Étude d'une fonction d'une variable

Étudier une fonction, c'est répondre à quatre questions dans l'ordre : où est-elle définie, que devient-elle aux bords, où monte-t-elle et où descend-elle, et de quel côté est-elle courbée. Au bout de ces quatre questions, la courbe se trace sans avoir calculé plus de trois points. Et surtout, on sait où est le maximum : c'est la vraie question quand on dimensionne une pièce, un signal ou un coût.

Domaine de définition

Avant tout calcul, il faut savoir où la fonction existe. Trois interdits, et ce sont toujours les mêmes :

Ce qu'on voit	La condition
un quotient $A/B$	$B \neq 0$
une racine carrée $\sqrt{A}$	$A \geq 0$
un logarithme $\ln A$	$A > 0$

La racine accepte 0, le logarithme le refuse. Cette seule différence est une source d'erreur classique.

Exemple. $f(x) = \ln(x - 2)/(x - 5)$ est définie pour $x > 2$ et $x \neq 5$ , soit sur $]2 ; 5[ \cup ]5 ; +\infty [$ .

Limites

Une limite répond à la question : « quand x s'approche de a, vers quoi f(x) s'approche-t-elle ? »

Les limites de référence

En $+\infty$		En $0^+$
$x^n \to +\infty$	$1/x \to 0$	$1/x \to +\infty$	$\ln x \to -\infty$
$e^x \to +\infty$	$\ln x \to +\infty$
$e^{-x} \to 0$	$\sqrt{x} \to +\infty$

Les croissances comparées

C'est le résultat qui débloque la moitié des exercices. Il dit qui gagne quand deux infinis s'affrontent :

Croissances comparées

L'exponentielle écrase la puissance, qui écrase le logarithme.

En $+\infty$  :

$e^x / x^n \to +\infty$ (l'exponentielle l'emporte)
$\ln x / x^n \to 0$ (la puissance l'emporte)
$x^n e^{-x} \to 0$ (l'exponentielle l'emporte encore, elle écrase la puissance)

En $0^+$ , un seul résultat, et il est du même genre :

$x \ln x \to 0$ (la puissance l'emporte sur le logarithme, même près de zéro)

À retenir

La hiérarchie se retient dans l'ordre : ln ≪ puissances ≪ exponentielle. Face à une forme indéterminée qui mêle deux de ces familles, c'est celle de droite qui impose la limite.

Ce signe $\ll$ se voit. Les trois fonctions ci-dessous partent presque ensemble, et il suffit d'aller jusqu'à 4 pour que l'écart devienne impossible à représenter sur un même repère.

Élargir jusqu'à4

f(x) = exp(x) vaut 54,6g(x) = x^2 vaut 16h(x) = ln(x) vaut 1,39

Valeurs pour x = 4, le bord droit de la figure.

En 4, l'exponentielle vaut 55, le carré 16 et le logarithme 1,4. Aucune des trois ne rattrapera jamais celle de gauche : l'écart ne cesse de croître.

À manipuler

Élargir l'axe des abscisses jusqu'au bout du curseur. Le carré et le logarithme finissent couchés sur l'axe horizontal, et ce n'est pas qu'ils décroissent : c'est l'exponentielle qui impose l'échelle à elle seule. Le signe ≪ de la hiérarchie ne dit rien d'autre que cela.

Le départ, lui, ne prouve rien, et c'est ce qui rend le résultat moins évident qu'il n'y paraît. Avec $x^{10}$ à la place de $x^2$ , la puissance mènerait très longtemps, jusque vers $x \approx 36$ , et se ferait pourtant rattraper puis distancer sans retour. C'est bien pourquoi la croissance comparée s'énonce comme une limite et non comme une comparaison de valeurs : elle ne dit rien de ce qui se passe avant, seulement de ce qui finit par arriver.

