Équations différentielles

Ce qu'est une équation différentielle

La différence avec une équation ordinaire est là : $x^2 = 4$ a pour solutions deux nombres ; $y' = 2y$ a pour solutions des fonctions. Et il y en a une infinité, sauf si on ajoute une information supplémentaire.

Ce que veut dire « être solution »

Vérifier qu'une fonction est solution ne demande donc aucune méthode nouvelle : on la dérive, on remplace, et on compare les deux membres.

Un candidat qui convient. Pour $y = e^{2x}$, la dérivée vaut $y' = 2e^{2x}$, et $2y$ vaut aussi $2e^{2x}$. Les deux membres de $y' = 2y$ sont égaux quel que soit $x$ : c'est une solution. Et $y = 3e^{2x}$ en est une autre, puisque $y' = 6e^{2x} = 2y$.

Un candidat qui échoue partout. Pour $y = e^{2x} + 1$, la dérivée vaut encore $2e^{2x}$, mais $2y$ vaut $2e^{2x} + 2$. Les deux membres diffèrent de 2 en tout point : ce n'est pas une solution.

Un candidat qui réussit en deux points. Pour $y = x^2$, on a $y' = 2x$ et $2y = 2x^2$. Les deux membres sont égaux en $x = 0$ et en $x = 1$, et nulle part ailleurs : en $x = 2$, l'un vaut 4 et l'autre 8. Ce n'est pas une solution. Une égalité vérifiée en quelques points ne prouve rien, il la faut en chaque point.

Les notations. La fonction inconnue s'écrit $y$, ou $y(x)$ pour rappeler sa variable, et sa dérivée $y'$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. Quand la variable est le temps, on la note $t$, et la fonction prend le nom de la grandeur qu'elle décrit : $T(t)$ pour une température, $u(t)$ pour une tension. Le chapitre sur le condensateur écrit ainsi $RC\,\dfrac{du}{dt} + u = E$ : c'est l'équation $RC\,u' + u = E$ que ce chapitre résout plus bas, sous une autre écriture. Les lettres changent, la méthode non.

Ordre et linéarité

Linéaire ne regarde que $y$. Dans une équation linéaire, $y$ et $y'$ apparaissent au premier degré, sans produit entre eux et sans passer dans une autre fonction. La variable $x$, elle, peut apparaître n'importe comment : $y' + x^2 y = \sin x$ est linéaire, alors que $y' = y^2$, $y\,y' = 1$ ou $y' = \sin y$ ne le sont pas. Le mot a une conséquence, qui organise tout le chapitre : la somme de deux solutions d'une équation linéaire homogène est encore une solution, et c'est ce qui permettra d'assembler une solution en morceaux.

Ce qu'une équation raconte avant d'être résolue

Une équation différentielle se lit sans rien calculer, et il vaut la peine de le faire une fois.

L'équation $y' = -2y + 6$ servira d'exemple à tout le chapitre. Elle se lit ainsi : une solution qui passe par un point d'ordonnée $y$ y a pour pente $-2y + 6$. En $y = 0$, la pente vaut 6, ça monte raide. En $y = 1$, elle vaut 4, ça monte encore. En $y = 3$, elle vaut 0 : c'est plat. En $y = 5$, elle vaut $-4$ : ça descend.

L'équation impose donc une direction en chaque point du plan. En dessinant un petit trait de la bonne pente partout, on obtient un champ de directions. Une solution est alors une courbe qui, en chacun de ses points, a la pente du trait qui s'y trouve.

Deux choses se voient sur cette figure, et aucune n'a demandé le moindre calcul.

La hauteur $y = 3$ est spéciale. Les traits y sont horizontaux, puisque la pente y vaut 0. Une courbe qui passe par cette hauteur n'a aucune raison de la quitter : la fonction constante $y = 3$ est donc elle-même une solution. C'est ce qu'on appellera l'équilibre.

Tout le reste converge vers elle. Au-dessus de 3 les traits descendent, en dessous ils montent. Quelle que soit la hauteur de départ, la courbe est ramenée vers 3.

Une équation, une infinité de courbes. Le champ ne désigne aucune courbe en particulier : il en autorise une par point de départ, et pour toutes les équations de ce chapitre, deux de ces courbes ne se croisent jamais. C'est pour cela qu'une équation différentielle a une infinité de solutions, et qu'il faut une information de plus, la condition initiale, pour en désigner une seule.
Tout le chapitre consiste à obtenir ces courbes par une formule plutôt qu'en suivant les traits à la main. On reviendra à la fin sur le cas, fréquent, où aucune formule n'existe et où il faut bel et bien les suivre.

