Primitives et intégration

Un compteur électrique ne mesure pas une puissance, il mesure une énergie : la puissance accumulée pendant toute la durée. Un débit donne un volume, une vitesse donne une distance, une densité donne une masse. À chaque fois, la même opération : accumuler une grandeur qui varie. C'est l'intégration, et son outil de calcul est la primitive, c'est-à-dire la dérivation prise à l'envers.

Primitives

Définition

F est une primitive de f sur un intervalle I si $F' = f$ sur I.

C'est la dérivation lue de droite à gauche. $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ , parce que la dérivée de $x^2$ est bien $2x$ .

Propriété

Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont les fonctions $F + C$ , où C est une constante quelconque.

La raison est simple : deux fonctions ont la même dérivée si et seulement si elles diffèrent d'une constante. Une constante disparaît à la dérivation, donc rien ne permet de la retrouver.

Géométriquement, ces primitives sont toutes la même courbe glissée verticalement. En un point d'abscisse donnée, elles ont donc toutes la même pente, ce qui est exactement ce que dit l'égalité des dérivées.

f(x) = x^2/2 - 1g(x) = x^2/2h(x) = x^2/2 + 1

Trois primitives de f(x) = x, pour C valant −1, 0 et 1. Elles se déduisent l'une de l'autre par un glissement vertical, et en chaque abscisse leurs trois tangentes sont parallèles.

Le « + C » n'est pas décoratif

Une primitive sans son

+ C

est une réponse fausse à la question « déterminer les primitives de f ». En revanche, dès qu'on calcule une intégrale définie, la constante se simplifie entre les deux bornes : on peut alors l'omettre. Encore faut-il savoir pourquoi on l'écrit ou pas.

Quand l'énoncé impose une condition (« la primitive qui vaut 3 en 0 »), on écrit la forme générale $F(x) + C$ , on injecte la condition, et on en tire C. Il n'y a alors plus qu'une réponse.

Le tableau des primitives usuelles

C'est le tableau des dérivées, lu à l'envers.

f(x)	Une primitive F(x)	Valable sur
$k$	$k x$	ℝ
$x^n$ (n ≠ −1)	$x^{n+1}/(n+1)$	ℝ
$1/x$	$\ln\lvert x \rvert$	$]0;+\infty [$ ou $]-\infty ;0[$
$1/x^2$	$-1/x$	x ≠ 0
$1/\sqrt{x}$	$2\sqrt{x}$	$]0;+\infty [$
$e^x$	$e^x$	ℝ
$e^{ax}$	$e^{ax}/a$	ℝ
$\cos x$	$\sin x$	ℝ
$\sin x$	$-\cos x$	ℝ
$1/\cos^2x$	$\tan x$	hors π/2 + kπ

Deux pièges de signe

La primitive de sin est −cos (le signe moins apparaît ici, pas à la dérivation). Et la primitive de

1/x

est ln|x| avec la valeur absolue : sans elle, la formule serait fausse pour x négatif.

Les formes composées

Ce sont celles qu'on rencontre partout. Chaque ligne se vérifie en dérivant de droite à gauche.

f(x)	Une primitive
$u' u^n$	$u^{n+1}/(n+1)$
$u'/u$	$\ln\lvert u \rvert$
$u' e^u$	$e^u$
$u'/\sqrt{u}$	$2\sqrt{u}$
$u' \cos u$	$\sin u$
$u' \sin u$	$-\cos u$

Le réflexe qui débloque presque tout

Devant une fonction à intégrer, on cherche d'abord si la dérivée d'un morceau apparaît en facteur. Si oui, on est sur une forme composée et c'est fini en une ligne.

2x·e^{x^2}

 : la dérivée de

x^2

est

2x

, elle est là → primitive

e^{x^2}

Exemple travaillé. Primitives de $f(x) = x/(x^2 + 1)$ .

