Les filtres et le diagramme de Bode

Un même montage, deux filtres

Un filtre du premier ordre se construit avec deux composants en série et une sortie prise aux bornes de l'un des deux. C'est un pont diviseur de tension écrit en impédances, exactement celui du chapitre du pont diviseur, à ceci près que les impédances dépendent de la fréquence.

La fonction de transfert et la fréquence de coupure

Le pont diviseur donne la fonction de transfert d'un coup. Pour le R-C dont la sortie est prise sur le condensateur, d'impédance $1/(jC\omega)$ :

$\underline{H} = \frac{1/(jC\omega)}{R + 1/(jC\omega)} = \frac{1}{1 + jRC\omega} = \frac{1}{1 + j\,f/f_c} \qquad \text{avec} \qquad f_c = \frac{1}{2\pi RC}$

Son module et son argument se lisent sur le dénominateur, un complexe de partie réelle 1 et de partie imaginaire $f/f_c$ :

$|\underline{H}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}} \qquad \varphi = -\arctan\frac{f}{f_c}$

Le déphasage est ici celui de la sortie sur l'entrée, compté comme au chapitre des impédances : négatif quand la sortie est en retard.

Tout le comportement du filtre sort de la seule expression de $|\underline{H}|$. À $f = f_c$, le module vaut $1/\sqrt2$ et le déphasage −45 degrés. Loin en dessous, $|\underline{H}| \approx 1$ : la sortie reproduit l'entrée. Loin au-delà, $|\underline{H}| \approx f_c/f$ : multiplier la fréquence par dix divise le module par dix, et le déphasage tend vers −90 degrés.

Le passe-haut, sortie sur la résistance, donne de même $\underline{H} = \dfrac{j\,f/f_c}{1 + j\,f/f_c}$ : le module est nul en basse fréquence et tend vers 1 en haute fréquence, et le déphasage descend de +90 degrés à 0, en passant par +45 degrés à la coupure.

Le choix de 3 décibels n'est pas arbitraire : une division du module par $\sqrt2$ correspond à une division de la puissance par deux, puisque la puissance varie comme le carré de la tension. La coupure est donc le point où le filtre ne laisse plus passer que la moitié de la puissance.

Trois nombres à placer de mémoire. À la coupure d'un premier ordre : −3 dB de gain et 45 degrés de déphasage, −45 pour un passe-bas, +45 pour un passe-haut.
Une décade plus loin, du côté où le filtre coupe (au-dessus pour un passe-bas, en dessous pour un passe-haut) : −20 dB, soit un rapport d'amplitude de dix.
Deux décades plus loin : −40 dB, soit un rapport de cent.

−3 dB est un point, à la coupure ; −20 dB par décade est une pente, loin de la coupure. Une décade au-delà, le gain vaut −20 dB et non −23 dB : la courbe a rejoint l'asymptote. Ces trois points suffisent à tracer un diagramme de Bode à main levée, et c'est le geste que le parcours demande de savoir faire.

Le décibel

Le facteur 20 surprend toujours. Il vient de ce que le décibel est défini sur un rapport de puissances, avec un facteur 10, et que la puissance varie comme le carré de la tension : $10\log(U^2) = 20\log(U)$. Le logarithme décimal est celui du chapitre d'étude de fonction du parcours de mathématiques.

Pourquoi deux échelles logarithmiques

Le diagramme de Bode porte la fréquence en logarithme sur l'axe horizontal, et le gain en décibels sur l'axe vertical, ce qui est aussi un logarithme. Ce double choix a trois conséquences, et chacune vaut la peine d'être vue.

Les décades ont la même largeur. De 10 à 100 Hz et de 10 à 100 kHz occupent la même place, alors qu'un axe ordinaire écraserait tout le bas de la figure contre l'origine.

Les courbes deviennent des droites. Une décroissance en $1/f$ devient une droite de pente −20 dB par décade, et une décroissance en $1/f^2$, celle d'un ordre deux, une droite de pente −40. Un diagramme de Bode se trace donc à la règle.

