Les polynômes

Le polynôme est la fonction la plus simple qu'on sache écrire : des additions et des multiplications, rien d'autre. C'est précisément pour ça qu'il sert de brique à tout le reste. On approche une courbe compliquée par un polynôme, on modélise un signal par un polynôme, et un système physique linéaire se résume presque toujours à trouver les racines d'un polynôme.

Définitions

Définition

Un polynôme est une expression de la forme $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ , où les $a_i$ sont des nombres appelés coefficients. Le degré de P, noté deg P, est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul. Le coefficient $a_n$ correspondant s'appelle le coefficient dominant.

Quelques conventions à connaître : un polynôme constant non nul est de degré 0 ; le polynôme nul n'a pas de degré (ou, par convention, $-\infty$ ) ; un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1 est dit unitaire.

Propriétés du degré

$\deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q$ . En revanche $\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$ , avec une inégalité stricte possible quand les termes dominants se compensent : par exemple $(x^2 + x) + (-x^2 + 1) = x + 1$ , de degré 1.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux, terme à terme. C'est le principe d'identification, l'outil de démonstration principal du chapitre : d'une égalité entre polynômes, on tire autant d'équations qu'il y a de coefficients.

Racines et factorisation

Définition

Un nombre $a$ est une racine de P si $P(a) = 0$ .

Théorème central du chapitre

$a$ est racine de P si et seulement si P est divisible par $(x - a)$ , c'est-à-dire s'il existe un polynôme Q tel que $P(x) = (x - a) Q(x)$ , avec $\deg Q = \deg P - 1$ .

À retenir

Chaque racine trouvée fait descendre le degré d'un cran. C'est toute la stratégie de factorisation : on trouve une racine, on divise, on recommence sur le quotient, jusqu'à tomber sur un degré 2 qu'on sait traiter avec le discriminant.

Chercher une racine évidente

Devant un polynôme de degré 3 ou plus, la première chose à faire est d'essayer les valeurs simples : $0, 1, -1, 2, -2$ . C'est ce que les énoncés appellent une « racine évidente », et elle est presque toujours là.

Un critère qui accélère la recherche : si les coefficients sont entiers, toute racine entière divise le terme constant $a_0$ . Pour $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ , on ne teste donc que les diviseurs de 6 : ±1, ±2, ±3, ±6.

$P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ✓, on tient une racine.

Reste à évaluer $P$ en chaque candidat, et il y a une façon de le faire qui ne calcule aucune puissance : le schéma de Horner. Les coefficients se lisent du plus haut degré au plus bas, et à chaque étape le total courant est multiplié par le point avant d'ajouter le coefficient suivant.

Sur $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ évalué en $-1$ , dont les coefficients sont $1, -4, 1, 6$  :

Étape	Total avant	Opération	Total après
coefficient 1	0	$0 \times (-1) + 1$	1
coefficient −4	1	$1 \times (-1) + (-4)$	−5
coefficient 1	−5	$(-5) \times (-1) + 1$	6
coefficient 6	6	$6 \times (-1) + 6$	0

Trois multiplications et quatre additions, contre le calcul de $x^3$ et $x^2$ suivi de quatre produits. Mais le vrai cadeau est ailleurs : les totaux intermédiaires $1, -5, 6$ sont exactement les coefficients du quotient $x^2 - 5x + 6$ , et le dernier total est le reste. Une seule descente de colonne donne donc à la fois la valeur, la réponse à « est-ce une racine », et la division complète.

La même division, posée en potence. Le quotient x² − 5x + 6 est celui que les totaux de Horner annonçaient, et le reste nul confirme que −1 est racine. Le reste est nul : x + 1 divise x³ − 4x² + x + 6. Une bande grisée sur deux marque les colonnes de degré : c'est cet alignement qui rend la soustraction possible, et un degré absent s'y voit comme un trou.

Le quotient obtenu est de degré 2 : le discriminant prend le relais, et il donne les deux racines restantes, 2 et 3. La factorisation complète est donc $(x + 1)(x - 2)(x - 3)$ .