On voudrait la forme $u'/u$ avec $u = x^2 + 1$ . Or $u' = 2x$ , et on n'a que $x$ . On corrige par un facteur constant :

f(x) = (1/2) \times 2x/(x^2 + 1)

D'où $F(x) = (1/2) \ln(x^2 + 1) + C$ , sans valeur absolue ici, car $x^2 + 1$ est toujours positif.

L'intégrale, avant toute formule

L'introduction parlait d'accumuler une grandeur qui varie. Voici comment on s'y prend, et c'est de là que vient tout le reste.

Pour accumuler une puissance qui change au fil du temps, on commence par tricher : on découpe la durée en petits morceaux, et sur chacun on fait comme si la puissance ne bougeait pas. Sur un morceau, énergie égale puissance fois durée, c'est-à-dire l'aire d'un rectangle. On additionne les rectangles, et l'on obtient une valeur approchée.

Définition

Découpons $[a ; b]$ en n morceaux de largeur $h = (b - a)/n$ . La somme de Riemann associée est

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\, h

où $x_i$ est un point du i-ième morceau. L'intégrale est la limite de ces sommes quand n tend vers l'infini :

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} S_n

La notation elle-même raconte cette histoire. Le signe $\int$ est un S allongé, celui de « somme », et le $dx$ est ce qui reste de la largeur $h$ quand elle devient infiniment petite. Un produit $f(x)\,dx$ est bien une hauteur fois une largeur, c'est-à-dire l'aire d'un rectangle.

La figure suivante montre le procédé sur $f(x) = x^2$ entre 0 et 2, avec quatre rectangles seulement.

Rectangles4

somme des rectangles 2,625 · aire exacte 2,66667 · écart 0,041669

f(x) = x^2

Aire algébrique de 0 à 2 : 2,67. Hachures montantes pour ce qui compte positivement, descendantes pour ce qui compte négativement.

Quatre rectangles pour approcher l'aire sous la parabole. Chacun remplace la courbe par une valeur constante sur son morceau, et le petit écart qui dépasse ou qui manque est l'erreur de l'approximation.

À manipuler

Monter le nombre de rectangles de 4 jusqu'à 200 et suivre les trois nombres affichés sous la figure : la somme des rectangles, l'aire exacte, et l'écart entre les deux. Chercher combien de rectangles il faut pour que l'écart passe sous un millième. Doubler ensuite ce nombre et regarder ce que devient l'écart : il ne se divise pas par deux. C'est cette course-là que la notation d'intégrale résume en un signe.

Avec quatre rectangles, l'écart se voit. Avec vingt, il faut le chercher.

Rectangles20

somme des rectangles 2,665 · aire exacte 2,66667 · écart 0,001669

f(x) = x^2

Aire algébrique de 0 à 2 : 2,67. Hachures montantes pour ce qui compte positivement, descendantes pour ce qui compte négativement.

Les mêmes bornes, avec vingt rectangles. L'erreur n'a pas disparu, elle est devenue invisible à l'œil : c'est exactement ce que dit le passage à la limite.

Des nombres valent mieux qu'une impression. Voici, pour $\int_0^2 x^2\,dx$ dont la valeur exacte est $8/3$ , la somme obtenue en prenant la hauteur de chaque rectangle au milieu de son pas.

Rectangles	Somme obtenue	Écart à la valeur exacte	Écart divisé par
4	2,62500000	0,04166667
8	2,65625000	0,01041667	4
16	2,66406250	0,00260417	4
32	2,66601563	0,00065104	4
64	2,66650391	0,00016276	4

La dernière colonne est le fait marquant : doubler le nombre de rectangles divise l'écart par quatre, et non par deux. L'erreur décroît donc comme $1/n^2$ , et multiplier $n$ par dix la divise par cent. La limite n'est pas une précaution de langage, elle se mesure.

Deux remarques valent pour toute la suite du chapitre. D'abord, ce calcul ne demande aucune primitive : il permet d'intégrer une fonction dont personne ne sait écrire la primitive, et c'est ce que fait toute machine. Ensuite, cette régularité est précisément ce qui permet de savoir à l'avance combien de rectangles prendre pour une précision demandée.