Les formes indéterminées

Quatre, les mêmes que pour les suites : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty /\infty$ , $0/0$ . Elles ne signifient pas « pas de limite » mais « la règle habituelle ne suffit pas ». Les techniques de sortie :

quotient de polynômes → factoriser par le terme de plus haut degré ;
différence de racines → multiplier par la quantité conjuguée ;
exponentielle contre polynôme → croissances comparées ;
forme $0/0$ en un point → factoriser numérateur et dénominateur par $(x - a)$ , puis simplifier.

Exemple travaillé. $\lim (x^2 - 4)/(x - 2)$ quand $x \to 2$ . C'est du $0/0$ . On factorise : $(x-2)(x+2)/(x-2) = x + 2$ , qui tend vers 4.

Limite à gauche, limite à droite

En un point interdit, une fonction n'a pas une limite mais deux, et elles diffèrent souvent. On note $x \to a^-$ pour l'approche par la gauche, $x \to a^+$ pour l'approche par la droite.

Le cas d'école est $1/x$ en 0 : $\lim_{x \to 0^-} 1/x = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} 1/x = +\infty$ . Dire seulement « la limite est infinie en 0 » ne suffit donc pas à tracer quoi que ce soit. Il faut savoir de quel côté la courbe part vers le haut, et de quel côté vers le bas.

Le signe se lit sur le dénominateur

Pour connaître le côté sans réfléchir, on regarde le signe du dénominateur juste avant et juste après le point interdit. Pour

1/x

 : à gauche de 0 le dénominateur est négatif, donc le quotient part vers

-\infty

 ; à droite il est positif, donc vers

+\infty

.
C'est la seule question à se poser, et elle se règle en une ligne de tableau de signes.

Asymptotes

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.

Verticale en $x = a$  : si $f(x) \to \pm \infty$ quand $x \to a^-$ ou quand $x \to a^+$ . La droite est $x = a$ . Un seul côté suffit à l'existence, mais l'étude demande les deux.
Horizontale : si $f(x) \to L$ quand $x \to \pm \infty$ . La droite est $y = L$ .
Oblique : si $f(x) - (ax + b) \to 0$ quand $x \to \pm \infty$ . La droite est $y = ax + b$ .

f(x) = 1/x

Les deux asymptotes de la fonction inverse. En 0 la courbe plonge d'un côté et grimpe de l'autre : c'est bien une seule asymptote verticale, mais deux limites distinctes.

Pour trouver une asymptote oblique, on calcule $a = \lim f(x)/x$ , puis $b = \lim (f(x) - ax)$ . Autre voie, souvent plus rapide sur une fraction rationnelle : faire la division euclidienne. Par exemple $f(x) = (x^2 + 1)/x = x + 1/x$  : le terme $1/x$ s'efface à l'infini, donc $y = x$ est asymptote oblique, et on le lit directement.

Élargir jusqu'à6

f(x) = (x^2 + 1)/x vaut 6,17g(x) = x vaut 6

Valeurs pour x = 6, le bord droit de la figure.

La même fonction et sa droite asymptote. L'écart entre les deux vaut exactement 1/x : il s'annule à l'infini, et il ne s'annule jamais ailleurs.

De quel côté passe la courbe

Savoir qu'une asymptote existe ne dit pas encore de quel côté la courbe l'aborde, et c'est presque toujours la question suivante. On étudie pour cela le signe de la différence $f(x) - (ax + b)$ .

Sur l'exemple, $f(x) - x = 1/x$ . Cette différence est positive pour $x > 0$ et négative pour $x < 0$  : la courbe passe donc au-dessus de son asymptote à droite, en dessous à gauche. C'est exactement ce que montre la figure, et cela se démontre en une ligne.

Continuité

Le mot va servir à chaque étape de la suite, et il vaut mieux le poser maintenant.

Définition

f est continue en a si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$  : la limite existe, elle est finie, et elle vaut la valeur de la fonction. Autrement dit, la courbe se trace sans lever le crayon.

Toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine : polynômes, quotients, racines, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques. Les discontinuités qu'on rencontre sont donc presque toujours des fonctions définies par morceaux, ou la partie entière.

Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse

Une fonction dérivable en a y est nécessairement continue : c'est ce qui autorise à écrire, dans une rédaction de valeurs intermédiaires, « f est dérivable donc continue ».
La réciproque est fausse, et son contre-exemple est à connaître :

|x|

est continue en 0, on la trace bien sans lever le crayon, et pourtant elle n'y est pas dérivable. Le taux d'accroissement vaut

-1

à gauche et

+1

à droite, donc il n'a pas de limite. Graphiquement, la courbe forme un point anguleux et il n'existe aucune tangente.

f(x) = abs(x)

Un point anguleux. La courbe est d'un seul tenant, donc continue, mais aucune droite ne peut être sa tangente en 0 : deux pentes s'y rencontrent sans se raccorder.

Dérivée

Définition

Le nombre dérivé de f en a est la limite, quand h tend vers 0, de $(f(a+h) - f(a)) / h$ . C'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, autrement dit la vitesse de variation instantanée de f en a.

Le tableau des dérivées usuelles

f(x)	f'(x)	f(x)	f'(x)
$k$ (constante)	$0$	$\ln x$	$1/x$
$x$	$1$	$e^x$	$e^x$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$\cos x$	$-\sin x$
$1/x$	$-1/x^2$	$\sin x$	$\cos x$
$\sqrt{x}$	$1/(2\sqrt{x})$	$\tan x$	$1 + \tan^2x = 1/\cos^2x$

Les règles de calcul

Forme	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$k u$	$k u'$
$u v$	$u'v + uv'$
$u / v$	$(u'v - uv') / v^2$
$u^n$	$n u' u^{n-1}$
$e^u$	$u' e^u$
$\ln u$	$u' / u$
$\sqrt{u}$	$u' / (2\sqrt{u})$

Les deux erreurs les plus fréquentes

Le quotient : c'est

u'v - uv'

, avec un moins, et dans cet ordre. Inverser les deux termes donne le résultat opposé.
La composée : on n'oublie jamais le

u'

devant. La dérivée de

e^{3x}

est

3e^{3x}

, pas

e^{3x}

Exemple travaillé. $f(x) = x^2 e^{-x}$ .

C'est un produit avec $u = x^2$ et $v = e^{-x}$ , donc $u' = 2x$ et $v' = -e^{-x}$ .

f'(x) = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2 - x) e^{-x}

Noter la dernière étape : on factorise systématiquement la dérivée. Comme $e^{-x}$ est toujours strictement positif, le signe de f' est celui de $x(2 - x)$ , un trinôme dont on lit les racines à vue. C'est cette factorisation qui rend le tableau de signes possible.

Variations et extremums

Théorème

Sur un intervalle, si $f' > 0$ alors f est croissante ; si $f' < 0$ alors f est décroissante ; si $f'$ s'annule en changeant de signe, f admet un extremum local en ce point.

Le tableau de variations est la synthèse de tout ce qui précède. Sa construction suit toujours le même ordre :

Écrire la ligne des x, avec les bornes du domaine et les valeurs qui annulent f'.
Écrire le signe de f' sur chaque intervalle (à partir de la forme factorisée).
En déduire les flèches de f.
Reporter les valeurs remarquables : limites aux bornes, valeurs des extremums.

Exemple travaillé, suite. $f(x) = x^2 e^{-x}$ sur $[0 ; +\infty [$ , avec $f'(x) = x(2 - x)e^{-x}$ .

$f'$ s'annule en 0 et en 2. Sur $]0 ; 2[$ , x > 0 et (2−x) > 0 donc f' > 0. Sur $]2 ; +\infty [$ , (2−x) < 0 donc f' < 0.

La dérivée change de signe en x = 2 (maximum). C'est le changement de signe, et lui seul, qui fait l'extremum.

Chaque facteur a sa ligne, et la ligne de f' est leur produit. C'est ainsi qu'on construit un tableau de variations, et non en devinant le signe d'un coup.

La limite en $+\infty$ vaut 0 par croissances comparées. La fonction admet donc un maximum en x = 2, qui vaut $4e^{-2} \approx 0{,}54$ .

