Équations différentielles

On sait rarement écrire directement la loi d'un phénomène. En revanche, on sait presque toujours écrire comment il varie : un corps chaud se refroidit d'autant plus vite qu'il est loin de la température ambiante, un condensateur se charge d'autant plus lentement qu'il est déjà chargé, une population croît proportionnellement à son effectif. Chacune de ces phrases est une équation différentielle, et la résoudre, c'est remonter de la règle de variation à la fonction elle-même.

Ce qu'est une équation différentielle

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées.

La différence avec une équation ordinaire est là : $x^2 = 4$ a pour solutions deux nombres ; $y' = 2y$ a pour solutions des fonctions. Et il y en a une infinité, sauf si on ajoute une information supplémentaire.

Définition

Une équation est linéaire du premier ordre si elle s'écrit $y' + a(x) y = f(x)$ . On y trouve $y$ et $y'$ , chacun à la puissance 1, sans produit $y y'$ ni $y^2$ . Le terme $f(x)$ s'appelle le second membre. Quand $f = 0$ , l'équation est dite homogène (ou sans second membre).

Ce qu'une équation raconte avant d'être résolue

Une équation différentielle se lit sans rien calculer, et il vaut la peine de le faire une fois.

Prenons $y' = -2y + 6$ , qui servira d'exemple à tout le chapitre. Elle dit ceci : si je passe par un point d'ordonnée $y$ , ma pente vaut $-2y + 6$ . En $y = 0$ , la pente vaut 6, ça monte raide. En $y = 1$ , elle vaut 4, ça monte encore. En $y = 3$ , elle vaut 0 : c'est plat. En $y = 5$ , elle vaut $-4$  : ça descend.

L'équation impose donc une direction en chaque point du plan. En dessinant un petit segment de la bonne pente partout, on obtient un champ de directions.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Le champ de directions de y' = -2y + 6. Toutes les flèches ont la même longueur pour rester lisibles, et c'est leur épaisseur qui dit à quelle vitesse ça change. Résoudre l'équation, c'est trouver les courbes qui suivent ces flèches partout.

Deux choses se voient sur cette figure, et aucune n'a demandé le moindre calcul.

La hauteur $y = 3$ est spéciale. Les flèches y sont horizontales, puisque la pente y vaut 0. Une courbe qui passe par cette hauteur n'a aucune raison de la quitter : la fonction constante $y = 3$ est donc elle-même une solution. C'est ce qu'on appellera l'équilibre.

Tout le reste converge vers elle. Au-dessus de 3 les flèches descendent, en dessous elles montent. Quelle que soit la hauteur de départ, la courbe est ramenée vers 3.

Une équation, une infinité de courbes

Le champ ne désigne aucune courbe en particulier : il en autorise une par point de départ. C'est exactement pour cela qu'une équation différentielle a une infinité de solutions, et qu'il faut une information de plus, la condition initiale, pour en désigner une seule.
Tout le chapitre consiste à obtenir ces courbes par une formule plutôt qu'en suivant les flèches à la main. On reviendra à la fin sur le cas, fréquent, où aucune formule n'existe et où il faut bel et bien les suivre.

Le cas fondamental : $y' = a y$

C'est l'équation la plus importante du chapitre, celle dont tout le reste découle.

Théorème

Les solutions de $y' = a y$ sur ℝ sont exactement les fonctions

$y(x) = C e^{ax}$ , où C est une constante réelle quelconque.

La phrase à retenir : une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle. C'est ce qui rend l'exponentielle omniprésente en sciences. Dès qu'un phénomène varie proportionnellement à son état, elle apparaît.

Le signe de $a$ décide de tout :

$a > 0$  : croissance explosive (population sans contrainte, réaction en chaîne) ;
$a < 0$  : décroissance vers 0 (décharge d'un condensateur, désintégration radioactive, refroidissement).

Élargir jusqu'à2,6

f(x) = exp(0.8x) vaut 8g(x) = exp(-0.8x) vaut 0,12h(x) = 1 vaut 1

Valeurs pour x = 2,6, le bord droit de la figure.

La même équation y' = a y, pour a positif (en vert) et a négatif (en orange), avec le même point de départ. Le signe de a ne modifie pas la forme, il décide du sens : s'échapper, ou s'éteindre.

