Les sources réelles · Électricité

Jusqu'ici, une source de 12 V délivrait 12 V, quoi qu'on lui demande. Cette hypothèse est commode et elle est fausse : une pile neuve affiche 1,5 V à vide et nettement moins dès qu'une lampe y est branchée, un chargeur de portable s'effondre quand deux appareils y sont reliés, une batterie de voiture fait baisser les phares au moment du démarrage.

Ce chapitre ajoute au modèle la seule chose qui manquait, une résistance interne, et cette unique résistance explique tous ces phénomènes d'un coup. Elle explique aussi pourquoi un court-circuit est dangereux sans être infini, et pourquoi le rendement d'une alimentation chute exactement là où elle délivre le plus de puissance.

Ce qu'une source idéale promet, et ne tient pas

Une source idéale de tension impose sa tension entre ses bornes, quel que soit le courant qu'on lui tire. C'est une abstraction utile, et une impossibilité physique : elle délivrerait une puissance infinie dans un court-circuit.

La réalité se constate en deux mesures. Un voltmètre posé sur une pile de 4,5 V, seul, affiche à peu près 4,5 V. Une lampe branchée en même temps, et la lecture tombe. Rien n'a changé dans la pile : ce qui a changé est le courant qu'elle débite.

Le modèle de Thévenin d'une source

Une source réelle se modélise par une source idéale de tension $E$ , appelée force électromotrice, en série avec une résistance interne $r$ .

La tension disponible aux bornes vaut alors :

$U = E - r\,I$

La résistance interne n'est pas un composant ajouté : elle représente ce qui, dans la source, s'oppose au passage du courant. Pour une pile, c'est la résistance de l'électrolyte et des contacts ; pour une alimentation, celle de ses étages de sortie ; pour un capteur, celle de son pont de mesure.

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	9 V	7,5 V	750 mA	5,63 W
RA → M	10 Ω	7,5 V	750 mA	5,63 W

Potentiels : A = 7,5 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Une source de 9 V dont la résistance interne vaut 2 Ω, débitant dans 10 Ω. La ligne de la source porte la tension réellement disponible, plus faible que les 9 V déclarés.

À manipuler

Comparer la tension de la source dans le tableau aux 9 V déclarés sur le schéma : l'écart est la chute interne.
Le courant vaut

9 / (2 + 10) = 0{,}75

A, et la chute interne

2 \times 0{,}75 = 1{,}5

V. Il reste 7,5 V pour la charge, ce que confirme la ligne de la résistance.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une pile de 1,5 V a une résistance interne de 0,5 Ω. Que lit un voltmètre à ses bornes lorsqu'elle débite 0,4 A ?

La caractéristique, et ce qu'on y lit

La relation $U = E - rI$ est une droite décroissante, et cette droite résume toute la source.

Deux points remarquables

À vide, le courant est nul : la tension vaut $E$ . C'est l'ordonnée à l'origine, et c'est ce que mesure un voltmètre seul, puisqu'il ne tire presque rien.
En court-circuit, la tension est nulle : le courant vaut $E / r$ . C'est l'abscisse à l'origine, et c'est le courant maximal que la source peut débiter.
La pente de la droite vaut $-r$  : plus la résistance interne est faible, plus la caractéristique est plate, et plus la source se rapproche de l'idéal.

Ces deux points suffisent à tracer la droite, donc à prévoir le comportement de la source pour n'importe quelle charge. Ils expliquent aussi pourquoi un court-circuit ne produit pas un courant infini : il produit $E/r$ , ce qui est fini, souvent considérable, et suffisant pour détruire quelque chose.

Trois sources, trois comportements

Source	$E$	$r$	Courant de court-circuit
Pile alcaline usagée	1,5 V	2 Ω	0,75 A
Pile alcaline neuve	1,5 V	0,3 Ω	5 A
Batterie de voiture	12 V	0,01 Ω	1 200 A

La force électromotrice d'une pile usagée ne s'effondre presque pas : c'est sa résistance interne qui monte. Un voltmètre seul la déclare donc bonne, et elle ne tient plus sous charge. C'est la raison pour laquelle un testeur de piles y branche une charge pendant la mesure.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une pile mesurée à vide affiche 1,48 V, presque sa valeur nominale, mais ne fait plus fonctionner l'appareil. Quelle est l'explication la plus probable ?

La chute en charge, chiffrée

La question pratique n'est pas « la source est-elle idéale », elle ne l'est jamais, mais « de combien s'en écarte-t-elle dans ce montage ».

L'écart relatif vaut $r I / E$ , et il se compare directement au rapport de $r$ à la résistance de charge.

La règle de décision

Une source se comporte à peu près comme une source idéale lorsque sa résistance interne est petite devant la résistance de charge.

Un rapport de dix laisse environ 9 % de chute, un rapport de cent environ 1 %.

C'est exactement la même règle que celle du pont diviseur chargé, et ce n'est pas une coïncidence : dans les deux cas, une résistance en série vient prélever sa part de la tension disponible.

R100 Ω

Valeurs déclarées et grandeurs calculées, composant par composant
Composant	Valeur	Tension	Courant	Puissance
EM → A	5 V	4,95 V	49,5 mA	245 mW
RA → M	100 Ω	4,95 V	49,5 mA	245 mW

Potentiels : A = 4,95 V, M = 0 V. Les grandeurs en gras sont calculées, dans l'orientation portée par les flèches ; une valeur négative signale un sens inverse de celui de la flèche.

