Les suites

Ce qu'est une suite

Un entrepôt relève son stock chaque lundi matin : 240 palettes, puis 205, puis 178, puis 152. Un compte épargne affiche son solde chaque fin de mois. Un capteur enregistre une température toutes les heures. Dans les trois cas, il y a une quantité, mesurée à des instants réguliers, et ce qui intéresse est moins chaque valeur prise isolément que la manière dont elles s'enchaînent.

C'est cela, une suite : une grandeur dont on ne retient que la liste ordonnée de ses valeurs, une par rang.

$u_0$ est le premier terme (parfois $u_1$, selon l'énoncé), $u_1$ le deuxième, et ainsi de suite. La suite entière se note $(u_n)$. Sur le relevé de stock ci-dessus, $u_0 = 240$, $u_1 = 205$, $u_2 = 178$ et $u_3 = 152$.

Les deux façons de définir une suite

La même situation s'écrit de deux manières, et le choix entre les deux n'est pas une question de goût. Soit un compte qui contient 500 euros et sur lequel 40 euros sont versés chaque mois.

Par récurrence : un premier terme, et une règle qui donne chaque terme à partir du précédent.

C'est la traduction littérale de l'énoncé, et c'est la forme dans laquelle un phénomène se décrit spontanément : l'état du mois prochain se déduit de celui de ce mois-ci.

Sous forme explicite : une formule qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$.

C'est le même compte, la même liste de nombres, écrite autrement. La différence est de coût : pour connaître le solde au bout de cent mois, la forme explicite donne $u_{100} = 4500$ en une multiplication, là où la forme par récurrence demande de passer par les cent termes précédents.

Toutes les suites ne se laissent pas faire aussi facilement. Une cuve perd quinze pour cent de son contenu chaque jour et reçoit 120 litres :

Ici, la forme par récurrence s'écrit toute seule et la forme explicite n'a rien d'évident. La trouver est un travail, et c'est précisément le travail que ce chapitre apprend à faire.

La cuve ci-dessus se comporte d'une façon qui ne se devine pas à la lecture de sa règle : quel que soit le niveau de départ, elle finit toujours au même endroit. Déplacer le niveau initial le montre, et déplacer le coefficient de perte montre autre chose encore.

La valeur d'arrivée porte un nom, le point fixe : c'est le niveau que la règle laisse en place, celui qui vérifie $\ell = 0{,}85\,\ell + 120$. Il se calcule en une ligne, et la fin du chapitre montre pourquoi la suite y va.

Les suites arithmétiques

C'est le modèle de la croissance à pas constant, et le mot important est « constant » : ce qui se répète à l'identique est la quantité ajoutée, pas le pourcentage. Un salaire augmenté de 50 euros par an, une hauteur d'eau qui monte de 2 cm par heure, un abonnement qui coûte un montant fixe chaque mois.

Une suite arithmétique se reconnaît d'un coup d'œil : ses termes sont alignés. C'est la traduction visuelle de « on ajoute toujours la même chose », le même pas vertical à chaque rang.

Le terme général, et pourquoi c'est n et non n + 1

Pour aller de $u_0$ à $u_n$, il faut franchir les rangs $0 \to 1$, $1 \to 2$, et ainsi de suite jusqu'à $n-1 \to n$. Cela fait $n$ pas, pas un de plus, et chacun ajoute $r$ :

Le même raisonnement entre deux rangs quelconques donne $u_n = u_p + (n - p)\,r$, puisqu'il y a exactement $n - p$ pas de $p$ à $n$.

Attention aussi au rang de départ. Si l'énoncé part de $u_1$ et non de $u_0$, alors il n'y a que $n - 1$ pas pour atteindre $u_n$, et le terme général devient $u_n = u_1 + (n-1)\,r$. La formule ne change pas, c'est le point de départ qui change.

