Impédances R, L, C : fréquence, associations, résonance

Au parc de recharge pour véhicules électriques de Belmarais, le ventilateur du local technique tire 0,8 A sous 230 V, en retard de 36,87 degrés sur la tension ; le chapitre précédent a écrit ce courant en nombre complexe, $0{,}64 - j\,0{,}48$ A. Une résistance seule ne le décalerait pas : une bobine et un condensateur s'opposent au courant d'une façon qui dépend de la fréquence, et surtout ils le déphasent.

Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir quel dipôle simple, une résistance et une bobine en série, tirerait exactement ce courant, et quelle inductance il y faudrait. Elle se demande aussi si un condensateur branché à côté du moteur remettrait en phase avec la tension le courant qu'ils tirent ensemble, sans toucher au ventilateur : Hugo Sellier en a un de 5 µF en magasin ; suffit-il, et sinon, quelle valeur faudrait-il ? Les règles d'association du chapitre sur les résistances s'appliquent encore, à condition de calculer avec des complexes au lieu de calculer avec des réels.

Trois composants, trois comportements

Définition

L'impédance $\underline{Z}$ d'un dipôle est le rapport de la tension complexe au courant complexe :

$\underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}}$

Son module $|\underline{Z}|$ , en ohms, donne le rapport des valeurs efficaces. Son argument est le déphasage $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ de la tension sur le courant, défini au chapitre du régime sinusoïdal : positif quand le courant est en retard.

L'impédance d'une résistance est $R$ elle-même, puisque $u = Ri$ à chaque instant : ni décalage, ni dépendance à la fréquence. Pour les deux autres composants, tout vient des deux relations du chapitre sur le condensateur et la bobine, et du fait établi au chapitre précédent : pour une grandeur sinusoïdale, dériver revient à multiplier par $j\omega$ .

D'où viennent jωL et 1/(jωC). Une bobine obéit à $u = L\,\dfrac{di}{dt}$ . Pour un courant sinusoïdal, dériver fait deux choses : cela multiplie l'amplitude par $\omega$ , puisqu'un courant qui oscille plus vite varie plus vite, et cela avance la courbe d'un quart de période, puisque la pente d'une sinusoïde est maximale quand elle passe par zéro. En complexes, ces deux effets s'écrivent d'un seul coup : $\underline{U} = j\omega L\,\underline{I}$ . La tension est en avance de 90° sur le courant, autrement dit le courant est en retard, et l'opposition $\omega L$ grandit avec la fréquence. Une bobine freine les variations rapides du courant, et une fréquence élevée n'est rien d'autre qu'une variation rapide.

Un condensateur obéit à $i = C\,\dfrac{du}{dt}$ , donc $\underline{I} = j\omega C\,\underline{U}$ et $\underline{Z_C} = \dfrac{1}{j\omega C}$  : le courant est en avance, et l'opposition diminue quand la fréquence monte, parce qu'un condensateur laisse passer d'autant plus de courant que sa tension varie vite.

Aux deux bouts : en continu ( $\omega = 0$ ), la bobine est un simple fil et le condensateur un circuit ouvert, ce que le chapitre sur le condensateur et la bobine avait établi en régime établi ; à très haute fréquence, c'est l'inverse.

Les trois composants du parcours se rangent donc en trois lignes, et chacune se retrouve par le raisonnement qui précède.

Composant	Impédance	Module	Déphasage φ de u sur i
Résistance $R$	$R$	$R$	0°
Bobine $L$	$j\omega L$	$\omega L$	+90°
Condensateur $C$	$\dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}$	$\dfrac{1}{\omega C}$	−90°

Le passage de $\dfrac{1}{j\omega C}$ à $-\dfrac{j}{\omega C}$ tient en une ligne : $\dfrac{1}{j} = \dfrac{j}{j^2} = -j$ .

Tout tient dans le signe de la partie imaginaire. Une partie imaginaire positive signale un comportement inductif, où la bobine l'emporte : le courant est en retard sur la tension, et $\varphi > 0$ .
Une partie imaginaire négative signale un comportement capacitif, où le condensateur l'emporte : le courant est en avance, et $\varphi < 0$ .
Une partie imaginaire nulle signale un comportement purement résistif.

