Géométrie : vecteurs, droites et plans

Vecteurs : ce que c'est vraiment

C'est la différence essentielle avec un point. Un point est quelque part ; un vecteur, non : il dit seulement « avance de tant, dans telle direction ». Le vecteur qui va du point A au point B se note $\overrightarrow{AB}$ et se calcule en soustrayant les coordonnées :

Où vivent ces coordonnées

Parler de « coordonnées » suppose un cadre, et il vaut mieux le nommer une fois pour toutes.

Opérations de base

Dans un tel repère, tout se fait coordonnée par coordonnée :

• Addition : $u + v = (u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)$. Géométriquement, on met les flèches bout à bout.
• Multiplication par un réel : $k\cdot u = (k u_1, k u_2, k u_3)$. La flèche s'allonge (|k| > 1), se raccourcit (|k| < 1), ou change de sens (k < 0), mais garde sa direction.

L'addition se lit sur la figure : la somme est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. C'est la même chose que de mettre les flèches bout à bout, et c'est pourquoi l'ordre des deux termes n'a aucune importance.

Norme

C'est Pythagore, appliqué deux fois dans l'espace. Un vecteur de norme 1 est dit unitaire ; pour rendre unitaire un vecteur non nul, on le divise par sa norme : $u / \|u\|$. On appelle ça normer le vecteur, et c'est un réflexe utile : dans beaucoup de formules, on ne s'intéresse qu'à la direction.

Colinéarité

En pratique, on vérifie que les coordonnées sont proportionnelles. Dans le plan, il existe un test plus rapide : le déterminant.

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul. Sa valeur absolue est par ailleurs l'aire du parallélogramme construit sur u et v, ce qui explique le test : une aire nulle signifie que le parallélogramme est aplati, donc que les deux vecteurs sont alignés.

Le produit scalaire

C'est l'outil qui mesure à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction.

C'est la coexistence de ces deux formules qui fait toute la puissance de l'outil : on calcule à gauche avec les coordonnées, et on lit à droite une information géométrique.

Ce que son signe raconte

Comme les normes sont positives, le signe du produit scalaire est celui de $\cos \theta$ :

Le tableau ci-dessus se vérifie à la main. En déplaçant le second vecteur autour du premier, l'angle affiché passe sous puis au-dessus de 90°, et c'est précisément là que le produit scalaire change de signe.

Calculer un angle

En égalant les deux formules, on isole le cosinus :

Exemple travaillé. Soit $u = (1, 2, 2)$ et $v = (3, 0, 4)$.

1. $u \cdot v = 1\times 3 + 2\times 0 + 2\times 4 = 11$
2. $\|u\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ et $\|v\| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$
3. $\cos \theta = 11 / 15 \approx 0{,}733$, donc $\theta \approx 42{,}8^{\circ}$

Propriétés à connaître

• Symétrique : $u \cdot v = v \cdot u$
• Bilinéaire : $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ et $(u + w) \cdot v = u\cdot v + w\cdot v$. On développe comme une multiplication ordinaire
• $u \cdot u = \|u\|^2$ : c'est ainsi qu'on transforme une longueur en produit scalaire

Cette dernière égalité sert à démontrer proprement : $\|u + v\|^2 = (u+v)\cdot (u+v) = \|u\|^2 + 2 u\cdot v + \|v\|^2$. Quand u et v sont orthogonaux, le terme du milieu disparaît et on retrouve Pythagore.

La projection orthogonale

C'est l'usage que la physique fait le plus du produit scalaire, et il découle directement de la formule par l'angle.

La formule se lit en deux temps. Le quotient $u \cdot v / \lVert v \rVert$ vaut $\lVert u \rVert \cos\theta$, c'est-à-dire exactement la longueur de l'ombre que $u$ porte sur la direction de $v$. La seconde division par $\lVert v \rVert$ ne sert qu'à normer $v$ : elle donne la direction sans rien ajouter à la longueur.

Exemple travaillé. Projeter $u = (4 ; 3)$ sur $v = (5 ; 0)$, c'est-à-dire sur l'axe des abscisses.

$u \cdot v = 20$ et $\lVert v \rVert^2 = 25$, donc $p = \frac{20}{25} v = (4 ; 0)$. On retrouve l'abscisse de $u$, ce qui est le contrôle le plus simple de la formule : projeter sur l'axe des x, c'est lire la première coordonnée.