La somme, et pourquoi la moyenne des extrêmes y apparaît

Cette formule n'est pas à retenir bêtement, car elle se retrouve en une ligne. Écrire la somme dans un sens, puis dans l'autre, et additionner les deux lignes colonne par colonne :

Chaque colonne donne la même valeur, parce qu'en descendant d'un cran sur une ligne on ajoute $r$ et en remontant d'un cran sur l'autre on retranche $r$. Il y a autant de colonnes que de termes, d'où $2S = (\text{nombre de termes}) \times (u_0 + u_n)$.

Le cas classique en est l'application immédiate : $0 + 1 + 2 + \dots + n$ compte $n + 1$ termes de moyenne $n/2$, ce qui donne $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Pour $n = 100$, cela fait $101 \times 50 = 5\,050$, et c'est le calcul que Gauss aurait fait de tête à sept ans.

Reconnaître une suite arithmétique : calculer $u_{n+1} - u_n$ et constater que le résultat ne dépend pas de $n$. Une différence qui dépend encore de $n$ signale une suite d'une autre espèce, et il ne sert à rien de lui appliquer les formules ci-dessus.

Les suites géométriques

C'est le modèle de la croissance proportionnelle, et c'est là toute la différence : ce qui se répète à l'identique n'est plus la quantité ajoutée, c'est le pourcentage. Un capital à 3 % ($q = 1{,}03$), une population qui double ($q = 2$), un signal atténué de moitié ($q = 0{,}5$), une dette dont les intérêts courent.

Là où l'arithmétique aligne ses termes, la géométrique les courbe. Et tout se joue autour de $q = 1$ : au-dessus la suite s'envole, en dessous elle s'écrase vers zéro, et une raison négative fait alterner les termes de part et d'autre de l'axe.

Le terme général, où l'exposant compte les pas

Le raisonnement est le même que pour l'arithmétique, à ceci près qu'une addition répétée devient une multiplication répétée. De $u_0$ à $u_n$ il y a $n$ pas, chacun multipliant par $q$ :

L'exposant compte les pas, non les termes. Si l'énoncé part de $u_1$, le terme général devient $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$, pour la même raison qu'en arithmétique.

La somme, et le télescopage qui la donne

Elle aussi se retrouve, par une astuce qui resservira dans tout le reste des mathématiques. Poser $S = u_0 + u_0q + \dots + u_0q^n$, puis multiplier toute la ligne par $q$ : chaque terme se décale d'un cran. En soustrayant les deux lignes, tout s'annule au milieu et il ne reste que les deux bouts :

La division par $1 - q$ donne la formule, et elle explique du même coup pourquoi le cas $q = 1$ est exclu : la suite y est constante, et sa somme vaut simplement $(n+1)\,u_0$.

Reconnaître une suite géométrique : calculer le rapport $u_{n+1} / u_n$ et constater qu'il ne dépend pas de $n$. C'est le pendant exact de la différence en arithmétique.

Pourquoi la géométrique finit toujours par gagner

La comparaison mérite d'être faite une fois avec des nombres, parce que l'intuition se trompe lourdement sur les premiers rangs. Soit une suite arithmétique généreuse, $u_n = 1\,000 + 100n$, et une suite géométrique modeste, $v_n = 10 \times 1{,}05^n$, c'est-à-dire 5 % de croissance en partant de cent fois moins.

Pendant cent cinquante rangs la géométrique reste derrière, et elle paraît sans espoir. Au rang 152 elle passe devant, et au rang 200 elle vaut déjà huit fois l'autre. Aucun choix de paramètres ne change cette issue : toute suite géométrique de raison $q > 1$ finit par dépasser toute suite arithmétique, quelles que soient leurs raisons et leurs premiers termes. Seul le rang du croisement change.

C'est le même énoncé que les croissances comparées du chapitre suivant, et c'est ce qui rend les phénomènes exponentiels si difficiles à anticiper : ils sont invisibles longtemps, puis ils sont hors de portée.

Le comportement de $q^n$, à connaître par cœur

C'est ce tableau qui décide de la limite de toute suite géométrique.