Le cas fondamental : $y' = a y$

C'est l'équation la plus importante du chapitre, celle dont tout le reste découle.

Le théorème dit deux choses, et chacune se vérifie en une ligne.

Ces fonctions sont des solutions. Si $y = C e^{ax}$, sa dérivée vaut $y' = aC e^{ax}$, c'est-à-dire $a y$ : l'égalité tient pour tout $x$.

Il n'y en a pas d'autre. Soit $y$ une solution quelconque, et $z(x) = y(x)\,e^{-ax}$. En dérivant le produit, $z' = y' e^{-ax} - a y\,e^{-ax} = (y' - a y)\,e^{-ax}$, et la parenthèse est nulle puisque $y$ est solution. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : $z = C$, donc $y = C e^{ax}$. Aucune solution n'échappe à la formule.

La phrase à retenir : une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle. C'est ce qui rend l'exponentielle omniprésente en sciences. Dès qu'un phénomène varie proportionnellement à son état, elle apparaît. Et la constante $C$ a un sens simple : c'est la valeur de départ, puisque $y(0) = C e^{0} = C$.

Le signe de $a$ décide de tout :

• $a > 0$ : croissance explosive (population sans contrainte, réaction en chaîne) ;
• $a < 0$ : décroissance vers 0 (décharge d'un condensateur, désintégration radioactive) ;
• $a = 0$ : l'équation dit $y' = 0$, et la solution est constante.

Ces trois nombres sont les seuls à connaître par cœur, et ils suffisent à répondre sans calcul à la plupart des questions de dimensionnement : « au bout de combien de temps le régime transitoire est-il négligeable ? » se répond par $5\tau$, quel que soit le système.

Le cas $y' = a y + b$

C'est le modèle du système qui tend vers un équilibre non nul : un corps qui refroidit vers la température de la pièce, un condensateur qui se charge vers la tension d'alimentation.

D'où vient cette forme : l'écart à l'équilibre

On cherche d'abord la solution qui ne varie pas. Si $y = k$ est constante, $y' = 0$, et l'équation devient $0 = ak + b$, d'où $k = -b/a$. C'est la valeur d'équilibre, celle où le système ne bouge plus.

On regarde ensuite l'écart entre une solution quelconque et cet équilibre, $z = y - k$. Il a la même dérivée que $y$, puisque $k$ est constante, et comme $b = -ak$ :

L'écart obéit donc au cas fondamental : $z = C e^{ax}$. Il suffit de revenir à $y$ :

Voilà d'où vient la somme : une solution est l'équilibre, plus un écart qui évolue comme une exponentielle. C'est aussi la lecture physique de tout ce qui suit, et elle tient en une phrase : l'écart à l'équilibre se comporte comme une exponentielle.

La méthode qu'on en tire, et qu'il faut savoir écrire :

1. Solution particulière constante : poser $y' = 0$ donne l'équilibre $k = -b/a$.
2. Solution générale de l'homogène $y' = ay$ : $C e^{ax}$.
3. Somme des deux.

Exemple travaillé. $y' = -2y + 6$.

Équilibre : $k = -6/(-2) = 3$. Homogène : $C e^{-2x}$. Donc $y(x) = C e^{-2x} + 3$.

Comme $a = -2 < 0$, le terme exponentiel s'efface quand $x$ grandit : quelle que soit la valeur de départ, la solution tend vers 3. Quand la variable est le temps, la limite 3 s'appelle le régime permanent, et le terme $C e^{-2x}$ qui s'éteint le régime transitoire.

La figure montre ce que « une infinité de solutions » veut dire : une famille de courbes, une par valeur de C, toutes attirées par la même horizontale. La condition initiale ne fait qu'en désigner une.

Quand l'équilibre repousse

Tout ce qui précède suppose $a < 0$. Si $a > 0$, la même formule dit l'inverse : l'écart $C e^{ax}$ grandit, et la solution s'éloigne de l'équilibre au lieu d'y revenir. L'équilibre existe toujours, mais il est instable : une solution posée exactement dessus y reste, et le moindre écart de départ l'en éloigne de plus en plus vite.

C'est le cas d'un emballement thermique, où un composant chauffe d'autant plus vite qu'il est déjà chaud. C'est aussi celui d'un placement qui rapporte 5 % par an et sur lequel on prélève chaque année une somme fixe : au-dessus du capital d'équilibre il croît sans fin, en dessous il s'épuise.

Le principe général de résolution

C'est la structure qui organise tout le chapitre, et elle vaut aussi pour le second ordre, celui des oscillations.

Le théorème de structure.

Solution générale = solution générale de l'équation homogène + une solution particulière de l'équation complète.
Autrement dit : une seule solution particulière suffit, et l'homogène fournit toute la famille.

Pourquoi c'est vrai. Soit $y_p$ une solution particulière de $y' + a(x)\,y = f(x)$, et $y$ une solution quelconque. Leur différence $z = y - y_p$ vérifie

C'est donc une solution de l'homogène : toute solution s'écrit $y_p$ plus une solution de l'homogène, et inversement toute fonction de cette forme est solution. Le calcul n'a demandé qu'une chose, que l'équation soit linéaire. C'est exactement ce que faisait l'écart à l'équilibre, où $y_p$ était la constante $-b/a$.

Étape 1 : l'équation homogène

Pour $y' + a(x)\,y = 0$, on sépare les variables, c'est-à-dire qu'on range $y$ d'un côté et $x$ de l'autre. Tant que $y$ ne s'annule pas, on peut diviser par $y$ :

Le membre de gauche est la dérivée de $\ln\lvert y \rvert$, par la règle $\big(\ln u\big)' = u'/u$. En prenant une primitive de chaque membre, $\ln\lvert y \rvert = -A(x) + c$, où $A$ est une primitive de $a$ et $c$ une constante. D'où $\lvert y \rvert = e^{c}\,e^{-A(x)}$.

Reste à retirer la valeur absolue. Une solution qui ne s'annule pas est continue, donc elle garde un signe constant : $y = e^{c}\,e^{-A(x)}$ si elle est positive, $y = -e^{c}\,e^{-A(x)}$ si elle est négative. Les deux cas s'écrivent $y = C e^{-A(x)}$ avec $C = \pm e^{c}$, et la fonction nulle, laissée de côté par la division, correspond à $C = 0$.

La division par $y$ n'a rien fait perdre : le calcul du cas fondamental, qui multiplie au lieu de diviser, donne le même résultat pour toutes les solutions, puisque $\big(y\,e^{A(x)}\big)' = \big(y' + a(x)\,y\big)\,e^{A(x)} = 0$. Et la formule dit une chose qu'on n'aurait pas devinée : une exponentielle ne s'annule nulle part, donc une solution de l'équation homogène est ou bien nulle partout, ou bien ne l'est nulle part.

Exemple travaillé. $y' + 2x\,y = 0$.

Ici $a(x) = 2x$. Une primitive est $A(x) = x^2$, et les solutions sont donc $y = C e^{-x^2}$.

Contrôle en dérivant : $y' = -2x \, C e^{-x^2} = -2x \, y$, donc $y' + 2xy = 0$ ✓

La courbe obtenue est la gaussienne, ce qui n'a rien d'un hasard : c'est la même équation qui la fait apparaître en probabilités, avec la loi normale.

Étape 2 : une solution particulière

On la cherche « de la même forme que le second membre ». C'est une recette, et le théorème de structure dit pourquoi elle suffit : une seule solution particulière, trouvée par n'importe quel moyen, donne toute la famille.

Le tableau suppose que le coefficient de $y$ est une constante $a$, comme dans $y' + a\,y = f(x)$. Quand il dépend de $x$, il ne s'applique plus, et c'est la variation de la constante, plus bas, qui prend le relais.

On injecte la forme dans l'équation, on identifie les coefficients, on obtient α et β.

Exemple travaillé. $y' - y = x$.

• Homogène : $y' = y$ → $C e^x$.
• Particulière : le second membre est un polynôme de degré 1, on essaie $y = \alpha x + \beta$. Alors $y' = \alpha$, et l'équation devient $\alpha - (\alpha x + \beta ) = x$, soit $-\alpha x + (\alpha - \beta ) = x$. Par identification : $-\alpha = 1$ donc $\alpha = -1$ ; et $\alpha - \beta = 0$ donc $\beta = -1$.
• Solution générale : $y(x) = C e^x - x - 1$.

Contrôle en dérivant : $y' = C e^x - 1$, et $y' - y = C e^x - 1 - C e^x + x + 1 = x$ ✓

Le théorème de structure se voit sur cette solution, en prenant $C = 1$.

C'est tout le contenu du théorème de structure, sur une seule figure. La droite porte le second membre, l'exponentielle porte la liberté du choix de C, et la solution est leur somme.

Exemple travaillé : un second membre sinusoïdal. $y' + y = \cos x$. C'est le cas du circuit RC alimenté en alternatif, et la méthode ne change pas.

