Les filtres et le diagramme de Bode · Électricité

Tous les chapitres précédents travaillent à une fréquence fixe, celle du réseau. Le chapitre des impédances a pourtant montré que la fréquence change tout : une bobine devient un obstacle quand elle monte, un condensateur quand elle descend. Un montage qui combine les deux laisse donc passer certaines fréquences et en arrête d'autres, et c'est exactement ce qu'on appelle un filtre.

Reste à représenter ce comportement. Une courbe ordinaire n'y suffit pas : les fréquences utiles s'étalent sur plusieurs facteurs mille, et les rapports d'amplitude aussi. Le diagramme de Bode résout les deux problèmes du même geste, en passant tout en logarithmes, et il transforme des courbes en droites.

Un même montage, deux filtres

Définition

Un filtre est un montage dont le rapport de la tension de sortie à la tension d'entrée dépend de la fréquence. Ce rapport, complexe, s'appelle la fonction de transfert :

$\underline{H}(f) = \frac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}}$

Un filtre du premier ordre se construit avec deux composants en série et une sortie prise aux bornes de l'un des deux. C'est un pont diviseur de tension écrit en impédances, exactement celui du chapitre 6, à ceci près que les impédances dépendent de la fréquence.

Composants du filtre et grandeurs lues
composant	valeur	rôle
R	1 kΩ	en série
C	0,159 µF	sortie prise à ses bornes

Lire à1 kHz

Filtre passe-bas, coupure à 1 kHz. À 1 kHz : gain -3,0 dB, phase -45,0°. Promener le pointeur sur la figure, ou employer le curseur, pour lire un autre point. Les asymptotes en pointillés sont calculées : horizontale dans la bande passante, puis vingt décibels par décade.

Un filtre R-C dont la sortie est prise aux bornes du condensateur. Promener le pointeur sur la figure pour lire le gain et la phase à n'importe quelle fréquence. Les pointillés sont les asymptotes, calculées et non tracées à l'œil.

À manipuler

Amener le pointeur très à gauche : le gain vaut zéro décibel, la sortie reproduit l'entrée. Les basses fréquences passent.
L'amener sur le trait orange : le gain vaut −3 dB et la phase −45 degrés. C'est la définition de la fréquence de coupure.
L'amener très à droite : le gain s'effondre et la phase tend vers −90 degrés. Les hautes fréquences sont arrêtées.
Suivre l'asymptote de droite sur une décade : elle descend de vingt décibels exactement, et c'est la pente d'un premier ordre.

Composants du filtre et grandeurs lues
composant	valeur	rôle
R	1 kΩ	sortie prise à ses bornes
C	0,159 µF	en série

Lire à1 kHz

Filtre passe-haut, coupure à 1 kHz. À 1 kHz : gain -3,0 dB, phase 45,0°. Promener le pointeur sur la figure, ou employer le curseur, pour lire un autre point. Les asymptotes en pointillés sont calculées : horizontale dans la bande passante, puis vingt décibels par décade.

Les mêmes composants, aux mêmes valeurs, mais la sortie prise aux bornes de la résistance. Le filtre a changé de nature, et sa fréquence de coupure n'a pas bougé.

Ce n'est pas le composant qui décide, c'est la sortie

Les deux figures ci-dessus portent les mêmes composants aux mêmes valeurs. La première est un passe-bas, la seconde un passe-haut, et la seule différence est l'endroit où la tension de sortie est prise.

La règle qui permet de trancher sans calcul : à basse fréquence, un condensateur est un circuit ouvert et une bobine un fil ; à haute fréquence, c'est l'inverse. La sortie prise sur le composant qui devient un fil ne reçoit rien ; prise sur celui qui devient un circuit ouvert, elle reçoit tout.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une résistance et une bobine en série, la sortie prise aux bornes de la bobine. Quel filtre obtient-on ?

La fréquence de coupure

Définition

La fréquence de coupure $f_0$ est celle où le module de la fonction de transfert est divisé par $\sqrt{2}$ par rapport à sa valeur dans la bande passante, ce qui correspond à une perte de 3 décibels.

Pour un filtre du premier ordre :

$f_0 = \frac{1}{2\pi RC} \qquad \text{ou} \qquad f_0 = \frac{R}{2\pi L}$

Le choix de 3 décibels n'est pas arbitraire : une division du module par $\sqrt2$ correspond à une division de la puissance par deux, puisque la puissance varie comme le carré de la tension. La coupure est donc le point où le filtre ne laisse plus passer que la moitié de la puissance.

Trois nombres à placer de mémoire

À la coupure d'un premier ordre : −3 dB de gain et 45 degrés de déphasage, dans le sens que le filtre impose.
Une décade plus loin : −20 dB, soit un rapport d'amplitude de dix.
Deux décades plus loin : −40 dB, soit un rapport de cent.

Ces trois points suffisent à tracer un diagramme de Bode à main levée, et c'est le geste que le parcours demande de savoir faire.

Le décibel

Définition

$G_{\text{dB}} = 20\log_{10}\left|\underline{H}\right|$

Le facteur 20 surprend toujours. Il vient de ce que le décibel est défini sur un rapport de puissances, avec un facteur 10, et que la puissance varie comme le carré de la tension : $10\log(U^2) = 20\log(U)$ .