Le cas $|q| < 1$ est celui de tous les phénomènes qui s'éteignent : décharge d'un condensateur, amortissement d'une oscillation, décroissance radioactive.

Sens de variation

Trois méthodes, à choisir selon la tête de la suite :

1. Étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. La méthode générale, celle qui marche toujours. Positive → croissante.

2. Comparer le rapport $u_{n+1}/u_n$ à 1. Réservée aux suites à termes strictement positifs : c'est une condition, pas un détail. Rapport > 1 → croissante. Pratique quand la suite contient des puissances ou des factorielles, car tout se simplifie.

3. Étudier la fonction associée. Si $u_n = f(n)$ avec f définie sur les réels positifs, alors le sens de variation de f donne celui de la suite. Attention : cela ne fonctionne que pour les suites explicites, jamais pour les suites par récurrence.

Exemple travaillé. $u_n = n^2 - 5n$.

Ce nombre est négatif pour $n < 2$, nul pour $n = 2$, positif ensuite. La suite décroît jusqu'au rang 2, puis croît. Elle n'est donc pas monotone, et c'est une réponse parfaitement valable.

Majorée, minorée, bornée

Trois mots de vocabulaire, et une seule image : un plafond et un plancher.

• $(u_n)$ est majorée s'il existe un plafond M qu'elle ne dépasse jamais : $u_n \leq M$ pour tout n.
• Elle est minorée s'il existe un plancher m sous lequel elle ne descend jamais : $u_n \geq m$ pour tout n.
• Elle est bornée si elle est coincée entre les deux.

Ce sont des propriétés faciles à énoncer et faciles à rater : il faut que l'inégalité soit vraie pour tous les rangs, pas seulement pour les premiers.

Un majorant n'est pas unique : si M convient, tout nombre plus grand convient aussi. On demande souvent « montrer que la suite est majorée par 3 ». Il s'agit alors de démontrer $u_n \leq 3$ pour tout n, généralement par récurrence.

Limites

Converger, cela se voit : les points viennent se coller à une droite horizontale sans jamais l'atteindre. Le mot « à partir d'un certain rang » est le cœur de la définition, et la figure le rend concret : peu importe à quelle distance on place la barre, les termes finissent par rester en dessous.

Diverger n'a rien à voir avec « ne pas se comporter » : une suite peut diverger en filant vers l'infini, ou simplement en refusant de se fixer. Les deux cas s'opposent à la convergence pour des raisons différentes.

Un écart qui s'annule ne fait pas une limite

La méthode de la section précédente invite à une conclusion qui semble aller de soi et qui est fausse : si l'écart $u_{n+1} - u_n$ tend vers zéro, alors la suite finit par se fixer. L'idée est tentante, parce qu'elle décrit fidèlement ce qui se passe sur une suite convergente, où les termes cessent effectivement de bouger.

Le contre-exemple tient en une ligne. Pour $u_n = \sqrt{n}$, la quantité conjuguée donne :

Le dénominateur tend vers l'infini, donc l'écart tend vers zéro. Et pourtant $\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$ : la suite ne se fixe nulle part. Ce qui trompe, c'est qu'un écart petit ne dit rien sur le cumul des écarts. Ajouter une infinité de quantités qui tendent vers zéro peut très bien donner l'infini, et c'est exactement ce qui arrive ici.

Les limites de référence

Les formes indéterminées

Quatre situations où on ne peut pas conclure directement, et où il faut transformer l'expression :

$\infty - \infty$    $0 \times \infty$    $\infty /\infty$    $0/0$

La technique de référence pour un quotient de polynômes : factoriser par le terme dominant.

Exemple : $u_n = (3n^2 + 2n - 1) / (n^2 - 5)$. On factorise $n^2$ en haut et en bas :

Les $n^2$ se simplifient, tous les termes en $1/n$ tendent vers 0, et il reste 3/1 = 3.