Pourquoi la suite du chapitre parle de primitives

Ce procédé définit l'intégrale, mais il est impraticable à la main : il faudrait additionner une infinité de termes.
Le théorème qui suit dit qu'on peut obtenir le même nombre sans additionner quoi que ce soit, en cherchant une fonction dont f est la dérivée. C'est un raccourci, et rien n'obligeait un tel raccourci à exister.

L'intégrale définie

Théorème fondamental

Si F est une primitive de f sur $[a ; b]$ , alors

\int _{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Ce nombre se note aussi $[F(x)]$ entre a et b.

C'est le résultat qui relie les deux moitiés de l'analyse : une aire (notion géométrique) se calcule avec une primitive (notion algébrique). Rien n'obligeait ces deux mondes à se rejoindre ; c'est le théorème central du calcul différentiel.

Exemple travaillé. $\int _{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx$ .

Une primitive est $F(x) = x^3 + x$ . Donc :

$F(2) - F(0) = (8 + 2) - 0 =$ $10$

Ce que le résultat signifie

Interprétation

Si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ , l'intégrale est l'aire de la région comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ , exprimée en unités d'aire.

Si f est négative, l'intégrale est négative : on parle d'aire algébrique. C'est la source d'erreur numéro un du chapitre.

Intégrale ≠ aire

\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0

. Ce n'est pas que l'aire est nulle : la bosse positive et la bosse négative se compensent. Si on demande l'aire, il faut découper l'intervalle aux points où f change de signe et additionner les valeurs absolues. Si on demande l'intégrale, on répond 0. Lisons le mot exact de l'énoncé.

f(x) = sin(x)

Aire algébrique de 0 à 6,28 : 0. Hachures montantes pour ce qui compte positivement, descendantes pour ce qui compte négativement.

Une période entière de sinus. Les deux bosses ont la même surface, mais celle du dessous est comptée négativement : le total est nul.

C'est tout le sens du mot algébrique. Sur $[0 ; \pi ]$ l'intégrale vaut 2, sur $[\pi ; 2\pi ]$ elle vaut −2, et la somme des deux fait 0. L'aire géométrique, elle, vaut 4.

Les propriétés de calcul

Propriétés de l'intégrale

Linéarité : $\int (f + g) = \int f + \int g$ et $\int (k f) = k \int f$ .

Chasles : $\int _{a}^{b} + \int _{b}^{c} = \int _{a}^{c}$ . C'est ce qui permet de découper un intervalle.

Inversion des bornes : $\int _{a}^{b} = - \int _{b}^{a}$ . Et $\int _{a}^{a} = 0$ .

Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int _{a}^{b} f \geq 0$ . Si $f \leq g$ , alors $\int f \leq \int g$ .

Il n'existe en revanche aucune formule pour l'intégrale d'un produit ou d'un quotient. $\int (fg) \neq (\int f)(\int g)$ . C'est précisément pour traiter les produits qu'existe l'intégration par parties.

Aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a ; b]$ , l'aire de la région comprise entre les deux courbes vaut :

A = \int _{a}^{b} (f(x) - g(x))\,dx

Exemple travaillé. Aire entre $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0 ; 1]$ .

Sur cet intervalle, $x \geq x^2$ (vérification en 0,5 : 0,5 > 0,25). Donc :

$A = \int _{0}^{1} (x - x^2)\,dx = [x^2/2 - x^3/3] = (1/2 - 1/3) - 0 =$ $1/6$

f(x) = xg(x) = x^2

Entre 0 et 1, la droite est au-dessus de la parabole. La région teintée est exactement celle que mesure l'intégrale de la différence, et son aire vaut un sixième.

Pourquoi la différence suffit

On pourrait croire qu'il faut deux calculs, l'aire sous la droite moins l'aire sous la parabole. C'est vrai, et c'est justement ce que fait l'intégrale de la différence, par linéarité :

\int (f - g) = \int f - \int g

.
L'écrire d'un seul coup a un avantage. Si les deux courbes passent sous l'axe des abscisses, chacune des deux aires devient négative, mais leur différence reste la hauteur de la région. La formule vaut donc telle quelle, même sous l'axe, et c'est ce qui la rend sûre.

