Le triphasé

Au poste de livraison du parc de recharge de Belmarais, un transformateur de 250 kVA fournit trois tensions de 230 V, décalées d'un tiers de période, et 400 V entre deux d'entre elles. Les six bornes de recharge en alternatif y puisent chacune 22 kW, sur trois fils de phase. Inès Barral, responsable d'exploitation, veut savoir quel courant porte chaque phase quand les six bornes chargent ensemble, et quelle part du transformateur elles occupent. Hugo Sellier, technicien de maintenance, pose la suite : les deux bornes rapides de 50 kW peuvent-elles charger en même temps qu'elles, et resterait-il de quoi ajouter une borne, comme la commune l'envisage ?

Les puissances du chapitre précédent, dont celui-ci dépend, servent sans changement : Boucherot pour le bilan, et la même convention de déphasage, $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ , positive pour un récepteur inductif. Les vecteurs de Fresnel décrivent les tensions. Reste à écrire tout cela sur trois phases.

Trois tensions au lieu d'une

Les chapitres précédents décrivent une source et un retour : deux fils, une tension, un courant. Le réseau de distribution n'est pas fait ainsi. Il transporte trois tensions de même valeur efficace, décalées d'un tiers de période, et cette disposition n'est pas une complication gratuite. Quand les trois phases sont également chargées, leurs courants de retour s'annulent, si bien que trois fils suffisent là où trois lignes monophasées en demanderaient six : la même puissance passe avec moins de cuivre. La puissance instantanée totale est constante, ce qui donne à un moteur un couple sans à-coups. Et les trois tensions décalées créent dans un moteur un champ qui tourne de lui-même, sans dispositif auxiliaire pour lancer la rotation.

Un alternateur triphasé produit trois tensions de même valeur efficace, régulièrement décalées d'un tiers de tour.

Valeurs efficaces, amplitudes et déphasages, grandeur par grandeur
grandeur	efficace	amplitude	phase	écart à v1	instant
v1	230 V	325 V	0,0°	réf.	0 V
v2	230 V	325 V	-120,0°	-120,0°	-282 V
v3	230 V	325 V	120,0°	120,0°	282 V
Σ= v1 + v2 + v3	0 V	0 V	0,0°	0,0°	0 V

Instant0 s

Fréquence 50 Hz, période 20 ms. Les vecteurs tournent tous à la même vitesse : leur écart angulaire, le déphasage, ne change donc jamais, et c'est la projection de chacun sur l'axe vertical qui décrit sa sinusoïde. Les grandeurs en gras sont calculées.

Les trois tensions simples d'un réseau à 230 V, et leur somme Σ. Cette somme est nulle, à chaque instant et pas seulement en moyenne, et c'est la propriété sur laquelle tout le reste repose.

À manipuler

Arrêter le mouvement à un instant quelconque et additionner les trois valeurs instantanées de la dernière colonne : elles se compensent exactement, par exemple 129 − 323 + 194 = 0 V. La ligne Σ, calculée par la figure, affiche 0 V, et elle l'affiche à tous les instants.
Suivre la vue de gauche : les trois sinusoïdes se croisent à intervalles réguliers, décalées de 6,67 ms, soit un tiers de la période.
Regarder la vue de droite : les trois vecteurs forment une étoile à trois branches, et ils tournent ensemble sans jamais se rapprocher. Mis bout à bout, ils referment un triangle : c'est la raison géométrique de la somme nulle.

Système équilibré

Un système triphasé est équilibré quand ses trois tensions ont la même valeur efficace et sont décalées de 120 degrés exactement.

Leur somme est alors nulle à chaque instant, ce qui s'écrit $v_1 + v_2 + v_3 = 0$ .

Cette somme nulle n'est pas une élégance mathématique, c'est la raison économique du triphasé. Si les trois récepteurs sont identiques, c'est-à-dire de même impédance, donc de même puissance active et de même réactive, les trois courants forment eux aussi un système équilibré : leur somme est nulle, et aucun courant ne revient par le conducteur de neutre. On peut donc le dimensionner plus petit, ou s'en passer.

