Étude d'une fonction d'une variable

Domaine de définition

Avant tout calcul, il faut savoir où la fonction existe. Trois interdits, et ce sont toujours les mêmes :

La racine accepte 0, le logarithme le refuse. Cette seule différence est une source d'erreur classique.

Exemple. $f(x) = \ln(x - 2)/(x - 5)$ est définie pour $x > 2$ et $x \neq 5$, soit sur $]2 ; 5[ \cup ]5 ; +\infty [$.

Exponentielle et logarithme

Deux fonctions reviennent dans tout le reste du parcours : dans une suite qui double, une charge de condensateur, une loi de Poisson, un nombre de classes. Elles méritent d'être posées une fois, avec les règles de calcul qui les rendent utiles.

Deux fonctions réciproques ont des courbes symétriques par rapport à la droite $y = x$ : ce que l'une fait, l'autre le défait. La figure le montre, et elle montre aussi pourquoi $\ln$ n'existe pas pour $x \leq 0$ : l'exponentielle ne prend jamais ces valeurs.

Les règles de calcul

Tout vient d'une seule propriété : l'exponentielle transforme une somme en produit, et le logarithme fait l'inverse.

La troisième ligne est celle qui sert le plus : le logarithme fait descendre l'exposant. C'est elle qui résout toute équation dont l'inconnue est en exposant.

Résoudre une équation dont l'inconnue est un exposant

Exemple travaillé. Au bout de combien d'années un capital placé à 3 % par an a-t-il doublé ? Il faut résoudre $1{,}03^n = 2$.

1. On prend le logarithme des deux membres, ce qui est permis puisqu'ils sont strictement positifs : $\ln(1{,}03^n) = \ln 2$.
2. L'exposant descend : $n \ln 1{,}03 = \ln 2$.
3. On divise : $n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ ans.

Exemple travaillé. Une grandeur suit $y(t) = 5\,e^{-0{,}2t}$. Quand passe-t-elle sous 1 ? Il faut $e^{-0{,}2t} < 0{,}2$, soit $-0{,}2t < \ln 0{,}2$ en passant au logarithme, qui est croissant et conserve donc le sens. Puis on divise par $-0{,}2$, qui est négatif, ce qui retourne l'inégalité : $t > \dfrac{\ln 0{,}2}{-0{,}2} \approx 8{,}05$.

Les deux autres logarithmes

Le logarithme népérien a une base, $e$. On en emploie deux autres, et ils se ramènent tous à lui :

Le logarithme décimal $\log_{10}$ compte les chiffres : $\log_{10} 1\,000 = 3$. C'est lui qui définit le décibel : un gain de puissance $G$ vaut $10 \log_{10} G$ décibels, donc multiplier une puissance par 100 ajoute 20 dB, et la diviser par 2 en retire environ 3. Les diagrammes de Bode sont tracés dans cette unité.

Le logarithme binaire $\log_2$ compte les divisions par deux : $\log_2 1\,024 = 10$. C'est le nombre de tours d'une dichotomie, le nombre de bits qu'il faut pour écrire un nombre, et celui qui donne le nombre de classes d'un histogramme au chapitre de statistiques.

Limites

Une limite répond à la question : « quand x s'approche de a, vers quoi f(x) s'approche-t-elle ? » C'est la question que le chapitre sur les suites posait pour $n \to +\infty$, étendue ici à un réel qui s'approche d'une valeur quelconque.

Les limites de référence

Les croissances comparées

C'est le résultat qui débloque la moitié des exercices. Il dit qui gagne quand deux infinis s'affrontent :

À retenir. La hiérarchie se retient dans l'ordre : ln ≪ puissances ≪ exponentielle. Face à une forme indéterminée qui mêle deux de ces familles, c'est celle de droite qui impose la limite.

Ce signe $\ll$ se voit. Les trois fonctions ci-dessous partent presque ensemble, et il suffit d'aller jusqu'à 4 pour que l'écart devienne impossible à représenter sur un même repère.

Le départ, lui, ne prouve rien, et c'est ce qui rend le résultat moins évident qu'il n'y paraît. Avec $x^{10}$ à la place de $x^2$, la puissance mènerait très longtemps, jusque vers $x \approx 36$, et se ferait pourtant rattraper puis distancer sans retour. C'est bien pourquoi la croissance comparée s'énonce comme une limite et non comme une comparaison de valeurs : elle ne dit rien de ce qui se passe avant, seulement de ce qui finit par arriver.