À manipuler

Élargir l'axe et comparer les deux solutions. Celle qui décroît s'approche de l'axe sans jamais le toucher, quel que soit l'élargissement. Celle qui croît sort du cadre à chaque fois qu'on élargit. Aucune échelle ne permet de les représenter ensemble sur une durée un peu longue, et c'est déjà tout le sujet du signe de a.

Le temps caractéristique, à lire dans l'équation

Écrire

y' = -y/\tau

plutôt que

y' = -ky

fait apparaître

\tau = 1/k

, le temps caractéristique. Au bout de

\tau

, il reste 37 % ; au bout de

3\tau

, 5 % ; au bout de

5\tau

, moins de 1 %. C'est la règle qui sert à dimensionner un temps de réponse sans jamais résoudre l'équation.

Élargir jusqu'à5,6

f(x) = exp(-x) vaut 0

Valeurs pour temps, en multiples de τ = 5,6, le bord droit de la figure.

La décroissance exponentielle, mesurée en temps caractéristiques. Les trois repères ne dépendent ni de la constante k ni des unités : c'est toujours 37 % après un τ, 5 % après trois, moins de 1 % après cinq.

Ces trois nombres sont les seuls à connaître par cœur, et ils suffisent à répondre sans calcul à la plupart des questions de dimensionnement : « au bout de combien de temps le régime transitoire est-il négligeable ? » se répond par $5\tau$ , quel que soit le système.

Lire l'énoncé physique

« La vitesse de disparition est proportionnelle à la quantité présente » se traduit mot à mot par

N'(t) = -k N(t)

, avec k > 0. Le signe moins traduit la disparition. La solution est

N(t) = N_0 e^{-kt}

, et le temps de demi-vie s'en déduit en résolvant

e^{-kT} = 1/2

, soit

T = \ln 2 / k

Exemple travaillé : la demi-vie du carbone 14

Le carbone 14 se désintègre à une vitesse proportionnelle à la quantité présente, avec $k = 1{,}21 \times 10^{-4}$ par an.

Traduire : « vitesse de disparition proportionnelle à la quantité » donne $N'(t) = -k N(t)$ .
Résoudre : c'est le cas fondamental, donc $N(t) = N_0 e^{-kt}$ .
Répondre à la question posée : la demi-vie est le temps $T$ tel que $N(T) = N_0/2$ , c'est-à-dire $e^{-kT} = 1/2$ , soit $T = \ln 2 / k \approx 5\,730$ ans.
Contrôler l'ordre de grandeur : un échantillon qui a perdu les trois quarts de son carbone 14 a donc vécu deux demi-vies, environ 11 500 ans. C'est cohérent avec la portée usuelle de la méthode, une cinquantaine de milliers d'années au plus.

Le cas $y' = a y + b$

C'est le modèle du système qui tend vers un équilibre non nul : un corps qui refroidit vers la température de la pièce, un condensateur qui se charge vers la tension d'alimentation.

Théorème

Les solutions de $y' = a y + b$ (avec $a \neq 0$ ) sont

y(x) = C e^{ax} - b/a

La méthode qui permet de le retrouver, et qu'il faut savoir écrire :

Solution particulière constante. On cherche une solution qui ne varie pas : si $y = k$ , alors $y' = 0$ , donc $0 = ak + b$ , d'où $k = -b/a$ . C'est la valeur d'équilibre du système.
Solution générale de l'homogène $y' = ay$  : $C e^{ax}$ .
Somme des deux.

Exemple travaillé. $y' = -2y + 6$ .

Équilibre : $k = -6/(-2) = 3$ . Homogène : $C e^{-2x}$ . Donc $y(x) = C e^{-2x} + 3$ .

Comme $a = -2 < 0$ , le terme exponentiel s'efface avec le temps : quelle que soit la valeur de départ, la solution tend vers 3. C'est le régime permanent, et $C e^{-2x}$ est le régime transitoire.

f(x) = 3 + 2exp(-2x)g(x) = 3 - 2exp(-2x)h(x) = 3

Trois solutions de la même équation, pour trois valeurs de C. Elles partent d'endroits différents et rejoignent toutes l'équilibre 3 : c'est le régime transitoire qui s'efface.

La figure montre ce que « une infinité de solutions » veut dire : une famille de courbes, une par valeur de C, toutes attirées par la même horizontale. La condition initiale ne fait qu'en désigner une.

Le principe général de résolution

C'est la structure qui organise tout le chapitre, et elle vaut aussi pour le second ordre qu'on verra plus tard.