La méthode

Toujours dans l'ordre : 1) trouver les points d'intersection (ce sont les bornes), 2) déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus, 3) intégrer « celle du haut moins celle du bas ». Si on obtient une aire négative, on a inversé l'étape 2.

Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne de f sur $[a ; b]$ est $\mu = (1/(b - a)) \times \int _{a}^{b} f(x)\,dx$ .

C'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la région sous la courbe. En physique, c'est la tension moyenne d'un signal, la puissance moyenne sur une période, la température moyenne d'une journée.

La formule se lit d'ailleurs mieux à l'envers : $\mu \times (b - a) = \int_a^b f$ . À gauche, l'aire d'un rectangle de hauteur $\mu$ et de largeur $b - a$  ; à droite, l'aire sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur qui égalise les deux.

f(x) = sin(x)g(x) = 0.6366

Aire algébrique de 0 à 3,14 : 2. Hachures montantes pour ce qui compte positivement, descendantes pour ce qui compte négativement.

Une arche de sinus et sa valeur moyenne, la droite horizontale à 0,637. Le rectangle qu'elle délimite a exactement la même aire que la région sous la courbe : ce qui dépasse au-dessus de la droite comble ce qui manque en dessous.

Exemple travaillé. Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

L'intégrale vaut $8/3$ , calculée plus haut. La largeur de l'intervalle est 2. Donc $\mu = (8/3)/2 = 4/3 \approx 1{,}33$ .

Le contrôle est instructif : la fonction va de 0 à 4 sur cet intervalle, et sa moyenne n'est pas 2, le milieu des deux valeurs. Elle vaut 1,33, nettement moins, parce que la fonction passe beaucoup plus de temps près de 0 que près de 4. Une moyenne d'intégrale pondère par la durée, ce qu'une demi-somme des extrémités ne fait pas.

Intégration par parties

Elle traite les intégrales de produits, quand la forme composée ne s'applique pas.

Formule

\int _{a}^{b} u'v = \left[uv\right]_{a}^{b} - \int _{a}^{b} u v'

Elle vient directement de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$ , qu'on intègre des deux côtés puis qu'on réarrange.

L'idée est un échange : on remplace l'intégrale de $u'v$ par celle de $uv'$ , en espérant que la seconde soit plus simple. Tout dépend donc du choix de u et de v.

Comment choisir

On pose v = le facteur qui se simplifie en dérivant (typiquement un polynôme, ou un ln), et u' = le facteur qu'on sait primitiver (typiquement

e^x

\cos x

\sin x

). Un polynôme de degré n perd un degré à chaque dérivation : au bout de n intégrations par parties, il a disparu.

Exemple travaillé. $\int _{0}^{1} x e^x\,dx$ .

On pose $v = x$ (qui se simplifie : $v' = 1$ ) et $u' = e^x$ (dont on connaît la primitive : $u = e^x$ ).

\int _{0}^{1} x e^x\,dx = \left[x e^x\right]_{0}^{1} - \int _{0}^{1} e^x\,dx

= \left(1 \times e - 0\right) - \left[e^x\right]_{0}^{1} = e - (e - 1) = \mathbf{1}

Le cas particulier du logarithme. Pour $\int \ln x dx$ , il n'y a apparemment qu'un facteur. On écrit $\ln x = 1 \times \ln x$ et on pose $u' = 1$ (donc $u = x$ ) et $v = \ln x$ (donc $v' = 1/x$ ) :

\int \ln x dx = x \ln x - \int x \times (1/x) dx = x \ln x - x + C

C'est un résultat à connaître.

Changement de variable

Quand une expression revient plusieurs fois, on lui donne un nom.

Principe

en posant $t = \varphi (x)$ , on remplace $dt = \varphi '(x) dx$ , et on convertit les bornes : si x va de a à b, alors t va de $\varphi (a)$ à $\varphi (b)$ .