Les filtres en cascade s'additionnent, à une condition. Si le second filtre ne tire pas de courant sur le premier, ce qu'assure un étage d'isolement placé entre les deux, les fonctions de transfert se multiplient, et les logarithmes transforment ce produit en somme : les deux diagrammes s'ajoutent. Deux cellules R-C branchées directement l'une sur l'autre ne donnent pas ce résultat : la seconde charge la première, exactement comme une charge chargeait le pont diviseur. Avec deux cellules de 1 kΩ et 159 nF, le produit prédit une coupure à 644 Hz, et le montage réel coupe à 375 Hz.

Le tracé asymptotique d'un passe-bas du premier ordre.

En gain : un trait horizontal à 0 dB jusqu'à la fréquence de coupure, puis un trait oblique de pente −20 dB par décade à partir d'elle ; et un point, à la coupure, trois décibels sous l'intersection des deux traits.
En phase : 0 degré loin en dessous de la coupure, −90 degrés loin au-dessus, et −45 degrés à la coupure, où la courbe passe d'une asymptote à l'autre.

Le tracé réel passe par ces points et rejoint les asymptotes de part et d'autre. Pour un passe-haut, la figure se retourne de gauche à droite : l'oblique monte de 20 dB par décade jusqu'à la coupure, et la phase descend de +90 à 0 degré. C'est tout ce qu'il faut pour tracer le diagramme à main levée.

Passe-bande et coupe-bande

Avec trois composants, le filtre peut laisser passer une bande de fréquences et couper de chaque côté.

Où prendre la sortie décide de tout. Sur le même montage R-L-C série : sortie sur la résistance, c'est un passe-bande. Sortie sur le condensateur, c'est un passe-bas d'ordre deux. Sortie sur la bobine, un passe-haut d'ordre deux. Sortie sur l'ensemble bobine et condensateur, un coupe-bande.

Quatre filtres différents, trois composants identiques, et le seul choix qui les sépare est celui de deux points de mesure.

Prise aux bornes de l'ensemble bobine et condensateur, la sortie du même R-L-C série donne un coupe-bande. À la résonance, les deux réactances s'annulent : l'ensemble se comporte comme un fil et la sortie tombe à zéro. Loin de la résonance, il prend presque toute la tension. C'est le filtre qui élimine une fréquence parasite précise, comme le 50 Hz du secteur dans une chaîne de mesure. Sur un diagramme, le passe-bande a un sommet et deux flancs qui tombent ; le coupe-bande a un creux étroit entre deux plateaux à 0 dB, d'autant plus étroit que le facteur de qualité est grand.

La méthode

1. Écrire la fonction de transfert comme un pont diviseur en impédances : l'impédance de sortie sur la somme des impédances.
2. Chercher les comportements limites, à fréquence nulle et à fréquence infinie, en remplaçant chaque composant par un fil ou un circuit ouvert. La nature du filtre se lit alors sans calcul.
3. Calculer la fréquence de coupure par la formule du premier ordre, ou en cherchant où le module vaut le maximum divisé par $\sqrt2$. Pour un R-L-C, calculer la résonance $f_0$ et le facteur de qualité.
4. Tracer les asymptotes à la règle, puis marquer le point à −3 dB sous leur intersection.
5. Vérifier la phase : à la coupure d'un premier ordre, elle vaut −45 degrés pour un passe-bas et +45 degrés pour un passe-haut. Du côté où le filtre coupe, elle tend vers −90 ou +90 degrés ; du côté où il laisse passer, vers 0.
6. Vérifier les unités avant le résultat : un gain en décibels est sans dimension, $RC$ est un temps, et $1/(2\pi RC)$ est donc bien une fréquence. Une coupure qui sortirait en secondes signale une inversion oubliée.
7. Contrôler l'ordre de grandeur : un pont diviseur R-C ou R-L du premier ordre ne peut pas amplifier, et son gain reste négatif ou nul. Un montage qui associe une bobine et un condensateur, en revanche, peut dépasser 0 dB près de sa résonance : c'est la surtension du chapitre des impédances. Un gain positif sur un R-C signale une erreur ; sur un R-L-C, il se vérifie par le facteur de qualité.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

La première question de l'ouverture a sa réponse : le filtre coupe à 994,7 Hz, où il perd 3 dB (−3,03 dB à 1 kHz, à peine au-dessus), et ne laisse au parasite de 20 kHz que 0,0497 de son amplitude : −26,1 dB, soit 24,8 mV sur 0,5 V. Le premier exercice type dit ce que coûterait au signal du capteur une atténuation plus forte.