Une remarque que la figure rend visible et qui sépare pour de bon les deux quantités : doubler la longueur de $u$ double le produit scalaire, mais ne change pas l'angle d'un degré. Le produit scalaire mesure à la fois l'orientation et les longueurs, là où l'angle ne retient que l'orientation.

Le produit vectoriel

Réservé à l'espace (dimension 3). Là où le produit scalaire renvoie un nombre, celui-ci renvoie un vecteur.

En coordonnées, avec $u = (u_1, u_2, u_3)$ et $v = (v_1, v_2, v_3)$ :

La figure ci-dessous montre ce que les coordonnées ne disent pas : où pointe le résultat. Le vecteur orange est calculé par la figure elle-même à partir des deux autres, il n'est pas dessiné à la main.

Propriétés

• Antisymétrique : $v \wedge u = - (u \wedge v)$. L'ordre compte, contrairement au produit scalaire.
• $u \wedge u = 0$ (vecteur nul).
• $u \wedge v = 0$ si et seulement si u et v sont colinéaires. C'est le test de colinéarité dans l'espace.
• $u \cdot (u \wedge v) = 0$ : le résultat est bien perpendiculaire aux deux vecteurs de départ, un contrôle en trois multiplications.

Une cinquième propriété, que l'on n'énonce jamais et qui se paie cher : le produit vectoriel n'est pas associatif. Déplacer les parenthèses change le résultat, et un contre-exemple de trois vecteurs le montre en une ligne.

Soit $a = (1 ; 0 ; 0)$, $b = (2 ; 0 ; 0)$ et $c = (0 ; 1 ; 0)$. Les vecteurs $a$ et $b$ sont colinéaires, donc $a \wedge b = 0$, donc $(a \wedge b) \wedge c = 0$. En revanche $b \wedge c = (0 ; 0 ; 2)$, et $a \wedge (b \wedge c) = (0 ; -2 ; 0)$, qui n'est pas nul.

Ce qu'on en fait

Le produit mixte

La justification tient en une phrase, et elle réutilise la projection vue plus haut. La norme de $v \wedge w$ est l'aire de la base, et $v \wedge w$ est perpendiculaire à cette base ; le produit scalaire par $u$ projette donc $u$ sur cette perpendiculaire, c'est-à-dire mesure la hauteur. Aire de la base multipliée par la hauteur : c'est bien un volume.

Deux conséquences utiles. Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires, puisqu'un volume nul signifie un parallélépipède aplati : c'est le test de coplanarité. Et son signe indique l'orientation du triplet, positif pour un repère direct.

Exemple travaillé. Calculer le volume du parallélépipède construit sur $u = (1 ; 1 ; 2)$, $v = (2 ; 0 ; 0)$ et $w = (0 ; 2 ; 0)$.

1. On calcule d'abord le produit vectoriel des deux vecteurs de la base, ici $v$ et $w$ : $v \wedge w = (0 \times 0 - 0 \times 2 \,;\, 0 \times 0 - 2 \times 0 \,;\, 2 \times 2 - 0 \times 0) = (0 ; 0 ; 4)$.
2. Sa norme vaut 4 : c'est l'aire de la base, le carré de côté 2 posé dans le plan horizontal.
3. On le multiplie scalairement par le troisième vecteur : $u \cdot (0 ; 0 ; 4) = 2 \times 4 = 8$.
4. Le volume est donc 8.

Le contrôle se lit sur la figure. La base est un carré d'aire 4. La hauteur est la part de $u$ qui s'élève au-dessus de cette base, c'est-à-dire sa troisième coordonnée, 2. Aire fois hauteur donne bien $4 \times 2 = 8$.

Notons que le solide n'est pas un pavé droit : $u$ penche, puisqu'il avance aussi de 1 en x et de 1 en y. Cela ne change rien au volume, et c'est justement ce que le produit mixte sait voir. Un solide incliné et un pavé droit de même base et même hauteur ont le même volume.

Exemple travaillé : aire d'un triangle. A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

1. $\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$ et $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$.
2. $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (2\times 3 - 0\times 0 , 0\times (-1) - (-1)\times 3 , (-1)\times 0 - 2\times (-1)) = (6, 3, 2)$
3. Contrôle : $\overrightarrow{AB} \cdot (6{,}3,2) = -6 + 6 + 0 = 0$ ✓
4. $\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$
5. L'aire du triangle est la moitié de celle du parallélogramme : $7/2 = 3{,}5$.

