Les nombres complexes

Le nombre i

C'est la seule règle nouvelle du chapitre. Tout le reste est du calcul algébrique ordinaire : on développe, on factorise, on réduit, exactement comme avec des lettres, et à la fin, on remplace chaque $i^2$ par $-1$.

La forme algébrique

Deux cas particuliers portent un nom :

• si $b = 0$, z est un réel ordinaire : les réels sont donc des complexes ;
• si $a = 0$, z est dit imaginaire pur (exemple : $7i$).

L'ensemble de tous les nombres complexes se note $\mathbb{C}$. La première remarque ci-dessus se réécrit alors $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ : on n'a rien perdu en chemin, on a seulement ajouté. C'est ce qui autorise à mêler réels et complexes dans un même calcul sans précaution particulière.

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. C'est ce qu'on appelle l'identification, et c'est un outil de démonstration à part entière : d'une seule égalité entre complexes, on tire deux équations entre réels.

Le plan complexe

Un complexe porte deux nombres réels : on peut donc le dessiner comme un point du plan, la partie réelle en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. $z = 3 + 2i$ est le point de coordonnées (3, 2), qu'on appelle son image.

Cette image n'est pas décorative : c'est elle qui rend tout le chapitre lisible. Un complexe, c'est une flèche partant de l'origine. Elle a une longueur et une direction : ce seront le module et l'argument.

Additionner

On additionne les parties réelles entre elles, les parties imaginaires entre elles :

Géométriquement, c'est l'addition de deux flèches mises bout à bout, exactement comme les vecteurs du chapitre précédent. Le résultat est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux, et c'est la même figure que celle de l'addition vectorielle.

Multiplier

On développe, puis on remplace $i^2$ par $-1$ :

Le calcul est simple, mais il cache ce qui se passe vraiment. Multiplier n'étire pas seulement la flèche : cela la fait aussi tourner. Le cas le plus parlant est la multiplication par $i$, qui ne change pas la longueur et fait tourner d'un quart de tour exactement.

Ce n'est pas propre à $i$. Dans le cas général, les longueurs se multiplient et les angles s'ajoutent. C'est le fait le plus important du chapitre, et la section suivante sur le module et l'argument ne fait que le mettre en formules.

Le conjugué

Son intérêt tient dans un seul calcul, à connaître par cœur :

Le produit d'un complexe par son conjugué est donc toujours un réel positif. C'est le seul outil dont on a besoin pour diviser.

Deux autres égalités, utiles pour démontrer :

• $z + \bar{z} = 2a = 2 \operatorname{Re} z$
• $z - \bar{z} = 2ib = 2i \operatorname{Im} z$

D'où : z est réel si et seulement si z̄ = z, et z est imaginaire pur si et seulement si z̄ = −z.

Diviser

Une fraction avec un $i$ au dénominateur n'est pas une forme acceptable : on n'y lit ni la partie réelle ni la partie imaginaire. La technique consiste à multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, ce qui rend celui-ci réel.

Exemple avec $(3 + 2i) / (1 + 4i)$ :

1. Le conjugué du dénominateur est $1 - 4i$.
2. En bas : $(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 + 4^2 = 17$.
3. En haut : $(3 + 2i)(1 - 4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i$.
4. Résultat : $(11 - 10i)/17$, soit $11/17 - (10/17) i$.

Géométriquement, diviser fait l'inverse de multiplier : les longueurs se divisent et les angles se retranchent. C'est pourquoi diviser par un complexe de longueur 1 ne fait que tourner, en sens inverse cette fois.

Module et argument

Revenir à l'image de la flèche : une flèche, c'est une longueur et une direction.

Le module

Exemple : $|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Notons bien que le module ne s'additionne pas : $|z + z'|$ n'est pas $|z| + |z'|$ en général. L'inégalité triangulaire dit seulement qu'il ne peut pas dépasser, et la figure dit pourquoi : la diagonale d'un parallélogramme est plus courte que le chemin qui longe deux côtés.

La distance entre deux points

Le module de la différence est ce qui rend les complexes utiles en géométrie, et c'est une seule ligne de calcul.

