Les nombres complexes

Le nombre i

C'est la seule règle nouvelle du chapitre. Tout le reste est du calcul algébrique ordinaire : on développe, on factorise, on réduit, exactement comme avec des lettres, et à la fin, on remplace chaque $i^2$ par $-1$.

Les puissances de i

Une seule règle, et pourtant elle engendre un cycle. $i^2 = -1$, donc $i^3 = i^2 \times i = -i$, puis $i^4 = i^2 \times i^2 = (-1) \times (-1) = 1$, et tout recommence : $i^5 = i$, $i^6 = -1$, et ainsi de suite.

Pour une puissance quelconque, le reste de la division de l'exposant par 4 suffit. $2027 = 4 \times 506 + 3$, donc $i^{2027} = i^3 = -i$. Ce cycle de longueur quatre est déjà une rotation : chaque multiplication par $i$ fait un quart de tour, et quatre quarts de tour ramènent au départ. La figure de la section suivante le montre.

La forme algébrique

Deux cas particuliers portent un nom :

• si $b = 0$, z est un réel ordinaire : les réels sont donc des complexes ;
• si $a = 0$, z est dit imaginaire pur (exemple : $7i$).

L'ensemble de tous les nombres complexes se note $\mathbb{C}$. La première remarque ci-dessus se réécrit alors $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ : on n'a rien perdu en chemin, on a seulement ajouté. C'est ce qui autorise à mêler réels et complexes dans un même calcul sans précaution particulière.

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. C'est ce qu'on appelle l'identification, et c'est un outil de démonstration à part entière : d'une seule égalité entre complexes, on tire deux équations entre réels.

Le plan complexe

Un complexe porte deux nombres réels : on peut donc le dessiner comme un point du plan, la partie réelle en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. $z = 3 + 2i$ est le point de coordonnées (3, 2), qu'on appelle son image.

Cette image n'est pas décorative : c'est elle qui rend tout le chapitre lisible. Un complexe, c'est une flèche partant de l'origine. Elle a une longueur et une direction : ce seront le module et l'argument.

Additionner

On additionne les parties réelles entre elles, les parties imaginaires entre elles :

Géométriquement, c'est l'addition de deux flèches mises bout à bout, exactement comme les vecteurs du chapitre précédent. Le résultat est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux, et c'est la même figure que celle de l'addition vectorielle.

Multiplier

On développe, puis on remplace $i^2$ par $-1$ :

À retenir. Il n'y a rien de plus à savoir pour la forme algébrique : on calcule comme avec des lettres, et on remplace $i^2$ par $-1$.

Le calcul est simple, mais il cache ce qui se passe vraiment. Multiplier n'étire pas seulement la flèche : cela la fait aussi tourner. Le cas le plus parlant est la multiplication par $i$, qui ne change pas la longueur et fait tourner d'un quart de tour exactement.

Ce n'est pas propre à $i$. Dans le cas général, les longueurs se multiplient et les angles s'ajoutent. C'est le fait le plus important du chapitre, et la section suivante sur le module et l'argument ne fait que le mettre en formules.

Le conjugué

Son intérêt tient dans un seul calcul, à connaître par cœur :

Le produit d'un complexe par son conjugué est donc toujours un réel positif. C'est le seul outil dont on a besoin pour diviser.

Deux autres égalités, utiles pour démontrer :

• $z + \bar{z} = 2a = 2 \operatorname{Re} z$
• $z - \bar{z} = 2ib = 2i \operatorname{Im} z$

D'où : z est réel si et seulement si z̄ = z, et z est imaginaire pur si et seulement si z̄ = −z.

Le conjugué traverse les opérations : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}'$, $\overline{z z'} = \bar{z}\,\bar{z}'$ et $\overline{z / z'} = \bar{z} / \bar{z}'$. C'est ce qui explique, plus loin, que les racines d'une équation à coefficients réels aillent par paires : conjuguer toute l'équation la laisse inchangée, donc envoie une racine sur une autre racine.

