Matrices et systèmes linéaires

Ce qu'est une matrice

L'ordre est toujours lignes × colonnes, et on ne s'en écarte jamais.

Quelques matrices portent un nom : carrée (n = p), nulle (tous les coefficients nuls), identité $I_n$ (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs), diagonale, triangulaire (tous les coefficients nuls d'un côté de la diagonale).

Ce qu'une matrice fait, plutôt que ce qu'elle contient. Un tableau de nombres ne dit rien. Une matrice carrée d'ordre 2 est une déformation du plan, et ses colonnes sont les images des deux vecteurs de base. Tout le reste du chapitre devient plus simple une fois cette lecture acquise : le produit est une composition de déformations, le déterminant un facteur d'aire, et l'inverse la déformation qui ramène en arrière.

Opérations

Addition et multiplication par un nombre

Coefficient par coefficient, et seulement entre matrices de même taille.

$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$   et   $(kA)_{ij} = k a_{ij}$

Le produit matriciel

C'est l'opération qui n'a rien d'intuitif, et celle qu'il faut maîtriser.

La règle mécanique. Pour obtenir le coefficient en position (i, j) : prendre la ligne i de A et la colonne j de B, multiplier leurs coefficients terme à terme, puis additionner. « Ligne fois colonne » : c'est la seule chose à retenir.

Exemple travaillé. La difficulté de cette règle n'est pas de la retenir, c'est de la faire : disposées côte à côte, la ligne de A et la colonne de B ne se rencontrent nulle part sur la feuille, et l'œil doit tenir deux repérages à la fois.

La disposition ci-dessous supprime ce problème. B est posée en haut à droite, A en bas à gauche, et le résultat vient naturellement en bas à droite : chaque case du produit se trouve alors très exactement au croisement de la ligne et de la colonne qui la fabriquent.

La case mise en évidence est celle de la ligne 2 et de la colonne 1 : on lit la ligne 2 de A, soit (3, 4), la colonne 1 de B, soit (5, 7), et l'on obtient $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$. Cliquer une autre case du résultat pour suivre son calcul.

Le format du résultat, lui, ne se devine pas : il n'a aucune raison d'être celui des facteurs. Sur un cas rectangulaire, cela saute aux yeux.

Les deux 3 intérieurs se répondent, c'est ce qui autorise le produit ; les deux extérieurs, 2 et 2, donnent le format du résultat. D'où le contrôle à faire avant tout calcul : écrire $(n \times p)(p \times q) = (n \times q)$, vérifier que les deux nombres du milieu sont égaux, et lire le format du résultat aux extrémités.

Transposée

Attention à l'inversion de l'ordre dans un produit : ${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$. Une matrice est dite symétrique si ${}^tA = A$. C'est le cas de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté, dont les puissances comptent les chemins.

Déterminant

Le déterminant est un nombre attaché à une matrice carrée. Il répond à une seule question, mais essentielle : la matrice est-elle inversible ?

Ordre 2

Le produit de la diagonale descendante, moins celui de la diagonale montante. C'est déjà la règle de Sarrus, sur deux lignes au lieu de trois.

Ordre 3 : la règle de Sarrus

On recopie les deux premières colonnes à droite du tableau. Les six diagonales de trois cases apparaissent alors toutes, sans avoir à sortir du rectangle.

On additionne les trois diagonales descendantes, de gauche à droite, et l'on soustrait les trois montantes :

Sur des nombres, le total se construit diagonale après diagonale, et le déterminant est simplement la dernière valeur affichée.

Développement suivant une ligne ou une colonne

$\det A = \sum (-1)^{i+j} a_{ij} \times D_{ij}$, où $D_{ij}$ est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j.

Les signes $(-1)^{i+j}$ s'organisent en damier, en commençant par un $+$ en haut à gauche :

Inutile de calculer la puissance : on part du coin supérieur gauche et l'on alterne d'une case à l'autre, comme sur un échiquier.

Ce que le déterminant dit

L'interprétation géométrique. La valeur absolue du déterminant est le facteur par lequel la matrice multiplie les aires (ordre 2) ou les volumes (ordre 3). À l'ordre 3, c'est le produit mixte de ses trois colonnes. Un déterminant nul signifie que la transformation écrase l'espace : elle aplatit le plan sur une droite, ou l'espace sur un plan. On perd de l'information, et c'est exactement pour cela qu'on ne peut plus revenir en arrière. La matrice n'est pas inversible.

Trois matrices, trois déterminants, et la même lecture à chaque fois : l'aire du carré teinté.

Deux propriétés utiles : $\det(AB) = \det A \times \det B$, et $\det({}^tA) = \det A$. En revanche, $\det(A + B) \neq \det A + \det B$.

Inverse d'une matrice

Pour une matrice $2 \times 2$, la formule est à connaître par cœur :

La recette parlée : on échange a et d, on change le signe de b et c, on divise par le déterminant.