La raison est immédiate : $z_\mathrm{B} - z_\mathrm{A}$ a pour partie réelle $x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A}$ et pour partie imaginaire $y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A}$, donc son module est $\sqrt{(x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A})^2 + (y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A})^2}$, qui est la distance du plan.

Exemple travaillé. Quel est l'ensemble des points tels que $|z - 1 - 2i| = 3$ ?

On commence par lire l'affixe du centre, et c'est là que se joue l'exercice : $z - 1 - 2i$ s'écrit $z - (1 + 2i)$. La condition est donc « la distance de z au point d'affixe $1 + 2i$ vaut 3 », soit le cercle de centre (1 ; 2) et de rayon 3.

L'argument

Pour le calculer, on cherche l'angle θ tel que :

$\cos \theta = a / |z|$   et   $\sin \theta = b / |z|$

Il faut les deux, et c'est là que se joue l'exercice. $\tan \theta = b/a$ donne la même valeur pour un point et pour son symétrique par rapport à l'origine : une arctangente utilisée sans réfléchir donne un angle qui peut être décalé de π.

Exemple travaillé : argument de $z = -1 + i$

1. Module : $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
2. $\cos \theta = -1/\sqrt{2}$ et $\sin \theta = 1/\sqrt{2}$. On préfère écrire ces valeurs sans racine au dénominateur, en multipliant haut et bas par $\sqrt{2}$ : $1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2$. D'où $\cos \theta = -\sqrt{2}/2$ et $\sin \theta = \sqrt{2}/2$.
3. Cosinus négatif, sinus positif → deuxième quadrant.
4. L'angle du deuxième quadrant qui a ces valeurs est θ = 3π/4.

Le quadrant se lit sur le cercle, et rien ne remplace ce coup d'œil : l'angle souligné ci-dessous est celui de l'exemple.

Ce travail, la calculatrice ne le fait pas. Sa fonction arctan ne renvoie qu'une valeur entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ : elle ne sait pas distinguer un point de son symétrique par rapport à l'origine, et se trompe donc d'un demi-tour une fois sur deux. Le signe du cosinus et celui du sinus, eux, ne mentent pas.

Valeurs remarquables du premier quadrant, à savoir de tête, les autres s'en déduisant par symétrie :

Ces deux règles se lisent mieux sur deux cas extrêmes. Multiplier par un complexe de module 1 fait tourner sans changer la taille : seul l'argument bouge. Multiplier par un réel positif change la taille sans faire tourner : seul le module bouge. Toute multiplication complexe est la combinaison de ces deux gestes, une rotation et un agrandissement, et jamais rien d'autre.

Les formes trigonométrique et exponentielle

Si $r = |z|$ et $\theta = \operatorname{arg} z$, alors par définition du cosinus et du sinus, $a = r \cos \theta$ et $b = r \sin \theta$. Donc tout complexe non nul s'écrit :

$z = r (\cos \theta + i \sin \theta )$   : forme trigonométrique

Euler a montré que la parenthèse se note plus court : $\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta }$. D'où :

$z = r e^{i\theta }$   : forme exponentielle

Pourquoi une troisième écriture

Parce qu'elle transforme la multiplication en addition. Avec $z = r e^{i\theta }$ et $z' = r' e^{i\theta '}$ :

$z \times z' = r r' e^{i(\theta + \theta ')}$   et   $z / z' = (r/r') e^{i(\theta - \theta ')}$

Deux cas particuliers qui reviennent sans arrêt :

• multiplier par $i$ (module 1, argument π/2) = tourner d'un quart de tour dans le sens direct ;
• multiplier par $-1$ (module 1, argument π) = tourner d'un demi-tour.

Choisir sa forme

Une bonne rédaction commence par convertir dans la forme adaptée, fait le calcul en deux lignes, puis reconvertit. Une mauvaise développe $(1 + i)^8$ à la main.

Exemple travaillé : calculer $(1 + i)^8$

1. $|1 + i| = \sqrt{2}$ et $\operatorname{arg}(1 + i) = \pi /4$ (cos et sin tous deux positifs et égaux → premier quadrant, 45°).
2. Donc $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi /4}$.
3. $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \times e^{i\cdot 8\pi /4} = 16 \times e^{2i\pi }$.
4. $e^{2i\pi } = 1$ (un tour complet), donc le résultat est 16.

