Les puissances et le facteur de puissance

Dans le local technique du parc de recharge de Belmarais, un ventilateur tourne jour et nuit : un moteur monophasé de 230 V qui appelle 0,8 A, avec un facteur de puissance de 0,8, le courant en retard sur la tension. En continu, le produit de la tension par le courant aurait donné sa puissance, et tout aurait été dit. En alternatif, ce produit mesure ce que le ventilateur fait circuler dans les câbles, et non ce qu'il consomme. Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir quelle puissance il convertit vraiment, quelle part ne fait qu'aller et venir, et quel condensateur, branché à côté de lui, la fournirait sur place. Hugo Sellier, technicien de maintenance, doit bientôt le remplacer par un modèle plus puissant : le condensateur choisi pour l'ancien tiendra-t-il encore le facteur de puissance au-dessus de 0,95, comme le veut la régie ?

L'impédance et son argument, le déphasage, vus au chapitre des impédances, dont ce chapitre dépend, en donnent les outils. Tout s'y passe en monophasé ; le triphasé attend le chapitre suivant.

Trois puissances, trois unités

Le déphasage est celui qu'emploie tout le parcours, et il faut le fixer avant de parler de signe : $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ , le décalage de la tension sur le courant, égal à l'argument de l'impédance du récepteur (voir le chapitre des impédances). Il est positif pour un récepteur inductif, où le courant est en retard, et négatif pour un récepteur capacitif, où il est en avance.

Définitions

La puissance active $P = UI\cos\varphi$ , en watts (W), est celle qui est réellement convertie : chaleur, mouvement, lumière. C'est elle que compte le compteur.

La puissance réactive $Q = UI\sin\varphi$ , en voltampères réactifs (var), mesure l'énergie que les bobines et les condensateurs empruntent au réseau puis lui rendent, sans rien en faire. Elle porte le signe de $\varphi$  : positive pour un récepteur inductif, qui en consomme, négative pour un récepteur capacitif, qui en fournit.

La puissance apparente $S = UI$ , en voltampères (VA), est le produit des valeurs efficaces. C'est elle que voient les câbles et le transformateur.

D'où viennent ces formules : la puissance instantanée $u\,i$ oscille au double de la fréquence du réseau, et sa moyenne vaut $UI\cos\varphi$ . C'est cette moyenne que le compteur totalise. Une bobine, elle, stocke de l'énergie dans son champ magnétique pendant un quart de période et la rend pendant le quart suivant : cet aller-retour, deux fois par période, n'apporte rien en moyenne, mais il fait circuler du courant dans les câbles. La puissance réactive en mesure l'ampleur.

Les trois unités ont la même dimension physique, et on les distingue quand même. Ce n'est pas une coquetterie : écrire « 10 kW » là où il faudrait « 10 kVA » fait sous-dimensionner un câble, et le seul garde-fou disponible est la discipline de l'unité.

Le triangle des puissances

$S = \sqrt{P^2 + Q^2} \qquad \cos\varphi = \frac{P}{S} \qquad Q = P\tan\varphi$

Le facteur de puissance $\cos\varphi$ est le rapport de ce qui sert à ce qui circule. Il vaut 1 pour un récepteur purement résistif, et il descend vers 0 à mesure que le récepteur s'éloigne du résistif, qu'il devienne inductif ou capacitif. Le cosinus ne dit donc pas de quel côté : une fiche technique précise « 0,8 inductif » ou « 0,8 capacitif », et le signe de $Q = P\tan\varphi$ le porte.

Bilan de puissances de l'installation
Active P	3 kW
Réactive Q	4 kvar
Apparente S	5 kVA
cos φ	0,600
Courant de ligne	21,7 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
moteur	3 kW	4 kvar	5 kVA

Monophasé sous 230 V à 50 Hz. Les puissances actives s'ajoutent entre elles et les réactives aussi, séparément : c'est le théorème de Boucherot. Les apparentes, elles, ne s'ajoutent pas. Les grandeurs en gras sont calculées.

Le triangle des puissances d'un moteur de 3 kW à cos φ de 0,6. La puissance active est le côté horizontal, la réactive le côté vertical, et l'apparente l'hypoténuse. Comparer les 3 kW consommés aux 5 kVA que les câbles doivent porter.

À manipuler

Lire les trois nombres : 3 kW, 4 kvar, 5 kVA. C'est le triangle 3-4-5, et il revient dans presque tous les énoncés.
Lire le courant de ligne : 21,7 A. C'est S divisé par U, et non P divisé par U, qui donnerait 13 A et un câble trop petit.
Regarder l'angle φ marqué à l'origine : son cosinus vaut 0,6, et c'est toute la définition du facteur de puissance. Le côté vertical monte, parce que le moteur est inductif et que sa réactive est positive.