Un montage qui contient les deux composants peut passer de l'un à l'autre quand la fréquence change : c'est la résonance, plus bas. Le signe d'un montage se lit donc sur son impédance calculée, et non sur la seule présence d'une bobine.

Une réactance n'est pas une résistance

Une bobine de 0,1 H « vaut 31,4 Ω » à 50 Hz. Ce nombre a bien la dimension d'une résistance, et pourtant la bobine ne dissipe rien : elle stocke l'énergie pendant un quart de période et la rend pendant le suivant.

L'opposition au courant et la dissipation d'énergie sont deux choses différentes, et c'est exactement ce que le chapitre suivant appellera puissance réactive.

Ce que la fréquence change

Impédance, tension et courant de chaque composant
composant	impédance	module	tension	courant
R	47 Ω	47 Ω	162 V	3,46 A
L	+ j47,1 Ω	47,1 Ω	163 V	3,46 A
ensemble	47 Ω + j47,1 Ω	66,6 Ω	230 V	3,46 A

Fréquence50 Hz

Déphasage φ = φ_u − φ_i, argument de Z : 45,1° (le courant est en retard : le montage est inductif). Les grandeurs en gras sont calculées.

Une résistance et une bobine en série. Déplacer le curseur de fréquence et suivre le module de l'impédance : celui de la résistance ne bouge pas, celui de la bobine monte proportionnellement, et le triangle de droite bascule vers le haut à mesure que la réactance domine.

À manipuler

Poser la fréquence sur 50 Hz : la bobine vaut 47,1 Ω, presque exactement la résistance, et le déphasage affiché est proche de +45 degrés. Le triangle est alors un demi-carré.
Descendre vers 5 Hz : la bobine ne vaut plus que 4,7 Ω, le montage devient presque purement résistif, et le déphasage tombe sous 6 degrés.
Monter vers 2 kHz : la bobine écrase la résistance, le déphasage s'approche de +90 degrés, et le courant s'effondre. Une bobine est un obstacle qui grandit avec la fréquence.

Les deux réactances

$X_L = \omega L = 2\pi f L \qquad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$

La première croît avec la fréquence, la seconde décroît. C'est cette opposition qui rend les filtres possibles, et la résonance aussi.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une bobine de 0,2 H est placée dans un réseau à 50 Hz. Que vaut sa réactance ?

Les associations, exactement comme en continu

Les règles ne changent pas d'un mot par rapport au chapitre sur les résistances. Seules les valeurs sont devenues complexes.

Les deux règles

En série, les impédances s'ajoutent :

$\underline{Z} = \underline{Z_1} + \underline{Z_2} + \dots$

En parallèle, ce sont les inverses qui s'ajoutent :

$\frac{1}{\underline{Z}} = \frac{1}{\underline{Z_1}} + \frac{1}{\underline{Z_2}} + \dots$

Un R-L série, mené à la main

Une résistance de 30 Ω en série avec une bobine dont la réactance vaut 40 Ω, sous 230 V.

L'impédance : $\underline{Z} = 30 + 40j$ , de module $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \Omega$ et d'argument $\arctan(40/30) \approx 53{,}1°$ .

Le courant : $I = U/|\underline{Z}| = 230/50 = 4{,}6$ A, en retard de 53,1° sur la tension : $\varphi = +53{,}1°$ .

Les tensions : $U_R = 30 \times 4{,}6 = 138$ V et $U_L = 40 \times 4{,}6 = 184$ V.

Le contrôle qui compte : $138 + 184 = 322$ V, soit bien plus que les 230 V de la source. Ce n'est pas une erreur, c'est le rappel du chapitre du régime sinusoïdal : les deux tensions sont en quadrature, et c'est $\sqrt{138^2 + 184^2} = 230$ V qu'il faut calculer.

