Le triphasé

Tout ce qui précède décrit une source et un retour : deux fils, une tension, un courant. Le réseau de distribution n'est pas fait ainsi. Il transporte trois tensions de même valeur efficace, décalées d'un tiers de période, et cette disposition n'est pas une complication gratuite : elle permet de transporter la même puissance avec moins de cuivre, et de faire tourner un moteur sans aucun dispositif de démarrage.

Ce chapitre établit les deux tensions qu'un réseau triphasé propose, les deux façons de brancher un récepteur dessus, et la formule de puissance qui en découle. Les outils sont ceux des chapitres précédents, sans exception : Fresnel pour les tensions, Boucherot pour les puissances.

Trois tensions au lieu d'une

Un alternateur triphasé produit trois tensions de même valeur efficace, régulièrement décalées d'un tiers de tour.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à v1	instant
v1	230 V	325 V	0,0°	—	0 V
v2	230 V	325 V	-120,0°	-120,0°	-282 V
v3	230 V	325 V	120,0°	120,0°	282 V
vn= v1 + v2 + v3	1,14e-7 µV	1,61e-7 µV	0,0°	0,0°	0 V

Instant0 s

Fréquence 50 Hz, période 20 ms. Les vecteurs tournent tous à la même vitesse : leur écart angulaire, le déphasage, ne change donc jamais, et c'est la projection de chacun sur l'axe vertical qui décrit sa sinusoïde. Les grandeurs en gras sont calculées.

Les trois tensions simples d'un réseau à 230 V. Leur somme est nulle, à chaque instant et pas seulement en moyenne, et c'est la propriété sur laquelle tout le reste repose.

À manipuler

Arrêter le mouvement à un instant quelconque et additionner les trois valeurs instantanées de la dernière colonne : elles se compensent.
Suivre la vue de gauche : les trois sinusoïdes se croisent à intervalles réguliers, décalées de 6,67 ms, soit un tiers de la période.
Regarder la vue de droite : les trois vecteurs forment une étoile à trois branches, et ils tournent ensemble sans jamais se rapprocher.

Système équilibré

Un système triphasé est équilibré quand ses trois tensions ont la même valeur efficace et sont décalées de 120 degrés exactement.

Leur somme est alors nulle à chaque instant, ce qui s'écrit $v_1 + v_2 + v_3 = 0$ .

Cette somme nulle n'est pas une élégance mathématique, c'est la raison économique du triphasé. Si les trois récepteurs consomment la même chose, la somme des trois courants est nulle aussi, et aucun courant ne revient par le conducteur de neutre. On peut donc le dimensionner plus petit, ou s'en passer.

Deux tensions, et non une

C'est le point qui piège le plus, et il tient à une distinction de vocabulaire.

Simple et composée

La tension simple $V$ est celle entre une phase et le neutre.
La tension composée $U$ est celle entre deux phases.

Elles sont liées par :

$U = V\sqrt{3}$

Sur le réseau français basse tension, $V = 230$ V et $U = 400$ V. Ces deux nombres désignent le même réseau, mesuré entre deux points différents, et les écrire tous deux sur une installation est la seule façon de ne pas se tromper.

D'où sort la racine de trois

La tension composée est la différence de deux tensions simples : $u_{12} = v_1 - v_2$ .

Deux vecteurs de même longueur $V$ séparés de 120 degrés : leur différence a pour longueur $2V\sin(60°) = 2V \times \dfrac{\sqrt3}{2} = V\sqrt3$ .

Avec $V = 230$ V : $U = 230 \times 1{,}732 \approx 398$ V, arrondi à 400 V par convention.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un réseau triphasé porte la mention « 230 / 400 V ». Que mesure un voltmètre branché entre deux phases ?

Étoile ou triangle

Un récepteur triphasé comporte trois éléments, et il existe deux façons de les brancher. Le choix décide de la tension que chaque élément subit, donc de la puissance consommée.

Les deux couplages

En étoile, les trois éléments ont une borne commune, reliée au neutre. Chacun voit donc la tension simple $V$ .

En triangle, les trois éléments sont branchés entre deux phases. Chacun voit la tension composée $U$ , soit $\sqrt{3}$ fois plus.

Le même récepteur consomme trois fois plus en triangle

Un élément soumis à une tension $\sqrt{3}$ fois plus grande dissipe une puissance $(\sqrt{3})^2 = 3$ fois plus grande, puisque la puissance croît comme le carré de la tension.

C'est le principe du démarrage étoile-triangle d'un moteur : on le démarre en étoile, sous une puissance réduite au tiers, puis on bascule en triangle une fois lancé.

Et c'est aussi le piège : un récepteur prévu pour le triangle et branché en étoile ne fournira que le tiers de ce qu'on attend de lui, sans rien casser et sans rien signaler.

Vérification rapideon peut se reprendre

Trois résistances dissipent 3 kW au total lorsqu'elles sont couplées en étoile sur un réseau 230/400 V. Que dissipent-elles en triangle ?

La puissance en triphasé équilibré

Une seule formule, et elle s'écrit avec la tension composée et le courant de ligne, qui sont les deux grandeurs qu'on mesure.

Définition

$P = \sqrt{3}\,U I \cos\varphi \qquad Q = \sqrt{3}\,U I \sin\varphi \qquad S = \sqrt{3}\,U I$

$U$ est la tension composée, $I$ le courant de ligne, et $\varphi$ le déphasage entre la tension simple et le courant d'une phase.

La racine de trois n'est pas là parce qu'il y a trois phases

L'erreur naturelle consiste à croire que le facteur vient du nombre de phases. Il vient de la conversion entre tension simple et tension composée : la puissance vaut bien $3\,V I \cos\varphi$ avec la tension simple, et $V = U/\sqrt{3}$ donne $3 \times U/\sqrt3 = \sqrt3\,U$ .