Trois lignes contre une page de développement.

Formule de Moivre

En appliquant n fois la règle du produit à un complexe de module 1 :

$(\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos(n\theta ) + i \sin(n\theta )$   : formule de Moivre

Elle sert dans les deux sens :

• de gauche à droite pour calculer des puissances ;
• de droite à gauche pour établir des formules de trigonométrie. En développant $(\cos \theta + i \sin \theta )^2$ et en identifiant partie réelle et partie imaginaire avec $\cos 2\theta + i \sin 2\theta$, on retrouve d'un coup $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.

On utilise aussi souvent les formules d'Euler, qui vont dans l'autre sens :

$\cos \theta = (e^{i\theta } + e^{-i\theta }) / 2$   et   $\sin \theta = (e^{i\theta } - e^{-i\theta }) / (2i)$

Ce sont elles qui permettent de linéariser : transformer un $\cos^3\theta$ en une somme de cosinus d'angles multiples, forme sous laquelle on sait intégrer.

La factorisation par l'arc moitié

Une somme de deux exponentielles imaginaires n'est pas une exponentielle : $e^{i\alpha} + e^{i\beta}$ ne se simplifie pas telle quelle, et c'est le point où le calcul se bloque le plus souvent. Le moyen de la ramener à la forme $r e^{i\theta}$ consiste à mettre en facteur l'exponentielle de l'angle moyen, ce qui rend le reste symétrique, donc réel.

La parenthèse est devenue réelle par la formule d'Euler, et tout se lit d'un coup : le module vaut $\left|2\cos(\theta/2)\right|$, et l'argument vaut $\theta/2$ tant que ce cosinus est positif. La valeur absolue n'est pas une précaution d'écriture : au-delà de $\theta = \pi$, le cosinus change de signe et l'argument gagne $\pi$.

Le cas général se traite de la même façon, en factorisant par la demi-somme des deux angles :

Racines n-ièmes

On cherche les $z$ tels que $z^n = w$. On écrit $w = R e^{i\varphi }$ et $z = r e^{i\theta }$. L'égalité impose $r^n = R$ et $n\theta = \varphi + 2k\pi$, d'où :

$r = R^{1/n}$   et   $\theta = \varphi /n + 2k\pi /n$, pour $k = 0, 1, \dots , n-1$

Exemple travaillé : les racines cubiques de 8

$8 = 8 e^{i\cdot 0}$. Donc $r = 8^{1/3} = 2$ et $\theta = 0 + 2k\pi /3$, pour k = 0, 1, 2 :

• k = 0 : $2 e^{i\cdot 0} = 2$
• k = 1 : $2 e^{2i\pi /3} = 2(-1/2 + i\sqrt{3}/2) = -1 + i\sqrt{3}$
• k = 2 : $2 e^{4i\pi /3} = -1 - i\sqrt{3}$

Trois points de module 2, espacés de 120° : un triangle équilatéral. Et les deux racines complexes sont bien conjuguées, ce qui est le contrôle à faire.

Une quatrième propriété ne figure dans aucun tableau et fournit le contrôle le moins cher qui soit : la somme des $n$ racines est nulle dès que $n \geq 2$. Le dessin en donne la raison immédiatement, car les flèches d'un polygone régulier centré sur l'origine se compensent, deux à deux quand $n$ est pair, trois à trois ou davantage sinon.

Concrètement, après avoir écrit les trois racines cubiques de 8, les additionner : si le total n'est pas nul, l'une des trois est fausse, et cela se sait avant toute vérification plus longue.

Le second degré à discriminant négatif

C'est l'application la plus fréquente. Pour $az^2 + bz + c = 0$ avec a, b, c réels et $\Delta = b^2 - 4ac$ :

La seule nouveauté est le passage de $\sqrt{\Delta}$ à $i\sqrt{-\Delta }$ : comme Δ est négatif, $-\Delta$ est positif et sa racine carrée existe.

Exemple travaillé : $z^2 - 2z + 5 = 0$

$\Delta = 4 - 20 = -16$, donc $\sqrt{-\Delta } = 4$, et les racines sont $(2 \pm 4i)/2 = 1 \pm 2i$.