Les formes indéterminées

Quatre, les mêmes que pour les suites : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\infty /\infty$, $0/0$. Elles ne signifient pas « pas de limite » mais « la règle habituelle ne suffit pas ». Les techniques de sortie :

• quotient de polynômes → factoriser par le terme de plus haut degré ;
• différence de racines → multiplier par la quantité conjuguée ;
• exponentielle contre polynôme → croissances comparées ;
• forme $0/0$ en un point → factoriser numérateur et dénominateur par $(x - a)$, puis simplifier.

Exemple travaillé. $\lim (x^2 - 4)/(x - 2)$ quand $x \to 2$. C'est du $0/0$. On factorise : $(x-2)(x+2)/(x-2) = x + 2$, qui tend vers 4.

Limite à gauche, limite à droite

En un point interdit, une fonction n'a pas une limite mais deux, et elles diffèrent souvent. On note $x \to a^-$ pour l'approche par la gauche, $x \to a^+$ pour l'approche par la droite.

Le cas d'école est $1/x$ en 0 : $\lim_{x \to 0^-} 1/x = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} 1/x = +\infty$. Dire seulement « la limite est infinie en 0 » ne suffit donc pas à tracer quoi que ce soit. Il faut savoir de quel côté la courbe part vers le haut, et de quel côté vers le bas.

Asymptotes

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.

• Verticale en $x = a$ : si $f(x) \to \pm \infty$ quand $x \to a^-$ ou quand $x \to a^+$. La droite est $x = a$. Un seul côté suffit à l'existence, mais l'étude demande les deux.
• Horizontale : si $f(x) \to L$ quand $x \to \pm \infty$. La droite est $y = L$.
• Oblique : si $f(x) - (ax + b) \to 0$ quand $x \to \pm \infty$. La droite est $y = ax + b$.

Pour trouver une asymptote oblique, on calcule $a = \lim f(x)/x$, puis $b = \lim (f(x) - ax)$. Autre voie, souvent plus rapide sur une fraction rationnelle : faire la division euclidienne. Par exemple $f(x) = (x^2 + 1)/x = x + 1/x$ : le terme $1/x$ s'efface à l'infini, donc $y = x$ est asymptote oblique, et on le lit directement.

De quel côté passe la courbe

Savoir qu'une asymptote existe ne dit pas encore de quel côté la courbe l'aborde, et c'est presque toujours la question suivante. On étudie pour cela le signe de la différence $f(x) - (ax + b)$.

Sur l'exemple, $f(x) - x = 1/x$. Cette différence est positive pour $x > 0$ et négative pour $x < 0$ : la courbe passe donc au-dessus de son asymptote à droite, en dessous à gauche. C'est exactement ce que montre la figure, et cela se démontre en une ligne.

Continuité

Le mot va servir à chaque étape de la suite, et il vaut mieux le poser maintenant.

Toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine : polynômes, quotients, racines, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques. Les discontinuités qu'on rencontre sont donc presque toujours des fonctions définies par morceaux, ou la partie entière.

Dérivée

Le tableau des dérivées usuelles

Les règles de calcul

Les lignes $e^u$, $\ln u$, $\sqrt{u}$ du tableau sont toutes des cas de la dernière : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Ainsi la dérivée de $\arctan(2x)$ vaut $2 \times \dfrac{1}{1 + (2x)^2} = \dfrac{2}{1 + 4x^2}$.

Exemple travaillé. $f(x) = x^2 e^{-x}$.

C'est un produit avec $u = x^2$ et $v = e^{-x}$, donc $u' = 2x$ et $v' = -e^{-x}$.

Noter la dernière étape : on factorise systématiquement la dérivée. Comme $e^{-x}$ est toujours strictement positif, le signe de f' est celui de $x(2 - x)$, un trinôme dont on lit les racines à vue. C'est cette factorisation qui rend le tableau de signes possible.

Variations et extremums

Le tableau de variations est la synthèse de tout ce qui précède. Sa construction suit toujours le même ordre :

1. Écrire la ligne des x, avec les bornes du domaine et les valeurs qui annulent f'.
2. Écrire le signe de f' sur chaque intervalle (à partir de la forme factorisée).
3. En déduire les flèches de f.
4. Reporter les valeurs remarquables : limites aux bornes, valeurs des extremums.

Exemple travaillé, suite. $f(x) = x^2 e^{-x}$ sur $[0 ; +\infty [$, avec $f'(x) = x(2 - x)e^{-x}$.