Une tension de composant peut dépasser celle de la source

L'exemple montre que des tensions de composants ne s'additionnent pas comme des nombres ; chacune y reste pourtant inférieure aux 230 V de la source, puisque chacune est un côté d'un triangle rectangle dont la source est l'hypoténuse. Il y a plus surprenant : dès qu'un montage série contient une bobine et un condensateur, leurs tensions, opposées, se compensent en partie, et chacune peut alors dépasser largement la tension d'alimentation, jusqu'à détruire le composant. La figure de la résonance, plus bas, en donne un exemple.

C'est la raison pour laquelle un condensateur se choisit sur la tension calculée à ses bornes, en amplitude, et jamais sur la tension du réseau.

Impédance, tension et courant de chaque composant
composant	impédance	module	tension	courant
R	100 Ω	100 Ω	230 V	2,3 A
L	+ j62,8 Ω	62,8 Ω	230 V	3,66 A
ensemble	28,3 Ω + j45 Ω	53,2 Ω	230 V	4,32 A

Déphasage φ = φ_u − φ_i, argument de Z : 57,9° (le courant est en retard : le montage est inductif). Les grandeurs en gras sont calculées.

Les deux mêmes composants, cette fois en parallèle. Chacun porte la tension entière et tire son propre courant, et c'est la somme vectorielle de ces courants que la source débite.

À manipuler

Lire les deux courants : 2,3 A dans la résistance et 3,66 A dans la bobine. Leur somme arithmétique vaudrait 5,96 A.
Lire le courant de l'ensemble : 4,32 A, et non 5,96. Les deux courants sont en quadrature, et c'est

\sqrt{2{,}3^2 + 3{,}66^2}

qu'il faut calculer.
Comparer les deux tensions : elles sont égales et valent 230 V, puisque les deux branches relient les deux mêmes points.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux branches en parallèle tirent 4 A et 3 A, en quadrature. Que débite la source ?

La résonance

Quand une bobine et un condensateur se trouvent dans le même montage, leurs réactances sont de signes opposés et se retranchent. Il existe donc une fréquence où elles se compensent exactement.

Définition

La fréquence de résonance est celle où $X_L = X_C$ , c'est-à-dire :

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

À cette fréquence, l'impédance d'un montage série se réduit à sa seule résistance, le déphasage s'annule, et le courant y est maximal. La pulsation correspondante, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , est la pulsation propre du chapitre sur le second ordre.

Impédance, tension et courant de chaque composant
composant	impédance	module	tension	courant
R	10 Ω	10 Ω	1,77 V	177 mA
L	+ j12,6 Ω	12,6 Ω	2,23 V	177 mA
C	− j79,6 Ω	79,6 Ω	14,1 V	177 mA
ensemble	10 Ω − j67 Ω	67,8 Ω	12 V	177 mA

Fréquence20 Hz

Déphasage φ = φ_u − φ_i, argument de Z : −81,5° (le courant est en avance : le montage est capacitif). Résonance à 50,3 Hz, où les deux réactances se compensent. Les grandeurs en gras sont calculées.

Un montage R-L-C série, ouvert à 20 Hz. Chercher au curseur la fréquence qui annule le déphasage : c'est la résonance, annoncée sous le tableau. Le triangle de droite s'y couche à l'horizontale, l'impédance se réduisant à la résistance seule.

À manipuler

Partir de 20 Hz, sous la résonance : la réactance du condensateur l'emporte, le triangle pointe vers le bas, le déphasage est négatif, proche de −82 degrés, et le courant est en avance. Le montage est capacitif.
Monter au-dessus de la résonance : la bobine l'emporte, le triangle pointe vers le haut, le déphasage devient positif et le courant est en retard. Le montage est devenu inductif.
S'arrêter à la résonance, vers 50,3 Hz : le déphasage s'annule et le courant atteint son maximum, 1,2 A, c'est-à-dire la tension divisée par la seule résistance. Relever alors la tension aux bornes de la bobine : environ 38 V, plus de trois fois les 12 V de la source.

Le facteur de qualité

Le facteur de qualité $Q$ d'un circuit R-L-C série compare, à la résonance, la réactance de la bobine à la résistance :

$Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

Il est sans dimension, et il chiffre la surtension : à la résonance, le courant vaut $U/R$ , donc la bobine porte $L\omega_0 \times U/R = Q\,U$ , et le condensateur exactement autant, en opposition.