Le théorème de structure

Solution générale = solution générale de l'équation homogène + une solution particulière de l'équation complète.
Autrement dit : une seule solution particulière suffit, et l'homogène fournit toute la famille. C'est pour cela qu'on peut chercher la solution particulière « au hasard » d'une forme plausible : dès qu'on en tient une, on a tout.

Étape 1 : l'équation homogène

Pour $y' + a(x) y = 0$ , on sépare les variables : $y'/y = -a(x)$ . En intégrant les deux membres, $\ln\lvert y \rvert = -A(x) + \text{cte}$ où A est une primitive de a. D'où :

Théorème

Les solutions de $y' + a(x) y = 0$ sont $y(x) = C e^{-A(x)}$ , où A est une primitive de a.

Le cas $a$ constant redonne bien $y = C e^{-ax}$ .

On a divisé par y

Écrire

y'/y

suppose

y \neq 0

, et la fonction nulle est pourtant une solution évidente de toute équation homogène. Elle n'est pas perdue pour autant : c'est le cas

C = 0

de la formule finale.
La division reste donc licite, mais il faut savoir pourquoi. Et c'est aussi ce qui explique qu'une solution non nulle ne s'annule jamais : une exponentielle ne vaut zéro nulle part, donc une solution ou bien est nulle partout, ou bien ne l'est nulle part.

Exemple travaillé. Résolvons $y' + 2x y = 0$ .

Ici $a(x) = 2x$ . Une primitive est $A(x) = x^2$ , et les solutions sont donc $y = C e^{-x^2}$ .

Contrôle en dérivant : $y' = -2x \, C e^{-x^2} = -2x \, y$ , donc $y' + 2xy = 0$ ✓

f(x) = exp(-x^2)g(x) = 2exp(-x^2)h(x) = -exp(-x^2)

Les solutions de y' + 2xy = 0, pour C = 1, C = 2 et C = -1. La constante ne fait que dilater la courbe verticalement, et un C négatif la retourne. Aucune ne coupe l'axe des abscisses, ce qui est la remarque de l'encadré ci-dessus.

La courbe obtenue est la gaussienne, ce qui n'a rien d'un hasard : c'est la même équation qui la fait apparaître en probabilités.

Étape 2 : une solution particulière

On la cherche « de la même forme que le second membre ». C'est une recette, mais elle est fiable et elle couvre tous les cas usuels.

Second membre $f(x)$	Forme à essayer
constante $b$	une constante $k$
polynôme de degré n	polynôme de degré n
$k e^{mx}$	$\alpha e^{mx}$
$k \cos(\omega x) + k' \sin(\omega x)$	$\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)$

On injecte la forme dans l'équation, on identifie les coefficients, on obtient α et β.

Le cas résonnant

Si la forme essayée est déjà solution de l'homogène, elle donne 0 = 0 et ne mène nulle part. Il faut alors la multiplier par x. Exemple : pour

y' - 2y = e^{2x}

, essayer

\alpha e^{2x}

échoue, car

e^{2x}

est déjà solution de l'homogène ; on essaie

\alpha x e^{2x}

. C'est le même phénomène que la résonance en physique.

Exemple travaillé. $y' - y = x$ .

Homogène : $y' = y$ → $C e^x$ .
Particulière : le second membre est un polynôme de degré 1, on essaie $y = \alpha x + \beta$ . Alors $y' = \alpha$ , et l'équation devient $\alpha - (\alpha x + \beta ) = x$ , soit $-\alpha x + (\alpha - \beta ) = x$ . Par identification : $-\alpha = 1$ donc $\alpha = -1$  ; et $\alpha - \beta = 0$ donc $\beta = -1$ .
Solution générale : $y(x) = C e^x - x - 1$ .

Contrôle en dérivant : $y' = C e^x - 1$ , et $y' - y = C e^x - 1 - C e^x + x + 1 = x$ ✓

Le théorème de structure se voit sur cette solution, en prenant $C = 1$ .

f(x) = exp(x) - x - 1g(x) = exp(x)h(x) = -x - 1

La solution y = e^x - x - 1 (en vert) est, point par point, la somme de la solution homogène e^x (en orange) et de la solution particulière -x-1 (en rouge). Additionner deux courbes, c'est additionner leurs ordonnées : en x = 0, on lit 1 et -1, dont la somme est bien 0.

C'est tout le contenu du théorème de structure, sur une seule figure. La droite porte le second membre, l'exponentielle porte la liberté du choix de C, et la solution est leur somme.