Deux tensions, et non une

C'est le point qui piège le plus, et il tient à une distinction de vocabulaire.

Simple et composée

La tension simple $V$ est celle entre une phase et le neutre.
La tension composée $U$ est celle entre deux phases.

Elles sont liées par :

$U = V\sqrt{3}$

Sur le réseau français basse tension, $V = 230$ V et $U = 400$ V. Ces deux nombres désignent le même réseau, mesuré entre deux points différents, et les écrire tous deux sur une installation est la seule façon de ne pas se tromper. Dans ce chapitre, $U$ désigne donc toujours la tension composée, alors qu'au chapitre précédent elle désignait la tension unique du monophasé.

D'où sort la racine de trois

La tension composée est la différence de deux tensions simples : $u_{12} = v_1 - v_2$ .

Deux vecteurs de même longueur $V$ séparés de 120 degrés : leur différence a pour longueur $2V\sin(60°) = 2V \times \dfrac{\sqrt3}{2} = V\sqrt3$ .

Avec $V = 230$ V : $U = 230 \times 1{,}732 \approx 398$ V, arrondi à 400 V par convention.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un réseau triphasé porte la mention « 230 / 400 V ». Que mesure un voltmètre branché entre deux phases ?

Étoile ou triangle

Un récepteur triphasé comporte trois éléments, et il existe deux façons de les brancher. Le choix décide de la tension que chaque élément subit, du courant qui le traverse, et donc de la puissance consommée.

Les deux couplages

En étoile, les trois éléments ont une borne commune, le point neutre du récepteur, qui peut être relié au neutre du réseau. Chacun voit donc la tension simple $V$ , et le courant qui le traverse est le courant de ligne $I$ lui-même.

En triangle, les trois éléments sont branchés entre deux phases. Chacun voit la tension composée $U$ , soit $\sqrt{3}$ fois plus. Chaque élément est parcouru par un courant $J$ , et chaque fil de ligne recueille la différence de deux de ces courants, décalés de 120 degrés. Le calcul est celui qui a donné $U = V\sqrt3$ , et il donne :

$I = J\sqrt{3}$

Vérification rapideon peut se reprendre

Chaque élément d'un récepteur couplé en triangle est parcouru par 10 A. Quel courant une pince ampèremétrique lit-elle sur un fil de ligne ?

Le même élément résistif dissipe trois fois plus en triangle. Une résistance soumise à une tension $\sqrt3$ fois plus grande dissipe $(\sqrt3)^2 = 3$ fois plus, puisque sa puissance vaut $U^2/R$ . Un radiateur triphasé prévu pour le triangle et câblé en étoile chauffe donc trois fois moins, sans rien casser et sans rien signaler.

Un moteur ne se comporte pas ainsi : sa puissance est imposée par la machine qu'il entraîne, et non par la tension. Couplé en étoile, chacun de ses enroulements ne voit que la tension simple, et le courant d'appel comme le couple sont divisés par trois. C'est le principe du démarrage étoile-triangle : lancer le moteur en étoile pour limiter la pointe de courant sur le réseau, puis basculer en triangle une fois la vitesse atteinte. Laissé en étoile sous sa charge nominale, le moteur ne dispose plus que du tiers de son couple : il ralentit, son courant monte, et la protection thermique finit par le couper, quand il ne cale pas.

Le couplage d'un moteur se lit sur sa plaque

Un moteur marqué « 230 / 400 V » a des enroulements prévus pour 230 V : sur un réseau 230 / 400 V, il se couple en étoile. Un moteur marqué « 400 / 690 V » a des enroulements prévus pour 400 V : sur le même réseau, il se couple en triangle, et c'est lui seul qui peut démarrer en étoile-triangle.

Couplé en triangle, le premier recevrait $\sqrt3$ fois sa tension nominale : ses enroulements surchauffent, et leur isolant finit par claquer. Couplé en étoile, le second manque de couple, comme ci-dessus. Aucune des deux erreurs n'est anodine.

Vérification rapideon peut se reprendre

Trois résistances dissipent 3 kW au total lorsqu'elles sont couplées en étoile sur un réseau 230/400 V. Que dissipent-elles en triangle ?

