Les machines thermiques et la borne de Carnot · Thermodynamique

Le second principe a dit ce qui est interdit. Ce chapitre regarde ce qui reste possible, et c'est beaucoup : à partir d'une différence de température, une machine peut produire du travail, refroidir un local, ou chauffer un bâtiment en consommant trois fois moins d'énergie qu'un radiateur.

Les trois machines qui font cela ne diffèrent ni par leur schéma ni par leurs équations. Elles diffèrent par le sens de leurs flux et par ce qu'on décide d'appeler l'effet utile. C'est ce que ce chapitre établit, et c'est pourquoi un coefficient de performance de trois n'a rien d'un miracle.

Trois machines, un seul schéma

Ce qu'elles ont en commun

Toute machine thermique fonctionnant en cycle échange avec deux sources et avec un dispositif mécanique :

elle prélève ou dépose une chaleur $Q_c$ à la source chaude ;
elle dépose ou prélève une chaleur $Q_f$ à la source froide ;
elle fournit ou reçoit un travail $W$ .

Sur un cycle, l'énergie interne revient à sa valeur initiale, donc le bilan se referme :

$Q_c = W + Q_f$

en comptant les trois grandeurs positivement, dans le sens où elles circulent réellement.

Ce qui les distingue

Le moteur laisse la chaleur descendre du chaud vers le froid, et prélève du travail au passage. L'effet utile est le travail.

La machine frigorifique et la pompe à chaleur font remonter la chaleur du froid vers le chaud, ce qui coûte du travail. Elles sont le même appareil, et ne diffèrent que par l'effet recherché : le froid pris en bas pour l'une, la chaleur déposée en haut pour l'autre.

Un réfrigérateur et une pompe à chaleur sont donc rigoureusement la même machine, tournée dans l'autre sens par rapport à la pièce.

travail fourni : 100 kW

Rendement 0,420, pour une borne de Carnot de 0,632 entre ces deux températures, soit 66 % du maximum concevable. La largeur de chaque flèche suit le flux qu'elle porte.

Un moteur thermique entre la vapeur d'une chaudière et l'eau d'un condenseur. La largeur de chaque flèche suit le flux qu'elle porte, et l'animation donne le sens de circulation de la chaleur.

À manipuler

Faire tourner la machine et suivre le sens : la chaleur descend du chaud vers le froid, et le travail sort sur la droite.
Comparer les largeurs des trois flèches : celle de la chaleur cédée au froid est bien plus épaisse que celle du travail. C'est une machine qui rejette plus qu'elle ne produit, et ce n'est pas un défaut mais une obligation.
Lire la ligne sous la figure : le rendement vaut 42 %, pour une borne de Carnot de 63 % entre ces deux températures. La machine atteint donc les deux tiers du maximum concevable.

Le rendement d'un moteur

Définition

$\eta = \frac{W}{Q_c} = 1 - \frac{Q_f}{Q_c}$

Le dénominateur est ce qu'il a fallu donner à la machine, c'est-à-dire la chaleur prélevée au chaud, et jamais la chaleur nette.

Le rendement d'un moteur est toujours inférieur à un, et le second principe dit pourquoi : la chaleur cédée au froid ne peut pas être supprimée, elle est la condition d'existence du cycle.

Les coefficients de performance

Définitions

Pour une machine frigorifique, l'effet utile est le froid pris en bas :

$\text{COP}_{\text{froid}} = \frac{Q_f}{W}$

Pour une pompe à chaleur, l'effet utile est la chaleur déposée en haut :

$\text{COP}_{\text{chaud}} = \frac{Q_c}{W}$

Un coefficient supérieur à un ne viole rien

Une pompe à chaleur qui dépose 3 kW en consommant 1 kW affiche un coefficient de 3. Elle ne crée pas d'énergie : elle en déplace, et les 2 kW manquants viennent de l'extérieur, prélevés à l'air ou au sol.

Le mot « rendement » est donc impropre pour ces machines, et c'est précisément pour l'éviter qu'on parle de coefficient de performance. Un rendement compare une sortie à une entrée de même nature ; un coefficient de performance compare un effet utile à ce qu'il a fallu payer, ce qui n'est pas la même chose.

Les deux coefficients diffèrent exactement de un

$\text{COP}_{\text{chaud}} - \text{COP}_{\text{froid}} = \frac{Q_c - Q_f}{W} = \frac{W}{W} = 1$

La chaleur déposée en haut est celle prise en bas plus le travail consommé, qui finit lui aussi en chaleur. Une pompe à chaleur est donc toujours un peu meilleure en chaud que le même appareil en froid.

chaleur fournie : 9,00 kW

Coefficient de performance 3,50, pour une borne de Carnot de 10,3 entre ces deux températures, soit 34 % du maximum concevable. La largeur de chaque flèche suit le flux qu'elle porte.

Une pompe à chaleur qui chauffe un logement à 35 degrés en prélevant à l'air extérieur à 5 degrés. Le travail consommé est bien plus mince que la chaleur déposée : la différence vient du dehors.