Il donne aussi l'inverse sans division à poser. Comme $z \bar{z} = |z|^2$ :

Ainsi $\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{3 - 4i}{25}$, et $\dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{1} = -i$, ce qui se vérifie en une ligne : $i \times (-i) = -i^2 = 1$.

Diviser

Une fraction avec un $i$ au dénominateur n'est pas une forme acceptable : on n'y lit ni la partie réelle ni la partie imaginaire. La technique consiste à multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, ce qui rend celui-ci réel.

Exemple avec $(3 + 2i) / (1 + 4i)$ :

1. Le conjugué du dénominateur est $1 - 4i$.
2. En bas : $(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 + 4^2 = 17$.
3. En haut : $(3 + 2i)(1 - 4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i$.
4. Résultat : $(11 - 10i)/17$, soit $11/17 - (10/17) i$.

Géométriquement, diviser fait l'inverse de multiplier : les longueurs se divisent et les angles se retranchent. C'est pourquoi diviser par un complexe de longueur 1 ne fait que tourner, en sens inverse cette fois.

Module et argument

Revenir à l'image de la flèche : une flèche, c'est une longueur et une direction.

Le module

Exemple : $|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Notons bien que le module ne s'additionne pas : $|z + z'|$ n'est pas $|z| + |z'|$ en général. L'inégalité triangulaire dit seulement qu'il ne peut pas dépasser, et la figure dit pourquoi : la diagonale d'un parallélogramme est plus courte que le chemin qui longe deux côtés.

La distance entre deux points

Le module de la différence est ce qui rend les complexes utiles en géométrie, et c'est une seule ligne de calcul.

La raison est immédiate : $z_\mathrm{B} - z_\mathrm{A}$ a pour partie réelle $x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A}$ et pour partie imaginaire $y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A}$, donc son module est $\sqrt{(x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A})^2 + (y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A})^2}$, qui est la distance du plan.

Ce que cette propriété permet d'écrire. Une condition géométrique devient une équation, et réciproquement. Les trois cas à reconnaître :
$|z - a| = r$ : les points à distance r du point d'affixe a, c'est-à-dire le cercle de centre a et de rayon r.
$|z - a| \leq r$ : le disque correspondant, bord compris.
$|z - a| = |z - b|$ : les points à égale distance de deux points, c'est-à-dire la médiatrice du segment.

Exemple travaillé. Quel est l'ensemble des points tels que $|z - 1 - 2i| = 3$ ?

On commence par lire l'affixe du centre, et c'est là que se joue l'exercice : $z - 1 - 2i$ s'écrit $z - (1 + 2i)$. La condition est donc « la distance de z au point d'affixe $1 + 2i$ vaut 3 », soit le cercle de centre (1 ; 2) et de rayon 3.

L'argument

Le nombre 0 n'a pas d'argument : une flèche de longueur nulle ne pointe nulle part, et c'est pourquoi la définition l'exclut. Les points des axes se lisent sans calcul : un réel strictement positif a pour argument 0, un réel strictement négatif a pour argument $\pi$, un imaginaire pur $bi$ a pour argument $\pi/2$ si $b > 0$ et $-\pi/2$ si $b < 0$.

Pour le calculer, on cherche l'angle θ tel que :

$\cos \theta = a / |z|$   et   $\sin \theta = b / |z|$

Il faut les deux, et c'est là que se joue l'exercice. $\tan \theta = b/a$ donne la même valeur pour un point et pour son symétrique par rapport à l'origine : une arctangente utilisée sans réfléchir donne un angle qui peut être décalé de π.

La méthode qui ne rate pas. Le signe du cosinus et celui du sinus désignent à eux deux un seul quadrant. Cosinus −, sinus + → deuxième quadrant, en haut à gauche. Faisons le dessin : on ne peut plus se tromper de π.