Exemple travaillé. Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\det A = 4 - 6 = -2$, donc :

Contrôle : $A A^{-1} = I$ ✓, et c'est une vérification qu'il faut toujours faire, elle coûte quatre multiplications.

Au-delà de l'ordre 2, on inverse par le pivot de Gauss : on écrit $(A | I)$ côte à côte et on applique les mêmes opérations aux deux moitiés jusqu'à obtenir $(I | A^{-1})$.

Exemple travaillé. Inverser $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, dont le déterminant vaut 1.

La moitié gauche est devenue l'identité : la moitié droite est l'inverse, $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

La première descente fait les zéros sous la diagonale, comme pour un système ; la seconde remonte et fait ceux au-dessus. C'est la seule différence avec le pivot ordinaire, où l'on s'arrête à la forme triangulaire. Contrôle sur une case : la ligne 3 de $A$ par la colonne 3 de $A^{-1}$ donne $1 \times (-1) + 0 + 2 \times 1 = 1$ ✓

Systèmes linéaires

L'écriture matricielle

Un système comme

s'écrit $AX = B$ avec :

Toute l'information est dans A et B ; les lettres x, y, z ne servent plus à rien pendant la résolution. C'est précisément l'intérêt de l'écriture matricielle.

Si A est inversible, la solution est unique et vaut $X = A^{-1} B$. Mais en pratique on ne calcule presque jamais l'inverse : le pivot de Gauss est plus rapide et plus sûr.

Le pivot de Gauss

On travaille sur la matrice augmentée $(A | B)$, c'est-à-dire le tableau des coefficients avec la colonne du second membre ajoutée à droite.

Exemple travaillé sur le système ci-dessus. Avancer d'une étape à l'autre : à chaque fois, l'opération est écrite en dessous, la ligne qu'elle modifie est en orange, et la ligne du pivot dont elle se sert est en vert. Cette dernière ne change pas, ce qui est la source d'erreur la plus fréquente : on croit avoir consommé le pivot alors qu'il reste disponible pour la ligne suivante.

Les deux premières opérations font les zéros de la première colonne, avec le pivot 2 ; la troisième fait celui de la deuxième colonne, avec le pivot 1/2. La matrice est alors triangulaire et la remontée donne la solution, affichée à la dernière étape.

Le système est tiré au sort, et un autre s'obtient à la demande : c'est le seul moyen de savoir si l'on a compris le procédé plutôt que retenu une suite de nombres. Ce qui est demandé n'est pas la matrice obtenue mais le multiplicateur, parce que c'est lui qui se trompe : on divise par le pivot et l'on oublie de changer le signe. La matrice, elle, est calculée et affichée, de sorte qu'une erreur ne se propage pas sur trois étapes.

Le détail de la remontée : la dernière ligne donne $-z = 1$, donc $z = -1$. La deuxième donne $(1/2)y + (1/2)(-1) = 1$, donc $y = 3$. La première donne $2x + 3 + 1 = 8$, donc $x = 2$.

Contrôle dans la troisième équation d'origine : $-4 + 3 - 2 = -3$ ✓

Deux réflexes de méthode.

Choisir un bon pivot. Si on peut échanger des lignes pour avoir un 1 en tête, le faire : on s'épargne toutes les fractions.
Écrire l'opération à côté de chaque ligne ($L_3 \leftarrow L_3 - 4L_2$). C'est ce qui rend le calcul relisible, et c'est ce qui permet de retrouver l'erreur quand le contrôle final échoue.

Les formules de Cramer

Pour un système carré de petite taille dont le déterminant n'est pas nul, chaque inconnue s'obtient directement par un quotient de deux déterminants.

Exemple travaillé. Le système $2x + 3y = 8$ et $x + 4y = 9$.

1. $\det A = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 5$, non nul : la solution est unique.
2. Pour $x$, on remplace la première colonne par $(8 ; 9)$ : $\det A_1 = 8 \times 4 - 3 \times 9 = 5$, donc $x = 5/5 = 1$.
3. Pour $y$, on remplace la seconde : $\det A_2 = 2 \times 9 - 8 \times 1 = 10$, donc $y = 10/5 = 2$.

Contrôle dans la seconde équation : $1 + 4 \times 2 = 9$ ✓

Discuter le nombre de solutions

À la fin du pivot, on lit le résultat sur la dernière ligne non nulle :

Le lien avec le déterminant, pour un système carré : $\det A \neq 0$ ⟺ solution unique. Si $\det A = 0$, c'est zéro ou une infinité, et seul le pivot permet de trancher.

Quand il y a une infinité de solutions, on exprime les inconnues « principales » (celles qui portent un pivot) en fonction des autres, appelées paramètres. Le nombre de paramètres est $\text{nombre d'inconnues} - \text{rang}$.

Valeurs propres et directions invariantes

Tout ce qui précède traite la matrice comme un tableau sur lequel on applique des recettes. Cette section la traite comme ce qu'elle est : une déformation du plan. La question devient alors naturelle, et c'est la plus utile de tout le chapitre.

Sur la figure, la matrice étire le plan dans une direction et le comprime dans une autre. Les deux droites en pointillés sont celles qui ne bougent pas : un vecteur posé dessus ressort dessus, plus long ou plus court, jamais ailleurs. Toutes les autres directions, elles, pivotent.

Les trouver, pour une matrice d'ordre 2

Chercher $\lambda$ tel que $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ revient à chercher $\lambda$ tel que $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ ait une solution non nulle. Or une matrice qui envoie un vecteur non nul sur zéro aplatit le plan : son déterminant est nul.

L'équation caractéristique. Pour une matrice d'ordre deux, det(A moins lambda I) = 0 se développe en lambda au carré moins (trace) lambda plus (déterminant) = 0, où la trace est la somme des deux coefficients de la diagonale. Deux nombres du tableau suffisent donc : sa trace et son déterminant.

Exemple travaillé. Pour $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, la trace vaut 7 et le déterminant $4 \times 3 - 1 \times 2 = 10$. L'équation devient $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$, dont les solutions sont $2$ et $5$.

Deux contrôles gratuits, et il faut les faire : la somme des valeurs propres doit rendre la trace, leur produit doit rendre le déterminant. Ici $2 + 5 = 7$ et $2 \times 5 = 10$.

Les vecteurs propres

Une valeur propre connue, la direction correspondante se trouve en résolvant $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$. Ce système a un déterminant nul, par construction : ses deux équations sont proportionnelles, et une seule suffit.

Exemple travaillé. Pour la même matrice et $\lambda = 5$ :

La première ligne donne $-x + y = 0$, soit $y = x$, et la seconde dit la même chose au facteur $-2$ près. Un vecteur propre est $\vec{v} = (1 ; 1)$. Contrôle : $A\vec{v} = (4 + 1 ; 2 + 3) = (5 ; 5) = 5\vec{v}$ ✓

Pour $\lambda = 2$, $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ donne $2x + y = 0$, et $\vec{v} = (1 ; -2)$. Contrôle : $A\vec{v} = (4 - 2 ; 2 - 6) = (2 ; -4) = 2\vec{v}$ ✓

Un vecteur propre n'est défini qu'à un facteur près : $(2 ; 2)$ ou $(-3 ; -3)$ conviennent aussi bien que $(1 ; 1)$. Ce qui est déterminé, c'est la droite, et c'est elle que la figure trace en pointillés.

Quand il n'y en a pas

Le discriminant de $\lambda^2 - \lambda\,\mathrm{tr} + \det$ peut être négatif, et il n'existe alors aucune direction invariante réelle. C'est précisément le cas des rotations, et ce n'est pas une curiosité : c'est la raison pour laquelle un système mécanique oscille. Les valeurs propres complexes du système décrivent une rotation dans le plan position-vitesse, et cette rotation est l'oscillation elle-même. Le chapitre sur les oscillations retrouve exactement ce discriminant, sous le nom d'équation caractéristique de l'équation différentielle.

Le déterminant, autant de fois qu'il faut

Le déterminant d'ordre 2 se calcule de tête. Ce qui ne se calcule pas de tête, c'est ce qu'il devient quand la matrice est doublée, élevée au carré ou inversée, et ce sont précisément les trois questions qui tombent.

La deuxième question est le piège du chapitre : doubler une matrice double ses deux lignes, et le déterminant est multiplié une fois par ligne. Pour une matrice d'ordre $n$, le facteur est $\lambda^n$.

La méthode sur feuille

1. Vérifier les tailles avant tout produit : colonnes de A = lignes de B, sinon le produit n'existe pas.
2. Pour savoir si un système a une solution unique, calculer d'abord le déterminant. Nul → il faudra discuter.
3. Pour résoudre, utiliser le pivot de Gauss sur la matrice augmentée, pas l'inverse : c'est plus rapide et moins sujet aux erreurs.
4. Choisir les pivots pour éviter les fractions, et noter chaque opération en marge.
5. Contrôler toujours : réinjecter la solution dans une équation de départ (de préférence celle qu'on a le moins utilisée), et vérifier $A A^{-1} = I$ après une inversion.
6. Pour une infinité de solutions, paramétrer proprement et compter : $\text{nombre de paramètres} = \text{inconnues} - \text{rang}$.

Mettre en pratique

Quatre calculs qui se posent à la main en quelques lignes. Le déterminant d'ordre trois est celui sur lequel on se trompe le plus, et pour une raison mécanique : trois produits, trois signes, et une seule inattention suffit.