• Homogène : $y' = -y$ → $C e^{-x}$.
• Particulière : le second membre est un cosinus, on essaie $y = \alpha \cos x + \beta \sin x$. Il faut les deux termes, même si le second membre n'a pas de sinus : dériver un cosinus donne un sinus, et l'équation le fait apparaître. Alors $y' = -\alpha \sin x + \beta \cos x$, et $$y' + y = (\alpha + \beta)\cos x + (\beta - \alpha)\sin x = \cos x$$
• On identifie les coefficients de $\cos x$ et de $\sin x$ : $\alpha + \beta = 1$ et $\beta - \alpha = 0$, donc $\alpha = \beta = \dfrac{1}{2}$.
• Solution générale : $y(x) = C e^{-x} + \dfrac{\cos x + \sin x}{2}$.

Contrôle en dérivant la solution particulière : $y_p = \dfrac{\cos x + \sin x}{2}$ a pour dérivée $y_p' = \dfrac{\cos x - \sin x}{2}$, et la somme des deux vaut $\dfrac{2\cos x}{2} = \cos x$, pour tout $x$ ✓

Le terme en $e^{-x}$ s'éteint, et il ne reste qu'une sinusoïde de même pulsation que l'excitation, mais retardée d'un huitième de période et d'amplitude $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ au lieu de 1. C'est exactement ce que fait un filtre RC : il ne change pas la fréquence, il atténue et il déphase.

Les deux valeurs trouvées ne doivent rien au hasard. L'équation est celle d'un filtre RC attaqué à sa fréquence de coupure, et une amplitude divisée par $\sqrt{2}$ avec un retard de 45 degrés, ce sont les −3 dB et les 45 degrés que le chapitre sur les filtres donne pour définition de la coupure.

Variation de la constante

Quand aucune forme ne se devine, il existe une méthode qui marche toujours. On part de la solution homogène $C e^{-A(x)}$ et on remplace la constante C par une fonction $C(x)$. C'est le calcul qui a démontré le cas fondamental, poussé d'un cran : il y montrait que la « constante » a une dérivée nulle, on lui permet ici de varier. En injectant dans l'équation complète, tous les termes se simplifient sauf un, et il reste :

$C'(x) e^{-A(x)} = f(x)$,   donc   $C'(x) = f(x) e^{A(x)}$

Il ne reste plus qu'à intégrer pour obtenir $C(x)$. La méthode est plus longue, mais elle ne dépend d'aucune devinette.

Exemple travaillé : $y' - \dfrac{y}{x} = x$ sur $]0 ; +\infty[$.

Le second membre est un polynôme, mais le coefficient devant $y$ est une fonction de $x$ : le tableau des formes à essayer ne dit rien de ce cas. C'est exactement la situation où la variation de la constante sert.

1. L'homogène $y' = y/x$ s'écrit $y' - y/x = 0$, donc $a(x) = -1/x$, dont une primitive est $A(x) = -\ln x$. Les solutions homogènes sont donc $y = C e^{\ln x} = C x$.
2. On fait varier la constante : on cherche $y = C(x) \, x$. En dérivant, $y' = C'(x) \, x + C(x)$.
3. On injecte dans l'équation complète : $$C'(x) \, x + C(x) - \frac{C(x) \, x}{x} = x$$ Les deux termes en $C(x)$ se simplifient, comme annoncé, et il reste $C'(x) \, x = x$, donc $C'(x) = 1$.
4. On intègre : $C(x) = x + K$.
5. On remonte : $y = (x + K) \, x = x^2 + K x$.

Contrôle en dérivant : $y' = 2x + K$, et $y' - y/x = 2x + K - (x + K) = x$ ✓

Le signe que la méthode se déroule bien. À l'étape 3, les termes en $C(x)$ doivent disparaître, et il ne doit rester que ceux en $C'(x)$. Ce n'est pas une chance : c'est mathématiquement garanti, puisque $C(x) e^{-A(x)}$ est solution de l'homogène dès que $C$ est constante.
Donc s'ils ne disparaissent pas, c'est qu'il y a une erreur de calcul plus haut, et il est inutile de continuer. C'est le meilleur contrôle intermédiaire du chapitre.

Étape 3 : la condition initiale

Tant qu'on n'a que la solution générale, il reste une constante libre : il y a une infinité de solutions, une par valeur de C. Une condition initiale du type $y(0) = 5$ en sélectionne exactement une.

L'ordre à respecter. On applique la condition initiale tout à la fin, sur la solution générale complète, jamais sur la seule partie homogène. C'est une erreur classique, et elle donne une réponse fausse qui a l'air correcte.

Exemple travaillé. Résoudre $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 1$.