Exemple travaillé : argument de $z = -1 + i$

1. Module : $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
2. $\cos \theta = -1/\sqrt{2}$ et $\sin \theta = 1/\sqrt{2}$. On préfère écrire ces valeurs sans racine au dénominateur, en multipliant haut et bas par $\sqrt{2}$ : $1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2$. D'où $\cos \theta = -\sqrt{2}/2$ et $\sin \theta = \sqrt{2}/2$.
3. Cosinus négatif, sinus positif → deuxième quadrant.
4. L'angle du deuxième quadrant qui a ces valeurs est θ = 3π/4.

Le quadrant se lit sur le cercle, et rien ne remplace ce coup d'œil : l'angle souligné ci-dessous est celui de l'exemple.

Ce travail, la calculatrice ne le fait pas. Sa fonction arctan ne renvoie qu'une valeur entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ : elle ne sait pas distinguer un point de son symétrique par rapport à l'origine, et se trompe donc d'un demi-tour une fois sur deux. Le signe du cosinus et celui du sinus, eux, ne mentent pas.

Valeurs remarquables du premier quadrant, à savoir de tête, les autres s'en déduisant par symétrie :

Ces deux règles se lisent mieux sur deux cas extrêmes. Multiplier par un complexe de module 1 fait tourner sans changer la taille : seul l'argument bouge. Multiplier par un réel positif change la taille sans faire tourner : seul le module bouge. Toute multiplication complexe est la combinaison de ces deux gestes, une rotation et un agrandissement, et jamais rien d'autre.

Les formes trigonométrique et exponentielle

Si $r = |z|$ et $\theta = \operatorname{arg} z$, alors par définition du cosinus et du sinus, $a = r \cos \theta$ et $b = r \sin \theta$. Donc tout complexe non nul s'écrit :

$z = r (\cos \theta + i \sin \theta )$   : forme trigonométrique

Euler a montré que la parenthèse se note plus court : $\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta }$. D'où :

$z = r e^{i\theta }$   : forme exponentielle

Les valeurs à connaître

Quatre points du cercle unité reviennent dans tous les calculs, et ils s'écrivent sans cosinus ni sinus :

Ce tableau est le cycle des puissances de $i$ lu sur le cercle : $i = e^{i\pi/2}$, donc $i^n = e^{in\pi/2}$, et l'exposant fait le tour en quatre pas. L'égalité $e^{i\pi} = -1$ est celle qui sert le plus : elle transforme un signe moins en un demi-tour, et un demi-tour en un signe moins.

Dans l'autre sens, revenir de $r e^{i\theta}$ à $a + ib$ ne demande que $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$. Ainsi $4 e^{-i\pi/6} = 4\left(\cos\frac{\pi}{6} - i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) = 2\sqrt{3} - 2i$.

Pourquoi une troisième écriture

Parce qu'elle transforme la multiplication en addition. Avec $z = r e^{i\theta }$ et $z' = r' e^{i\theta '}$ :

$z \times z' = r r' e^{i(\theta + \theta ')}$   et   $z / z' = (r/r') e^{i(\theta - \theta ')}$

La propriété centrale du chapitre.

Multiplier deux complexes, c'est multiplier les modules et additionner les arguments. Autrement dit : multiplier par un complexe de module r et d'argument θ, c'est faire subir au plan une rotation de θ suivie d'un agrandissement de r. C'est exactement pour cela que les complexes décrivent bien tout ce qui tourne.

Deux cas particuliers qui reviennent sans arrêt :

• multiplier par $i$ (module 1, argument π/2) = tourner d'un quart de tour dans le sens direct ;
• multiplier par $-1$ (module 1, argument π) = tourner d'un demi-tour.

Les transformations du plan

La propriété centrale se lit comme un catalogue de mouvements. Chaque opération sur $z$ déplace son image d'une façon précise, et trois d'entre elles suffisent à décrire tout ce qui bouge dans un plan.

Tourner autour d'un autre point que l'origine ne demande rien de plus : on ramène ce point à l'origine, on tourne, on le remet en place. Pour une rotation d'angle $\theta$ autour du point $\Omega$ d'affixe $\omega$ :

La formule se lit de droite à gauche. $z - \omega$ est la flèche qui va de $\Omega$ au point ; multiplier par $e^{i\theta}$ la fait tourner ; ajouter $\omega$ replace son origine en $\Omega$.

Exemple travaillé. Rotation d'un quart de tour direct, autour du point $\Omega$ d'affixe $1 + i$, du point $M$ d'affixe $3 + i$.

1. La flèche de $\Omega$ à $M$ : $z - \omega = (3 + i) - (1 + i) = 2$.
2. Un quart de tour direct est une multiplication par $e^{i\pi/2} = i$ : la flèche devient $2i$.
3. Retour en place : $z' = \omega + 2i = 1 + i + 2i = 1 + 3i$.

Le contrôle est une distance : $M$ était à 2 de $\Omega$, et $M'$ est à $|1 + 3i - (1 + i)| = |2i| = 2$ de $\Omega$. Une rotation conserve les distances, et c'est ce que le module vérifie.

Choisir sa forme

Une bonne rédaction commence par convertir dans la forme adaptée, fait le calcul en deux lignes, puis reconvertit. Une mauvaise développe $(1 + i)^8$ à la main.

Exemple travaillé : calculer $(1 + i)^8$

1. $|1 + i| = \sqrt{2}$ et $\operatorname{arg}(1 + i) = \pi /4$ (cos et sin tous deux positifs et égaux → premier quadrant, 45°).
2. Donc $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi /4}$.
3. $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \times e^{i\cdot 8\pi /4} = 16 \times e^{2i\pi }$.
4. $e^{2i\pi } = 1$ (un tour complet), donc le résultat est 16.

Trois lignes contre une page de développement.

Formule de Moivre

En appliquant n fois la règle du produit à un complexe de module 1 :

$(\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos(n\theta ) + i \sin(n\theta )$   : formule de Moivre

Elle sert dans les deux sens :

• de gauche à droite pour calculer des puissances ;
• de droite à gauche pour établir des formules de trigonométrie. En développant $(\cos \theta + i \sin \theta )^2$ et en identifiant partie réelle et partie imaginaire avec $\cos 2\theta + i \sin 2\theta$, on retrouve d'un coup $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.

On utilise aussi souvent les formules d'Euler, qui vont dans l'autre sens :

$\cos \theta = (e^{i\theta } + e^{-i\theta }) / 2$   et   $\sin \theta = (e^{i\theta } - e^{-i\theta }) / (2i)$

Ce sont elles qui permettent de linéariser : transformer un $\cos^3\theta$ en une somme de cosinus d'angles multiples, forme sous laquelle on sait intégrer.

Exemple travaillé : linéariser $\cos^3\theta$. On remplace le cosinus par sa formule d'Euler, on développe le cube, on regroupe.

1. $\cos^3\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\left(e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right)$, par le binôme $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, où $a^2 b = e^{2i\theta} e^{-i\theta} = e^{i\theta}$.
2. On regroupe les exposants opposés : $e^{3i\theta} + e^{-3i\theta} = 2\cos 3\theta$ et $3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} = 6\cos\theta$.
3. D'où $\cos^3\theta = \dfrac{2\cos 3\theta + 6\cos\theta}{8} = \dfrac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}$.

Le contrôle se fait en $\theta = 0$ : à gauche 1, à droite $(1 + 3)/4 = 1$. Le cube a disparu, et il ne reste que des cosinus d'angles multiples, dont la primitive est immédiate. C'est à cela que sert la linéarisation, et c'est le chapitre d'intégration qui en fait usage.

La factorisation par l'arc moitié

Une somme de deux exponentielles imaginaires n'est pas une exponentielle : $e^{i\alpha} + e^{i\beta}$ ne se simplifie pas telle quelle, et c'est le point où le calcul se bloque le plus souvent. Le moyen de la ramener à la forme $r e^{i\theta}$ consiste à mettre en facteur l'exponentielle de l'angle moyen, ce qui rend le reste symétrique, donc réel.

La parenthèse est devenue réelle par la formule d'Euler, et tout se lit d'un coup : le module vaut $\left|2\cos(\theta/2)\right|$, et l'argument vaut $\theta/2$ tant que ce cosinus est positif. La valeur absolue n'est pas une précaution d'écriture : au-delà de $\theta = \pi$, le cosinus change de signe et l'argument gagne $\pi$.

Le cas général se traite de la même façon, en factorisant par la demi-somme des deux angles :

Ce que cette ligne remplace. Deux signaux de même fréquence et de phases différentes s'additionnent exactement comme ces deux exponentielles. Le facteur $\cos((\alpha - \beta)/2)$ est l'amplitude du signal résultant : elle vaut 2 quand les phases coïncident, et zéro quand elles sont opposées. Toute la théorie des interférences tient dans ce facteur, et l'obtenir par la trigonométrie demanderait une demi-page.

Racines n-ièmes

On cherche les $z$ tels que $z^n = w$. On écrit $w = R e^{i\varphi }$ et $z = r e^{i\theta }$. L'égalité impose $r^n = R$ et $n\theta = \varphi + 2k\pi$, d'où :

$r = R^{1/n}$   et   $\theta = \varphi /n + 2k\pi /n$, pour $k = 0, 1, \dots , n-1$

À retenir. Un complexe non nul a exactement n racines n-ièmes. Elles ont toutes le même module et sont régulièrement espacées de 2π/n : elles forment un polygone régulier à n côtés centré sur l'origine. Si on en trouve une, les autres s'en déduisent par rotations.

Exemple travaillé : les racines cubiques de 8

$8 = 8 e^{i\cdot 0}$. Donc $r = 8^{1/3} = 2$ et $\theta = 0 + 2k\pi /3$, pour k = 0, 1, 2 :

• k = 0 : $2 e^{i\cdot 0} = 2$
• k = 1 : $2 e^{2i\pi /3} = 2(-1/2 + i\sqrt{3}/2) = -1 + i\sqrt{3}$
• k = 2 : $2 e^{4i\pi /3} = -1 - i\sqrt{3}$

Trois points de module 2, espacés de 120° : un triangle équilatéral. Et les deux racines complexes sont bien conjuguées, ce qui est le contrôle à faire.

Une quatrième propriété ne figure dans aucun tableau et fournit le contrôle le moins cher qui soit : la somme des $n$ racines est nulle dès que $n \geq 2$. Le dessin en donne la raison immédiatement, car les flèches d'un polygone régulier centré sur l'origine se compensent, deux à deux quand $n$ est pair, trois à trois ou davantage sinon.

Concrètement, après avoir écrit les trois racines cubiques de 8, les additionner : si le total n'est pas nul, l'une des trois est fausse, et cela se sait avant toute vérification plus longue.

Le second degré à discriminant négatif

C'est l'application la plus fréquente. Pour $az^2 + bz + c = 0$ avec a, b, c réels et $\Delta = b^2 - 4ac$ :

La seule nouveauté est le passage de $\sqrt{\Delta}$ à $i\sqrt{-\Delta }$ : comme Δ est négatif, $-\Delta$ est positif et sa racine carrée existe.

Exemple travaillé : $z^2 - 2z + 5 = 0$

$\Delta = 4 - 20 = -16$, donc $\sqrt{-\Delta } = 4$, et les racines sont $(2 \pm 4i)/2 = 1 \pm 2i$.

La symétrie se lit et se vérifie : les deux racines partagent la même abscisse, qui vaut $-b/(2a)$, et leurs parties imaginaires sont opposées. Une racine complexe trouvée seule est donc toujours le signe d'une erreur.