Exemple travaillé. $\int _{0}^{1} 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ .

On pose $t = x^2 + 1$ , donc $dt = 2x dx$ . Les bornes deviennent : $x = 0 \to t = 1$ et $x = 1 \to t = 2$ .

$\int _{1}^{2} t^3\,dt = \left[t^4/4\right]_{1}^{2} = 16/4 - 1/4 =$ $15/4$

Les bornes changent aussi

C'est l'oubli classique : on substitue la variable mais on garde les anciennes bornes. Le résultat est alors faux sans que rien ne le signale. Écrivons explicitement la conversion des deux bornes avant de calculer.

Notons qu'on aurait pu traiter cet exemple directement en forme composée $u' u^3$  : les deux méthodes sont cohérentes, la substitution ne fait que rendre le calcul plus visible.

Comment choisir sa méthode

Ce qu'on voit	Méthode
une fonction du tableau	primitive directe
la dérivée d'un morceau en facteur	forme composée ( $u'u^n$ , $u'/u$ , $u'e^u$ …)
polynôme × exponentielle (ou sinus, cosinus)	intégration par parties
un $\ln$ seul, ou polynôme × $\ln$	intégration par parties
une expression qui revient, dont la dérivée est là	changement de variable
une fraction rationnelle	décomposition en éléments simples, puis $u'/u$

L'intégrale et l'aire, autant de fois qu'il faut

Tant que la courbe reste au-dessus de l'axe, l'intégrale et l'aire sont le même nombre, et c'est ce qui installe la confusion : tous les premiers exemples sont de ce genre. L'exercice ci-dessous fait d'abord calculer les deux morceaux séparément, pour que l'écart entre les deux réponses finales soit une conséquence et non une surprise.

Deux morceaux, une intégrale et une aire

Soit $f(x) = x - 1$ , sur l'intervalle $[-3 \,;\, 3]$ .

L'intégrale de $f$ entre $-3$ et $1$
L'intégrale de $f$ entre $1$ et $3$
L'intégrale de $f$ entre $-3$ et $3$
L'aire comprise entre la courbe et l'axe, sur $[-3 \,;\, 3]$

Où la démarche dérape

Un calcul juste ligne à ligne, dont la conclusion annonce qu'une surface visible a une aire nulle.

Une aire qui s'annule toute seule

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

On veut l'aire de la surface comprise entre la courbe de $f(x) = x$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[-a \,;\, a]$ avec $a > 0$ .

À calculer soi-même

Cinq intégrales, une par méthode du chapitre. Reconnaître la méthode est la moitié du travail ; la seconde moitié se fait sur le papier, et le nombre trouvé se vérifie ici.

Choisir la méthode, puis conclure

1.
$\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx$
2.
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx$
3.
$\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$
4.
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{1 + x^2}\,dx$
5.
L'aire comprise entre $y = x$ et $y = x^3$ , pour $x$ entre 0 et 1.

Exercices type

Primitives de

f(x) = 3x^2 - 4x + 5

F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C

Contrôle : en dérivant, on retrouve bien $3x^2 - 4x + 5$ ✓

Primitive de

f(x) = (2x + 3)/(x^2 + 3x + 7)

Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur : forme $u'/u$ .

F(x) = \ln(x^2 + 3x + 7) + C

Le trinôme a pour discriminant $9 - 28 = -19 < 0$  : il est toujours strictement positif, donc la valeur absolue est inutile.

Calculer

\displaystyle\int_1^{e} \dfrac{\ln x}{x}\,dx

Forme $u'u$ avec $u = \ln x$ et $u' = 1/x$ .

$= \left[\dfrac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^{e} = \dfrac{1^2}{2} - \dfrac{0^2}{2} =$ $1/2$

Calculer

\displaystyle\int_0^{\pi} x \sin x\,dx

Intégration par parties : $v = x$ (se simplifie), $u' = \sin x$ (donc $u = -\cos x$ ).