Il n'est autre que l'amortissement du chapitre sur le second ordre, vu de l'autre côté : $Q = \dfrac{1}{2m}$ . Un circuit peu amorti a un facteur de qualité élevé, une forte surtension et une résonance étroite.

Sur la figure, $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-4}} \approx 316$ rad/s, et $Q = 0{,}1 \times 316/10 \approx 3{,}16$  : la bobine porte $3{,}16 \times 12 \approx 37{,}9$ V, ce que la figure affiche. La lettre $Q$ désigne ailleurs une charge ou une puissance réactive ; le facteur de qualité n'a rien à voir avec l'une ni l'autre. Le chapitre des filtres en tirera la largeur de la bande de fréquences qu'un tel circuit laisse passer.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un circuit R-L-C série de facteur de qualité 5 est alimenté sous 10 V, à sa fréquence de résonance. Quelle tension porte son condensateur ?

Deux résonances, deux effets opposés. En série, l'impédance est minimale à la résonance : le courant y passe le mieux. C'est le principe d'un circuit d'accord, qui laisse passer une fréquence et atténue les autres, d'autant plus fortement que son facteur de qualité est élevé.
En parallèle, l'impédance est au contraire maximale : le courant tiré à la source y est minimal. C'est le principe du circuit bouchon.

Le même mot désigne donc deux comportements inverses, et la seule façon de ne pas s'y perdre est de regarder le montage avant de nommer l'effet.

La méthode

Calculer la pulsation $\omega = 2\pi f$ en premier, une fois pour toutes.
Écrire l'impédance de chaque composant sous forme algébrique : $R$ , $j\omega L$ , $-j/(\omega C)$ . Le signe de la partie imaginaire n'est pas optionnel.
Associer comme pour les résistances : somme en série, somme des inverses en parallèle, en menant le calcul en complexes.
Passer au module et à l'argument pour obtenir le courant et son déphasage $\varphi$ , positif si le montage est inductif.
Redescendre vers chaque composant, comme en continu, en gardant les phases.
Vérifier les unités avant le résultat : $\omega L$ et $1/(\omega C)$ sont l'un et l'autre en ohms, comme une résistance. Une réactance qui sort en henrys ou en farads signale une pulsation oubliée, et c'est l'erreur la plus courante du chapitre.
Contrôler : la somme vectorielle des tensions d'un montage série doit redonner la tension de la source, et la somme vectorielle des courants d'un montage parallèle doit redonner le courant de la source.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

Le ventilateur vu comme une résistance et une bobine

1.
Sous 230 V, le ventilateur tire 0,8 A. Quel est le module de son impédance, en ohms, à 0,1 Ω près ?
2.
Le courant est en retard de 36,87 degrés sur la tension. Quelle résistance, en série avec une bobine, aurait la même impédance, en ohms, à 0,1 Ω près ?
3.
Quelle est la réactance de cette bobine, en ohms, à 0,1 Ω près ?
4.
Quelle est l'inductance de cette bobine, en henrys, à 0,001 H près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : vu du réseau, le ventilateur se comporte comme une résistance de 230 Ω en série avec une bobine de 0,549 H, dont la réactance vaut 172,5 Ω. Son impédance s'écrit $\underline{Z} = 230 + j\,172{,}5$ Ω, de module 287,5 Ω et d'argument $+36{,}87°$ . Cette résistance équivalente ne se mesure pas à l'ohmmètre sur l'enroulement : elle représente aussi la puissance que le moteur convertit en travail, ce que le chapitre suivant chiffrera.

Le condensateur de 5 µF du magasin remet-il le courant en phase avec la tension ?

Dans le local technique de Belmarais, Hugo Sellier branche le condensateur de 5 µF du magasin en parallèle sur le ventilateur, d'impédance $230 + j\,172{,}5$ Ω, sous 230 V à 50 Hz. Calculer le courant du condensateur en complexe, puis le courant que tirent ensemble le ventilateur et le condensateur, en ampères, à 0,001 A près, et leur déphasage $\varphi$ , en degrés, à 0,1 degré près. Dire si l'ensemble reste inductif, puis chercher la capacité qui annulerait le déphasage, en microfarads, à 0,01 µF près.

Par où commencer ? Les deux branches portent la même tension : chercher le courant de chacune avant de les associer.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le courant du condensateur s'écrit-il avec $+j$  ?

Le corrigé

Calculer la pulsation. $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314{,}2$ rad/s, une fois pour toutes.
Écrire le courant du ventilateur. $\underline{I_V} = \underline{U}/\underline{Z_V} = 230/(230 + j\,172{,}5) = 230\,(230 - j\,172{,}5)/(230^2 + 172{,}5^2) = 0{,}64 - j\,0{,}48$ A, le courant du chapitre précédent : sa partie imaginaire négative dit le retard.
Écrire le courant du condensateur. $\underline{I_C} = j\omega C\,\underline{U} = j \times 314{,}2 \times 5 \times 10^{-6} \times 230 \approx j\,0{,}361$ A, en avance d'un quart de tour sur la tension.
Associer en parallèle. Les deux branches sont sous la même tension : leurs courants s'additionnent en complexes, $\underline{I} = 0{,}64 - j\,0{,}48 + j\,0{,}361 = 0{,}64 - j\,0{,}119$ A.
Passer au module et au déphasage. $|\underline{I}| = \sqrt{0{,}64^2 + 0{,}119^2} \approx 0{,}651$ A, et $\varphi = \arctan(0{,}119/0{,}64) \approx +10{,}5°$  : la partie imaginaire du courant reste négative, le courant reste en retard, et l'ensemble reste inductif. Le condensateur de 5 µF ne suffit pas.
Chercher la capacité qui annule le déphasage. Il faut $\omega C \times 230 = 0{,}48$ , soit $C = 0{,}48/(230 \times 314{,}2) \approx 6{,}64$ µF. C'est la réponse à l'ouverture : avec 6,64 µF, le courant de l'ensemble tombe à 0,64 A, en phase avec la tension, sans que le ventilateur change.
Vérifier. Le ventilateur tire toujours ses 0,8 A, dans sa propre branche ; c'est le courant de l'ensemble qui baisse, parce que le condensateur fournit la partie imaginaire que le ventilateur demande. L'impédance de l'ensemble vaut alors $230/0{,}64 \approx 359{,}4\ \Omega$ , réelle : vu du réseau, un dipôle purement résistif.

Le filtre d'entrée d'une borne rapide résonne-t-il, et que fait-il de l'ondulation du redresseur ?

Le filtre d'entrée d'une borne rapide met en série une résistance de 1 Ω, une bobine de 1 mH et le condensateur de bus de 2 mF. Le redresseur triphasé laisse sur sa tension continue une ondulation, traitée ici comme une tension sinusoïdale de 300 Hz, en négligeant ce que tire la charge. Calculer la fréquence de résonance du filtre, en hertz, à 0,1 Hz près, et son facteur de qualité, à 0,001 près, puis dire s'il produit une surtension. Calculer ensuite son impédance à 300 Hz, module en ohms à 0,001 Ω près et déphasage en degrés à 0,1 degré près, dire s'il y est inductif ou capacitif, et quelle part de l'ondulation atteint le condensateur, en pourcentage.

Par où commencer ? Calculer d'abord la fréquence où les deux réactances se compensent, puis situer 300 Hz par rapport à elle.

Le corrigé

Calculer la fréquence de résonance. $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 1/(2\pi\sqrt{2 \times 10^{-6}}) \approx 112{,}5$ Hz, la fréquence propre du chapitre sur le second ordre.
Calculer le facteur de qualité. $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707$ , soit $1/(2m)$ avec l'amortissement $m = 0{,}707$ . Il est inférieur à 1 : à la résonance, la bobine et le condensateur portent chacun 0,707 fois la tension appliquée, moins qu'elle. Aucune surtension.
Calculer les réactances à 300 Hz. $\omega = 2\pi \times 300 \approx 1885$ rad/s ; $X_L = 1885 \times 10^{-3} \approx 1{,}885\ \Omega$ et $X_C = 1/(1885 \times 2 \times 10^{-3}) \approx 0{,}265\ \Omega$ .
Associer en série. $\underline{Z} = 1 + j\,(1{,}885 - 0{,}265) = 1 + j\,1{,}620\ \Omega$ , de module $\sqrt{1 + 1{,}620^2} \approx 1{,}904\ \Omega$ et d'argument $\arctan 1{,}620 \approx +58{,}3°$ .
Lire le caractère. La partie imaginaire est positive : au-dessus de sa résonance, le filtre est inductif, la bobine l'emporte, et le courant d'ondulation est en retard.
Chiffrer ce qui atteint le condensateur. Le même courant traverse les trois composants, donc $U_C/U = X_C/|\underline{Z}| = 0{,}265/1{,}904 \approx 0{,}139$  : 13,9 % de l'ondulation, sept fois moins.
Vérifier. À la résonance, $X_L = X_C = \sqrt{L/C} \approx 0{,}707\ \Omega$ , et le rapport à la résistance de 1 Ω redonne le même facteur de qualité ; à 300 Hz, $X_L/X_C$ doit valoir $(300/112{,}5)^2 \approx 7{,}1$ , ce que donne bien $1{,}885/0{,}265$ .

Quel condensateur remet en phase le courant du moteur d'une essoreuse ?

Dans une blanchisserie industrielle, le moteur monophasé d'une essoreuse tire 9 A sous 230 V, 50 Hz, en retard de 45 degrés sur la tension. L'électricien dispose d'un condensateur de 60 µF, qu'il branche en parallèle sur le moteur. Calculer le courant du condensateur en complexe, puis le courant que tirent ensemble le moteur et le condensateur, en ampères, à 0,01 A près, et leur déphasage $\varphi$ , en degrés, à 0,1 degré près. Dire si l'ensemble reste inductif, puis chercher la capacité qui annulerait le déphasage, en microfarads, à 0,1 µF près.

Par où commencer ? Les deux branches portent la même tension : chercher le courant de chacune avant de les associer.

Le corrigé

Calculer la pulsation. $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314{,}2$ rad/s.
Écrire le courant du moteur. $9\cos 45° \approx 6{,}364$ A et $-9\sin 45° \approx -6{,}364$ A, soit $\underline{I_M} = 6{,}364 - j\,6{,}364$ A : la partie imaginaire négative dit le retard de 45°.
Écrire le courant du condensateur. $\underline{I_C} = j\omega C\,\underline{U} = j \times 314{,}2 \times 60 \times 10^{-6} \times 230 \approx j\,4{,}335$ A, en avance d'un quart de tour sur la tension.
Associer en parallèle. Sous la même tension, les courants s'additionnent en complexes : $\underline{I} = 6{,}364 - j\,6{,}364 + j\,4{,}335 = 6{,}364 - j\,2{,}029$ A.
Passer au module et au déphasage. $|\underline{I}| = \sqrt{6{,}364^2 + 2{,}029^2} \approx 6{,}68$ A, et $\varphi = \arctan(2{,}029/6{,}364) \approx +17{,}7°$  : le courant reste en retard, l'ensemble reste inductif, et 60 µF ne suffisent pas.
Chercher la capacité qui annule le déphasage. Il faut $\omega C \times 230 = 6{,}364$ , soit $C = 6{,}364/(230 \times 314{,}2) \approx 88{,}1$ µF.
Vérifier. Avec 88,1 µF, le courant de l'ensemble se réduit à sa partie réelle, 6,364 A, en phase avec la tension, et le moteur tire toujours ses 9 A dans sa branche. La démarche est celle du premier exercice : un courant par branche, leur somme en complexes, puis le signe de la partie imaginaire.

Les impédances

Trois composants, trois comportements

Ce que la fréquence change

Les associations, exactement comme en continu

La résonance

La méthode

Mettre en pratique

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