La symétrie se lit et se vérifie : les deux racines partagent la même abscisse, qui vaut $-b/(2a)$, et leurs parties imaginaires sont opposées. Une racine complexe trouvée seule est donc toujours le signe d'une erreur.

Ce que cela sert à décrire

L'introduction promettait un courant alternatif et une onde en retard de phase. Le moment est venu de tenir cette promesse, car tout le chapitre y conduit.

Une grandeur sinusoïdale, en électricité comme en mécanique, porte deux informations et deux seulement : une amplitude et une phase. Un signal $A \cos(\omega t + \varphi)$ est entièrement décrit par le couple $(A ; \varphi)$, puisque la pulsation $\omega$ est la même pour tout le circuit. Or un couple « longueur et angle » est exactement ce qu'est un complexe sous forme exponentielle : on lui associe donc $A e^{i\varphi}$, qu'on appelle son amplitude complexe.

La figure de deux flèches mises bout à bout, vue au début de ce chapitre, s'appelle dans ce contexte un diagramme de Fresnel, et c'est le même dessin. Le chapitre 12, sur les oscillations, part de là.

L'argument, autant de fois qu'il faut

Un exemple travaillé suffit à comprendre la méthode et jamais à l'acquérir. Ici les deux coordonnées ont toujours la même valeur absolue, et ce choix n'est pas anodin : l'arctangente de $b/a$ rend alors $\pm 45$ degrés dans les quatre cas. Elle se trompe donc trois fois sur quatre, et cela se constate mieux que cela ne se lit.

L'ordre des trois questions est celui de la méthode : le module d'abord, qui ne pose aucune difficulté, puis le quadrant, qui se lit sur deux signes, puis l'angle, qui n'est plus qu'une lecture une fois le quadrant connu.

Où la démarche dérape

Le module et l'argument ne se comportent pas de la même façon dans un produit, et c'est la confusion la plus tenace du chapitre. Elle se glisse ici dans une démarche autrement juste.

À calculer soi-même

Cinq nombres réels, tous tirés de nombres complexes. Passer par la forme qui convient est tout l'exercice : la forme algébrique pour additionner, la forme exponentielle pour élever.

Exercices type

La méthode sur feuille

Sans machine, l'ordre qui fait gagner du temps :

1. Lire la forme demandée dans l'énoncé (algébrique ? exponentielle ?). C'est elle qui décide de tout.
2. Dessiner le point dès qu'on calcule un argument. Le quadrant se lit sur le dessin, et c'est ce qui évite l'erreur de π.
3. Pour une division : multiplier par le conjugué du dénominateur. Toujours.
4. Pour une puissance ou une racine : passer en exponentielle. Toujours.
5. Contrôler le module : $|z z'| = |z||z'|$ attrape la plupart des erreurs de calcul en deux secondes.
6. Si les coefficients sont réels, vérifier que les racines sont conjuguées.

Synthèse

• $i^2 = -1$ : seule règle nouvelle, le reste est du calcul algébrique ordinaire.
• Forme algébrique $z = a + ib$, idéale pour additionner. La partie imaginaire est le réel $b$, pas $ib$.
• Le conjugué $\bar{z} = a - ib$ sert à diviser, car $z \bar{z} = a^2 + b^2$ est réel.
• Module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ = longueur ; argument = angle, défini à 2π près. Il faut cosinus et sinus pour ne pas se tromper de quadrant.
• Forme exponentielle $z = r e^{i\theta }$, idéale pour multiplier, diviser, élever à une puissance : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
• Moivre : $(\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$. Euler : $\cos \theta = (e^{i\theta } + e^{-i\theta })/2$.
• Distance : $AB = |z_\mathrm{B} - z_\mathrm{A}|$. D'où $|z - a| = r$ pour un cercle, $|z - a| = |z - b|$ pour une médiatrice.
• Un complexe non nul a n racines n-ièmes, aux sommets d'un polygone régulier, et leur somme est nulle.
• Discriminant négatif → deux racines conjuguées $(-b \pm i\sqrt{-\Delta })/(2a)$.