Les puissances et le facteur de puissance

En continu, la puissance valait le produit de la tension par le courant, et il n'y avait rien d'autre à en dire. En alternatif, ce produit existe toujours, mais il ne mesure plus ce qu'on croit : il donne la puissance que l'installation fait circuler, et non celle qu'elle consomme. L'écart entre les deux se paie, en câbles plus gros et en pénalités sur la facture.

Trois puissances remplacent donc la seule du continu, avec trois unités différentes pour empêcher de les confondre. Ce chapitre les établit, montre comment les additionner, puis règle le problème qu'elles révèlent : le facteur de puissance, et la façon de le relever avec un condensateur.

Trois puissances, trois unités

Définitions

La puissance active $P = UI\cos\varphi$ , en watts, est celle qui est réellement convertie : chaleur, mouvement, lumière. C'est elle que compte le compteur.

La puissance réactive $Q = UI\sin\varphi$ , en vars, est celle qui fait l'aller-retour entre la source et les bobines sans rien produire.

La puissance apparente $S = UI$ , en voltampères, est le produit des valeurs efficaces. C'est elle que voient les câbles et le transformateur.

Les trois unités ont la même dimension physique, et on les distingue quand même. Ce n'est pas une coquetterie : écrire « 10 kW » là où il faudrait « 10 kVA » fait sous-dimensionner un câble, et le seul garde-fou disponible est la discipline de l'unité.

Le triangle des puissances

$S = \sqrt{P^2 + Q^2} \qquad \cos\varphi = \frac{P}{S} \qquad Q = P\tan\varphi$

Le facteur de puissance $\cos\varphi$ est le rapport de ce qui sert à ce qui circule. Il vaut 1 pour un récepteur purement résistif, et il descend vers 0 à mesure que l'installation devient inductive.

Bilan de puissances de l'installation
Active P	3 kW
Réactive Q	4 kvar
Apparente S	5 kVA
cos φ	0,600
Courant de ligne	21,7 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
moteur	3 kW	4 kvar	5 kVA

Monophasé sous 230 V à 50 Hz. Les puissances actives s'ajoutent entre elles et les réactives aussi, séparément : c'est le théorème de Boucherot. Les apparentes, elles, ne s'ajoutent pas. Les grandeurs en gras sont calculées.

Le triangle des puissances d'un moteur de 3 kW à cos φ de 0,6. La puissance active est le côté horizontal, la réactive le côté vertical, et l'apparente l'hypoténuse. Comparer les 3 kW consommés aux 5 kVA que les câbles doivent porter.

À manipuler

Lire les trois nombres : 3 kW, 4 kvar, 5 kVA. C'est le triangle 3-4-5, et il revient dans presque tous les énoncés.
Lire le courant de ligne : 21,7 A. C'est S divisé par U, et non P divisé par U, qui donnerait 13 A et un câble trop petit.
Regarder l'angle φ marqué à l'origine : son cosinus vaut 0,6, et c'est toute la définition du facteur de puissance.

Le courant se calcule sur l'apparente, jamais sur l'active

C'est l'erreur qui coûte le plus cher de tout le chapitre. Un câble, un disjoncteur et un transformateur se dimensionnent sur le courant, donc sur la puissance apparente.

Sur l'exemple : 13 A si l'on divise par erreur la puissance active, 21,7 A en réalité. Un câble choisi pour 13 A chaufferait en permanence sous 21,7 A.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un récepteur consomme 4 kW avec un facteur de puissance de 0,8 sous 230 V. Quel courant tire-t-il ?

Additionner les puissances de plusieurs récepteurs

Une installation comporte des dizaines de récepteurs, et le bilan se fait sans repasser par les courants, grâce à un théorème qui tient en une phrase.

Théorème de Boucherot

Les puissances actives s'ajoutent entre elles, et les puissances réactives s'ajoutent entre elles, séparément :

$P_{\text{tot}} = \sum P_k \qquad Q_{\text{tot}} = \sum Q_k$

Les puissances apparentes ne s'ajoutent pas : $S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2}$ , qui est généralement plus petit que la somme des $S_k$ .