Les deux écritures sont donc la même, et confondre $U$ et $V$ dans l'une ou l'autre introduit un facteur 1,73 qui passe inaperçu.

Bilan de puissances de l'installation
Active P	37 kW
Réactive Q	23,9 kvar
Apparente S	44 kVA
cos φ	0,840
Courant de ligne	63,6 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
moteur 1	22 kW	15,4 kvar	26,8 kVA
moteur 2	11 kW	8,54 kvar	13,9 kVA
eclairage	4 kW	0 var	4 kVA

Triphasé, condensateurs en triangle sous 400 V à 50 Hz. Les puissances actives s'ajoutent entre elles et les réactives aussi, séparément : c'est le théorème de Boucherot. Les apparentes, elles, ne s'ajoutent pas. Les grandeurs en gras sont calculées.

Une installation triphasée à trois postes, sous 400 V composés. Le courant de ligne tient compte du facteur racine de trois. Cliquer sur la compensation et relever la capacité : elle est calculée pour un couplage en triangle, donc trois fois plus petite qu'en étoile.

À manipuler

Lire la puissance active : 37 kW, qui est la simple somme des trois postes.
Lire le courant de ligne avant compensation, puis après : la différence est le cuivre économisé sur toute la longueur de l'installation.
Relever la capacité par condensateur : c'est celle du montage en triangle. En étoile, il en faudrait trois fois plus pour le même effet.

Un moteur, mené à la main

Un moteur triphasé de 15 kW utiles, de rendement 0,9 et de facteur de puissance 0,85, sous 400 V.

La puissance absorbée : $P = 15000/0{,}9 \approx 16{,}7$ kW. Le rendement s'applique avant tout le reste.
La puissance apparente : $S = P/\cos\varphi = 16700/0{,}85 \approx 19{,}6$ kVA.
Le courant de ligne : $I = S/(\sqrt3\,U) = 19600/(1{,}732 \times 400) \approx 28{,}3$ A.

Le contrôle : un moteur de 15 kW en 400 V tire une trentaine d'ampères. C'est un ordre de grandeur à retenir, il attrape la plupart des erreurs de facteur.

Quand le système est déséquilibré

Tout ce qui précède suppose trois récepteurs identiques. Une installation réelle ne l'est jamais tout à fait, et il faut savoir ce que cela change.

Ce que fait le neutre

Si les trois courants ne sont pas égaux, leur somme n'est plus nulle, et la différence revient par le neutre. Le conducteur de neutre n'est donc pas décoratif : il permet au déséquilibre d'exister sans déformer les tensions.

En étoile sans neutre, un déséquilibre déplace le point commun des trois récepteurs : certains reçoivent alors plus que leur tension nominale, d'autres moins. C'est la raison pour laquelle on ne supprime jamais le neutre d'une distribution qui alimente des récepteurs monophasés.

Un neutre coupé est plus dangereux qu'une phase coupée

La rupture d'une phase met un récepteur hors service, ce qui se voit immédiatement.

La rupture du neutre, sur une installation déséquilibrée, laisse tout fonctionner en apparence tout en portant certains récepteurs bien au-dessus de leur tension nominale. Le défaut est invisible jusqu'à la destruction.

Vérification rapideon peut se reprendre

Sur une installation triphasée parfaitement équilibrée, quel courant circule dans le neutre ?

La méthode

Repérer laquelle des deux tensions l'énoncé donne. En l'absence de précision, une tension triphasée annoncée est la tension composée.
Repérer le couplage du récepteur, étoile ou triangle, et en déduire la tension que voit chaque élément.
Appliquer le rendement en premier s'il y en a un, pour passer de la puissance utile à la puissance absorbée.
Calculer l'apparente par $S = P/\cos\varphi$ , puis le courant de ligne par $I = S/(\sqrt3\,U)$ .
Pour un bilan, employer Boucherot exactement comme en monophasé : les actives s'ajoutent, les réactives aussi.
Vérifier les unités avant le résultat : la tension simple et la tension composée sont toutes deux en volts, et le facteur racine de trois est sans dimension. L'unité ne distingue donc pas les deux, et c'est la seule confusion du parcours que le contrôle d'homogénéité ne rattrape pas : elle se contrôle par l'ordre de grandeur.
Contrôler l'ordre de grandeur : un moteur de 15 kW en 400 V tire une trentaine d'ampères, et un facteur 1,73 d'écart signale une confusion entre $U$ et $V$ .

Synthèse

Un système triphasé équilibré porte trois tensions de même valeur efficace décalées de 120 degrés, dont la somme est nulle à chaque instant.
La tension simple se mesure entre phase et neutre, la composée entre deux phases, et $U = V\sqrt{3}$ .
Sur le réseau basse tension français : 230 V simples, 400 V composées, et ces deux nombres désignent le même réseau.
En étoile, chaque élément voit la tension simple ; en triangle, la tension composée.
Le même récepteur consomme trois fois plus en triangle, ce qui fonde le démarrage étoile-triangle.
$P = \sqrt{3}\,U I \cos\varphi$ , où la racine de trois vient de la conversion entre $U$ et $V$ , et non du nombre de phases.
Un système équilibré ne fait passer aucun courant dans le neutre, ce qui permet de le dimensionner plus petit.
Un neutre coupé sur une installation déséquilibrée laisse tout fonctionner en apparence tout en surtensionnant certains récepteurs.

Trois tensions au lieu d'une

Deux tensions, et non une

Étoile ou triangle

La puissance en triphasé équilibré

Quand le système est déséquilibré

La méthode

Synthèse

Mettre en pratique