Droites et plans de l'espace

La droite

Une droite est déterminée par un point A et un vecteur directeur u. Un point M est sur la droite si $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à u, ce qui donne la représentation paramétrique :

Le paramètre t est une position sur la droite : t = 0 donne A, t = 1 donne le point A + u, t négatif donne les points de l'autre côté.

Le plan

Un plan est déterminé par un point A et un vecteur normal n (perpendiculaire au plan). Un point M est dans le plan si $\overrightarrow{AM} \cdot n = 0$. En développant, on obtient l'équation cartésienne :

Le coefficient $d$ se trouve en injectant les coordonnées d'un point connu du plan.

Trois lectures sur cette figure. Le plan s'appuie sur les axes : il les coupe en A, B et C, et ces trois points sont exactement ceux de l'exemple travaillé ci-dessus, ce qui n'est pas un hasard puisqu'on obtient chacun en annulant les deux autres coordonnées dans l'équation. La normale sort du plan au lieu de glisser dessus, et seul le symbole d'angle droit le dit. Enfin, la partie des axes tracée en pointillé est celle qui plonge derrière le plan : l'origine est de l'autre côté, et c'est ce qui donne son relief à la scène.

Le plan sous forme paramétrique

L'équation cartésienne n'est pas la seule écriture. Un plan est aussi déterminé par un point A et deux vecteurs directeurs non colinéaires, ce qui donne, avec deux paramètres :

Les deux formes se répondent, et le passage de l'une à l'autre est mécanique.

Intersection d'une droite et d'un plan

C'est l'exercice type du chapitre, et il se déroule toujours de la même façon : on injecte la paramétrique dans la cartésienne, ce qui donne une équation à une inconnue, le paramètre.

Exemple travaillé. La droite passant par $A(0 ; 0 ; 0)$ de directeur $u = (1 ; 1 ; 1)$, et le plan $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

1. La droite s'écrit $x = t$, $y = t$, $z = t$.
2. On injecte : $6t + 3t + 2t - 6 = 0$, soit $11t = 6$.
3. Donc $t = 6/11$, et le point d'intersection est $(6/11 ; 6/11 ; 6/11)$.
4. Contrôle en réinjectant : $6 \times \frac{6}{11} + 3 \times \frac{6}{11} + 2 \times \frac{6}{11} = \frac{66}{11} = 6$ ✓

Exemple travaillé : équation du plan passant par A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

1. Un vecteur normal est $n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (6, 3, 2)$ (calculé plus haut).
2. L'équation est donc de la forme $6x + 3y + 2z + d = 0$.
3. On y injecte A : $6\times 1 + 0 + 0 + d = 0$, donc $d = -6$.
4. Le plan a pour équation $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.
5. Contrôle avec B : $0 + 6 + 0 - 6 = 0$ ✓ ; avec C : $0 + 0 + 6 - 6 = 0$ ✓

Positions relatives

Notons le renversement, qui est la principale source d'erreurs : pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il faut que son directeur soit orthogonal à la normale. C'est logique dès qu'on se rappelle que la normale est perpendiculaire au plan, mais dans le feu du calcul, on écrit l'inverse une fois sur deux.

Deux droites qui ne sont ni parallèles ni sécantes

Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent, toujours. Dans l'espace, c'est faux, et c'est la première intuition que la troisième dimension prend en défaut. Deux droites peuvent n'être ni parallèles ni sécantes : l'une passe au-dessus de l'autre sans jamais la rencontrer. On les dit alors non coplanaires, parce qu'aucun plan ne les contient toutes les deux.

Le test ne demande aucun outil nouveau, c'est le produit mixte. Pour une droite passant par $A$ et dirigée par $u$, et une autre passant par $B$ et dirigée par $v$, il faut regarder $\det(u, v, \overrightarrow{AB}) = u \cdot (v \wedge \overrightarrow{AB})$.

La lecture est géométrique et vaut mieux que le tableau. Le produit mixte est le volume du parallélépipède construit sur $u$, $v$ et $\overrightarrow{AB}$. Un volume nul signifie que les trois vecteurs tiennent dans un même plan, donc que les deux droites aussi. Un volume non nul signifie qu'il a fallu sortir du plan pour passer de l'une à l'autre.

Exemple travaillé. $D$ passe par $A(0 ; 0 ; 0)$ et est dirigée par $u = (1 ; 1 ; 0)$. $D'$ passe par $B(2 ; 0 ; 0)$ et est dirigée par $v = (0 ; 1 ; 1)$.

