. Le pétrin : $6\cos 40° \approx 4{,}596$ A et $-6\sin 40° \approx -3{,}857$ A, soit $4{,}596 - j\,3{,}857$ A, parce qu'une somme se fait partie par partie.
Additionner partie par partie. $\underline{I} = (12 + 4{,}596) - j\,3{,}857 = 16{,}596 - j\,3{,}857$ A.
Revenir au module et à l'argument. $|\underline{I}| = \sqrt{16{,}596^2 + 3{,}857^2} \approx 17{,}04$ A, et $\arctan(3{,}857/16{,}596) \approx 13{,}1°$ de retard, la partie réelle étant positive.
Conclure. 17,04 A restent sous les 17,5 A du réglage : le disjoncteur ne déclenche pas. L'addition des valeurs efficaces, $12 + 6 = 18$ A, aurait conclu à tort qu'il déclenche : ici, la méthode change la décision.
Vérifier contre le dessin. 17,04 A est compris entre $12 - 6 = 6$ A et $12 + 6 = 18$ A, et le retard de 13,1° tombe bien entre 0° et 40°. La démarche est celle du premier exercice : la forme algébrique pour la somme, le module pour la conclusion.

Le vecteur qui tourne

La somme, construite puis calculée

Là où le dessin s'arrête

Le nombre complexe, qui est le même objet

Le piège du quadrant

Trois grandeurs et un point neutre

La méthode

Mettre en pratique

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