Variation de la constante

Quand aucune forme ne se devine, il existe une méthode qui marche toujours. On part de la solution homogène $C e^{-A(x)}$ et on remplace la constante C par une fonction $C(x)$ . En injectant dans l'équation complète, tous les termes se simplifient sauf un, et il reste :

$C'(x) e^{-A(x)} = f(x)$ , donc $C'(x) = f(x) e^{A(x)}$

Il ne reste plus qu'à intégrer pour obtenir $C(x)$ . La méthode est plus longue, mais elle ne dépend d'aucune devinette.

Exemple travaillé. Résolvons $y' - \dfrac{y}{x} = x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Le second membre est un polynôme, mais le coefficient devant $y$ est une fonction de $x$  : le tableau des formes à essayer ne dit rien de ce cas. C'est exactement la situation où la variation de la constante sert.

L'homogène $y' = y/x$ donne $a(x) = -1/x$ , dont une primitive est $A(x) = -\ln x$ . Les solutions homogènes sont donc $y = C e^{\ln x} = C x$ .
On fait varier la constante : on cherche $y = C(x) \, x$ . En dérivant, $y' = C'(x) \, x + C(x)$ .
On injecte dans l'équation complète : $C'(x) \, x + C(x) - \frac{C(x) \, x}{x} = x$ Les deux termes en $C(x)$ se simplifient, comme annoncé, et il reste $C'(x) \, x = x$ , donc $C'(x) = 1$ .
On intègre : $C(x) = x + K$ .
On remonte : $y = (x + K) \, x = x^2 + K x$ .

Contrôle en dérivant : $y' = 2x + K$ , et $y' - y/x = 2x + K - (x + K) = x$ ✓

Le signe que la méthode se déroule bien

À l'étape 3, les termes en

C(x)

doivent disparaître, et il ne doit rester que ceux en

C'(x)

. Ce n'est pas une chance : c'est mathématiquement garanti, puisque

C(x) e^{-A(x)}

est solution de l'homogène dès que

C

est constante.
Donc s'ils ne disparaissent pas, c'est qu'il y a une erreur de calcul plus haut, et il est inutile de continuer. C'est le meilleur contrôle intermédiaire du chapitre.

Étape 3 : la condition initiale

Tant qu'on n'a que la solution générale, il reste une constante libre : il y a une infinité de solutions, une par valeur de C. Une condition initiale du type $y(0) = 5$ en sélectionne exactement une.

L'ordre à respecter

On applique la condition initiale tout à la fin, sur la solution générale complète, jamais sur la seule partie homogène. C'est une erreur classique, et elle donne une réponse fausse qui a l'air correcte.

Exemple travaillé. Résoudre $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 1$ .

Solution générale : $y(x) = C e^{-2x} + 3$ .

En $x = 0$  : $y(0) = C + 3 = 1$ , donc $C = -2$ .

Solution unique : $y(x) = -2 e^{-2x} + 3$ .

Elle part de 1 et monte vers 3 : le comportement attendu d'une charge.

f(x) = 3 - 2exp(-2x)g(x) = 3 + 2exp(-2x)h(x) = 3 - 5exp(-2x)

Trois membres de la même famille de solutions. La condition initiale n'en change aucune : elle en désigne une, celle qui passe par le point marqué. Les deux autres restent des solutions parfaitement valides, d'une autre condition initiale.

Le contrôle qui prend cinq secondes

Une fois la constante trouvée, remplacer

x

par la valeur de la condition initiale et vérifier qu'on retombe bien dessus. Ici

y(0) = -2 + 3 = 1

✓
C'est ce contrôle qui attrape l'erreur d'ordre décrite juste au-dessus : la réponse fautive

e^{-2x} + 3

donne 4 en zéro au lieu de 1, et le défaut saute aux yeux.

Traduire un énoncé en équation

C'est la moitié des points d'une étude de cas. Le vocabulaire est stable :

L'énoncé dit	On écrit
« la vitesse de… », « le taux de variation de… »	$y'$
« proportionnel à y »	$k y$
« proportionnel à l'écart entre y et M »	$k (M - y)$
« croît », « augmente »	coefficient positif
« décroît », « se refroidit », « se décharge »	coefficient négatif

Exemple : la loi de refroidissement de Newton. « La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à l'écart entre sa température et celle du milieu. »

$T'(t) = -k\left(T(t) - T_{\text{ambiante}}\right)$ , avec k > 0.