La ligne qu'on saute, et qu'il ne faut pas sauter

Les trois premières lignes du tableau sont celles des facteurs, une par facteur de la dérivée factorisée. C'est là que le travail se fait : le signe de f' n'est jamais deviné, il est le produit des lignes du dessus, colonne par colonne.
Sauter ces lignes pour écrire directement le signe de f' est l'erreur qui coûte le plus de points, parce qu'elle est invisible : le tableau a l'air complet, et un seul signe faux fait basculer toutes les flèches qui suivent.
Noter au passage la ligne

e^{-x}

, qui ne s'annule jamais et reste positive partout. Un facteur de ce genre ne change rien au signe du produit, et c'est précisément pourquoi on le sort de l'étude après l'avoir signalé.

S'annuler ne suffit pas

Il faut que la dérivée change de signe. Pour

f(x) = x^3

, on a bien

f'(0) = 0

, mais

f'(x) = 3x^2

reste positive de part et d'autre : la fonction continue de croître, et il n'y a pas d'extremum en 0, seulement une tangente horizontale.

Le tableau de x³. La dérivée s'annule en 0 sans y changer de signe, et les deux flèches montent : la ligne du milieu porte un zéro, celle du bas ne se retourne pas.

f(x) = x^3

Tangente en a = 0 : f(a) = 0, pente f'(a) = 0

En 0 la tangente est horizontale, et pourtant la courbe ne cesse pas de monter. Une dérivée nulle n'est pas un extremum.

Ces trois figures disent la même chose de trois façons : la tangente horizontale sur la courbe, le zéro sans retournement dans le tableau, et la règle dans l'encadré. Une dérivée qui s'annule signale un endroit à examiner, jamais un extremum à annoncer.

Convexité

La variation dit si la courbe monte. La convexité dit comment elle monte : en s'accélérant ou en s'essoufflant.

Définition

f est convexe sur un intervalle si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes (elle « tient l'eau », creux vers le haut) ; concave si elle est en dessous (creux vers le bas).

Théorème

$f'' > 0$ ⟺ f convexe. $f'' < 0$ ⟺ f concave. Un point où f'' s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion : la courbe y change de courbure.

La lecture concrète

Convexe = la croissance s'accélère (ou la décroissance ralentit). Concave = la croissance s'essouffle. Une courbe peut très bien être croissante et concave : elle monte encore, mais de moins en moins vite. C'est exactement la forme d'un rendement décroissant ou d'une charge de condensateur.

La définition par les tangentes se comprend en la regardant. Sur la figure ci-dessous, faire glisser le point : la tangente reste toujours sous la courbe, où qu'on la place.

f(x) = exp(x)

Tangente en a = -0,5 : f(a) = 0,61, pente f'(a) = 0,61 (déplacer le point, ou employer les flèches du clavier)

L'exponentielle est convexe partout. La tangente reste sous la courbe en tout point, et c'est exactement ce que dit « convexe ».

Deux repères visuels de plus : $\ln x$ est concave partout, $x^3$ est concave avant 0 et convexe après (point d'inflexion en 0).

S'annuler ne suffit pas non plus pour l'inflexion

C'est le même piège qu'avec les extremums, une dérivée plus loin. Pour

f(x) = x^4

, on a

f''(x) = 12x^2

, donc

f''(0) = 0

. Et pourtant

f''

reste positive de part et d'autre : la fonction est convexe partout, et il n'y a aucun point d'inflexion en 0.
La condition est toujours la même, et elle porte sur le changement de signe, jamais sur l'annulation seule.

f(x) = x^4

Tangente en a = 0 : f(a) = 0, pente f'(a) = 0

En 0 la dérivée seconde s'annule, et la courbe reste pourtant au-dessus de sa tangente des deux côtés. Convexe avant, convexe après : pas d'inflexion.

Exemple travaillé. $f(x) = x^3 - 3x$ . $f'(x) = 3x^2 - 3$ et $f''(x) = 6x$ .