$f'$ s'annule en 0 et en 2. Sur $]0 ; 2[$, x > 0 et (2−x) > 0 donc f' > 0. Sur $]2 ; +\infty [$, (2−x) < 0 donc f' < 0.

La limite en $+\infty$ vaut 0 par croissances comparées. La fonction admet donc un maximum en x = 2, qui vaut $4e^{-2} \approx 0{,}54$.

Ces trois figures disent la même chose de trois façons : la tangente horizontale sur la courbe, le zéro sans retournement dans le tableau, et la règle dans l'encadré. Une dérivée qui s'annule signale un endroit à examiner, jamais un extremum à annoncer.

Optimiser : trouver le maximum qui sert

C'est la question que l'introduction annonçait, et le tableau de variations y répond sans rien de nouveau. Tout le travail est dans la mise en équation : choisir l'inconnue, écrire la grandeur à optimiser en fonction d'elle, et fixer l'intervalle où elle a un sens.

Exemple travaillé. Dans une plaque carrée de 30 cm de côté, on découpe un carré de côté $x$ à chaque coin, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Quelle valeur de $x$ donne le plus grand volume ?

1. Mettre en équation. Le fond est un carré de côté $30 - 2x$, la hauteur vaut $x$ : $V(x) = x\,(30 - 2x)^2$.
2. Fixer le domaine. Il faut $x > 0$ et $30 - 2x > 0$, donc $x \in \,]0 ; 15[$. C'est l'étape qu'on oublie, et c'est elle qui écarte les solutions absurdes.
3. Dériver et factoriser. Par la règle du produit, $V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$.
4. Étudier le signe. Sur $]0 ; 15[$, le facteur $30 - 2x$ est positif ; le facteur $30 - 6x$ est positif avant 5 et négatif après. $V$ croît jusqu'à 5 puis décroît.
5. Conclure. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm, et vaut $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000$ cm³.

Les deux contrôles d'une optimisation.

Le domaine. La dérivée s'annule aussi en $x = 15$, qui donne une boîte de volume nul : c'est un minimum, et une valeur hors du domaine utile. Une racine de la dérivée n'est une réponse que si elle est dans l'intervalle où le problème a un sens.
La nature. Une dérivée qui s'annule ne dit pas si l'on tient un maximum ou un minimum : c'est le changement de signe, lu dans le tableau, qui le dit. Le comparer aux bornes, où le volume est nul, confirme qu'on tient bien le plus grand.

Convexité

La variation dit si la courbe monte. La convexité dit comment elle monte : en s'accélérant ou en s'essoufflant.

La lecture concrète. Convexe = la croissance s'accélère (ou la décroissance ralentit). Concave = la croissance s'essouffle. Une courbe peut très bien être croissante et concave : elle monte encore, mais de moins en moins vite. C'est exactement la forme d'un rendement décroissant ou d'une charge de condensateur.

La définition par les tangentes se comprend en la regardant. Sur la figure ci-dessous, faire glisser le point : la tangente reste toujours sous la courbe, où qu'on la place.

Deux repères visuels de plus : $\ln x$ est concave partout, $x^3$ est concave avant 0 et convexe après (point d'inflexion en 0).

Exemple travaillé. $f(x) = x^3 - 3x$. $f'(x) = 3x^2 - 3$ et $f''(x) = 6x$.

$f''$ est négative avant 0, positive après : f est concave sur $]-\infty ; 0]$, convexe sur $[0 ; +\infty [$, et le point $(0 ; 0)$ est un point d'inflexion.

La figure ci-dessous porte tout le chapitre en un seul objet. Déplacer le point noir le long de la courbe, à la souris ou avec les flèches du clavier, et lire la valeur de la pente.

Trois choses se lisent sur cette figure, et elles résument les trois sections précédentes. La pente est positive là où la courbe monte. Elle s'annule aux extremums, et c'est le seul endroit où elle change de signe. Et au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe au lieu de rester du même côté : c'est exactement ce que dit le changement de signe de $f''$.

Tangente et approximation affine

Elle se lit sans effort : on part de la hauteur $f(a)$, et on avance avec la pente $f'(a)$.

Cette tangente est aussi la meilleure approximation affine de f au voisinage de a :

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$   pour x proche de a

C'est ce qu'on appelle un développement limité à l'ordre 1, et c'est l'idée derrière presque toutes les linéarisations en physique.