= \left[-x \cos x\right]_{0}^{\pi } + \int _{0}^{\pi } \cos x\,dx

$= \left(-\pi \times (-1) - 0\right) + \left[\sin x\right]_0^{\pi} = \pi + 0 =$ $\pi$

Aire entre

f(x) = 4 - x^2

et l'axe des abscisses

La courbe coupe l'axe en $x = -2$ et $x = 2$ , et elle est au-dessus entre les deux.

A = \int _{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - x^3/3\right]_{-2}^{2}

$= (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 =$ $32/3$

Valeur moyenne de

f(x) = \sin x

sur

[0 \,;\, \pi]

\int _{0}^{\pi } \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{\pi } = 1 - (-1) = 2

$\mu = 2/\pi \approx$ $0{,}637$

C'est la valeur moyenne d'une alternance redressée : un résultat qu'on retrouvera en électricité.

La méthode sur feuille

Chercher d'abord la forme composée. La dérivée d'un morceau est-elle en facteur ? C'est la question qui fait gagner le plus de temps.
Si c'est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant, partir sur une intégration par parties, en annonçant clairement le choix de u et v.
Ajuster les constantes : si on a $x$ et qu'il faut $2x$ , écrire $(1/2) \times 2x$ . Ne jamais « perdre » un facteur en route.
Contrôler en dérivant. Une primitive se vérifie en dix secondes. Le faire systématiquement : c'est le seul chapitre où la vérification est gratuite.
Contrôler le signe : une aire est positive, une intégrale peut être négative.
Pour un changement de variable, écrire la conversion des bornes sur une ligne à part.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Que vaut $\int$ de −π à π de $\sin(x) dx$ ?

2.Quelle est la différence entre « déterminer les primitives de f » et « calculer $\int$ de a à b de f » ?

3.Un étudiant écrit $\int (x\,e^x)\,dx = \left(\int x\,dx\right) \times \left(\int e^x\,dx\right)$ . Que penser ?

4.Dans $\int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln\lvert u \rvert + C$ , pourquoi la valeur absolue ?

Synthèse

L'intégrale est d'abord une accumulation : la limite des sommes de rectangles $\sum f(x_i)h$ quand leur largeur tend vers zéro. Le signe $\int$ est un S de « somme », et $dx$ est ce qui reste de la largeur.
Une primitive F vérifie $F' = f$ . Elles diffèrent toutes d'une constante : ne jamais perdre le $+ C$ . Leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par glissement vertical.
Le tableau des primitives est celui des dérivées, à l'envers. Attention : primitive de $\sin$ = $-\cos$ , primitive de $1/x$ = $\ln\lvert x \rvert$ .
Formes composées : $u'u^n$ , $u'/u$ , $u'e^u$ , $u'/\sqrt{u}$ . Chercher la dérivée d'un morceau en facteur est le premier réflexe.
Théorème fondamental : $\int _{a}^{b} f = F(b) - F(a)$ .
L'intégrale est une aire algébrique : négative là où la fonction est sous l'axe. Aire ≠ intégrale.
Aire entre deux courbes : intégrer « celle du haut moins celle du bas », entre les points d'intersection.
Chasles pour découper, linéarité pour séparer. Aucune formule pour un produit.
Valeur moyenne : $(1/(b-a)) \int _{a}^{b} f$ , c'est-à-dire la hauteur du rectangle de même aire. Elle pondère par la durée, et ne vaut donc pas la demi-somme des valeurs extrêmes.
Par parties : $\int u'v = [uv] - \int uv'$ . On dérive ce qui se simplifie, on primitive ce qu'on sait primitiver.
Changement de variable : convertir aussi les bornes.
Une primitive se vérifie en dérivant. Toujours.

Primitives

Le tableau des primitives usuelles

Les formes composées

L'intégrale, avant toute formule

L'intégrale définie

Ce que le résultat signifie

Les propriétés de calcul

Aire entre deux courbes

Valeur moyenne

Intégration par parties

Changement de variable

Comment choisir sa méthode

L'intégrale et l'aire, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique