Primitives et intégration

Primitives

C'est la dérivation lue de droite à gauche. $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$, parce que la dérivée de $x^2$ est bien $2x$.

La raison est simple : deux fonctions ont la même dérivée si et seulement si elles diffèrent d'une constante. Une constante disparaît à la dérivation, donc rien ne permet de la retrouver.

Géométriquement, ces primitives sont toutes la même courbe glissée verticalement. En un point d'abscisse donnée, elles ont donc toutes la même pente, ce qui est exactement ce que dit l'égalité des dérivées.

Quand l'énoncé impose une condition (« la primitive qui vaut 3 en 0 »), on écrit la forme générale $F(x) + C$, on injecte la condition, et on en tire C. Il n'y a alors plus qu'une réponse.

Le tableau des primitives usuelles

C'est le tableau des dérivées, lu à l'envers.

Les formes composées

Ce sont celles qu'on rencontre partout. Chaque ligne se vérifie en dérivant de droite à gauche.

Le réflexe qui débloque presque tout. Devant une fonction à intégrer, on cherche d'abord si la dérivée d'un morceau apparaît en facteur. Si oui, on est sur une forme composée et c'est fini en une ligne. $2x·e^{x^2}$ : la dérivée de $x^2$ est $2x$, elle est là → primitive $e^{x^2}$.

Exemple travaillé. Primitives de $f(x) = x/(x^2 + 1)$.

On voudrait la forme $u'/u$ avec $u = x^2 + 1$. Or $u' = 2x$, et on n'a que $x$. On corrige par un facteur constant :

D'où $F(x) = (1/2) \ln(x^2 + 1) + C$, sans valeur absolue ici, car $x^2 + 1$ est toujours positif.

L'intégrale, avant toute formule

L'introduction parlait d'accumuler une grandeur qui varie. Voici comment on s'y prend, et c'est de là que vient tout le reste.

Pour accumuler une puissance qui change au fil du temps, on commence par tricher : on découpe la durée en petits morceaux, et sur chacun on fait comme si la puissance ne bougeait pas. Sur un morceau, énergie égale puissance fois durée, c'est-à-dire l'aire d'un rectangle. On additionne les rectangles, et l'on obtient une valeur approchée.

La notation elle-même raconte cette histoire. Le signe $\int$ est un S allongé, celui de « somme », et le $dx$ est ce qui reste de la largeur $h$ quand elle devient infiniment petite. Un produit $f(x)\,dx$ est bien une hauteur fois une largeur, c'est-à-dire l'aire d'un rectangle.

La figure suivante montre le procédé sur $f(x) = x^2$ entre 0 et 2, avec quatre rectangles seulement.

Avec quatre rectangles, l'écart se voit. Avec vingt, il faut le chercher.

Des nombres valent mieux qu'une impression. Voici, pour $\int_0^2 x^2\,dx$ dont la valeur exacte est $8/3$, la somme obtenue en prenant la hauteur de chaque rectangle au milieu de son pas.

La dernière colonne est le fait marquant : doubler le nombre de rectangles divise l'écart par quatre, et non par deux. L'erreur décroît donc comme $1/n^2$, et multiplier $n$ par dix la divise par cent. La limite n'est pas une précaution de langage, elle se mesure.

Deux remarques valent pour toute la suite du chapitre. D'abord, ce calcul ne demande aucune primitive : il permet d'intégrer une fonction dont personne ne sait écrire la primitive, et c'est ce que fait toute machine. Ensuite, cette régularité est précisément ce qui permet de savoir à l'avance combien de rectangles prendre pour une précision demandée.

Pourquoi la suite du chapitre parle de primitives. Ce procédé définit l'intégrale, mais il est impraticable à la main : il faudrait additionner une infinité de termes.
Le théorème qui suit dit qu'on peut obtenir le même nombre sans additionner quoi que ce soit, en cherchant une fonction dont f est la dérivée. C'est un raccourci, et rien n'obligeait un tel raccourci à exister.