Exemple travaillé. Approcher $\sqrt{4{,}1}$.

On prend $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 4$. Alors $f(4) = 2$ et $f'(x) = 1/(2\sqrt{x})$, donc $f'(4) = 1/4$.

La valeur exacte est 2,0248…, l'erreur est inférieure à 3 pour 10 000. C'est le principe des approximations $\sin x \approx x$ et $(1+x)^n \approx 1 + nx$ pour x petit, qu'on retrouvera en physique.

Cette précision n'a rien de mystérieux : elle se voit dès qu'on regarde d'assez près. La figure suivante trace $\sqrt{x}$ et sa tangente en 4 sur une fenêtre resserrée.

Pourquoi l'approximation est bonne, et quand elle cesse de l'être. L'écart entre la courbe et sa tangente est gouverné par la courbure, donc par $f''$. Plus $|f''(a)|$ est petit, plus la tangente colle longtemps.
Deux conséquences pratiques. L'approximation se dégrade quand on s'éloigne de a, et d'autant plus vite que la courbe est courbée. Et elle est d'un seul côté : ici $\sqrt{x}$ est concave, sa tangente reste donc au-dessus, et l'approximation 2,025 surestime la vraie valeur 2,0248. On sait ainsi non seulement que l'erreur est petite, mais dans quel sens elle va.

Théorème des valeurs intermédiaires

La rédaction est très codifiée. Pour montrer que $f(x) = 0$ a une solution unique sur $[1 ; 2]$, on écrit les trois arguments :

1. f est continue sur $[1 ; 2]$ (elle est dérivable, donc continue) ;
2. f est strictement croissante sur $[1 ; 2]$ (d'après le tableau de variations) ;
3. $f(1) = -3 < 0$ et $f(2) = 5 > 0$, donc 0 est bien encadré.

Conclusion : l'équation admet une unique solution dans $]1 ; 2[$.

Ce théorème garantit l'existence sans donner la valeur. Pour approcher la solution, on procède ensuite par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on regarde de quel côté le signe change, on recommence.

Le procédé tient en dix lignes, et son intérêt est qu'il ne demande rien d'autre que le théorème lui-même. À chaque tour, l'intervalle qu'on garde encadre toujours la solution, et sa longueur est divisée par deux.

Exemple travaillé. Résoudre $x^3 + x - 1 = 0$ sur $[0 ; 1]$. On a $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$, donc le théorème garantit une solution. À chaque tour, le milieu $m$ est évalué, et la moitié où le signe change encore est conservée.

La solution est donc entre 0,656 et 0,688 après cinq tours, et vaut $0{,}68233$ à cinq décimales.

La précision se calcule d'avance. La largeur de départ est divisée par deux à chaque tour : après $k$ tours, elle vaut $\dfrac{b - a}{2^k}$. Pour descendre sous une précision $\varepsilon$, il faut donc $k > \log_2\left(\dfrac{b - a}{\varepsilon}\right)$ tours, et cette formule se pose avant de commencer.
C'est le seul procédé de résolution dont le nombre d'étapes soit connu à l'avance, et il ne demande ni dérivée, ni formule de résolution, ni point de départ bien choisi : seulement la continuité et un changement de signe, c'est-à-dire exactement les hypothèses du théorème.

Les deux bornes forment d'ailleurs un couple de suites adjacentes : la borne gauche croît, la borne droite décroît, et leur écart tend vers zéro. La solution est leur limite commune, et l'encadrement vaut à tout rang.

Réduire le domaine d'étude

Avant de calculer quoi que ce soit, une question fait parfois tomber la moitié du travail : la fonction a-t-elle une symétrie ?

L'intérêt est direct. Une fonction paire ou impaire s'étudie sur $[0 ; +\infty[$ seulement, et l'on obtient l'autre moitié par symétrie. Une fonction périodique s'étudie sur un seul intervalle de longueur T.

Quelques cas à reconnaître à vue : $x^2$, $\cos x$ et $|x|$ sont paires ; $x^3$, $\sin x$ et $1/x$ sont impaires ; $e^x$ et $\ln x$ ne sont ni l'une ni l'autre.

Une étude complète, de bout en bout

Chaque section précédente a traité une question sur sa propre fonction. En voici une seule, étudiée dans l'ordre de la méthode : $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$, dont la courbe figure plus haut avec son asymptote oblique.