Multiplicité

Définition

$a$ est racine de multiplicité m si $P(x) = (x - a)^m Q(x)$ avec $Q(a) \neq 0$ . On parle de racine simple (m = 1), double (m = 2), triple (m = 3).

Un critère pratique : $a$ est racine au moins double si $P(a) = 0$ et $P'(a) = 0$ . Plus généralement, la multiplicité est le rang de la première dérivée qui ne s'annule pas en a.

La multiplicité a une lecture graphique directe : en une racine simple, la courbe traverse l'axe ; en une racine double, elle le touche sans le traverser (elle rebondit) ; en une racine triple, elle le traverse avec un aplatissement.

Les trois cas, côte à côte, sur des polynômes qui ne diffèrent que par la multiplicité de leur racine en 1.

f(x) = (x - 1)*(x + 1)

Tangente en a = 1 : f(a) = 0, pente f'(a) = 2 (déplacer le point, ou employer les flèches du clavier)

Racine simple en 1 : la courbe coupe l'axe et change de signe.

f(x) = (x - 1)^2*(x + 1)

Tangente en a = 1 : f(a) = 0, pente f'(a) = 0 (déplacer le point, ou employer les flèches du clavier)

Racine double en 1 : la courbe touche l'axe et repart du même côté. Le signe ne change pas.

À manipuler

Faire glisser le point de tangence jusqu'en 1 sur les trois figures, et comparer la pente de la tangente à cet endroit. Sur la racine simple elle est franche ; sur la racine double elle est horizontale ; sur la racine triple elle est horizontale aussi, et la courbe traverse pourtant. Une racine est multiple exactement quand le polynôme et sa dérivée s'annulent au même endroit, et c'est cela que la tangente horizontale donne à voir.

f(x) = (x - 1)^3*(x + 1)

Tangente en a = 1 : f(a) = 0, pente f'(a) = 0 (déplacer le point, ou employer les flèches du clavier)

Racine triple en 1 : la courbe traverse, mais en s'aplatissant contre l'axe. Le signe change, comme pour une racine simple.

Conséquence sur le signe

Un polynôme change de signe en une racine de multiplicité impaire, et ne change pas de signe en une racine de multiplicité paire. C'est ce qui permet de dresser un tableau de signes juste du premier coup.

Combien de racines

Théorème

Un polynôme de degré n a au plus n racines dans ℝ (en comptant les multiplicités).

Théorème de d'Alembert-Gauss : dans ℂ, il en a exactement n, comptées avec leur multiplicité. Tout polynôme se factorise donc complètement en produit de facteurs $(x - a_i)$ sur les complexes.

C'est une raison de plus d'avoir travaillé les complexes : dans ℝ, une factorisation peut rester bloquée sur un facteur de degré 2 sans racine ; dans ℂ, elle va toujours jusqu'au bout.

Propriété

Si P est à coefficients réels et admet une racine complexe $z$ , alors $\bar{z}$ est aussi racine, avec la même multiplicité. Les racines non réelles vont donc par paires conjuguées, d'où le fait qu'un polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine réelle.

Lire une multiplicité sans factoriser

La multiplicité d'une racine

a

est l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas en $a$ . Autrement dit,

a

est racine de multiplicité

m

exactement quand

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0

P^{(m)}(a) \neq 0

Le critère se vérifie sur trois polynômes qui ont tous 1 pour racine :

Polynôme	$P'(1)$	$P''(1)$	$P'''(1)$	Multiplicité de 1
$x - 1$	1			1
$x^2 - 2x + 1$	0	2		2
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1$	0	0	6	3

C'est plus rapide que de factoriser, et cela vaut mieux qu'une phrase à retenir : dériver jusqu'à ce que ça ne s'annule plus, et compter les dérivations.

La division euclidienne

C'est la même mécanique que la division des entiers posée à la main, et c'est l'outil le plus rentable du chapitre. Trois questions du programme s'y ramènent entièrement.

Factoriser. Dès qu'on connaît une racine $a$ , diviser par $(x - a)$ fait tomber le degré d'un cran. Un degré 4 devient un degré 3, puis un degré 2 qu'on traite au discriminant. Sans la division, une racine trouvée ne sert à rien.

Intégrer une fraction rationnelle. On ne sait pas primitiver $x^2/(x-1)$ tel quel, mais la division la réécrit en $x + 1 + 1/(x-1)$ , dont chaque terme se primitive de tête. C'est le sujet de la dernière section du chapitre.

Décider d'une divisibilité. Le reste répond par oui ou par non, et il se calcule parfois sans poser la division du tout.

Autrement dit, cette section n'est pas une technique parmi d'autres : c'est la charnière du chapitre.

Théorème

Pour A et B polynômes avec $B \neq 0$ , il existe un unique couple (Q, R) tel que

$A = B Q + R$ , avec $\deg R < \deg B$ .

Q est le quotient, R le reste. Quand $R = 0$ , on dit que B divise A.

La méthode, en quatre gestes qui se répètent

1. Regarder le terme de plus haut degré de ce qui reste à diviser, et celui du diviseur.
2. Se demander par quoi multiplier le second pour obtenir le premier. La réponse est un monôme : on l'écrit au quotient.
3. Multiplier le diviseur entier par ce monôme, écrire le résultat dessous, en alignant les degrés, et soustraire.
4. Recommencer sur ce qui reste, tant que son degré atteint celui du diviseur.
Ces quatre gestes sont exactement ceux de la division des entiers. La seule différence est qu'on compare des degrés au lieu de comparer des tailles de nombres.

Exemple travaillé. Diviser $A = x^3 - 4x^2 + x + 6$ par $B = x + 1$ .

On procède terme dominant par terme dominant. À chaque étape, on cherche par quoi multiplier le diviseur pour reproduire le terme de plus haut degré de ce qui reste, on l'écrit au quotient, et on soustrait.

La division de A par B, posée. Le reste est nul : x + 1 divise x³ − 4x² + x + 6. Une bande grisée sur deux marque les colonnes de degré : c'est cet alignement qui rend la soustraction possible, et un degré absent s'y voit comme un trou.

Trois étapes, trois termes au quotient, et un reste nul. La lecture se fait ligne par ligne : $x^3$ divisé par $x$ donne $x^2$ , qu'on écrit au quotient ; on soustrait $x^2(x+1) = x^3 + x^2$ et il reste $-5x^2 + x + 6$  ; on recommence sur ce reste.

Ce que l'alignement en colonnes fait vraiment

Chaque monôme est posé dans la colonne de son degré, et ce n'est pas une coquetterie de mise en page : c'est la méthode elle-même. On ne peut soustraire deux termes que s'ils ont le même degré, et la seule difficulté de la division posée à la main est de ne pas se décaler d'une colonne.
D'où le conseil pour la copie : réserver une colonne par degré y compris pour les degrés absents, et y laisser un blanc. Un dividende comme

x^5 - 1

en a quatre.

Le reste est nul, donc $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)$ .

Pourquoi le procédé s'arrête, et pourquoi le reste est petit

À chaque étape, le monôme du quotient est choisi pour que le terme de plus haut degré disparaisse dans la soustraction. Le degré de ce qui reste diminue donc d'au moins un à chaque tour.

Un entier qui décroît strictement ne peut pas décroître indéfiniment : le procédé s'arrête. Et il s'arrête exactement quand le degré du reste est passé sous celui du diviseur, puisque tant qu'il l'atteint, on peut faire un tour de plus.

C'est toute la démonstration du théorème, et elle explique la condition $\deg R < \deg B$ mieux qu'un énoncé : ce n'est pas une contrainte qu'on impose, c'est la raison pour laquelle on s'arrête.

Il reste à factoriser le trinôme : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , racines $(5 \pm 1)/2$ , soit 3 et 2. La factorisation complète est :

$P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$

Exemple travaillé : le cas général. Le théorème ci-dessus n'exige pas un reste nul, seulement un reste de degré strictement inférieur à celui du diviseur. Divisons $x^4 + 2x^2 - 3x + 1$ par $x^2 - x + 2$ .

Une division qui ne tombe pas juste. Le reste vaut −4x − 1, de degré 1, strictement inférieur au degré 2 du diviseur. Une bande grisée sur deux marque les colonnes de degré : c'est cet alignement qui rend la soustraction possible, et un degré absent s'y voit comme un trou.

Deux remarques, et ce sont les deux difficultés de l'exercice.

Le dividende n'a pas de terme en $x^3$ , et il faut pourtant lui réserver sa colonne : c'est en oubliant ces trous que l'on se décale d'un cran. La figure les laisse en blanc, ce qu'il faut faire sur la copie.

La division s'arrête dès que le reste est de degré 1, inférieur au degré 2 du diviseur. Continuer donnerait un quotient en $1/x$ , qui n'est pas un polynôme : c'est exactement la même règle que pour les entiers, où l'on s'arrête quand le reste est plus petit que le diviseur.

Les trois erreurs qui font rater une division

Se décaler d'une colonne quand un degré manque au dividende. C'est de loin la plus fréquente, et c'est pour cela que la figure ci-dessus laisse la colonne des

x^3

vide plutôt que de la supprimer.
Oublier de changer les signes en soustrayant. On soustrait un polynôme entier, donc tous ses termes changent de signe, pas seulement le premier. Le réflexe qui sauve : écrire la ligne à soustraire entre parenthèses, précédée du moins, exactement comme la figure la présente.
S'arrêter au mauvais moment. Trop tôt, il reste un terme divisible ; trop tard, on fabrique un quotient qui n'est plus un polynôme. Le critère est unique et mécanique : on continue tant que le degré du reste atteint celui du diviseur.

Le contrôle, en dix secondes

Une division se vérifie en développant

BQ + R

, ce qui prend une minute. Mais on peut faire beaucoup plus vite : tester une valeur dans les deux écritures.
Sur l'exemple, en

x = 1

 : à gauche

A(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4

 ; à droite

(1+1)(1-5+6) = 2 \times 2 = 4

✓. Une seule valeur ne prouve pas l'égalité, mais elle attrape à peu près toutes les erreurs de calcul, et elle coûte dix secondes.

Un contrôle qui coûte trois secondes

Propriété

Le reste de la division de P par $(x - a)$ est $P(a)$ .

Ainsi, pour savoir si $(x - 3)$ divise P, inutile de poser la division : il suffit de calculer $P(3)$ .

La démonstration tient en une ligne, et elle vaut d'être suivie. Écrivons la division par $(x - a)$  : $P(x) = (x - a) Q(x) + R$ , où R est de degré strictement inférieur à 1, donc constant. En évaluant en $a$ , le premier terme s'annule, et il reste $P(a) = R$ .

La division synthétique : diviser par $(x - a)$ sans potence

Quand le diviseur est de la forme $(x - a)$ , la potence entière est inutile : tout le calcul se ramène à une ligne de nombres. C'est le schéma de Horner, et c'est ainsi qu'on divise en pratique.

Exemple travaillé. Divisons $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4$ par $x - 3$ . Posons d'abord la division complète, pour disposer du résultat.

La division posée, à titre de comparaison. Le reste vaut 14, de degré 0, strictement inférieur au degré 1 du diviseur. Une bande grisée sur deux marque les colonnes de degré : c'est cet alignement qui rend la soustraction possible, et un degré absent s'y voit comme un trou.

Le même calcul, en une ligne. On écrit les coefficients du dividende, y compris les zéros des degrés absents, on descend le premier tel quel, puis chaque case s'obtient en multipliant la précédente par $a = 3$ et en ajoutant le coefficient du dessus.

	$x^3$	$x^2$	$x^1$	$x^0$
coefficients de P	2	−5	3	−4
on ajoute $3 \times$ la case de gauche		$3 \times 2 = 6$	$3 \times 1 = 3$	$3 \times 6 = 18$
résultat	2	1	6	14

Les trois premières cases sont les coefficients du quotient, $2x^2 + x + 6$ , et la dernière est le reste, 14. La potence ci-dessus donne exactement cela.

Deux résultats en un seul calcul

Ce dernier nombre est à la fois le reste de la division et la valeur

P(3)

, puisque le reste de la division par

(x - a)

vaut

P(a)

.
Le schéma de Horner est donc aussi la façon la plus économique d'évaluer un polynôme : quatre multiplications ici au lieu de six si l'on calculait

3^3

3^2

séparément. C'est pour cette raison qu'il est employé dans à peu près toutes les bibliothèques de calcul numérique.

Et après une division, on vérifie en développant, ou plus vite en testant une valeur simple, souvent $x = 0$ ou $x = 1$ , dans les deux écritures.

Relations entre coefficients et racines

Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$  :

$x_1 + x_2 = -b/a$ et $x_1 x_2 = c/a$

Pour un polynôme de degré 3 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ de racines $x_1, x_2, x_3$  :

$\text{somme} = -b/a$ , $\text{somme des produits deux à deux} = c/a$ , $produit = -d/a$

Deux usages

Contrôler une factorisation en dix secondes : dans l'exemple ci-dessus, les racines −1, 2, 3 ont pour somme 4 = −(−4)/1 ✓ et pour produit −6 = −6/1 ✓.
Compléter une factorisation : si on connaît deux racines sur trois, la troisième se déduit de la somme sans aucun calcul.

Identités remarquables utiles

Au-delà des trois du lycée, deux formules font gagner beaucoup de temps :

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$

La dernière explique pourquoi 1 est toujours racine de $x^n - 1$ , et sert dès qu'on manipule des racines de l'unité.

Signe d'un polynôme

Une fois le polynôme factorisé, le signe se lit dans un tableau. La règle :

Placer toutes les racines sur la ligne des x, dans l'ordre croissant.
Donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
Multiplier les signes colonne par colonne.

Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ avec $\Delta > 0$ , il y a un raccourci classique : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. Si $\Delta < 0$ , il garde le signe de a partout, sans jamais s'annuler.

f(x) = x^2 - x - 2

Aire algébrique de -1 à 2 : -4,5. Hachures montantes pour ce qui compte positivement, descendantes pour ce qui compte négativement.

Le trinôme x² − x − 2, de racines −1 et 2. La zone teintée est celle où il est négatif : entre les racines, puisque le coefficient dominant est positif.

Le tableau de signes se vérifie sans le refaire

Une fois le tableau dressé, tester une seule valeur dans chaque intervalle. Pour

x^2 - x - 2

P(-2) = 4 + 2 - 2 = 4 > 0

P(0) = -2 < 0

P(3) = 9 - 3 - 2 = 4 > 0

. Trois calculs de tête confirment les trois colonnes.

Décomposition en éléments simples

C'est le pont entre ce chapitre et l'intégration : on ne sait pas intégrer une fraction rationnelle compliquée, mais on sait intégrer $1/(x - a)$ .

Principe

Une fraction $N(x)/D(x)$ dont le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur se décompose en somme de fractions à dénominateurs simples, un par facteur de D.

Exemple travaillé. Décomposer $1/((x - 1)(x + 2))$ .

On cherche $A$ et $B$ tels que :

1/((x-1)(x+2)) = A/(x-1) + B/(x+2)

La méthode rapide : multiplier par un facteur puis évaluer en sa racine :

multiplier par $(x - 1)$ et faire $x = 1$  : $A = 1/(1 + 2) = 1/3$  ;
multiplier par $(x + 2)$ et faire $x = -2$  : $B = 1/(-2 - 1) = -1/3$ .

Résultat : $1/3 \times 1/(x-1) - 1/3 \times 1/(x+2)$ .

Contrôle en $x = 0$  : à gauche $1/((-1)(2)) = -1/2$  ; à droite $1/3 \times (-1) - 1/3 \times (1/2) = -1/3 - 1/6 = -1/2$ ✓

Et l'intégration devient immédiate : $(1/3) \ln|x-1| - (1/3) \ln|x+2| + C$ .

Vérifier les degrés d'abord

Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, il faut d'abord faire la division euclidienne. C'est seulement le reste, de degré strictement inférieur, qui se décompose ensuite.

Exemple travaillé. La fraction $x^2/(x-1)$ a un numérateur de degré 2 pour un dénominateur de degré 1 : la décomposition ne s'applique pas telle quelle. On divise d'abord.

La division préalable, sur une fraction dont le numérateur est trop gros. Le reste vaut 1, de degré 0, strictement inférieur au degré 1 du diviseur. Une bande grisée sur deux marque les colonnes de degré : c'est cet alignement qui rend la soustraction possible, et un degré absent s'y voit comme un trou.

La division donne $x^2 = (x-1)(x+1) + 1$ . En divisant les deux membres par $x - 1$  :

\frac{x^2}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

Le quotient $x + 1$ est une partie polynomiale, qui ne se décompose pas et qui s'intègre directement ; seul le dernier terme relève des éléments simples. Toute fraction rationnelle s'écrit ainsi, et c'est la première chose à faire avant toute décomposition.

Reste et quotient, autant de fois qu'il faut

Le reste d'une division par $(x - a)$ vaut $P(a)$ , et ce théorème est su sans être employé : devant la question « quel est le reste », la division se pose quand même, sur quatre lignes et avec les erreurs de signe qui vont avec. Les deux premières questions rendent l'écart de coût visible, les deux suivantes demandent bien la division.

Le reste sans poser la division

Soit $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + 3$ .

Le reste de la division de $P$ par $(x - 1)$
Le reste de la division de $P$ par $(x - 2)$
Le coefficient de $x$ dans le quotient de la première division
Le terme constant de ce quotient

Où la démarche dérape

Deux polynômes qui prennent la même valeur en deux points, un raisonnement en trois lignes, et une égalité manifestement fausse.

Deux points ne suffisent pas à un degré deux

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

On pose $P(x) = x^2$ et $Q(x) = 3x - 2$ , et l'on remarque que $P(1) = Q(1) = 1$ et $P(2) = Q(2) = 4$ .

À calculer soi-même

Quatre nombres, tous obtenus sans poser une seule division. Le deuxième est le théorème du reste, qui remplace une division euclidienne entière par une évaluation.

Évaluer plutôt que diviser

1.
Pour $P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$ , combien vaut $P(2)$ ?
2.
Quel est le reste de la division de ce même $P$ par $x - 2$ ?
3.
La somme des carrés des racines de $x^2 - 5x + 6$ .
4.
Dans la décomposition $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}$ , combien vaut $A$ ?

Exercices type

Factoriser

P(x) = x^3 - 7x + 6

Racine évidente : $P(1) = 1 - 7 + 6 = 0$ ✓

Division par $(x - 1)$  : $P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6)$ .

Le trinôme : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , racines $(-1 \pm 5)/2$ = 2 et −3.

$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$

Contrôle : somme des racines $1 + 2 - 3 = 0 = -b/a$ (le coefficient de x² est nul) ✓ ; produit $1\times 2\times (-3) = -6 = -d/a$ ✓

Diviser

x^4 - 3x^3 + 2x - 5

par

x^2 + 1

Le dividende n'a pas de terme en $x^2$  : il faut lui réserver sa colonne et y laisser un blanc.

Un dividende à trou, divisé par un polynôme de degré 2. Le reste vaut 5x − 4, de degré 1, strictement inférieur au degré 2 du diviseur. Une bande grisée sur deux marque les colonnes de degré : c'est cet alignement qui rend la soustraction possible, et un degré absent s'y voit comme un trou.

$x^4 - 3x^3 + 2x - 5 = (x^2+1)(x^2 - 3x - 1) + 5x - 4$

On s'arrête sur $5x - 4$ parce que son degré, 1, est passé sous le degré 2 du diviseur.

Contrôle en $x = 1$  : à gauche $1 - 3 + 2 - 5 = -5$  ; à droite $2 \times (1 - 3 - 1) + 1 = -6 + 1 = -5$ ✓

Pour quelle valeur de m le polynôme

x^3 + mx - 6

est-il divisible par

x - 2

Inutile de poser la division : $(x - 2)$ divise P si et seulement si le reste est nul, et ce reste vaut $P(2)$ .

$P(2) = 8 + 2m - 6 = 2m + 2$

Ce reste est nul pour $m = -1$ .

Vérification : pour $m = -1$ , $P(x) = x^3 - x - 6$ , et $P(2) = 8 - 2 - 6 = 0$ ✓ La division donne alors $P(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 3)$ , et le trinôme restant a un discriminant $4 - 12 = -8 < 0$  : il n'y a pas d'autre racine réelle.

Reste de la division de

x^5 + 2x - 1

par

x - 2

Le reste vaut $P(2) = 32 + 4 - 1 =$ $35$ . Aucune division à poser.

Montrer que 2 est racine double de

P(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4

$P(2) = 8 - 20 + 16 - 4 = 0$ ✓

$P'(x) = 3x^2 - 10x + 8$ , donc $P'(2) = 12 - 20 + 8 = 0$ ✓

2 est donc racine au moins double. Comme $\deg P = 3$ , la dernière racine se lit sur le produit : $x_1x_2x_3 = -d/a = 4$ , donc $2 \times 2 \times x_3 = 4$ et $x_3 = 1$ .

$P(x) = (x - 2)^2(x - 1)$

Factoriser

x^4 - 1

dans ℝ puis dans ℂ

x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Dans ℝ, on s'arrête là : $x^2 + 1$ n'a pas de racine réelle. C'est la factorisation complète sur ℝ.

Dans ℂ, $x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$ , d'où :

$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i)$

Quatre racines pour un degré 4, conformément à d'Alembert, et les deux racines non réelles sont conjuguées.

Signe de

P(x) = (x + 1)(x - 2)^2(x - 3)

Racines : −1 (simple), 2 (double), 3 (simple).

Le polynôme change de signe en −1 et en 3, mais pas en 2. Le coefficient dominant est positif, donc P est positif au-delà de 3.

x	−∞	−1	2	3	+∞
P(x)	+	0 −	0 −	0 +

Autrement dit : positif sur $]-\infty ;-1[$ , négatif sur $]-1;3[$ (en s'annulant au passage en 2 sans changer de signe), positif sur $]3;+\infty [$ .

Décomposer

(3x + 1)/((x - 1)(x + 1))

Forme cherchée : $A/(x-1) + B/(x+1)$ .

× $(x-1)$ , puis $x = 1$  : $A = (3 + 1)/(1 + 1) = 2$
× $(x+1)$ , puis $x = -1$  : $B = (-3 + 1)/(-1 - 1) = 1$

$2/(x-1) + 1/(x+1)$

Contrôle en $x = 0$  : à gauche $1/(-1) = -1$  ; à droite $-2 + 1 = -1$ ✓

La méthode sur feuille

Compter le degré : il dit combien de racines chercher.
Tester les racines évidentes : 0, 1, −1, 2, −2, puis les diviseurs du terme constant.
Diviser par $(x - a)$ pour chaque racine trouvée. Le degré baisse d'un cran à chaque fois, et le schéma de Horner suffit : la potence complète n'est utile que pour un diviseur de degré 2 ou plus.
Arrivé au degré 2, passer au discriminant.
Contrôle avec les relations coefficients-racines : somme et produit. C'est immédiat et ça attrape presque toutes les erreurs.
Pour un signe, factoriser d'abord, puis faire le tableau, en tenant compte des multiplicités paires, qui ne changent pas le signe.
Pour une fraction rationnelle, vérifier d'abord les degrés, diviser si besoin, puis décomposer.