Le courant se calcule sur l'apparente, jamais sur l'active

C'est l'erreur qui coûte le plus cher de tout le chapitre. Un câble, un disjoncteur et un transformateur se dimensionnent sur le courant, donc sur la puissance apparente.

Sur l'exemple : 13 A si l'on divise par erreur la puissance active, 21,7 A en réalité. Un câble choisi pour 13 A chaufferait en permanence sous 21,7 A.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un récepteur consomme 6 kW avec un facteur de puissance de 0,75 sous 230 V. Quel courant tire-t-il ?

Additionner les puissances de plusieurs récepteurs

Une installation comporte des dizaines de récepteurs, et le bilan se fait sans repasser par les courants, grâce à un théorème qui tient en une phrase.

Théorème de Boucherot

Les puissances actives s'ajoutent entre elles, et les puissances réactives s'ajoutent entre elles, séparément :

$P_{\text{tot}} = \sum P_k \qquad Q_{\text{tot}} = \sum Q_k$

Les réactives s'ajoutent avec leur signe : positive pour un récepteur inductif, négative pour un condensateur. C'est ce signe qui permet à une batterie de condensateurs de diminuer le total.

Les puissances apparentes ne s'ajoutent pas : $S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2}$ , qui est généralement plus petit que la somme des $S_k$ .

Bilan de puissances de l'installation
Active P	8 kW
Réactive Q	3,5 kvar
Apparente S	8,73 kVA
cos φ	0,916
Courant de ligne	38 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
moteur	4 kW	3 kvar	5 kVA
four	3 kW	0 var	3 kVA
eclairage	1 kW	500 var	1,12 kVA

Un petit atelier à trois postes. Le tableau du bas donne le détail par récepteur, le triangle donne le bilan. Additionner les apparentes de la dernière colonne et comparer à l'apparente de l'ensemble : la somme est plus grande, et c'est normal.

À manipuler

Additionner les trois puissances apparentes du tableau du bas : 5 + 3 + 1,12, soit environ 9,1 kVA.
Lire l'apparente de l'ensemble : 8,73 kVA. Elle est plus petite, et pourtant aucune réactive n'est négative ici. Les trois triangles n'ont simplement pas la même inclinaison : le moteur penche à 37 degrés, le four est couché à plat, l'éclairage penche à 27 degrés. Mis bout à bout, des côtés inclinés différemment forment un chemin plus long que la ligne droite qui en joint les extrémités, et cette ligne droite est l'apparente de l'ensemble.
Vérifier en revanche que les actives s'ajoutent exactement : 4 + 3 + 1 font bien les 8 kW du bilan, et que les réactives aussi : 3 + 0 + 0,5 font les 3,5 kvar.

Un récepteur purement résistif ne consomme aucune réactive. Un four, un radiateur, une lampe à incandescence ont un facteur de puissance de 1 : ils n'ajoutent rien au côté vertical du triangle, et ils améliorent donc le facteur de puissance de l'ensemble. Sur la figure, le moteur seul est à 0,8 ; avec le four et l'éclairage, l'atelier passe à 0,916.

Ce sont les moteurs et les transformateurs qui le dégradent, et c'est pourquoi le problème se pose en milieu industriel et presque jamais chez un particulier.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux récepteurs de 5 kVA chacun fonctionnent ensemble, l'un purement résistif, l'autre purement inductif. Que vaut l'apparente de l'ensemble ?

Ce que coûte un mauvais facteur de puissance

Un facteur de puissance faible ne change rien à la puissance consommée. Il change tout au courant, et le courant est ce qui se paie.

La même puissance active, deux facteurs de puissance

Un atelier consomme 10 kW sous 230 V.

À $\cos\varphi = 0{,}95$  : $S = 10{,}5$ kVA, donc $I = S/U \approx 45{,}8$ A.
À $\cos\varphi = 0{,}65$  : $S = 15{,}4$ kVA, donc $I \approx 66{,}9$ A.

Le second cas demande un câble d'une section supérieure, un disjoncteur plus gros, et dissipe dans les conducteurs une puissance en $RI^2$ deux fois plus grande, puisque $(0{,}95/0{,}65)^2 \approx 2{,}1$ , pour exactement le même travail fourni.

Trois raisons de relever le facteur de puissance.