C'est une équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a = -k$ et $b = k\,T_{\text{amb}}$ . L'équilibre vaut $-b/a = T_{\text{amb}}$  : le corps tend vers la température de la pièce, ce qui est rassurant. Et la solution est $T(t) = T_{amb} + (T_0 - T_{amb}) e^{-kt}$ .

f(x) = 20 + 60exp(-0.5x)

Un corps à 80 °C oublié dans une pièce à 20 °C. Il perd 38 °C pendant les deux premières heures, et moins de 4 °C entre la cinquième et la huitième. La vitesse est proportionnelle à l'écart restant, donc elle s'effondre en même temps que lui.

C'est la raison pour laquelle un plat sorti du four tiédit très vite puis semble ne plus bouger : rien ne change dans la loi, c'est l'écart qui a fondu.

Exemple : la charge d'un condensateur. Le circuit RC donne $RC u' + u = E$ , soit $u' = -u/(RC) + E/(RC)$ .

L'équilibre vaut E : le condensateur se charge jusqu'à la tension d'alimentation. La solution avec $u(0) = 0$ est $u(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ . La quantité $\tau = RC$ s'appelle la constante de temps : au bout de τ, la charge a atteint 63 % de sa valeur finale ; au bout de 5τ, on la considère terminée.

f(x) = 5 - 5exp(-x)

La charge d'un condensateur sous 5 V. C'est la courbe de refroidissement retournée, et pour cause : c'est la même équation, au signe de l'écart près.

Les deux exemples de cette section ont exactement la même forme, $y' = ay + b$ avec $a < 0$ . L'un descend vers son équilibre, l'autre y monte, et c'est la seule différence entre eux. C'est ce que le chapitre entier cherche à faire voir : une même équation décrit un four qui refroidit et un condensateur qui se charge.

Suivre les flèches quand la formule ne vient pas

Les équations de ce chapitre se résolvent toutes par une formule. C'est une chance, et elle ne dure pas : dès qu'on quitte le linéaire, la plupart des équations rencontrées en pratique n'ont aucune solution exprimable. Il ne s'agit pas d'une lacune des méthodes connues, c'est démontré.

On les résout alors numériquement, et la méthode la plus simple est exactement le champ de directions du début de chapitre, suivi à petits pas.

Méthode d'Euler

Pour $y' = f(x, y)$ partant de $(x_0, y_0)$ , on avance d'un pas $h$ en suivant la pente que donne l'équation :

y_{n+1} = y_n + h \, f(x_n, y_n)

C'est la traduction littérale de « la dérivée est une pente » : on remplace la courbe par sa tangente sur une petite distance, on regarde où l'on est arrivé, et on recommence depuis là.

Reprenons $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 1$ , dont on connaît la solution exacte $y(x) = 3 - 2e^{-2x}$ . On peut donc mesurer l'erreur, ce qui est le seul moyen honnête de juger une méthode numérique.

En partant de $x = 0$ et en avançant jusqu'à $x = 1$ , voici ce que la méthode donne selon le nombre de pas, comparé à la valeur exacte $y(1) = 3 - 2e^{-2} \approx 2{,}729329$ .

Nombre de pas	Valeur obtenue	Erreur	Erreur divisée par
5	2,844480	0,115151
10	2,785252	0,055922	2,06
20	2,756847	0,027517	2,03
40	2,742976	0,013646	2,02
80	2,736124	0,006795	2,01

f(x) = 3 - 2exp(-2x)

Les six points d'Euler avec un pas de 0,2, posés sur la solution exacte. Ils sont tous au-dessus : chaque tangente part dans la bonne direction mais coupe au-dessus d'une courbe qui s'infléchit, et le petit excès de chaque pas s'ajoute aux précédents.

Le dessin explique le tableau. L'erreur ne vient pas d'une pente mal calculée, elle vient de ce qu'on garde cette pente pendant toute la longueur du pas alors que la vraie pente diminue en chemin. Plus le pas est court, moins la pente a le temps de changer, et moins on se trompe.

Diviser le pas par deux ne divise l'erreur que par deux

C'est ce que montre la dernière colonne : la méthode d'Euler est d'ordre 1, son erreur est proportionnelle au pas. Pour gagner un chiffre décimal, il faut donc dix fois plus de calculs.
C'est pourquoi les vrais solveurs n'utilisent pas Euler mais des méthodes d'ordre 4, où diviser le pas par deux divise l'erreur par seize. Le principe reste le même : suivre les flèches, mais en regardant mieux où l'on met le pied.