Vérification rapideon peut se reprendre

1. $P(2) = 0$ . Que peut-on en déduire ?

2.Un trinôme du second degré a un discriminant strictement négatif. Que peut-on dire de son signe sur ℝ ?

3.En divisant un polynôme de degré 5 par un polynôme de degré 2, quel est le degré du reste ?

4. $P$ et $Q$ sont de degré 3. Quel est le degré de $P + Q$ ?

Synthèse

Degré : $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$  ; pour une somme, l'inégalité peut être stricte.
Deux polynômes sont égaux ⟺ tous leurs coefficients le sont (identification).
$a$ racine ⟺ $(x - a)$ divise P. Chaque racine fait baisser le degré d'un cran.
Multiplicité : $P(a) = P'(a) = 0$ ⟹ racine au moins double. Multiplicité impaire → changement de signe ; paire → pas de changement.
Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles, et exactement n racines complexes (d'Alembert).
Coefficients réels ⟹ racines complexes conjuguées deux à deux.
Division euclidienne : $A = BQ + R$ avec $\deg R < \deg B$ . On s'arrête quand le degré du reste passe sous celui du diviseur, et c'est aussi la raison pour laquelle le procédé se termine.
Le reste de la division par $(x - a)$ vaut $P(a)$ . Le schéma de Horner donne d'un coup ce reste et le quotient, en une seule ligne de nombres.
Relations racines-coefficients : somme $= -b/a$ , produit $= c/a$ (degré 2). Un contrôle gratuit.
Éléments simples : vérifier les degrés, puis multiplier par un facteur et évaluer en sa racine.

		2x³	− 5x²	+ 3x	− 4	x − 3
2x² × (x − 3)	−	2x³	− 6x²			2x² + x + 6
			x²	+ 3x	− 4
x × (x − 3)	−		x²	− 3x
				6x	− 4
6 × (x − 3)	−			6x	− 18
					14

		x⁴	− 3x³		+ 2x	− 5	x² + 1
x² × (x² + 1)	−	x⁴		+ x²			x² − 3x − 1
			−3x³	− x²	+ 2x	− 5
−3x × (x² + 1)	−		−3x³		− 3x
				−x²	+ 5x	− 5
−1 × (x² + 1)	−			−x²		− 1
					5x	− 4

		x³	− 4x²	+ x	+ 6	x + 1
x² × (x + 1)	−	x³	+ x²			x² − 5x + 6
			−5x²	+ x	+ 6
−5x × (x + 1)	−		−5x²	− 5x
				6x	+ 6
6 × (x + 1)	−			6x	+ 6
					0

		x⁴		+ 2x²	− 3x	+ 1	x² − x + 2
x² × (x² − x + 2)	−	x⁴	− x³	+ 2x²			x² + x + 1
			x³		− 3x	+ 1
x × (x² − x + 2)	−		x³	− x²	+ 2x
				x²	− 5x	+ 1
1 × (x² − x + 2)	−			x²	− x	+ 2
					−4x	− 1

		x²			x − 1
x × (x − 1)	−	x²	− x		x + 1
			x
1 × (x − 1)	−		x	− 1
				1

Définitions

Racines et factorisation

Chercher une racine évidente

Multiplicité

Combien de racines

La division euclidienne

Un contrôle qui coûte trois secondes

La division synthétique : diviser par (x−a)(x - a)(x−a) sans potence

Relations entre coefficients et racines

Identités remarquables utiles

Signe d'un polynôme

Décomposition en éléments simples

Reste et quotient, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique

La division synthétique : diviser par $(x - a)$ sans potence