L'intégrale définie

C'est le résultat qui relie les deux moitiés de l'analyse : une aire (notion géométrique) se calcule avec une primitive (notion algébrique). Rien n'obligeait ces deux mondes à se rejoindre ; c'est le théorème central du calcul différentiel.

Exemple travaillé. $\int _{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx$.

Une primitive est $F(x) = x^3 + x$. Donc :

$F(2) - F(0) = (8 + 2) - 0 =$ $10$

Ce que le résultat signifie

Si f est négative, l'intégrale est négative : on parle d'aire algébrique. C'est la source d'erreur numéro un du chapitre.

C'est tout le sens du mot algébrique. Sur $[0 ; \pi ]$ l'intégrale vaut 2, sur $[\pi ; 2\pi ]$ elle vaut −2, et la somme des deux fait 0. L'aire géométrique, elle, vaut 4.

Les propriétés de calcul

Il n'existe en revanche aucune formule pour l'intégrale d'un produit ou d'un quotient. $\int (fg) \neq (\int f)(\int g)$. C'est précisément pour traiter les produits qu'existe l'intégration par parties.

Aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a ; b]$, l'aire de la région comprise entre les deux courbes vaut :

Exemple travaillé. Aire entre $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0 ; 1]$.

Sur cet intervalle, $x \geq x^2$ (vérification en 0,5 : 0,5 > 0,25). Donc :

$A = \int _{0}^{1} (x - x^2)\,dx = [x^2/2 - x^3/3] = (1/2 - 1/3) - 0 =$ $1/6$

La méthode. Toujours dans l'ordre : 1) trouver les points d'intersection (ce sont les bornes), 2) déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus, 3) intégrer « celle du haut moins celle du bas ». Si on obtient une aire négative, on a inversé l'étape 2.

Valeur moyenne

C'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la région sous la courbe. En physique, c'est la tension moyenne d'un signal, la puissance moyenne sur une période, la température moyenne d'une journée.

La formule se lit d'ailleurs mieux à l'envers : $\mu \times (b - a) = \int_a^b f$. À gauche, l'aire d'un rectangle de hauteur $\mu$ et de largeur $b - a$ ; à droite, l'aire sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur qui égalise les deux.

Exemple travaillé. Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 2]$.

L'intégrale vaut $8/3$, calculée plus haut. La largeur de l'intervalle est 2. Donc $\mu = (8/3)/2 = 4/3 \approx 1{,}33$.

Le contrôle est instructif : la fonction va de 0 à 4 sur cet intervalle, et sa moyenne n'est pas 2, le milieu des deux valeurs. Elle vaut 1,33, nettement moins, parce que la fonction passe beaucoup plus de temps près de 0 que près de 4. Une moyenne d'intégrale pondère par la durée, ce qu'une demi-somme des extrémités ne fait pas.

Valeur efficace

La valeur moyenne d'une tension alternative sur une période est nulle : l'alternance positive compense exactement la négative. Elle ne dit donc rien de ce qu'une telle tension fait chauffer. Or une résistance chauffe autant quand le courant la traverse dans un sens que dans l'autre : sa puissance est proportionnelle au carré de la tension, et c'est la moyenne de ce carré qui compte.

Exemple travaillé. La valeur efficace de $u(t) = U_{\max} \sin t$, de période $2\pi$.

1. Le carré vaut $U_{\max}^2 \sin^2 t$. On le linéarise par la formule d'Euler : $\sin^2 t = \dfrac{1 - \cos 2t}{2}$.
2. Sur une période, $\cos 2t$ a une intégrale nulle, donc $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^2 t\,dt = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. La moyenne du carré vaut $\dfrac{U_{\max}^2 \times \pi}{2\pi} = \dfrac{U_{\max}^2}{2}$.
4. D'où $U_{\text{eff}} = \dfrac{U_{\max}}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\,U_{\max}$.