Gain en dB	Rapport d'amplitude	Ce que cela représente
0	1	la sortie reproduit l'entrée
−3	0,71	la puissance est divisée par deux
−6	0,50	l'amplitude est divisée par deux
−20	0,10	un dixième
−40	0,01	un centième

−6 dB divise l'amplitude par deux, pas −3 dB

La confusion est permanente. −3 dB divise la puissance par deux, et l'amplitude par $\sqrt2$ . −6 dB divise l'amplitude par deux.

Le contrôle : un facteur deux sur une amplitude vaut $20\log_{10}(0{,}5) \approx -6$ , et le calcul se refait en trois secondes.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un filtre affiche un gain de −40 dB à une certaine fréquence. Quel est le rapport entre la sortie et l'entrée ?

Pourquoi deux échelles logarithmiques

Le diagramme de Bode porte la fréquence en logarithme sur l'axe horizontal, et le gain en décibels sur l'axe vertical, ce qui est aussi un logarithme. Ce double choix a trois conséquences, et chacune vaut la peine d'être vue.

Les décades ont la même largeur. De 10 à 100 Hz et de 10 à 100 kHz occupent la même place, alors qu'un axe ordinaire écraserait tout le bas de la figure contre l'origine.

Les courbes deviennent des droites. Une décroissance en $1/f$ devient une droite de pente −20 dB par décade, et un ordre deux une droite de pente −40. Un diagramme de Bode se trace donc à la règle.

Les filtres en cascade s'additionnent. Deux filtres mis bout à bout multiplient leurs fonctions de transfert, et les logarithmes transforment ce produit en somme : les deux diagrammes se superposent en s'ajoutant.

Le tracé asymptotique, en trois traits

Un trait horizontal à 0 dB, jusqu'à la fréquence de coupure.
Un trait oblique à partir de la coupure, de pente −20 dB par décade pour un premier ordre.
Un point, à la coupure, trois décibels en dessous de l'intersection des deux traits.

Le tracé réel passe par ce point et rejoint les deux asymptotes de part et d'autre. C'est tout ce qu'il faut pour répondre à la question sur une copie.

Passe-bande et coupe-bande

Avec trois composants, le filtre peut laisser passer une bande de fréquences et couper de chaque côté.

Composants du filtre et grandeurs lues
composant	valeur	rôle
R	50 Ω	sortie prise à ses bornes
L	10 mH	en série
C	1 µF	en série

Lire à2,04 kHz

Filtre passe-bande, coupure supérieure à 2,04 kHz. À 2,04 kHz : gain -3,0 dB, phase -45,0°. Promener le pointeur sur la figure, ou employer le curseur, pour lire un autre point. Les asymptotes en pointillés sont calculées : horizontale dans la bande passante, puis vingt décibels par décade.

Un R-L-C série dont la sortie est prise sur la résistance. À la résonance, les deux réactances se compensent et la résistance reçoit toute la tension ; de part et d'autre, l'une des deux l'emporte et coupe.

À manipuler

Chercher le sommet de la courbe de gain : il se trouve à la fréquence de résonance du chapitre 11, environ 1,6 kHz.
Lire la phase au sommet : elle est nulle, puisque le montage s'y comporte en résistance pure.
S'éloigner de part et d'autre : le gain tombe des deux côtés, et la phase passe de +90 à −90 degrés en traversant la bande.

Où prendre la sortie décide de tout

Sur le même montage R-L-C série : sortie sur la résistance, c'est un passe-bande. Sortie sur le condensateur, c'est un passe-bas d'ordre deux. Sortie sur la bobine, un passe-haut d'ordre deux.

Trois filtres différents, trois composants identiques, et le seul choix qui les sépare est celui de deux points de mesure.

La méthode

Écrire la fonction de transfert comme un pont diviseur en impédances : l'impédance de sortie sur la somme des impédances.
Chercher les comportements limites, à fréquence nulle et à fréquence infinie, en remplaçant chaque composant par un fil ou un circuit ouvert. La nature du filtre se lit alors sans calcul.
Calculer la fréquence de coupure par la formule du premier ordre, ou en cherchant où le module vaut le maximum divisé par $\sqrt2$ .
Tracer les asymptotes à la règle, puis marquer le point à −3 dB sous leur intersection.
Vérifier la phase : elle vaut 45 degrés à la coupure, et tend vers 90 degrés au-delà pour un premier ordre.
Contrôler l'ordre de grandeur : un gain positif sur un filtre passif est impossible, une résistance et un condensateur ne fabriquant aucune énergie.

Synthèse

Un filtre est un montage dont le rapport sortie sur entrée dépend de la fréquence ; ce rapport est la fonction de transfert.
Un filtre du premier ordre est un pont diviseur en impédances, et sa nature dépend du composant sur lequel la sortie est prise, pas des composants employés.
À basse fréquence, un condensateur est un circuit ouvert et une bobine un fil ; à haute fréquence, c'est l'inverse.
La fréquence de coupure est celle où le gain perd 3 dB, c'est-à-dire où la puissance est divisée par deux.
$f_0 = 1/(2\pi RC)$ pour un R-C, $f_0 = R/(2\pi L)$ pour un R-L.
$G_{\text{dB}} = 20\log_{10}|H|$  : −6 dB divise l'amplitude par deux, −3 dB divise la puissance par deux.
Les échelles logarithmiques transforment les courbes en droites, donnent la même largeur à chaque décade, et rendent les filtres en cascade additifs.
Un premier ordre décroît de 20 dB par décade, un ordre deux de 40.
Le même R-L-C série donne un passe-bande, un passe-bas ou un passe-haut selon l'endroit où la sortie est prise.