$f''$ est négative avant 0, positive après : f est concave sur $]-\infty ; 0]$ , convexe sur $[0 ; +\infty [$ , et le point $(0 ; 0)$ est un point d'inflexion.

La figure ci-dessous porte tout le chapitre en un seul objet. Déplacer le point noir le long de la courbe, à la souris ou avec les flèches du clavier, et lire la valeur de la pente.

f(x) = x^3 - 3x

Tangente en a = -2 : f(a) = -2, pente f'(a) = 9 (déplacer le point, ou employer les flèches du clavier)

La pente s'annule exactement aux deux extremums, et change de signe en les traversant. En 0, elle est minimale et la courbe passe de l'autre côté de sa tangente : c'est le point d'inflexion.

Trois choses se lisent sur cette figure, et elles résument les trois sections précédentes. La pente est positive là où la courbe monte. Elle s'annule aux extremums, et c'est le seul endroit où elle change de signe. Et au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe au lieu de rester du même côté : c'est exactement ce que dit le changement de signe de $f''$ .

Tangente et approximation affine

Propriété

L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Elle se lit sans effort : on part de la hauteur $f(a)$ , et on avance avec la pente $f'(a)$ .

Cette tangente est aussi la meilleure approximation affine de f au voisinage de a :

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ pour x proche de a

C'est ce qu'on appelle un développement limité à l'ordre 1, et c'est l'idée derrière presque toutes les linéarisations en physique.

Exemple travaillé. Approcher $\sqrt{4{,}1}$ .

On prend $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 4$ . Alors $f(4) = 2$ et $f'(x) = 1/(2\sqrt{x})$ , donc $f'(4) = 1/4$ .

\sqrt{4{,}1} \approx 2 + 0{,}25 \times 0{,}1 = 2{,}025

La valeur exacte est 2,0248…, l'erreur est inférieure à 3 pour 10 000. C'est le principe des approximations $\sin x \approx x$ et $(1+x)^n \approx 1 + nx$ pour x petit, qu'on retrouvera en physique.

Cette précision n'a rien de mystérieux : elle se voit dès qu'on regarde d'assez près. La figure suivante trace $\sqrt{x}$ et sa tangente en 4 sur une fenêtre resserrée.

f(x) = sqrt(x)g(x) = 2 + 0.25*(x - 4)

La courbe et sa tangente en 4, vues de près. À cette échelle elles sont déjà presque confondues, et c'est pourquoi lire l'une à la place de l'autre coûte si peu.

Pourquoi l'approximation est bonne, et quand elle cesse de l'être

L'écart entre la courbe et sa tangente est gouverné par la courbure, donc par

f''

. Plus

|f''(a)|

est petit, plus la tangente colle longtemps.
Deux conséquences pratiques. L'approximation se dégrade quand on s'éloigne de a, et d'autant plus vite que la courbe est courbée. Et elle est d'un seul côté : ici

\sqrt{x}

est concave, sa tangente reste donc au-dessus, et l'approximation 2,025 surestime la vraie valeur 2,0248. On sait ainsi non seulement que l'erreur est petite, mais dans quel sens elle va.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Si f est continue sur $[a ; b]$ et si k est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a ; b]$ . Si de plus f est strictement monotone, cette solution est unique.

La rédaction est très codifiée. Pour montrer que $f(x) = 0$ a une solution unique sur $[1 ; 2]$ , on écrit les trois arguments :

f est continue sur $[1 ; 2]$ (elle est dérivable, donc continue) ;
f est strictement croissante sur $[1 ; 2]$ (d'après le tableau de variations) ;
$f(1) = -3 < 0$ et $f(2) = 5 > 0$ , donc 0 est bien encadré.

Conclusion : l'équation admet une unique solution dans $]1 ; 2[$ .

Ce théorème garantit l'existence sans donner la valeur. Pour approcher la solution, on procède ensuite par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on regarde de quel côté le signe change, on recommence.