La puissance en triphasé équilibré

Une seule formule, et elle s'écrit avec la tension composée et le courant de ligne, qui sont les deux grandeurs qu'on mesure.

Définition

$P = \sqrt{3}\,U I \cos\varphi \qquad Q = \sqrt{3}\,U I \sin\varphi \qquad S = \sqrt{3}\,U I$

$U$ est la tension composée, $I$ le courant de ligne, et $\varphi$ le déphasage propre à chaque élément du récepteur, celui de son impédance : entre tension simple et courant de ligne en étoile, ou, ce qui revient au même, entre tension composée et courant dans l'élément en triangle. Comme au chapitre précédent, $Q$ est positive pour un récepteur inductif.

La racine de trois n'est pas là parce qu'il y a trois phases

L'erreur naturelle consiste à croire que le facteur vient du nombre de phases. Il vient de la conversion entre tension simple et tension composée : la puissance vaut bien $3\,V I \cos\varphi$ avec la tension simple, et $V = U/\sqrt{3}$ donne $3 \times U/\sqrt3 = \sqrt3\,U$ .

Les deux écritures sont donc la même, et confondre $U$ et $V$ dans l'une ou l'autre introduit un facteur 1,73 qui passe inaperçu.

L'atelier du chapitre précédent, en triphasé

L'atelier de 10 kW à $\cos\varphi = 0{,}7$ tirait 62,1 A en monophasé 230 V, sur deux fils.

Alimenté en triphasé 400 V : $I = P/(\sqrt3\,U\cos\varphi) = 10\,000/(1{,}732 \times 400 \times 0{,}7) \approx 20{,}6$ A, sur trois fils.

À densité de courant égale, la section d'un fil est proportionnelle au courant qu'il porte. Le monophasé demande donc deux fils pour 62,1 A, soit l'équivalent de 124 A de cuivre ; le triphasé, trois fils pour 20,6 A, soit 62 A. Moitié moins de cuivre pour la même puissance, et c'est la promesse de l'introduction, chiffrée.

Bilan de puissances de l'installation
Active P	37 kW
Réactive Q	23,9 kvar
Apparente S	44 kVA
cos φ	0,840
Courant de ligne	63,6 A

Récepteurs déclarés
récepteur	active	réactive	apparente
moteur 1	22 kW	15,4 kvar	26,8 kVA
moteur 2	11 kW	8,54 kvar	13,9 kVA
eclairage	4 kW	0 var	4 kVA

Triphasé, condensateurs en triangle sous 400 V à 50 Hz. Les puissances actives s'ajoutent entre elles et les réactives aussi, séparément : c'est le théorème de Boucherot. Les apparentes, elles, ne s'ajoutent pas. Les grandeurs en gras sont calculées.

Une installation triphasée à trois postes, sous 400 V composés. Le courant de ligne tient compte du facteur racine de trois. Cliquer sur la compensation et relever la capacité : elle est calculée pour trois condensateurs couplés en triangle, donc trois fois plus petite qu'en étoile.

À manipuler

Lire la puissance active : 37 kW, qui est la simple somme des trois postes, et le facteur de puissance de l'ensemble : 0,840.
Lire le courant de ligne avant compensation, 63,6 A, puis après, 57,4 A. Ce gain vaut sur les câbles qui relient le réseau à la batterie de condensateurs ; entre la batterie et les moteurs, la réactive circule toujours. C'est pourquoi, dans une installation étendue, la batterie se place au plus près des récepteurs.
Relever la capacité par condensateur : 61,5 µF, celle du montage en triangle. En étoile, il en faudrait trois fois plus, 184 µF, pour le même effet.

La capacité d'une batterie triphasée

La réactive à fournir se calcule comme en monophasé, $Q_C = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ . La batterie compte trois condensateurs, qui se la partagent : chacun fournit $Q_C/3$ .