Cette limite se voit aussi bien qu'elle se calcule. En traçant la même expression comme une fonction de x, on regarde ce que devient le quotient quand n grandit :

Opérations sur les limites

Elles se comportent comme on l'espère : la limite d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit le produit des limites, sauf dans les quatre cas indéterminés ci-dessus.

Les deux théorèmes qui servent tout le temps

Théorème de la limite monotone

C'est le résultat le plus utilisé du chapitre, et il a une particularité qu'il faut comprendre : il prouve l'existence de la limite sans en donner la valeur. On l'utilise donc toujours en deux temps :

1. montrer que la suite est monotone (souvent par récurrence) ;
2. montrer qu'elle est bornée du bon côté (souvent par récurrence aussi) ;
3. conclure qu'elle converge, puis chercher séparément la valeur de la limite.

Corollaire utile : une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.

Les suites adjacentes

Deux suites $u$ et $v$ sont adjacentes lorsque $u$ est croissante, $v$ décroissante, et que $v_n - u_n$ tend vers zéro.

La démonstration n'est que le théorème précédent appliqué deux fois. La suite $u$ croît en restant sous $v_0$, donc elle converge ; la suite $v$ décroît en restant au-dessus de $u_0$, donc elle converge aussi ; et comme leur différence tend vers zéro, les deux limites sont égales.

L'intérêt est plus pratique que théorique. L'encadrement $u_n \leq \ell \leq v_n$ vaut à tout rang, ce qui fournit du même coup une valeur approchée de $\ell$ et la précision de cette approximation, sans jamais connaître $\ell$. C'est le principe de la recherche par dichotomie : la borne gauche monte, la borne droite descend, leur écart est divisé par deux à chaque tour, et le nombre de tours nécessaires pour atteindre une précision donnée se lit directement sur cet écart.

Théorème des gendarmes

L'image : deux gendarmes qui encadrent un suspect et l'emmènent au même endroit. Le suspect ne peut aller nulle part ailleurs.

Il sert surtout à traiter les suites contenant un $\cos n$ ou un $\sin n$, dont on ne connaît pas la limite mais dont on sait qu'elles restent entre $-1$ et 1.

Exemple travaillé. $u_n = (\cos n)/n$.

On sait que $-1 \leq \cos n \leq 1$. En divisant par n (positif, donc le sens des inégalités est conservé) :

Les deux gendarmes tendent vers 0, donc $\lim u_n = 0$.

L'énoncé demande trois lignes ; la figure le rend évident. Les deux courbes extérieures se referment sur zéro, et celle du milieu, qui oscille sans règle apparente, n'a nulle part d'autre où aller.

Suites arithmético-géométriques

C'est le type d'exercice le plus fréquent, parce qu'il combine tout le chapitre.

Elle n'est ni arithmétique (à cause du $a$) ni géométrique (à cause du $b$). La méthode standard consiste à fabriquer une suite auxiliaire qui, elle, est géométrique.

La méthode, en trois temps :

1. Chercher le point fixe ℓ : le nombre qui vérifie $\ell = a\ell + b$. On regroupe les termes en ℓ d'un même côté, $\ell - a\ell = b$, on factorise, $\ell (1 - a) = b$, d'où $\ell = b/(1-a)$. C'est la valeur qui, une fois atteinte, ne bouge plus, et c'est aussi la limite éventuelle.
2. Poser $v_n = u_n - \ell$ et montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$. Le calcul : $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - (a\ell + b) = a(u_n - \ell ) = a v_n$ ✓
3. Conclure : $v_n = v_0 a^n$, donc $u_n = \ell + (u_0 - \ell ) a^n$.

Exemple travaillé. $u_0 = 1$, $u_{n+1} = 0{,}5 u_n + 3$.

1. Point fixe : $\ell = 0{,}5\ell + 3$ → $0{,}5\ell = 3$ → $\ell = 6$.
2. $v_n = u_n - 6$ est géométrique de raison 0,5, avec $v_0 = 1 - 6 = -5$.
3. $v_n = -5 \times 0{,}5^n$, donc $u_n = 6 - 5 \times 0{,}5^n$.
4. Comme $|0{,}5| < 1$, le terme en $0{,}5^n$ tend vers 0 : $\lim u_n = 6$.