Les 230 V du secteur sont une valeur efficace. L'amplitude réelle vaut donc $230\sqrt{2} \approx 325$ V : c'est la tension qu'un composant voit à chaque crête, et c'est elle qu'il doit supporter.

Moyenne et efficace ne mesurent pas la même chose. La moyenne dit où la courbe est centrée ; l'efficace dit quelle énergie elle transporte. Sur une sinusoïde, la première est nulle et la seconde vaut $U_{\max}/\sqrt{2}$. Le chapitre d'électricité sur le régime sinusoïdal s'appuie sur la seconde, et c'est la seule que les appareils affichent.

Intégration par parties

Elle traite les intégrales de produits, quand la forme composée ne s'applique pas.

Elle vient directement de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$, qu'on intègre des deux côtés puis qu'on réarrange.

L'idée est un échange : on remplace l'intégrale de $u'v$ par celle de $uv'$, en espérant que la seconde soit plus simple. Tout dépend donc du choix de u et de v.

Comment choisir. On pose v = le facteur qui se simplifie en dérivant (typiquement un polynôme, ou un ln), et u' = le facteur qu'on sait primitiver (typiquement $e^x$, $\cos x$, $\sin x$). Un polynôme de degré n perd un degré à chaque dérivation : au bout de n intégrations par parties, il a disparu.

Exemple travaillé. $\int _{0}^{1} x e^x\,dx$.

On pose $v = x$ (qui se simplifie : $v' = 1$) et $u' = e^x$ (dont on connaît la primitive : $u = e^x$).

Le cas particulier du logarithme. Pour $\int \ln x dx$, il n'y a apparemment qu'un facteur. On écrit $\ln x = 1 \times \ln x$ et on pose $u' = 1$ (donc $u = x$) et $v = \ln x$ (donc $v' = 1/x$) :

C'est un résultat à connaître.

Changement de variable

Quand une expression revient plusieurs fois, on lui donne un nom.

Exemple travaillé. $\int _{0}^{1} 2x(x^2 + 1)^3\,dx$.

On pose $t = x^2 + 1$, donc $dt = 2x dx$. Les bornes deviennent : $x = 0 \to t = 1$ et $x = 1 \to t = 2$.

$\int _{1}^{2} t^3\,dt = \left[t^4/4\right]_{1}^{2} = 16/4 - 1/4 =$ $15/4$

Notons qu'on aurait pu traiter cet exemple directement en forme composée $u' u^3$ : les deux méthodes sont cohérentes, la substitution ne fait que rendre le calcul plus visible.

Comment choisir sa méthode

L'intégrale et l'aire, autant de fois qu'il faut

Tant que la courbe reste au-dessus de l'axe, l'intégrale et l'aire sont le même nombre, et c'est ce qui installe la confusion : tous les premiers exemples sont de ce genre. L'exercice ci-dessous fait d'abord calculer les deux morceaux séparément, pour que l'écart entre les deux réponses finales soit une conséquence et non une surprise.

La méthode sur feuille

1. Chercher d'abord la forme composée. La dérivée d'un morceau est-elle en facteur ? C'est la question qui fait gagner le plus de temps.
2. Si c'est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant, partir sur une intégration par parties, en annonçant clairement le choix de u et v.
3. Ajuster les constantes : si on a $x$ et qu'il faut $2x$, écrire $(1/2) \times 2x$. Ne jamais « perdre » un facteur en route.
4. Contrôler en dérivant. Une primitive se vérifie en dix secondes. Le faire systématiquement : c'est le seul chapitre où la vérification est gratuite.
5. Contrôler le signe : une aire est positive, une intégrale peut être négative.
6. Pour un changement de variable, écrire la conversion des bornes sur une ligne à part.

Mettre en pratique

Cinq intégrales, une par méthode du chapitre. Reconnaître la méthode est la moitié du travail ; la seconde moitié se fait sur le papier, et le nombre trouvé se vérifie ici.