Le câble : la section se dimensionne sur le courant, donc sur l'apparente.
Les pertes : elles valent $RI^2$ dans les conducteurs, et croissent comme le carré du courant.
La facture : pour les abonnés de forte puissance, le distributeur facture l'énergie réactive consommée au-delà de $\tan\varphi = 0{,}4$ , soit un facteur de puissance d'environ 0,93, précisément parce qu'elle occupe son réseau sans rien produire. C'est de là que vient l'objectif de 0,93 retenu dans ce chapitre.

Relever le facteur de puissance

Le remède tient en un composant. Un condensateur a une puissance réactive négative : il fournit sur place la réactive que les moteurs réclament. Placé en parallèle sur l'installation, il fait baisser le total de Boucherot, et le réseau n'a plus à transporter cette réactive.

La puissance réactive à fournir

Pour passer d'un facteur de puissance $\cos\varphi_1$ à un objectif $\cos\varphi_2$ , à puissance active constante :

$Q_C = P\,(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$

$Q_C$ est la réactive que le condensateur doit fournir, comptée positivement ; dans le bilan de Boucherot, il figure avec $-Q_C$ .

Un condensateur de capacité $C$ sous la tension $U$ est traversé par le courant $I = C\omega U$ , déphasé d'un quart de période : sa réactive vaut $-UI = -C\omega U^2$ . D'où la capacité qui fournit $Q_C$  :

$C = \frac{Q_C}{\omega\,U^2}$

Bilan de puissances de l'installation
Active P	10 kW
Réactive Q	10,2 kvar
Apparente S	14,3 kVA
cos φ	0,700
Courant de ligne	62,1 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
atelier	10 kW	10,2 kvar	14,3 kVA

Un atelier de 10 kW à cos φ de 0,7. Cliquer sur le bouton de compensation : le côté vertical du triangle raccourcit, le côté horizontal ne bouge pas, et le triangle d'origine reste en pointillés pour la comparaison.

À manipuler

Relever le courant de ligne avant compensation : 62,1 A.
Compenser, puis le relever de nouveau : 46,8 A. Un quart du courant a disparu, sans qu'un seul watt ait cessé d'être consommé.
Vérifier que la puissance active est restée exactement à 10 kW : c'est le propre d'un condensateur, il raccourcit le côté vertical et laisse l'horizontal en place.
Lire la capacité nécessaire : 376 µF. Une installation réelle ne la branche pas d'un bloc : sa consommation de réactive change avec le nombre de machines en marche, et une capacité fixe prévue pour la pleine charge surcompenserait le soir, quand les moteurs s'arrêtent. La batterie est donc découpée en gradins, qu'un régulateur enclenche un à un selon le facteur de puissance mesuré.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un moteur appelle 3 kvar. On branche en parallèle un condensateur qui en fournit 1. Que vaut la réactive de l'ensemble ?

Surcompenser est un défaut, pas un excès de zèle

Un condensateur trop gros rend la réactive totale négative : l'installation passe du côté capacitif, le courant devient en avance, le facteur de puissance redescend, et la tension du réseau peut monter au-delà de sa valeur nominale à faible charge.

L'objectif n'est donc jamais $\cos\varphi = 1$ , mais une valeur légèrement inférieure, typiquement entre 0,92 et 0,95.

Vérification rapideon peut se reprendre

Après compensation, que devient la puissance active de l'installation ?

La méthode

Dresser le bilan par récepteur : sa puissance active, et sa puissance réactive déduite de son facteur de puissance par $Q = P\tan\varphi$ .
Donner son signe à chaque réactive : positive pour un récepteur inductif, négative pour un condensateur.
Additionner séparément les actives entre elles et les réactives entre elles. Ne jamais additionner des apparentes.
Calculer l'apparente de l'ensemble par le théorème de Pythagore, puis le facteur de puissance par $P/S$ , et le courant de ligne par $I = S/U$ .
Pour compenser, calculer $Q_C = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ , puis la capacité par $C = Q_C/(\omega U^2)$ .
Vérifier les unités avant le résultat : un watt, un var et un voltampère ne s'additionnent jamais entre eux, et une capacité tirée de $Q_C/(\omega U^2)$ sort bien en farads, puisqu'un var divisé par des radians par seconde et des volts au carré donne des coulombs par volt.
Contrôler : après compensation, la puissance active doit être inchangée, et l'apparente ainsi que le courant doivent avoir diminué.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

Les puissances du ventilateur

1.
Le ventilateur du local technique est alimenté sous 230 V, à 50 Hz ; il appelle 0,8 A sous un facteur de puissance de 0,8, le courant en retard. Quelle puissance active convertit-il, en watts (W), à 0,1 W près ?
2.
Quelle puissance réactive appelle-t-il, avec son signe, en voltampères réactifs (var), à 0,1 var près ?
3.
Quelle capacité, branchée en parallèle sur le ventilateur, lui fournirait toute cette réactive, en microfarads (µF), à 0,01 µF près ?
4.
Ce condensateur branché, quel courant le ventilateur et lui tirent-ils ensemble sur la ligne, en ampères (A), à 0,01 A près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : le ventilateur convertit 147,2 W, ses câbles en portent 184 VA, et 110,4 var ne font qu'aller et venir entre lui et le réseau. Un condensateur de 6,64 µF les fournit sur place : le courant de ligne tombe de 0,8 à 0,64 A, un cinquième de moins, sans qu'un watt manque au ventilateur. Le deuxième exercice type dit s'il faut aller jusque-là.

Le condensateur de l'ancien ventilateur suffit-il au nouveau ?

Hugo Sellier a monté dans le local technique un ventilateur plus puissant. Condensateur débranché, il relève sous 230 V, à 50 Hz, un courant de 0,92 A et une puissance active de 160 W ; le moteur est inductif. Le condensateur de 6,64 µF posé pour l'ancien ventilateur fournit 110,4 var. La régie veut un facteur de puissance d'au moins 0,95. Calculer le facteur de puissance du nouveau ventilateur seul, à 0,001 près, puis celui de l'ensemble une fois le condensateur rebranché, à 0,001 près, et le courant de ligne, en ampères, à 0,001 A près, et dire si le condensateur suffit.

Par où commencer ? Chercher, à partir des deux lectures, la puissance réactive que le nouveau moteur appelle, avant de penser au condensateur.

Le corrigé

Reconstruire le triangle du moteur seul. Son apparente vaut $S = UI = 230 \times 0{,}92 = 211{,}6$ VA, d'où $\cos\varphi = 160/211{,}6 \approx$ 0,756 et $Q = \sqrt{211{,}6^2 - 160^2} \approx 138{,}5$ var, positive puisqu'il est inductif.
Donner son signe à la réactive du condensateur. Il fournit 110,4 var : dans le bilan, il compte pour −110,4 var.
Additionner les réactives, puis reconstruire l'apparente. $Q = 138{,}5 - 110{,}4 = 28{,}1$ var, l'active restant de 160 W, d'où $S = \sqrt{160^2 + 28{,}1^2} \approx 162{,}4$ VA.
Calculer le facteur de puissance et le courant. $\cos\varphi = 160/162{,}4 \approx$ 0,985, et $I = 162{,}4/230 \approx$ 0,706 A, contre 0,92 A sans condensateur.
Décider. 0,985 dépasse les 0,95 visés : le condensateur suffit, et il n'en faut pas un plus gros. C'est la réponse à l'ouverture : l'ancien condensateur ne ramène plus le facteur de puissance à 1, puisqu'il fournit moins de réactive que le nouveau moteur n'en appelle, mais il le tient au-dessus de l'objectif.
Vérifier. L'active n'a pas bougé et le courant a baissé : le condensateur n'a retranché que de la réactive. Le courant reste au-dessus de $160/230 \approx 0{,}696$ A, celui qu'on aurait à facteur de puissance 1, ce qui est attendu tant que la réactive de l'ensemble n'est pas nulle.

Faut-il ramener le facteur de puissance du ventilateur jusqu'à 1 ?

Le ventilateur du local technique absorbe 147,2 W et 110,4 var sous 230 V, à 50 Hz : son facteur de puissance vaut 0,8. Le condensateur qui lui fournit toute sa réactive, de 6,64 µF, ramène son courant de 0,8 à 0,64 A. Inès Barral envisage plutôt un condensateur plus petit, qui ne relève le facteur de puissance qu'à 0,95. Calculer sa capacité, en microfarads (µF), à 0,01 µF près, et le courant de ligne qu'il laisse, en ampères, à 0,001 A près, puis comparer les deux condensateurs.

Par où commencer ? Chercher, dans la formule de la réactive à fournir, ce qui change quand l'objectif passe de 1 à 0,95.