À manipuler

Faire tourner la machine : la chaleur remonte du froid vers le chaud, ce qui n'arrive jamais spontanément, et c'est le travail entrant par la droite qui l'y oblige.
Comparer la flèche du travail à celle de la chaleur déposée en haut : la seconde est trois fois et demie plus épaisse. C'est le coefficient de performance, rendu visible.
Comparer la borne à celle du moteur précédent : elle vaut ici plus de dix, parce que les deux températures sont proches. Une pompe à chaleur est d'autant meilleure que l'écart qu'elle doit franchir est petit.

Pourquoi une pompe à chaleur bat un radiateur

Un radiateur électrique transforme un kilowattheure d'électricité en un kilowattheure de chaleur. Son rendement vaut un, et il ne peut pas faire mieux.

Une pompe à chaleur de coefficient 3,5 transforme le même kilowattheure en 3,5 kilowattheures de chaleur dans le logement, dont 2,5 viennent de l'air extérieur.

Le gain n'est donc pas une meilleure conversion : c'est un déplacement d'énergie qui existait déjà dehors. Et il explique pourquoi la performance s'effondre par grand froid, quand l'écart à franchir devient grand.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une pompe à chaleur affiche un coefficient de performance de 4. Que signifie ce nombre ?

La borne, et ce qu'elle sert à faire

Les trois bornes de Carnot

$\eta_{\max} = 1 - \frac{T_f}{T_c} \qquad \text{COP}_{\text{froid},\max} = \frac{T_f}{T_c - T_f} \qquad \text{COP}_{\text{chaud},\max} = \frac{T_c}{T_c - T_f}$

avec des températures en kelvins.

Une seule formule, lue trois fois

Les trois expressions viennent du même calcul, mené sur un cycle réversible. Ce qui change est seulement le dénominateur, c'est-à-dire ce qu'on décide d'appeler la dépense.

Elles partagent donc toutes la même conséquence : la performance se dégrade quand l'écart de température grandit. Un moteur gagne à une source chaude très chaude ; une pompe à chaleur gagne à un écart faible.

Trois contrôles en dix secondes

Un moteur entre 550 °C et 30 °C : borne $1 - 303/823 \approx 63\ \%$ . Une annonce à 45 % est crédible, une annonce à 70 % est impossible.

Un réfrigérateur entre 5 °C à l'intérieur et 25 °C dans la cuisine : borne $278/20 \approx 13{,}9$ . Un appareil réel atteint deux ou trois, ce qui paraît médiocre et ne l'est pas : les irréversibilités d'un échangeur coûtent très cher.

Une pompe à chaleur entre 5 °C dehors et 35 °C dans les radiateurs : borne $308/30 \approx 10{,}3$ . Les appareils du commerce annoncent trois à cinq, et une annonce à douze serait à rejeter sans lire la suite.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un fabricant annonce une pompe à chaleur de coefficient 6, entre un extérieur à −5 °C et un plancher chauffant à 35 °C. Que conclure ?

La méthode

Identifier le genre de la machine par l'effet recherché : du travail, du froid, ou de la chaleur.
Convertir les deux températures en kelvins, sans exception.
Calculer la borne avant toute chose : elle donne l'ordre de grandeur attendu et disqualifie une annonce aberrante.
Écrire le bilan des trois flux, $Q_c = W + Q_f$ , en comptant tout positivement.
Employer la définition qui correspond au genre, et vérifier que le dénominateur est bien la dépense et non la somme des flux.
Vérifier les unités avant le résultat : un rendement et un coefficient de performance sont sans dimension. Un rapport de températures en degrés Celsius est dépourvu de sens, et il donne parfois un nombre négatif qui signale l'erreur.
Contrôler par la borne et par le bilan : la performance doit rester sous sa borne, et la somme des flux doit se refermer. Ces deux contrôles ensemble attrapent presque toutes les erreurs du chapitre.

Synthèse

Toute machine thermique échange avec deux sources et un dispositif mécanique, et son bilan se referme par $Q_c = W + Q_f$ .
Un moteur laisse la chaleur descendre et prélève du travail ; une machine réceptrice la fait remonter en consommant du travail.
Une machine frigorifique et une pompe à chaleur sont le même appareil, et ne diffèrent que par l'effet utile retenu.
Le rendement d'un moteur vaut $W/Q_c$ , et il est toujours inférieur à un.
Les coefficients de performance valent $Q_f/W$ en froid et $Q_c/W$ en chaud, et ils peuvent dépasser un sans rien violer : la machine déplace de l'énergie au lieu d'en produire.
Les deux coefficients diffèrent exactement de un, le travail consommé finissant lui aussi en chaleur au chaud.
Les trois bornes de Carnot viennent du même calcul et ne dépendent que des deux températures absolues.
La performance se dégrade quand l'écart de température grandit, ce qui explique l'effondrement d'une pompe à chaleur par grand froid.