1. Domaine. Le dénominateur s'annule en 0 : $D = \mathbb{R}^*$, qui est symétrique.
2. Parité. $f(-x) = \dfrac{x^2 + 1}{-x} = -f(x)$ : $f$ est impaire. On l'étudie sur $]0 ; +\infty[$, et la symétrie par rapport à l'origine donne le reste.
3. Limites. En $0^+$, le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers $0^+$ : $f(x) \to +\infty$. En $+\infty$, $f(x) = x + \frac{1}{x} \to +\infty$.
4. Asymptotes. Verticale $x = 0$ ; oblique $y = x$, puisque $f(x) - x = \frac{1}{x} \to 0$, et la courbe est au-dessus sur $]0 ; +\infty[$ où $\frac{1}{x} > 0$.
5. Dérivée factorisée. $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}$.
6. Tableau. Sur $]0 ; +\infty[$, seul le facteur $x - 1$ change de signe.

7. Conclusion. Minimum local en $x = 1$, de valeur 2 ; par imparité, maximum local en $x = -1$, de valeur $-2$. La dérivée seconde $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$ est positive sur $]0 ; +\infty[$ : la branche de droite est convexe, celle de gauche concave, et il n'y a pas de point d'inflexion, puisque le changement de signe a lieu en 0, hors du domaine.

Le résultat se contrôle sans rien recalculer : pour $x > 0$, $x + \frac{1}{x} \geq 2$ est une inégalité classique, avec égalité en 1, et c'est exactement le minimum trouvé.

L'homographique, autant de fois qu'il faut

Une fonction du type $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ suit une procédure entièrement fixe : valeur interdite, asymptote horizontale, dérivée à numérateur constant. Ce qui change d'un exercice à l'autre, ce sont les nombres, et ce qui se perd, c'est la dernière ligne.

La quatrième question n'est pas un calcul, et c'est délibéré : c'est la seule réponse que l'on rédige mal après avoir tout calculé juste.

La méthode sur feuille

L'ordre compte : chaque étape se sert de la précédente, et aucune ne se saute.

1. Écrire le domaine avant tout calcul : dénominateur $\neq 0$, radicande $\geq 0$, argument du logarithme $> 0$. Le poser sous forme de réunion d'intervalles, c'est lui qui fixe les bornes de toute la suite.
2. Tester la parité, à condition que le domaine soit lui-même symétrique : remplacer x par $-x$ et comparer. Paire ou impaire, l'étude se fait sur la moitié positive et l'autre moitié s'obtient par symétrie.
3. Calculer les limites à chaque borne du domaine, et des deux côtés de chaque point interdit. Le côté se lit sur le signe du dénominateur juste avant et juste après le point. Face à une forme indéterminée : terme dominant en facteur, quantité conjuguée, croissances comparées, ou factorisation par $(x - a)$ pour un $0/0$.
4. Nommer les asymptotes que ces limites imposent : limite infinie en a donne la verticale $x = a$ ; limite finie L à l'infini donne l'horizontale $y = L$ ; sinon calculer $a = \lim f(x)/x$ puis $b = \lim (f(x) - ax)$. Le signe de $f(x) - (ax+b)$ dit ensuite de quel côté la courbe passe.
5. Dériver, puis factoriser f'. Tant que f' n'est pas factorisée, le tableau de signes est impossible : c'est cette étape qui porte tout le travail, pas le calcul de la dérivée.
6. Dresser le tableau de variations en autant de lignes qu'il y a de facteurs : la ligne des x d'abord (bornes du domaine et racines de f'), puis une ligne par facteur, puis la ligne de f' comme produit des précédentes, puis les flèches de f.
7. Reporter les valeurs remarquables dans le tableau : limites aux bornes et valeur de chaque extremum, calculée et non lue sur un dessin.
8. Ne conclure à un extremum que là où f' change de signe. Une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne qu'une tangente horizontale. Si la convexité est demandée, dériver une seconde fois et appliquer la même règle à f'' : un point d'inflexion exige un changement de signe.
9. Tracer en dernier : d'abord les asymptotes en pointillés, puis les points remarquables avec leur tangente $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, puis la courbe qui relie en respectant les flèches. Le tracé obtenu ne doit contredire aucune ligne de l'étude ; s'il la contredit, c'est l'étude qu'il faut reprendre.

Mettre en pratique

Quatre nombres à trouver sur le papier, avec la dérivée et rien d'autre. Le dernier porte sur la dérivée seconde, celle dont le signe décide de la convexité.