Les impédances · Électricité

Une résistance s'oppose au passage du courant de la même façon à toutes les fréquences. Une bobine et un condensateur, non : leur opposition dépend de la fréquence, et surtout elle déphase. C'est cette dernière propriété qui les distingue vraiment, et qui explique pourquoi une installation industrielle tire plus de courant qu'elle n'en aurait besoin.

Ce chapitre remplace la résistance par une grandeur qui porte les deux informations à la fois, l'opposition et le déphasage. Elle s'appelle l'impédance, c'est un nombre complexe, et toutes les règles d'association du chapitre 4 s'y appliquent mot pour mot. Rien n'est à réapprendre : il faut seulement calculer avec des complexes au lieu de calculer avec des réels.

Trois composants, trois comportements

Définition

L'impédance $\underline{Z}$ d'un dipôle est le rapport de la tension complexe au courant complexe :

$\underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}}$

Son module $|\underline{Z}|$ , en ohms, donne le rapport des valeurs efficaces. Son argument donne le déphasage de la tension sur le courant.

Les trois composants du parcours se rangent en trois lignes, et ces trois lignes sont à connaître par cœur.

Composant	Impédance	Module	Déphasage de u sur i
Résistance $R$	$R$	$R$	0°
Bobine $L$	$j\omega L$	$\omega L$	+90°
Condensateur $C$	$\dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}$	$\dfrac{1}{\omega C}$	−90°

Tout tient dans le signe de la partie imaginaire

Une partie imaginaire positive signale une bobine, donc un courant en retard sur la tension.
Une partie imaginaire négative signale un condensateur, donc un courant en avance.
Une partie imaginaire nulle signale un comportement purement résistif.

Le moyen mnémotechnique employé partout : dans une bobine, le courant est en retard, et la lettre L arrive après la lettre C dans « retard ». Le moyen vaut ce qu'il vaut ; le signe, lui, se retrouve par le calcul en deux lignes.

Une réactance n'est pas une résistance

Une bobine de 0,1 H « vaut 31,4 Ω » à 50 Hz. Ce nombre a bien la dimension d'une résistance, et pourtant la bobine ne dissipe rien : elle stocke l'énergie pendant un quart de période et la rend pendant le suivant.

L'opposition au courant et la dissipation d'énergie sont deux choses différentes, et c'est exactement ce que le chapitre suivant appellera puissance réactive.

Ce que la fréquence change

Impédance, tension et courant de chaque composant
composant	impédance	module	tension	courant
R	47 Ω	47 Ω	162 V	3,46 A
L	+ j47,1 Ω	47,1 Ω	163 V	3,46 A
ensemble	47 Ω + j47,1 Ω	66,6 Ω	230 V	3,46 A

Fréquence50 Hz

Déphasage du courant sur la tension : -45,1° (le courant est en retard : le montage est inductif). Les grandeurs en gras sont calculées.

Une résistance et une bobine en série. Déplacer le curseur de fréquence et suivre le module de l'impédance : celui de la résistance ne bouge pas, celui de la bobine monte proportionnellement, et le triangle de droite bascule vers le haut à mesure que la réactance domine.

À manipuler

Poser la fréquence sur 50 Hz : la bobine vaut 47,1 Ω, presque exactement la résistance, et le déphasage est proche de 45 degrés. Le triangle est alors un demi-carré.
Descendre vers 5 Hz : la bobine ne vaut plus que 4,7 Ω, le montage devient presque purement résistif, et le déphasage tombe sous 6 degrés.
Monter vers 2 kHz : la bobine écrase la résistance, le déphasage s'approche de 90 degrés, et le courant s'effondre. Une bobine est un obstacle qui grandit avec la fréquence.

Les deux réactances

$X_L = \omega L = 2\pi f L \qquad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$

La première croît avec la fréquence, la seconde décroît. C'est cette opposition qui rend les filtres possibles, et la résonance aussi.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une bobine de 0,2 H est placée dans un réseau à 50 Hz. Que vaut sa réactance ?

Les associations, exactement comme au chapitre 4

Les règles ne changent pas d'un mot. Seules les valeurs sont devenues complexes.

Les deux règles

En série, les impédances s'ajoutent :

$\underline{Z} = \underline{Z_1} + \underline{Z_2} + \dots$

En parallèle, ce sont les inverses qui s'ajoutent :

$\frac{1}{\underline{Z}} = \frac{1}{\underline{Z_1}} + \frac{1}{\underline{Z_2}} + \dots$

Un R-L série, mené à la main

Une résistance de 30 Ω en série avec une bobine dont la réactance vaut 40 Ω, sous 230 V.

L'impédance : $\underline{Z} = 30 + 40j$ , de module $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \Omega$ et d'argument $\arctan(40/30) \approx 53{,}1°$ .

Le courant : $I = U/|\underline{Z}| = 230/50 = 4{,}6$ A, en retard de 53,1° sur la tension.

Les tensions : $U_R = 30 \times 4{,}6 = 138$ V et $U_L = 40 \times 4{,}6 = 184$ V.

Le contrôle qui compte : $138 + 184 = 322$ V, soit bien plus que les 230 V de la source. Ce n'est pas une erreur, c'est le rappel du chapitre 9 : les deux tensions sont en quadrature, et c'est $\sqrt{138^2 + 184^2} = 230$ V qu'il faut calculer.