Pourquoi la formule exacte garde toute sa valeur

Une solution numérique donne des nombres, pour un jeu de paramètres et un seul. La formule exacte, elle, donne le comportement : on y lit d'un coup d'œil qu'il y a un équilibre en

-b/a

, que le transitoire s'éteint en

5\tau

, et comment ces deux réponses dépendent de chaque paramètre.
C'est ce qui permet de dimensionner un système au lieu de le tester au hasard. Résoudre à la main quand c'est possible n'est donc pas une coquetterie d'examen.

Le même exposant se retrouve sur n'importe quelle équation : ce n'est pas une propriété de celle-ci, c'est une propriété de la méthode.

Le premier ordre, autant de fois qu'il faut

Trois quantités se lisent sur l'équation sans la résoudre : l'équilibre, l'exposant de l'exponentielle et la constante d'intégration. Les trois se calculent en quelques secondes, et l'une des trois change de signe en chemin.

Lire une équation du premier ordre sans la résoudre

Soit l'équation $y' + 4 y = -4$ , avec $y(0) = -5$ .

La valeur d'équilibre, celle qui annule $y'$
Le coefficient de $t$ dans l'exponentielle de la solution
La constante $C$ telle que $y(0)$ vaille la valeur donnée

La deuxième question est celle qui compte. Le coefficient écrit dans l'énoncé et celui qui apparaît dans la solution sont opposés, et se tromper de signe transforme une extinction en explosion sans qu'aucune autre ligne de la copie ne soit fausse.

Où la démarche dérape

Une résolution parfaitement menée, dont le résultat ne vérifie pas l'équation de départ.

Une solution qui ne résout rien

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

On cherche la solution de $y' + 2y = 6$ vérifiant $y(0) = 1$ .

À calculer soi-même

Cinq questions sur les deux équations du chapitre. Les trois dernières portent sur le régime qui s'installe, qui est ce qu'on cherche presque toujours en pratique.

Résoudre, puis lire la solution

1.
La solution de $y' = 3y$ qui vérifie $y(0) = 2$ . Combien vaut $y(1)$ ?
2.
Pour $y' = -0{,}5\,y + 4$ , vers quelle valeur la solution tend-elle quand le temps grandit ?
3.
La solution de $y' = -0{,}5\,y + 4$ qui part de $y(0) = 0$ . Combien vaut $y(4)$ ?
4.
Une grandeur suit $y' = -0{,}1\,y$ . Au bout de combien de temps a-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
5.
Un système de constante de temps $\tau = 2$ part de zéro vers son équilibre. Au bout de combien de temps en atteint-il 95 % ?

Exercices type

Résoudre

y' = 3y

avec

y(0) = 2

Solution générale : $y = C e^{3x}$ .

$y(0) = C = 2$ , donc $y(x) = 2 e^{3x}$ .

Résoudre

2y' + y = 4

On met sous forme normalisée : $y' = -y/2 + 2$ .

Équilibre : $k = -2/(-1/2) = 4$ . Homogène : $C e^{-x/2}$ .

$y(x) = C e^{-x/2} + 4$ , et toutes les solutions tendent vers 4.

Résoudre

y' + y = e^{2x}

Homogène : $y' = -y$ → $C e^{-x}$ .

Particulière : on essaie $\alpha e^{2x}$ (ce n'est pas solution de l'homogène, pas de problème de résonance). Alors $2\alpha e^{2x} + \alpha e^{2x} = e^{2x}$ , donc $3\alpha = 1$ et $\alpha = 1/3$ .

$y(x) = C e^{-x} + (1/3) e^{2x}$

Résoudre

y' - y = e^x

Homogène : $C e^x$ .

Particulière : $\alpha e^x$ est déjà solution de l'homogène → cas résonnant. On essaie $y = \alpha x e^x$ , dont la dérivée est $\alpha e^x + \alpha x e^x$ . En injectant : $\alpha e^x + \alpha x e^x - \alpha x e^x = e^x$ , donc $\alpha = 1$ .