Le procédé tient en dix lignes, et son intérêt est qu'il ne demande rien d'autre que le théorème lui-même. À chaque tour, l'intervalle qu'on garde encadre toujours la solution, et sa longueur est divisée par deux.

Exemple travaillé. Résoudre $x^3 + x - 1 = 0$ sur $[0 ; 1]$ . On a $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , donc le théorème garantit une solution. À chaque tour, le milieu $m$ est évalué, et la moitié où le signe change encore est conservée.

Tour	Intervalle	Milieu $m$	$f(m)$	Moitié gardée
1	$[0 ; 1]$	0,5	$-0{,}375$	droite
2	$[0{,}5 ; 1]$	0,75	$+0{,}172$	gauche
3	$[0{,}5 ; 0{,}75]$	0,625	$-0{,}131$	droite
4	$[0{,}625 ; 0{,}75]$	0,6875	$+0{,}012$	gauche
5	$[0{,}625 ; 0{,}6875]$	0,65625	$-0{,}061$	droite

La solution est donc entre 0,656 et 0,688 après cinq tours, et vaut $0{,}68233$ à cinq décimales.

La précision se calcule d'avance

La largeur de départ est divisée par deux à chaque tour : après

k

tours, elle vaut

\dfrac{b - a}{2^k}

. Pour descendre sous une précision

\varepsilon

, il faut donc

k > \log_2\left(\dfrac{b - a}{\varepsilon}\right)

tours, et cette formule se pose avant de commencer.
C'est le seul procédé de résolution dont le nombre d'étapes soit connu à l'avance, et il ne demande ni dérivée, ni formule de résolution, ni point de départ bien choisi : seulement la continuité et un changement de signe, c'est-à-dire exactement les hypothèses du théorème.

Les deux bornes forment d'ailleurs un couple de suites adjacentes : la borne gauche croît, la borne droite décroît, et leur écart tend vers zéro. La solution est leur limite commune, et l'encadrement vaut à tout rang.

Réduire le domaine d'étude

Avant de calculer quoi que ce soit, une question fait parfois tomber la moitié du travail : la fonction a-t-elle une symétrie ?

Définitions

f est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout x du domaine. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

f est impaire si $f(-x) = -f(x)$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

f est périodique de période T si $f(x + T) = f(x)$ .

L'intérêt est direct. Une fonction paire ou impaire s'étudie sur $[0 ; +\infty[$ seulement, et l'on obtient l'autre moitié par symétrie. Une fonction périodique s'étudie sur un seul intervalle de longueur T.

Quelques cas à reconnaître à vue : $x^2$ , $\cos x$ et $|x|$ sont paires ; $x^3$ , $\sin x$ et $1/x$ sont impaires ; $e^x$ et $\ln x$ ne sont ni l'une ni l'autre.

Le test tient en une ligne

On remplace x par

-x

et on compare au résultat de départ. Pour

f(x) = x^3 - 3x

f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)

, la fonction est donc impaire. C'est ce qui explique la symétrie de sa courbe autour de l'origine, visible sur la figure de la section précédente, et cela permettait de ne l'étudier que sur

[0 ; +\infty[

.
Attention à la condition préalable : le domaine doit lui-même être symétrique, sinon la question ne se pose pas.

L'homographique, autant de fois qu'il faut

Une fonction du type $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ suit une procédure entièrement fixe : valeur interdite, asymptote horizontale, dérivée à numérateur constant. Ce qui change d'un exercice à l'autre, ce sont les nombres, et ce qui se perd, c'est la dernière ligne.

Lire une homographique de bout en bout

Soit $f(x) = \dfrac{x - 4}{x - 1}$ .

La valeur interdite
L'ordonnée de l'asymptote horizontale
Le numérateur de $f'(x)$ , qui est une constante
Le nombre d'intervalles sur lesquels la variation s'énonce

La quatrième question n'est pas un calcul, et c'est délibéré : c'est la seule réponse que l'on rédige mal après avoir tout calculé juste.

Où la démarche dérape

Une dérivée nulle partout, un calcul sans une seule erreur, et une conclusion fausse. Le chapitre tout entier tient dans la distinction que cette démonstration ignore.