Une tension de composant peut dépasser celle de la source

Ce que l'exemple montre n'est pas une curiosité de calcul : dans un circuit série contenant une bobine et un condensateur, la tension aux bornes de l'un des deux peut dépasser largement la tension d'alimentation, et détruire le composant.

C'est la raison pour laquelle un condensateur se choisit sur une tension mesurée dans le montage, et jamais sur la tension du réseau.

Impédance, tension et courant de chaque composant
composant	impédance	module	tension	courant
R	100 Ω	100 Ω	230 V	2,3 A
L	+ j62,8 Ω	62,8 Ω	230 V	3,66 A
ensemble	28,3 Ω + j45 Ω	53,2 Ω	230 V	4,32 A

Déphasage du courant sur la tension : -57,9° (le courant est en retard : le montage est inductif). Les grandeurs en gras sont calculées.

Les deux mêmes composants, cette fois en parallèle. Chacun porte la tension entière et tire son propre courant, et c'est la somme vectorielle de ces courants que la source débite.

À manipuler

Lire les deux courants : 2,3 A dans la résistance et 3,66 A dans la bobine. Leur somme arithmétique vaudrait 5,96 A.
Lire le courant de l'ensemble : 4,32 A, et non 5,96. Les deux courants sont en quadrature, et c'est

\sqrt{2{,}3^2 + 3{,}66^2}

qu'il faut calculer.
Comparer les deux tensions : elles sont égales et valent 230 V, puisque les deux branches relient les deux mêmes points.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux branches en parallèle tirent 4 A et 3 A, en quadrature. Que débite la source ?

La résonance

Quand une bobine et un condensateur se trouvent dans le même montage, leurs réactances sont de signes opposés et se retranchent. Il existe donc une fréquence où elles se compensent exactement.

Définition

La fréquence de résonance est celle où $X_L = X_C$ , c'est-à-dire :

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

À cette fréquence, l'impédance d'un montage série se réduit à sa seule résistance, et le courant y est maximal.

Impédance, tension et courant de chaque composant
composant	impédance	module	tension	courant
R	10 Ω	10 Ω	12 V	1,2 A
L	+ j31,4 Ω	31,4 Ω	37,7 V	1,2 A
C	− j31,8 Ω	31,8 Ω	38,2 V	1,2 A
ensemble	10 Ω − j415 mΩ	10 Ω	12 V	1,2 A

Fréquence50 Hz

Déphasage du courant sur la tension : 2,4° (le courant est en avance : le montage est capacitif). Résonance à 50,3 Hz, où les deux réactances se compensent. Les grandeurs en gras sont calculées.

Un montage R-L-C série. Chercher au curseur la fréquence qui annule le déphasage : c'est la résonance, annoncée sous le tableau. Le triangle de droite s'y couche à l'horizontale, l'impédance se réduisant à la résistance seule.

À manipuler

Descendre sous la résonance : la réactance du condensateur l'emporte, le triangle pointe vers le bas, et le courant est en avance. Le montage est capacitif.
Monter au-dessus : la bobine l'emporte, le triangle pointe vers le haut, le courant est en retard. Le montage est devenu inductif.
S'arrêter à la résonance : le courant atteint son maximum, 1,2 A, c'est-à-dire la tension divisée par la seule résistance. Relever alors la tension aux bornes de la bobine : elle dépasse largement les 12 V de la source.

Deux résonances, deux effets opposés

En série, l'impédance est minimale à la résonance : le courant y passe le mieux. C'est le principe d'un circuit d'accord, qui laisse passer une fréquence et bloque les autres.
En parallèle, l'impédance est au contraire maximale : le courant tiré à la source y est minimal. C'est le principe du circuit bouchon.

Le même mot désigne donc deux comportements inverses, et la seule façon de ne pas s'y perdre est de regarder le montage avant de nommer l'effet.

La méthode

Calculer la pulsation $\omega = 2\pi f$ en premier, une fois pour toutes.
Écrire l'impédance de chaque composant sous forme algébrique : $R$ , $j\omega L$ , $-j/(\omega C)$ . Le signe de la partie imaginaire n'est pas optionnel.
Associer comme au chapitre 4 : somme en série, somme des inverses en parallèle, en menant le calcul en complexes.
Passer au module et à l'argument pour obtenir le courant et son déphasage.
Redescendre vers chaque composant, comme en continu, en gardant les phases.
Contrôler : la somme vectorielle des tensions d'un montage série doit redonner la tension de la source, et la somme vectorielle des courants d'un montage parallèle doit redonner le courant de la source.

Synthèse

L'impédance est le rapport de la tension complexe au courant complexe : son module donne le rapport des valeurs efficaces, son argument le déphasage.
$\underline{Z_R} = R$ , $\underline{Z_L} = j\omega L$ , $\underline{Z_C} = -j/(\omega C)$ .
Une partie imaginaire positive met le courant en retard, une partie imaginaire négative le met en avance.
Une réactance n'est pas une résistance : elle s'oppose au courant sans rien dissiper.
$X_L$ croît avec la fréquence, $X_C$ décroît : c'est cette opposition qui fait les filtres et la résonance.
Les règles d'association sont exactement celles du continu, menées en complexes.
Dans un montage série, la tension d'un composant peut dépasser celle de la source, et cela dimensionne son choix.
À la résonance, $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$  : l'impédance d'un montage série est minimale, celle d'un montage parallèle maximale.