1. $\overrightarrow{AB} = (2 ; 0 ; 0)$.
2. $v \wedge \overrightarrow{AB} = (1 \times 0 - 1 \times 0 \,;\, 1 \times 2 - 0 \times 0 \,;\, 0 \times 0 - 1 \times 2) = (0 ; 2 ; -2)$.
3. $u \cdot (0 ; 2 ; -2) = 0 + 2 + 0 = 2$. Ce n'est pas nul : les droites sont non coplanaires.

Le système donne le même verdict, plus lentement. Un point commun vérifierait à la fois $t = 2$, $t = s$ et $0 = s$, donc $t = 2$ et $t = 0$ : il n'y a pas de solution.

Distance d'un point à un plan

Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et un point $M(x_0 ; y_0 ; z_0)$ :

L'interprétation : on injecte le point dans l'équation (ce qui donne 0 s'il est dans le plan, et une valeur d'autant plus grande qu'on s'en éloigne), puis on divise par la norme du vecteur normal pour obtenir une vraie longueur. La valeur absolue est indispensable : une distance est positive.

La distance d'un point à un plan est la longueur du plus court chemin, et ce chemin est perpendiculaire au plan. C'est ce que la figure montre, et c'est de là que vient la formule.

Exemple travaillé. Distance du point $M(3 ; 2 ; 3)$ au plan d'équation $x + y + z - 3 = 0$.

1. On injecte M dans l'équation : $3 + 2 + 3 - 3 = 5$. Ce nombre n'est pas encore une distance : il dépend de l'échelle des coefficients.
2. La norme du vecteur normal $n = (1 ; 1 ; 1)$ vaut $\sqrt{3}$.
3. La distance est donc $|5| / \sqrt{3} \approx 2{,}89$.

Le contrôle qui vaut la peine : multiplier toute l'équation par 10 donnerait $10x + 10y + 10z - 30 = 0$, qui décrit exactement le même plan. Le numérateur deviendrait 50 et la norme $10\sqrt{3}$, et le quotient resterait $2{,}89$. C'est précisément le rôle de la division par la norme.

Les coordonnées du projeté orthogonal

La formule précédente dit de combien le point est éloigné du plan. Elle ne dit pas où il se projette. Le point $H$, pied de la perpendiculaire, s'obtient en trois temps, et cette méthode se programme telle quelle.

1. Écrire la droite passant par $M$ et dirigée par la normale $n$ : ses points sont $M + t\,n$.
2. Injecter ces coordonnées dans l'équation du plan. Il en sort une équation du premier degré en $t$, donc une valeur unique.
3. Reporter cette valeur dans la droite. Le point obtenu est $H$.

Exemple travaillé. Projeté de $M(3 ; 2 ; 3)$ sur le plan $x + y + z - 3 = 0$, celui de l'exemple précédent.

1. La normale est $n = (1 ; 1 ; 1)$, donc les points de la droite s'écrivent $(3 + t ; 2 + t ; 3 + t)$.
2. Injection : $(3 + t) + (2 + t) + (3 + t) - 3 = 0$, soit $5 + 3t = 0$, donc $t = -5/3$.
3. $H = (3 - 5/3 \,;\, 2 - 5/3 \,;\, 3 - 5/3) = (4/3 \,;\, 1/3 \,;\, 4/3)$.

Le contrôle boucle avec le calcul précédent : $\overrightarrow{MH} = (-5/3 ; -5/3 ; -5/3)$, dont la norme vaut $5/\sqrt{3} \approx 2{,}89$. C'est exactement la distance trouvée plus haut, et ce n'est pas une coïncidence : le paramètre $t$ obtenu à l'étape 2 est la distance signée divisée par la norme de la normale.

Distance d'un point à une droite

Pour une droite passant par A et de vecteur directeur u :

L'interprétation : $\lVert \overrightarrow{AM} \wedge u \rVert$ est l'aire du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AM}$ et $u$ ; en divisant par la longueur de la base $\lVert u \rVert$, on obtient la hauteur, c'est-à-dire la distance cherchée.

C'est la formule de l'aire d'un parallélogramme, lue à l'envers. Aire égale base fois hauteur, donc hauteur égale aire divisée par base.