En étoile, chacun voit la tension simple $V = U/\sqrt3$  :

$C_{\text{étoile}} = \frac{Q_C}{3\,\omega V^2} = \frac{Q_C}{\omega U^2}$

En triangle, chacun voit la tension composée $U$  :

$C_{\text{triangle}} = \frac{Q_C}{3\,\omega U^2}$

trois fois moins. C'est pourquoi le triangle est le montage des armoires de compensation, avec des condensateurs prévus pour tenir 400 V.

Sur la figure : $Q_C \approx 9{,}27$ kvar, et $C_{\text{triangle}} = 9270/(3 \times 314 \times 400^2) \approx 61{,}5$ µF.

Un moteur, mené à la main

Un moteur triphasé de 15 kW utiles, de rendement 0,9 et de facteur de puissance 0,85, sous 400 V.

La puissance absorbée : $P = 15000/0{,}9 \approx 16{,}7$ kW. Le rendement s'applique avant tout le reste.
La puissance apparente : $S = P/\cos\varphi = 16700/0{,}85 \approx 19{,}6$ kVA.
Le courant de ligne : $I = S/(\sqrt3\,U) = 19600/(1{,}732 \times 400) \approx 28{,}3$ A.

Le contrôle : un moteur de 15 kW en 400 V tire une trentaine d'ampères. C'est un ordre de grandeur à retenir, il attrape la plupart des erreurs de facteur.

Quand le système est déséquilibré

Tout ce qui précède suppose trois récepteurs identiques. Une installation réelle ne l'est jamais tout à fait, et il faut savoir ce que cela change.

Ce que fait le neutre. Si les trois courants ne sont pas égaux, leur somme n'est plus nulle, et la différence revient par le neutre. Le conducteur de neutre n'est donc pas décoratif : il permet au déséquilibre d'exister sans déformer les tensions.

En étoile sans neutre, un déséquilibre déplace le point commun des trois récepteurs : certains reçoivent alors plus que leur tension nominale, d'autres moins. C'est la raison pour laquelle on ne supprime jamais le neutre d'une distribution qui alimente des récepteurs monophasés.

Un neutre coupé est plus dangereux qu'une phase coupée

La rupture d'une phase met un récepteur hors service, ce qui se voit immédiatement.

La rupture du neutre, sur une installation déséquilibrée, laisse tout fonctionner en apparence tout en portant certains récepteurs bien au-dessus de leur tension nominale. Le défaut est invisible jusqu'à la destruction.

Vérification rapideon peut se reprendre

Sur une installation triphasée parfaitement équilibrée, quel courant circule dans le neutre ?

La méthode

Repérer laquelle des deux tensions l'énoncé donne. En l'absence de précision, une tension triphasée annoncée est la tension composée.
Repérer le couplage du récepteur, étoile ou triangle, et en déduire la tension que voit chaque élément et le courant qui le traverse : le courant de ligne en étoile, $J = I/\sqrt3$ en triangle.
Appliquer le rendement en premier s'il y en a un, pour passer de la puissance utile à la puissance absorbée.
Calculer l'apparente par $S = P/\cos\varphi$ , puis le courant de ligne par $I = S/(\sqrt3\,U)$ .
Pour un bilan, employer Boucherot exactement comme en monophasé : les actives s'ajoutent, les réactives aussi, avec leur signe.
Pour compenser, calculer $Q_C$ comme en monophasé, puis la capacité de chaque condensateur selon leur couplage : $Q_C/(\omega U^2)$ en étoile, $Q_C/(3\,\omega U^2)$ en triangle.
Vérifier les unités avant le résultat : la tension simple et la tension composée sont toutes deux en volts, et le facteur racine de trois est sans dimension. L'unité ne distingue donc pas les deux, et c'est une des confusions que le contrôle d'homogénéité ne rattrape pas : elle se contrôle par l'ordre de grandeur.
Contrôler l'ordre de grandeur : un moteur de 15 kW en 400 V tire une trentaine d'ampères, et un facteur 1,73 d'écart signale une confusion entre $U$ et $V$ , ou entre $I$ et $J$ .