Une alimentation de 5 V à résistance interne de 1 Ω. Déplacer le curseur vers les faibles valeurs de charge et regarder la tension de la source s'effondrer pendant que le courant monte.

À manipuler

Poser la charge sur 100 Ω, soit cent fois la résistance interne : la tension disponible est à un pour cent de 5 V.
Descendre à 10 Ω : la chute atteint environ neuf pour cent.
Descendre jusqu'à 1 Ω, soit la valeur de la résistance interne : la source ne délivre plus que la moitié de sa tension, et autant de puissance chauffe l'intérieur de la source que la charge. C'est le point d'adaptation, étudié plus bas.

Puissance maximale et rendement

Deux questions différentes se posent, et les confondre conduit à dimensionner à l'envers.

Le transfert maximal de puissance

La puissance délivrée à la charge est maximale lorsque la résistance de charge égale la résistance interne :

$R = r$

C'est le théorème de l'adaptation d'impédance. Il se démontre en dérivant $P = E^2 R / (R + r)^2$ par rapport à $R$ , et il donne un résultat contre-intuitif : ni une charge très faible ni une charge très grande ne tirent le maximum de puissance.

Le rendement, lui, raconte une autre histoire.

Le rendement

$\eta = \frac{R}{R + r}$

À l'adaptation, $R = r$ , et le rendement vaut donc cinquante pour cent : autant de puissance est dissipée dans la source que dans la charge. C'est le maximum de puissance transmise, et c'est un rendement désastreux.

Lequel vise un montage donné

On cherche la puissance maximale quand la source est faible et qu'il faut en extraire tout ce qu'elle a : un capteur, une antenne, un panneau photovoltaïque.
On cherche le rendement quand l'énergie se paie : une alimentation, un réseau de distribution, une batterie. On y prend alors une charge bien plus grande que la résistance interne, en acceptant de ne pas délivrer le maximum possible.

Une ligne électrique adaptée dissiperait la moitié de l'énergie transportée dans ses câbles. C'est précisément ce que la haute tension évite.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une alimentation de résistance interne 1 Ω débite dans une charge de 1 Ω. Que vaut son rendement ?

Mesurer une résistance interne

Elle ne se mesure pas à l'ohmmètre : un ohmmètre injecte son propre courant et lirait n'importe quoi sur une source active. Elle se déduit de deux points de la caractéristique.

Deux mesures suffisent

À vide, un voltmètre seul lit $U_0 = 4{,}52$ V. Le courant étant négligeable, cette valeur est $E$ .

En charge, une résistance de 10 Ω est branchée, et le voltmètre lit $U_1 = 4{,}20$ V. Le courant vaut alors $4{,}20 / 10 = 0{,}42$ A.

La résistance interne se déduit de la chute :

$r = \frac{E - U_1}{I} = \frac{4{,}52 - 4{,}20}{0{,}42} \approx 0{,}76\ \Omega$

La méthode vaut pour n'importe quelle source, et c'est celle qu'emploie un testeur de piles. Sa précision tient à un point : la charge doit être assez faible pour provoquer une chute mesurable. Une charge de 10 kΩ sur cette pile aurait donné deux lectures identiques et une résistance interne apparemment nulle.

Le court-circuit n'est pas une méthode de mesure

Le courant de court-circuit, $E/r$ , donnerait la résistance interne en une seule mesure. Il ne se pratique pas : sur une batterie de voiture, il vaut plus de mille ampères, fait fondre les conducteurs et peut faire exploser l'accumulateur.

La mesure sous charge modérée donne le même renseignement sans aucun de ces risques.

La méthode

Remplacer la source par son modèle : une force électromotrice en série avec une résistance interne, dès qu'un courant notable est en jeu.
Traiter la résistance interne comme une résistance ordinaire, en série avec le reste du circuit. Aucune règle nouvelle n'est nécessaire.
Calculer le courant sur la résistance totale, résistance interne comprise.
En déduire la tension disponible, $U = E - rI$ , et la comparer à la valeur nominale pour chiffrer l'écart.
Comparer $r$ à la charge : au-delà d'un rapport de cent, la source peut être traitée comme idéale.
Choisir le critère avant de dimensionner : puissance maximale si la source est faible, rendement si l'énergie se paie.

Synthèse

Une source réelle se modélise par une force électromotrice $E$ en série avec une résistance interne $r$ .
La tension disponible vaut $U = E - rI$  : elle diminue quand le courant demandé augmente.
La caractéristique est une droite dont l'ordonnée à l'origine est $E$ , l'abscisse à l'origine $E/r$ , et la pente $-r$ .
Le courant de court-circuit est fini, il vaut $E/r$ , et il est souvent destructeur.
Une pile usagée garde sa force électromotrice : c'est sa résistance interne qui monte, et un voltmètre seul ne le voit pas.
La source se comporte comme idéale quand $r$ est petite devant la charge : un rapport de cent laisse un pour cent d'écart.
La puissance transmise est maximale quand $R = r$ , et le rendement y vaut exactement cinquante pour cent.
On vise la puissance maximale sur une source faible, le rendement dès que l'énergie se paie.
La résistance interne se déduit de deux mesures, à vide et en charge, jamais d'un ohmmètre ni d'un court-circuit.