Exemple travaillé. Distance du point $M(1 ; 3 ; 2)$ à la droite passant par l'origine $A(0 ; 0 ; 0)$ et dirigée par $u = (1 ; 1 ; 0)$.

1. $\overrightarrow{AM} = (1 ; 3 ; 2)$, puisque A est l'origine.
2. $\overrightarrow{AM} \wedge u = (3 \times 0 - 2 \times 1 \,;\, 2 \times 1 - 1 \times 0 \,;\, 1 \times 1 - 3 \times 1) = (-2 ; 2 ; -2)$.
3. Sa norme vaut $\sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}$ : c'est l'aire du parallélogramme.
4. La base vaut $\lVert u \rVert = \sqrt{2}$.
5. La distance est donc $2\sqrt{3} / \sqrt{2} = \sqrt{6} \approx 2{,}45$.

Contrôle utile : cette distance doit être inférieure à $\lVert \overrightarrow{AM} \rVert = \sqrt{14} \approx 3{,}74$, puisque la perpendiculaire est le plus court chemin et que A est un point de la droite comme un autre. C'est bien le cas.

Le produit vectoriel, autant de fois qu'il faut

Le moyen mnémotechnique se retient en une minute et s'oublie à la première copie. Ce qui reste, c'est de l'avoir fait. La deuxième coordonnée est celle qui se trompe : c'est la seule des trois dont les indices rompent l'ordre naturel.

La dernière question est le contrôle que personne ne fait et qui coûte trois secondes : le produit vectoriel est orthogonal à ses deux facteurs, donc ce produit scalaire vaut zéro. Une valeur non nulle ne dit pas laquelle des trois coordonnées est fausse, mais elle dit qu'il y en a une.

Où la démarche dérape

Les trois quarts des erreurs de ce chapitre ne sont pas des erreurs de calcul : ce sont des règles appliquées là où elles ne valent pas. En voici une, dans une démarche par ailleurs correcte.

À calculer soi-même

Cinq nombres, tous obtenus avec les trois produits du chapitre. Le dernier est le calcul de distance qu'on retrouve partout, et qui ne demande que le vecteur normal.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Faire un croquis, même approximatif, même dans l'espace. La moitié des erreurs de signe se voient sur un dessin.
2. Calculer d'abord les vecteurs (arrivée moins départ) et les écrire proprement. Une erreur ici invalide tout.
3. Choisir l'outil selon le mot-clé de l'énoncé : perpendiculaire, angle, projection → scalaire. Aire, volume, « normal à », colinéaire → vectoriel.
4. Après un produit vectoriel, vérifier en calculant $u \cdot (u \wedge v)$ : le résultat doit être 0.
5. Pour un plan, lire directement la normale dans les coefficients.
6. Vérifier qu'une distance est positive et qu'un cosinus est entre −1 et 1.

Synthèse

• Un vecteur est un déplacement : direction, sens, longueur. $\overrightarrow{AB}$ = arrivée − départ.
• Norme : $\|u\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$. Un vecteur unitaire s'obtient en divisant par la norme.
• Produit scalaire : $u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = \|u\|\|v\|\cos \theta$. C'est un nombre. Nul ⟺ orthogonaux.
• Produit vectoriel : $u \wedge v$ (indices 23, 31, 12). C'est un vecteur perpendiculaire aux deux. Nul ⟺ colinéaires. Sa norme est l'aire du parallélogramme.
• Projection de $u$ sur $v$ : $\dfrac{u \cdot v}{\lVert v \rVert^2}\, v$. C'est ce qui donne le travail d'une force et toute décomposition sur un axe.
• Produit mixte $u \cdot (v \wedge w)$ : volume du parallélépipède. Nul ⟺ les trois vecteurs sont coplanaires.
• Droite : un point + un vecteur directeur → représentation paramétrique.
• Plan : un point + un vecteur normal → $ax + by + cz + d = 0$, où $(a,b,c)$ est la normale. Ou un point + deux directeurs, sous forme paramétrique.
• Intersection droite-plan : injecter la paramétrique dans la cartésienne, résoudre en $t$. Le coefficient $u \cdot n$ décide du nombre de solutions.
• Toutes les formules de coordonnées supposent un repère orthonormé.
• Distance point-plan : $|ax_0+by_0+cz_0+d| / \sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Point-droite : $\|\overrightarrow{AM} \wedge u\| / \|u\|$.
• Droite parallèle à un plan ⟺ directeur orthogonal à la normale. Attention au renversement.