Le corrigé

Lire les deux tangentes. Au départ, $\cos\varphi_1 = 0{,}8$ donne $\tan\varphi_1 = 0{,}75$  ; l'objectif, $\cos\varphi_2 = 0{,}95$ , donne $\tan\varphi_2 \approx 0{,}329$ . La réactive se calcule avec les tangentes, puisque $Q = P\tan\varphi$ à puissance active fixée.
Calculer la réactive à fournir. $Q_C = 147{,}2 \times (0{,}75 - 0{,}329) \approx 62{,}0$ var, un peu plus de la moitié des 110,4 var du ventilateur.
En tirer la capacité. Avec $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314{,}2$ rad/s, $C = Q_C/(\omega U^2) = 62{,}0 / (314{,}2 \times 230^2) \approx$ 3,73 µF.
Calculer le courant obtenu. L'active ne change pas, donc $S = 147{,}2 / 0{,}95 \approx 154{,}9$ VA et $I = 154{,}9 / 230 \approx$ 0,674 A.
Comparer les deux condensateurs. Ramené à 1, le courant perd 0,16 A ; ramené à 0,95, il en perd 0,126 A : 79 % du gain, pour 56 % de la capacité. Les pertes dans le câble, en $RI^2$ , tombent à 71 % de leur valeur de départ, contre 64 % à facteur 1 : la fin du chemin rapporte peu. Elle a en revanche un prix : si le condensateur reste sous tension quand le ventilateur s'arrête, celui de 6,64 µF appelle seul 0,48 A, purement capacitifs, contre 0,27 A pour celui de 3,73 µF. C'est la raison de viser 0,95 plutôt que 1.
Vérifier. La réactive qui reste vaut $110{,}4 - 62{,}0 = 48{,}4$ var, et $\sqrt{147{,}2^2 + 48{,}4^2} \approx 154{,}9$ VA : le facteur de puissance vaut bien $147{,}2 / 154{,}9 \approx 0{,}95$ , et l'active n'a pas bougé.

La ligne d'une pâtisserie tient-elle quand tous ses appareils fonctionnent ?

Le laboratoire d'une pâtisserie est alimenté sous 230 V, à 50 Hz, par une ligne que protège un disjoncteur de 25 A. Aux heures de pointe, trois appareils fonctionnent ensemble : un four ventilé purement résistif de 3,3 kW, un batteur-mélangeur de 1,3 kW, de facteur de puissance 0,76, et une vitrine réfrigérée de 700 W, de facteur de puissance 0,84, ces deux derniers inductifs. Le gérant a additionné les puissances apparentes des trois appareils et en a conclu qu'il fallait un disjoncteur plus gros. Calculer le courant de ligne réel, en ampères, à 0,1 A près, et dire si le disjoncteur de 25 A suffit.

Par où commencer ? Comme pour tout bilan, séparer d'abord ce que chaque appareil ajoute en puissance active et en puissance réactive.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le corrigé additionne-t-il les réactives à part, au lieu des apparentes ?

Le corrigé

Écrire le triangle de chaque appareil. Le four absorbe 3300 W et aucune réactive. Pour le batteur, $Q = 1300 \times \tan(\arccos 0{,}76) \approx 1111{,}7$ var, la tangente valant environ 0,855 ; pour la vitrine, $Q = 700 \times \tan(\arccos 0{,}84) \approx 452{,}2$ var, la tangente valant environ 0,646. Les deux réactives sont positives, les appareils étant inductifs.
Additionner les actives entre elles, et les réactives entre elles. $P = 3300 + 1300 + 700 = 5300$ W et $Q = 1111{,}7 + 452{,}2 = 1563{,}9$ var.
Reconstruire l'apparente de l'ensemble. $S = \sqrt{5300^2 + 1563{,}9^2} \approx 5525{,}9$ VA, soit un facteur de puissance de $5300 / 5525{,}9 \approx 0{,}96$ .
Diviser l'apparente par la tension. $I = 5525{,}9 / 230 \approx$ 24,0 A.
Décider. 24,0 A restent sous les 25 A : le disjoncteur suffit. Le calcul du gérant, $3300 + 1710{,}5 + 833{,}3 \approx 5844$ VA, donnait 25,4 A : il aurait fait remplacer un disjoncteur qui convient.
Vérifier. Le courant juste tombe entre les deux calculs rapides : l'active divisée par la tension, $5300 / 230 \approx 23{,}0$ A, et la somme des apparentes divisée par la tension, 25,4 A. Le facteur de puissance de l'ensemble, 0,96, est bien entre celui du batteur, 0,76, et celui du four, 1.

Trois puissances, trois unités

Additionner les puissances de plusieurs récepteurs

Ce que coûte un mauvais facteur de puissance

Relever le facteur de puissance

La méthode

Mettre en pratique

Dans la bibliothèque d'exercices