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

Les six bornes et le transformateur

1.
Une borne de recharge en alternatif absorbe 22 kW sous un facteur de puissance de 1, sur le réseau de 400 V entre phases. Quel courant porte chacune de ses phases, en ampères (A), à 0,1 A près ?
2.
Les six bornes chargent ensemble. Quel courant porte alors chaque phase du transformateur, en ampères, à 0,1 A près ?
3.
Le transformateur du poste de livraison a une puissance apparente de 250 kVA. Quel courant peut-il débiter par phase, en ampères, à 1 A près ?
4.
Quelle part de la puissance apparente du transformateur les six bornes occupent-elles, en pour cent, à 0,1 % près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : une borne tire 31,8 A par phase, juste sous les 32 A qu'elle admet, et les six ensemble 190,5 A, soit 52,8 % des 361 A que le transformateur peut débiter. La seconde question, celle des bornes rapides, revient au premier exercice type.

Le transformateur tient-il quand les deux bornes rapides chargent en même temps que les six autres ?

Au poste de livraison de Belmarais, le transformateur de 250 kVA fournit 400 V entre phases et peut débiter 361 A par phase. Les six bornes de recharge en alternatif chargent ensemble, à 22 kW chacune, sous un facteur de puissance de 1. Les deux bornes rapides délivrent chacune 50 kW au véhicule ; leur redresseur, qui convertit l'alternatif du réseau en continu, a un rendement de 0,95 et absorbe, lui aussi, sous un facteur de puissance de 1. Calculer le courant par phase quand les huit bornes chargent ensemble, en ampères, à 1 A près, puis dire si le transformateur tient, et s'il accepterait une neuvième borne de 22 kW.

Par où commencer ? Chercher ce que le transformateur fournit vraiment à une borne rapide : la puissance que reçoit le véhicule, ou davantage ?

Le corrigé

Appliquer le rendement en premier. Chaque borne rapide absorbe $50 / 0{,}95 \approx 52{,}63$ kW pour en délivrer 50 : le transformateur fournit aussi les pertes du redresseur.
Additionner les puissances. Tous les postes absorbent sous un facteur de puissance de 1 : aucun n'appelle de réactive, et le théorème de Boucherot se réduit à la somme des actives, $P = 6 \times 22 + 2 \times 52{,}63 = 237{,}26$ kW. L'apparente lui est égale, 237,26 kVA.
Calculer le courant par phase. $I = S/(\sqrt3\,U) = 237\,260/(1{,}732 \times 400) \approx$ 342 A.
Décider. 342 A restent sous les 361 A du transformateur : il tient, avec 18 A de marge, soit 13 kVA. Une neuvième borne porterait la puissance à 259,26 kW, au-delà des 250 kVA, et le courant à 374 A par phase. C'est la réponse à l'ouverture : les deux bornes rapides chargent avec les six autres, mais la borne de plus demanderait un transformateur plus puissant, ou une limite à la puissance des bornes quand tout charge.
Vérifier. Tous les courants étant en phase avec leur tension, ils s'additionnent : une borne rapide tire $52\,630/(1{,}732 \times 400) \approx 76{,}0$ A, et $190{,}5 + 2 \times 76{,}0 = 342{,}5$ A redonne le résultat. Oublier le rendement aurait compté 232 kW, soit 335 A : près de 8 A de marge imaginaire.

Quelle puissance une borne absorbe-t-elle, d'après une mesure à la pince ?

Pendant une charge à Belmarais, Hugo Sellier relève à la pince ampèremétrique 27 A sur chacune des trois phases d'une borne de recharge, et 400 V au voltmètre entre deux phases ; la borne absorbe sous un facteur de puissance de 1. Le véhicule doit recevoir 36 kWh, avec un rendement de charge de 0,92. Calculer la puissance que la borne absorbe, en kilowatts, à 0,01 kW près, puis la durée de la charge à ce rythme, en heures, à 0,01 h près.

Par où commencer ? Relire entre quels points le voltmètre est branché, avant de choisir l'écriture de la puissance.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le corrigé écrit-il $\sqrt3\,UI$ avec 400 V, et non avec 230 V ?