Et le résultat se lit : la suite part de 1 et monte vers 6 sans jamais l'atteindre. Le point fixe est bien la limite.

La construction ci-dessous montre la même chose sans calculer un seul terme. On part de $u_0$ sur l'axe, on monte jusqu'à la courbe pour lire $u_1$, on revient sur la droite $y = x$ pour reporter cette valeur en abscisse, et on recommence. L'escalier se resserre autour du point où la courbe croise la droite : c'est le point fixe, et c'est la limite.

Le raisonnement par récurrence

C'est l'outil de démonstration attitré des suites définies par récurrence. Il se rédige toujours dans le même ordre, en trois parties dont aucune ne peut sauter.

Les seuils, autant de fois qu'il faut

La faute a ici un lieu unique, et c'est toujours le même : $\ln q$ est négatif quand $q < 1$, donc diviser par lui retourne l'inégalité. Celui qui l'oublie trouve un rang négatif et ne s'en aperçoit pas toujours.

Les deux questions sont volontairement jumelles, l'une avec une raison plus petite que un, l'autre plus grande. C'est le seul écart entre elles, et c'est exactement celui qui décide du sens de l'inégalité.

Où la démarche dérape

Une récurrence dont l'hérédité est parfaitement juste, et qui démontre pourtant quelque chose de faux. C'est le cas le plus instructif du chapitre, parce que l'erreur est à l'endroit où personne ne regarde.

À calculer soi-même

Cinq calculs qui n'emploient que ce qui précède. La valeur attendue n'est écrite nulle part : elle est obtenue en évaluant la somme ou la formule, et la correction se fait à un pour cent près.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Calculer les trois ou quatre premiers termes. Toujours. Ils révèlent la nature de la suite et donnent un contrôle sur le résultat final.
2. Tester la nature : différence constante → arithmétique ; rapport constant → géométrique ; forme $a u_n + b$ → arithmético-géométrique.
3. Pour un quotient de polynômes, factoriser par le terme dominant.
4. Pour un $\cos n$ ou un $\sin n$, penser aux gendarmes.
5. Pour une suite par récurrence, penser au raisonnement par récurrence : monotone + bornée → converge.
6. Contrôle final : injecter le $u_n$ explicite pour n = 0, 1, 2 et comparer aux termes calculés à l'étape 1. C'est le meilleur détecteur d'erreur du chapitre.
7. Si la suite converge vers ℓ et vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$, alors ℓ vérifie $\ell = f(\ell )$. C'est ainsi qu'on trouve la valeur de la limite.

Synthèse

• Explicite $u_n = f(n)$ : calcul direct. Récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ : il faut dérouler.
• Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$, $u_n = u_0 + nr$. Somme = (nb de termes) × (premier + dernier)/2.
• Géométrique : $u_{n+1} = q u_n$, $u_n = u_0 q^n$. Somme = $u_0(1 - q^{n+1})/(1 - q)$.
• Limite de $q^n$ : 0 si $|q| < 1$, $+\infty$ si $q > 1$, pas de limite si $q \leq -1$.
• Variation : signe de $u_{n+1} - u_n$, ou rapport comparé à 1 (termes positifs uniquement).
• Formes indéterminées : $\infty -\infty$, $0\times \infty$, $\infty /\infty$, $0/0$. Pour un quotient de polynômes : factoriser le terme dominant. Pour une différence de racines : quantité conjuguée.
• Limite monotone : croissante + majorée → converge (sans donner la limite).
• Gendarmes : encadrer, les deux bornes vers la même limite.
• Arithmético-géométrique $u_{n+1} = a u_n + b$ : point fixe $\ell = b/(1-a)$, puis $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison a.
• Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion. Les trois, toujours.