Le contrôle en deux secondes. Quand a, b, c sont réels, les racines complexes vont toujours par paires conjuguées. Si on trouve $1 + 2i$ sans trouver $1 - 2i$, on a fait une erreur de signe. Vérifions aussi que la somme des racines vaut $-b/a$ et leur produit $c/a$.

Ce que cela sert à décrire

L'introduction promettait un courant alternatif et une onde en retard de phase. Le moment est venu de tenir cette promesse, car tout le chapitre y conduit.

Une grandeur sinusoïdale, en électricité comme en mécanique, porte deux informations et deux seulement : une amplitude et une phase. Un signal $A \cos(\omega t + \varphi)$ est entièrement décrit par le couple $(A ; \varphi)$, puisque la pulsation $\omega$ est la même pour tout le circuit. Or un couple « longueur et angle » est exactement ce qu'est un complexe sous forme exponentielle : on lui associe donc $A e^{i\varphi}$, qu'on appelle son amplitude complexe.

Ce que le passage aux complexes fait gagner. Additionner deux signaux de même pulsation devient l'addition de leurs amplitudes complexes, donc une addition de flèches. Sans complexes, il faut développer deux cosinus déphasés et recomposer, ce qui prend une demi-page pour un résultat qu'on lit ici sur un dessin.
Déphaser de +90 degrés devient une multiplication par i, celle-là même dont la figure du début du chapitre montrait qu'elle fait tourner d'un quart de tour. Un condensateur et une bobine ne font rien d'autre.
Et dériver par rapport au temps devient une multiplication par $i\omega$, ce qui change les équations différentielles d'un circuit en équations algébriques ordinaires.

La figure de deux flèches mises bout à bout, vue au début de ce chapitre, s'appelle dans ce contexte un diagramme de Fresnel, et c'est le même dessin. Le chapitre sur les oscillations part de là, et le chapitre d'électricité sur Fresnel y ajoute les impédances, avec la lettre $j$ à la place de $i$.

La division, autant de fois qu'il faut

La division est le geste le plus mécanique du chapitre, et le plus souvent inachevé : le conjugué est bien multiplié en bas, oublié en haut, ou le résultat est laissé sous forme de fraction. Les nombres sont choisis pour que le quotient tombe juste.

La première question est le dénominateur réel qui rend le reste possible : c'est $c^2 + d^2$, jamais $c^2 - d^2$, parce que $-(id)^2 = +d^2$.

L'argument, autant de fois qu'il faut

Un exemple travaillé suffit à comprendre la méthode et jamais à l'acquérir. Ici les deux coordonnées ont toujours la même valeur absolue, et ce choix n'est pas anodin : l'arctangente de $b/a$ rend alors $\pm 45$ degrés dans les quatre cas. Elle se trompe donc trois fois sur quatre, et cela se constate mieux que cela ne se lit.

L'ordre des trois questions est celui de la méthode : le module d'abord, qui ne pose aucune difficulté, puis le quadrant, qui se lit sur deux signes, puis l'angle, qui n'est plus qu'une lecture une fois le quadrant connu.

La méthode sur feuille

Sans machine, l'ordre qui fait gagner du temps :

1. Lire la forme demandée dans l'énoncé (algébrique ? exponentielle ?). C'est elle qui décide de tout.
2. Dessiner le point dès qu'on calcule un argument. Le quadrant se lit sur le dessin, et c'est ce qui évite l'erreur de π.
3. Pour une division : multiplier par le conjugué du dénominateur. Toujours.
4. Pour une puissance ou une racine : passer en exponentielle. Toujours.
5. Contrôler le module : $|z z'| = |z||z'|$ attrape la plupart des erreurs de calcul en deux secondes.
6. Si les coefficients sont réels, vérifier que les racines sont conjuguées.

Mettre en pratique

Cinq nombres réels, tous tirés de nombres complexes. Passer par la forme qui convient est tout l'exercice : la forme algébrique pour additionner, la forme exponentielle pour élever.