Solution générale : $y(x) = C e^{-2x} + 3$.

En $x = 0$ : $y(0) = C + 3 = 1$, donc $C = -2$.

Solution unique : $y(x) = -2 e^{-2x} + 3$.

Elle part de 1 et monte vers 3 : le comportement attendu d'une charge.

Une condition initiale ailleurs qu'en 0. Si l'énoncé donne $y(1) = 2$, l'exponentielle ne vaut plus 1 au point donné, et il faut la garder : $C e^{-2} + 3 = 2$, donc $C = -e^{2}$, et $y(x) = 3 - e^{2}\,e^{-2x} = 3 - e^{2 - 2x}$. Le raccourci « $C$ est l'écart entre le départ et l'équilibre » ne vaut qu'en $x = 0$.

Traduire un énoncé en équation

C'est souvent l'étape la plus difficile d'un problème réel : les méthodes qui précèdent résolvent une équation, aucune ne l'écrit. Le vocabulaire, lui, est stable :

Exemple : la loi de refroidissement de Newton. « La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à l'écart entre sa température et celle du milieu. » En notant $T_a$ la température ambiante :

$T'(t) = -k\,\big(T(t) - T_a\big)$, avec $k > 0$.

C'est une équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a = -k$ et $b = k\,T_a$. L'équilibre vaut $-b/a = T_a$ : le corps tend vers la température de la pièce, ce qui est rassurant. Et la solution est $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}$, où $T_0$ est la température de départ : l'équilibre, plus un écart initial qui s'éteint.

C'est la raison pour laquelle un plat sorti du four tiédit très vite puis semble ne plus bouger : rien ne change dans la loi, c'est l'écart qui a fondu.

Exemple : la charge d'un condensateur. Le circuit RC donne $RC u' + u = E$, soit $u' = -u/(RC) + E/(RC)$.

L'équilibre vaut E : le condensateur se charge jusqu'à la tension d'alimentation. La solution avec $u(0) = 0$ est $u(t) = E(1 - e^{-t/RC})$. La quantité $\tau = RC$ s'appelle la constante de temps : au bout de τ, la charge a atteint 63 % de sa valeur finale ; au bout de 5τ, on la considère terminée.

Les deux exemples de cette section ont exactement la même forme, $y' = ay + b$ avec $a < 0$. L'un descend vers son équilibre, l'autre y monte, et c'est la seule différence entre eux. C'est ce que le chapitre entier cherche à faire voir : une même équation décrit un four qui refroidit et un condensateur qui se charge.

Séparer les variables

Toutes les équations précédentes sont linéaires. Certaines équations qui ne le sont pas se résolvent tout de même, pourvu qu'on puisse ranger $y$ d'un côté et $x$ de l'autre. C'est la méthode déjà employée pour l'équation homogène, et elle se généralise.

Exemple travaillé : une solution qui explose. $y' = y^2$ avec $y(0) = 1$.

1. On sépare : $\dfrac{y'}{y^2} = 1$.
2. Le membre de gauche est la dérivée de $-\dfrac{1}{y}$, donc $-\dfrac{1}{y} = x + c$. En $x = 0$, cela donne $c = -1$.
3. On isole : $y = \dfrac{1}{1 - x}$.

Contrôle en dérivant : $y' = \dfrac{1}{(1 - x)^2} = y^2$ ✓

La solution est parfaitement régulière au départ, et pourtant elle n'existe que pour $x < 1$ : en $x = 1$, elle part à l'infini. Aucune équation linéaire ne fait cela, leurs solutions sont définies partout où les coefficients le sont. C'est un avant-goût de ce qui rend les équations non linéaires difficiles.

La croissance logistique

Une population qui croît comme $y' = ky$ grossit sans limite, ce qu'aucune population réelle ne fait. Le modèle corrigé freine la croissance à mesure que l'effectif approche une capacité maximale $K$ :

Tant que $y$ est petit devant $K$, la parenthèse vaut presque 1 et la croissance est exponentielle. Quand $y$ approche $K$, la parenthèse tend vers 0 et la croissance s'arrête. C'est le modèle d'une épidémie, de l'adoption d'une technologie, du remplissage d'un marché.

Avant de résoudre, lire. Comme pour l'exemple du début du chapitre, les équilibres se trouvent en annulant la pente : $k\,y\,(1 - y/K) = 0$ pour $y = 0$ et pour $y = K$. Entre les deux, la pente est positive et la population croît ; au-dessus de $K$, elle est négative, et une population trop nombreuse décroît vers $K$. L'équilibre $K$ attire, l'équilibre 0 repousse.