Bilan de puissances de l'installation
Active P	25 kW
Réactive Q	13,5 kvar
Apparente S	28,4 kVA
cos φ	0,879
Courant de ligne	41 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
moteurs	15 kW	12 kvar	19,2 kVA
four	8 kW	0 var	8 kVA
eclairage	2 kW	1,5 kvar	2,5 kVA

Triphasé, condensateurs en étoile sous 400 V à 50 Hz. Les puissances actives s'ajoutent entre elles et les réactives aussi, séparément : c'est le théorème de Boucherot. Les apparentes, elles, ne s'ajoutent pas. Les grandeurs en gras sont calculées.

Une installation à trois postes. Le tableau du bas donne le détail par récepteur, le triangle donne le bilan. Additionner les apparentes de la dernière colonne et comparer à l'apparente de l'ensemble : la somme est plus grande, et c'est normal.

À manipuler

Additionner les trois puissances apparentes du tableau du bas : 19,2 + 8 + 2,5, soit environ 29,7 kVA.
Lire l'apparente de l'ensemble : 28,4 kVA. Elle est plus petite, parce que les trois récepteurs ne sont pas déphasés pareil et que leurs réactives ne s'empilent pas toutes dans le même sens.
Vérifier en revanche que les actives s'ajoutent exactement : 15 + 8 + 2 font bien les 25 kW du bilan.

Un récepteur purement résistif ne consomme aucune réactive

Un four, un radiateur, une lampe à incandescence ont un facteur de puissance de 1 : ils n'ajoutent rien au côté vertical du triangle, et ils améliorent donc le facteur de puissance de l'ensemble.

Ce sont les moteurs et les transformateurs qui le dégradent, et c'est pourquoi le problème se pose en milieu industriel et presque jamais chez un particulier.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux récepteurs de 5 kVA chacun fonctionnent ensemble, l'un purement résistif, l'autre purement inductif. Que vaut l'apparente de l'ensemble ?

Ce que coûte un mauvais facteur de puissance

Un facteur de puissance faible ne change rien à la puissance consommée. Il change tout au courant, et le courant est ce qui se paie.

La même puissance active, deux facteurs de puissance

Un atelier consomme 50 kW sous 400 V en triphasé.

À $\cos\varphi = 0{,}95$  : $S = 52{,}6$ kVA, donc $I = S/(\sqrt{3}\,U) \approx 76$ A.
À $\cos\varphi = 0{,}65$  : $S = 76{,}9$ kVA, donc $I \approx 111$ A.

Le second cas demande un câble d'une section supérieure, un disjoncteur plus gros, et dissipe dans les conducteurs une puissance en $RI^2$ deux fois plus grande, pour exactement le même travail fourni.

Trois raisons de relever le facteur de puissance

Le câble : la section se dimensionne sur le courant, donc sur l'apparente.
Les pertes : elles valent $RI^2$ dans les conducteurs, et croissent comme le carré du courant.
La facture : au-delà d'un certain seuil, le distributeur facture l'énergie réactive, précisément parce qu'elle occupe son réseau sans rien produire.

Relever le facteur de puissance

Le remède tient en un composant. Un condensateur produit de la puissance réactive, là où une bobine en consomme : placé en parallèle sur l'installation, il fournit sur place ce que les moteurs réclament, et le réseau n'a plus à le transporter.

La puissance réactive à fournir

Pour passer d'un facteur de puissance $\cos\varphi_1$ à un objectif $\cos\varphi_2$ , à puissance active constante :

$Q_C = P\,(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$

et la capacité qui la fournit, en monophasé :

$C = \frac{Q_C}{\omega\,U^2}$

Bilan de puissances de l'installation
Active P	10 kW
Réactive Q	10,2 kvar
Apparente S	14,3 kVA
cos φ	0,700
Courant de ligne	62,1 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
atelier	10 kW	10,2 kvar	14,3 kVA

Un atelier de 10 kW à cos φ de 0,7. Cliquer sur le bouton de compensation : le côté vertical du triangle raccourcit, le côté horizontal ne bouge pas, et le triangle d'origine reste en pointillés pour la comparaison.

À manipuler

Relever le courant de ligne avant compensation : 62,2 A.
Compenser, puis le relever de nouveau : 46,8 A. Un quart du courant a disparu, sans qu'un seul watt ait cessé d'être consommé.
Vérifier que la puissance active est restée exactement à 10 kW : c'est le propre d'un condensateur, il déplace le point horizontalement.
Lire la capacité nécessaire : 376 µF, ce qui est un condensateur volumineux, et c'est pourquoi la compensation se fait par gradins dans une installation réelle.

Le couplage change la capacité d'un facteur trois

En triphasé, les trois condensateurs peuvent se monter en étoile ou en triangle. En triangle, chacun voit la tension composée, donc une tension racine de trois fois plus grande, donc un carré trois fois plus grand : la capacité nécessaire est trois fois plus petite.

C'est la raison pour laquelle le montage en triangle est celui qu'on trouve dans les armoires : à puissance réactive égale, il coûte trois fois moins de capacité.

Surcompenser est un défaut, pas un excès de zèle

Un condensateur trop gros fait passer l'installation du côté capacitif : le courant devient en avance, le facteur de puissance redescend, et la tension du réseau peut monter au-delà de sa valeur nominale à faible charge.

L'objectif n'est donc jamais $\cos\varphi = 1$ , mais une valeur légèrement inférieure, typiquement entre 0,92 et 0,95.

Vérification rapideon peut se reprendre

Après compensation, que devient la puissance active de l'installation ?

La méthode

Dresser le bilan par récepteur : sa puissance active, et sa puissance réactive déduite de son facteur de puissance par $Q = P\tan\varphi$ .
Additionner séparément les actives entre elles et les réactives entre elles. Ne jamais additionner des apparentes.
Calculer l'apparente de l'ensemble par le théorème de Pythagore, puis le facteur de puissance par $P/S$ .
En déduire le courant de ligne, $I = S/U$ en monophasé et $I = S/(\sqrt{3}\,U)$ en triphasé.
Pour compenser, calculer $Q_C = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ , puis la capacité en tenant compte du couplage.
Vérifier les unités avant le résultat : le watt, le var et le voltampère mesurent des grandeurs homogènes et portent pourtant trois noms différents. Ce n'est pas une coquetterie de vocabulaire : c'est un garde-fou, destiné à rendre visible une addition qui n'a pas le droit d'être faite.
Contrôler : après compensation, la puissance active doit être inchangée, et l'apparente ainsi que le courant doivent avoir diminué.

Synthèse

La puissance active en watts est celle qui est convertie, la réactive en vars fait l'aller-retour, l'apparente en voltampères est ce qui circule.
$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ , $\cos\varphi = P/S$ , $Q = P\tan\varphi$  : c'est le triangle des puissances.
Un câble, un disjoncteur et un transformateur se dimensionnent sur l'apparente, jamais sur l'active.
Théorème de Boucherot : les actives s'ajoutent, les réactives aussi, les apparentes non.
Un mauvais facteur de puissance coûte en section de câble, en pertes en $RI^2$ et en facture, sans rien changer au travail fourni.
Un condensateur produit de la réactive : il raccourcit le côté vertical du triangle sans toucher à l'horizontal.
$Q_C = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ , et la capacité dépend du couplage : le triangle en demande trois fois moins que l'étoile.
On ne vise jamais $\cos\varphi = 1$  : surcompenser rend l'installation capacitive et fait monter la tension à faible charge.

Trois puissances, trois unités

Additionner les puissances de plusieurs récepteurs

Ce que coûte un mauvais facteur de puissance

Relever le facteur de puissance

La méthode

Synthèse

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