Une dérivée nulle qui ne rend pas constant

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

On pose $f(x) = \arctan x + \arctan\dfrac{1}{x}$ , définie pour tout $x \neq 0$ , et l'on veut trouver sa valeur.

À calculer soi-même

Quatre nombres à trouver sur le papier, avec la dérivée et rien d'autre. Le dernier porte sur la dérivée seconde, celle dont le signe décide de la convexité.

Dériver, puis évaluer

1.
Pour $f(x) = x^3 - 3x$ , combien vaut $f'(2)$ ?
2.
La même fonction admet un minimum local. Quelle est sa valeur, c'est-à-dire le $f(x)$ atteint en ce point ?
3.
L'approximation affine de $\sqrt{x}$ au voisinage de 4 donne quelle valeur pour $\sqrt{4{,}1}$ ?
4.
Pour $f(x) = x^4 - 6x^2$ , combien vaut $f''(2)$ ?
5.
Une dichotomie part d'un intervalle de largeur 1. Combien de tours faut-il pour que la largeur descende sous $10^{-6}$ ?

Exercices type

Domaine de

f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}}{\ln x}

Trois conditions :

$x^2 - 9 \geq 0$ → $x \leq -3$ ou $x \geq 3$
$x > 0$ (logarithme) → élimine $x \leq -3$
$\ln x \neq 0$ → $x \neq 1$ , sans effet ici car on est déjà au-delà de 3

Domaine : $[3 ; +\infty [$ .

Limite de

(e^x - 1)/x

en 0

Forme $0/0$ . On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0 :

$(e^x - e^0)/(x - 0) \to f'(0) = e^0 =$ $1$

Dériver

f(x) = \ln(x^2 + 1)

Forme $\ln u$ avec $u = x^2 + 1$ , donc $u' = 2x$ .

f'(x) = 2x/(x^2 + 1)

Le dénominateur est toujours strictement positif : le signe de f' est celui de x. La fonction décroît sur $]-\infty ; 0]$ , croît sur $[0 ; +\infty [$ , avec un minimum $f(0) = 0$ .

Tangente à

f(x) = x^3 - 2x

au point d'abscisse 1

$f(1) = 1 - 2 = -1$ et $f'(x) = 3x^2 - 2$ , donc $f'(1) = 1$ .

$y = 1 \times (x - 1) - 1$ , soit $y = x - 2$ .

Convexité de

f(x) = x e^x

f'(x) = e^x + x e^x = (1 + x)e^x

f''(x) = e^x + (1+x)e^x = (2 + x)e^x

Comme $e^x > 0$ , le signe de f'' est celui de $(2 + x)$  : f est concave sur $]-\infty ; -2]$ , convexe sur $[-2 ; +\infty [$ , avec un point d'inflexion en $x = -2$ .

Approcher

e^{0,05}

Avec $f(x) = e^x$ et $a = 0$  : $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ .

$e^{0{,}05} \approx 1 + 0{,}05 =$ $1{,}05$ (valeur exacte : 1,0513).

C'est l'approximation $e^x \approx 1 + x$ pour x petit, omniprésente en physique.

La méthode sur feuille

L'ordre compte : chaque étape se sert de la précédente, et aucune ne se saute.