$y(x) = C e^x + x e^x = (C + x) e^x$

Résoudre

y' + (2/x) y = 0

sur

\left]0 \,;\, +\infty\right[

Ici $a(x) = 2/x$ , dont une primitive est $A(x) = 2 \ln x = \ln(x^2)$ .

y = C e^{-\ln(x^2)} = C / x^2

Contrôle : $y' = -2C/x^3$ , et $y' + (2/x)y = -2C/x^3 + 2C/x^3 = 0$ ✓

f(x) = 1/x^2g(x) = 3/x^2

Deux solutions, pour C = 1 et C = 3. Elles plongent vers 0 sans jamais l'atteindre, et explosent près de 0 : c'est pourquoi l'énoncé impose l'intervalle ]0 ; +∞[, où le coefficient 2/x est défini.

Une population de 1000 bactéries double toutes les 3 heures. Combien après 12 h ?

Modèle : $N' = kN$ , donc $N(t) = 1000 e^{kt}$ .

Le doublement en 3 h donne $e^{3k} = 2$ , donc $k = (\ln 2)/3$ .

$N(12) = 1000 \, e^{12 \ln 2 / 3} = 1000 \times 2^4 =$ $16 000$

On pouvait répondre sans calcul : 12 h = 4 doublements = ×16.

f(x) = 1000exp(0.23105x)

La croissance exponentielle de la population. Chaque tranche de 3 heures multiplie l'effectif par 2, quel que soit l'endroit où l'on prend la tranche : c'est la propriété qui caractérise l'exponentielle, et la raison pour laquelle la courbe paraît plate au début puis verticale.

La méthode sur feuille

Normaliser l'équation : la ramener à un coefficient 1 devant $y'$ .
Identifier le type : homogène ou avec second membre ? coefficients constants ou fonction de x ?
Résoudre l'homogène d'abord. Toujours. C'est là qu'est la constante.
Chercher une solution particulière de la même forme que le second membre. Vérifier d'abord qu'elle n'est pas déjà solution de l'homogène. Sinon, multiplier par x. Si aucune forme ne convient, passer à la variation de la constante, qui ne demande aucune devinette.
Additionner les deux.
Appliquer la condition initiale en dernier, sur la solution complète.
Contrôler en dérivant la solution et en la réinjectant dans l'équation. C'est gratuit et ça attrape tout.
Pour un problème concret, contrôler le comportement à l'infini : si le modèle décrit un refroidissement, la solution doit tendre vers la température ambiante. Le champ de directions donne la réponse d'avance, et sans calcul.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Pour résoudre $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 1$ , un étudiant écrit : « l'homogène est $C e^{-2x}$ , donc $y(0) = C = 1$ , et la solution est $e^{-2x} + 3$ ». Où est l'erreur ?

2.Combien l'équation $y' = 3y$ a-t-elle de solutions ?

3.Dans $y' = ay + b$ , que représente $-b/a$ ?

4.« La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante (20 °C). » Quelle équation ?

Synthèse

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Ses solutions sont des fonctions, en nombre infini sans condition initiale.
$y' = ay$ → $y = C e^{ax}$ . C'est le résultat central : dérivée proportionnelle à la fonction ⟹ exponentielle.
$y' = ay + b$ → $y = C e^{ax} - b/a$ , où $-b/a$ est la valeur d'équilibre.
$y' + a(x)y = 0$ → $y = C e^{-A(x)}$ , avec A primitive de a.
Structure : solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière.
La solution particulière se cherche de la même forme que le second membre ; si cette forme est déjà solution de l'homogène, la multiplier par x.
La variation de la constante est la méthode de secours, valable toujours.
La condition initiale s'applique en dernier, sur la solution complète.
Une solution se vérifie en dérivant. Le faire systématiquement.
Une équation est un champ de directions ; une solution est une courbe qui le suit. L'équilibre est la hauteur où les flèches sont horizontales.
Quand aucune formule ne sort, la méthode d'Euler suit ces flèches à petits pas. Son erreur est proportionnelle au pas.

Ce qu'est une équation différentielle

Ce qu'une équation raconte avant d'être résolue

Le cas fondamental : y′=ayy' = a yy′=ay

Le cas y′=ay+by' = a y + by′=ay+b

Le principe général de résolution

Étape 1 : l'équation homogène

Étape 2 : une solution particulière

Variation de la constante

Étape 3 : la condition initiale

Traduire un énoncé en équation

Suivre les flèches quand la formule ne vient pas

Le premier ordre, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique

Le cas fondamental : $y' = a y$

Le cas $y' = a y + b$

Étape 1 : l'équation homogène

Étape 2 : une solution particulière

Étape 3 : la condition initiale