Le corrigé

Repérer la tension mesurée. Le voltmètre est branché entre deux phases : 400 V est la tension composée $U$ . La tension simple vaut $V = 400/\sqrt3 \approx 230{,}94$ V.
Choisir l'écriture qui va avec elle. Avec la tension composée et le courant de ligne, $P = \sqrt3\,U I\cos\varphi = 1{,}732 \times 400 \times 27 \times 1 \approx$ 18,71 kW.
Refaire le calcul avec la tension simple. $P = 3\,V I = 3 \times 230{,}94 \times 27 \approx 18{,}71$ kW : la même valeur, puisque $3V = \sqrt3\,U$ . Mélanger les deux, $\sqrt3 \times 230{,}94 \times 27$ , donnerait 10,80 kW, 1,73 fois trop peu.
Appliquer le rendement de la charge. Le véhicule reçoit $18{,}71 \times 0{,}92 \approx 17{,}21$ kW.
Calculer la durée. $36 / 17{,}21 \approx$ 2,09 h, soit environ 2 h 05 min.
Vérifier par la proportion. À 32 A, la borne absorbe 22,17 kW ; à 27 A, sous la même tension, $22{,}17 \times 27 / 32 \approx 18{,}71$ kW, la même valeur. Et $17{,}21 \times 2{,}09 \approx 36$ kWh : la batterie reçoit bien ce qu'il lui faut.

Le transformateur d'une patinoire accepte-t-il un troisième compresseur ?

Une patinoire est alimentée par un transformateur de 160 kVA, sous 400 V entre phases. Deux compresseurs frigorifiques, qui entretiennent la glace, fournissent chacun 37 kW sur leur arbre, avec un rendement de 0,93 et un facteur de puissance de 0,84, inductif. L'éclairage et le chauffage des vestiaires absorbent ensemble 35 kW, purement résistifs. L'exploitant veut ouvrir une seconde piste, refroidie par un troisième compresseur identique. Calculer le courant par phase avec deux compresseurs, puis avec trois, en ampères, à 1 A près, et dire si le transformateur accepte le troisième.

Par où commencer ? Chercher d'abord le courant que le transformateur peut débiter par phase, puis ce que chaque compresseur lui demande vraiment, pertes comprises.

Le corrigé

Calculer le courant que le transformateur peut débiter. $I_n = 160\,000/(\sqrt3 \times 400) \approx 231$ A par phase.
Appliquer le rendement en premier. Chaque compresseur absorbe $37/0{,}93 \approx 39{,}785$ kW pour en fournir 37 sur son arbre.
Écrire la réactive de chaque poste. Pour un compresseur, $Q = 39{,}785 \times \tan(\arccos 0{,}84) \approx 25{,}70$ kvar, la tangente valant environ 0,646 ; l'éclairage et le chauffage n'en ont pas.
Additionner, puis reconstruire l'apparente et le courant. Avec deux compresseurs, $P = 2 \times 39{,}785 + 35 = 114{,}57$ kW et $Q = 51{,}40$ kvar, d'où $S \approx 125{,}57$ kVA et $I = 125\,570/(1{,}732 \times 400) \approx$ 181 A. Avec trois, $P = 3 \times 39{,}785 + 35 \approx 154{,}35$ kW et $Q = 77{,}10$ kvar, d'où $S \approx 172{,}5$ kVA et $I \approx$ 249 A.
Décider. 249 A dépassent les 231 A du transformateur : il n'accepte pas le troisième compresseur, et la seconde piste demande un transformateur plus puissant.
Vérifier par l'ordre de grandeur. Un compresseur seul appelle $39{,}785/0{,}84 \approx 47{,}4$ kVA, soit environ 68 A par phase : un moteur de 37 kW sous 400 V tire près de soixante-dix ampères, comme un moteur de 15 kW en tire une trentaine. Avec deux compresseurs, la marge n'était que de $231 - 181 = 50$ A : elle ne pouvait pas absorber les 68 A du troisième.

Trois tensions au lieu d'une

Deux tensions, et non une

Étoile ou triangle

La puissance en triphasé équilibré

Quand le système est déséquilibré

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