Écrire le domaine avant tout calcul : dénominateur $\neq 0$ , radicande $\geq 0$ , argument du logarithme $> 0$ . Le poser sous forme de réunion d'intervalles, c'est lui qui fixe les bornes de toute la suite.
Tester la parité, à condition que le domaine soit lui-même symétrique : remplacer x par $-x$ et comparer. Paire ou impaire, l'étude se fait sur la moitié positive et l'autre moitié s'obtient par symétrie.
Calculer les limites à chaque borne du domaine, et des deux côtés de chaque point interdit. Le côté se lit sur le signe du dénominateur juste avant et juste après le point. Face à une forme indéterminée : terme dominant en facteur, quantité conjuguée, croissances comparées, ou factorisation par $(x - a)$ pour un $0/0$ .
Nommer les asymptotes que ces limites imposent : limite infinie en a donne la verticale $x = a$  ; limite finie L à l'infini donne l'horizontale $y = L$  ; sinon calculer $a = \lim f(x)/x$ puis $b = \lim (f(x) - ax)$ . Le signe de $f(x) - (ax+b)$ dit ensuite de quel côté la courbe passe.
Dériver, puis factoriser f'. Tant que f' n'est pas factorisée, le tableau de signes est impossible : c'est cette étape qui porte tout le travail, pas le calcul de la dérivée.
Dresser le tableau de variations en autant de lignes qu'il y a de facteurs : la ligne des x d'abord (bornes du domaine et racines de f'), puis une ligne par facteur, puis la ligne de f' comme produit des précédentes, puis les flèches de f.
Reporter les valeurs remarquables dans le tableau : limites aux bornes et valeur de chaque extremum, calculée et non lue sur un dessin.
Ne conclure à un extremum que là où f' change de signe. Une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne qu'une tangente horizontale. Si la convexité est demandée, dériver une seconde fois et appliquer la même règle à f'' : un point d'inflexion exige un changement de signe.
Tracer en dernier : d'abord les asymptotes en pointillés, puis les points remarquables avec leur tangente $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ , puis la courbe qui relie en respectant les flèches. Le tracé obtenu ne doit contredire aucune ligne de l'étude ; s'il la contredit, c'est l'étude qu'il faut reprendre.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Une fonction vérifie $f'(2) = 0$ . Que peut-on en conclure ?

2.Une fonction peut-elle être croissante et concave en même temps ?

3.Au point d'inflexion d'une courbe, que fait la tangente ?

4. $f$ est définie sur $[1 ; 2]$ , continue, strictement croissante, avec $f(1) = -3$ et $f(2) = 4$ . Combien l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle de solutions sur cet intervalle ?

Synthèse

Domaine : dénominateur ≠ 0, radicande ⩾ 0, argument du log > 0.
Symétries : paire → axe des ordonnées, impaire → origine. On étudie alors sur la moitié du domaine.
Continuité : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , la courbe se trace sans lever le crayon. Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse.
Limite à gauche et à droite en tout point interdit : c'est ce qui donne le sens des branches, pas la seule existence de l'asymptote.
Croissances comparées : $\ln \ll x^n \ll e^x$ . C'est ce qui tranche les formes indéterminées mêlant ces familles.
Formes indéterminées : factoriser le terme dominant, quantité conjuguée, ou factoriser par $(x - a)$ pour un $0/0$ .
Asymptotes : verticale (limite infinie en a), horizontale (limite finie à l'infini), oblique ( $f(x) - ax - b \to 0$ ).
Dérivées : connaître le tableau, et les règles produit $u'v + uv'$ , quotient $(u'v - uv')/v^2$ , composée $u' \times (\text{dérivée de l'extérieur})$ .
Toujours factoriser f' : c'est ce qui rend le tableau de signes lisible.
$f' > 0$ → croissante. f' s'annule en changeant de signe → extremum.
$f'' > 0$ → convexe. f'' change de signe → point d'inflexion. S'annuler ne suffit pas : $x^4$ a $f''(0) = 0$ sans inflexion.
Position par rapport à une asymptote : signe de $f(x) - (ax+b)$ .
Dichotomie : après le TVI, elle approche la solution en divisant l'intervalle par deux à chaque tour.
Tangente en a : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ , qui sert aussi d'approximation affine.
TVI : continuité + monotonie + changement de signe → solution unique.

Domaine de définition

Limites

Les limites de référence

Les croissances comparées

Les formes indéterminées

Limite à gauche, limite à droite

Asymptotes

De quel côté passe la courbe

Continuité

Dérivée

Le tableau des dérivées usuelles

Les règles de calcul

Variations et extremums

Convexité

Tangente et approximation affine

Théorème des valeurs intermédiaires

Réduire le domaine d'étude

L'homographique, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique