Le cycle frigorifique et la compression réelle

Aux Eaux d'Escarlens, qui mettent en bouteilles une eau gazeuse, l'eau captée demande 209 kW de froid pour passer de 13 à 4 °C avant sa gazéification, comme l'a chiffré le chapitre 3. Ce froid vient du groupe d'eau glacée, où circule un fluide frigorigène, le R134a, qui bout à 0 °C pour prendre la chaleur de l'eau puis condense à 40 °C pour la rejeter. Nadia Ferrand, responsable maintenance et énergie, veut savoir combien d'électricité le compresseur de ce groupe consomme pour fournir ces 209 kW. Elle s'étonne aussi d'une indication du constructeur : une part du fluide serait déjà de la vapeur à la sortie du détendeur, alors que rien n'y chauffe le fluide. D'où vient cette vapeur, et le froid qu'elle représente est-il perdu ?

Ce chapitre s'appuie sur l'enthalpie et les systèmes ouverts, pour le détendeur et le compresseur, et sur les machines thermiques, pour le coefficient de performance.

Les quatre organes

Pour retirer 209 kW à l'eau, un fluide qui ne ferait que s'échauffer de 10 K en la traversant, comme de l'air (1005 J/(kg·K), valeur du chapitre 3), devrait circuler à $209/(1{,}005 \times 10) \approx 20{,}8$ kg/s. Le groupe du site emploie un fluide frigorigène, c'est-à-dire un fluide qui bout et condense dans la machine : le R134a, très répandu dans les groupes de froid. Il en fait circuler plus de dix fois moins, comme le calcul de ce chapitre le montrera.

La boucle

L'évaporateur fait bouillir le fluide à basse pression : il absorbe de la chaleur latente, et c'est là que le froid est produit.
Le compresseur élève la pression de la vapeur, et c'est le seul organe qui consomme du travail.
Le condenseur fait condenser le fluide à haute pression : il rejette la chaleur latente, et c'est là que la chaleur est déposée.
Le détendeur ramène le fluide à la basse pression.

Sans détendeur, la sortie du condenseur serait reliée directement à l'évaporateur : le fluide y resterait sous la pression haute, où il ne bout qu'à 40 °C. Plus chaud que l'eau à 13 °C, il lui céderait de la chaleur au lieu d'en prendre.

Faire bouillir un fluide absorbe une chaleur latente (chapitre 4), bien plus grande que ce qu'un simple échauffement fournirait, et à température constante. Un échange à température fixe crée peu d'entropie : c'est ce que fait le cycle de Carnot sur ses deux isothermes. Un fluide qui bout échange en outre au moins cinquante fois mieux qu'un gaz, ce que le chapitre 14 chiffrera.

Et puisque la température d'ébullition dépend de la pression de vapeur saturante, il suffit de choisir la pression pour choisir la température à laquelle le fluide prend ou dépose sa chaleur. Toute la machine tient dans cette phrase.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.À l'entrée d'un organe du groupe, le fluide est à 40 °C sous 10 bar ; à sa sortie, c'est un mélange de liquide et de vapeur à 0 °C sous 2,9 bar. De quel organe s'agit-il ?

2.Le R134a bout à −26 °C sous 1 bar. Pour qu'il bouille à 0 °C dans l'évaporateur, la pression doit y être :

Le diagramme enthalpique

À 0 °C et 2,93 bar, la vapeur de R134a qui sort de l'évaporateur a une masse molaire de 102 g/mol. Traitée en gaz parfait (chapitre 2), elle occuperait $RT/(MP) = 8{,}314 \times 273{,}15/(0{,}102 \times 2{,}93 \times 10^5) \approx 0{,}0760$ m³ par kilogramme ; la mesure donne 0,0693 m³, et le modèle se trompe de presque 10 %. Il ne dit surtout rien de ce qui compte ici : à quelle température le fluide devient liquide, et quelle énergie il prend ou rend en route. Près de sa liquéfaction, un fluide se mesure plutôt qu'il ne se calcule, et les mesures se rangent dans un diagramme enthalpique.

La cloche et ses trois zones

Lire le diagramme

L'enthalpie massique, définie au chapitre 9, est portée en abscisse, en kilojoules par kilogramme (kJ/kg), et la pression en ordonnée, sur une échelle logarithmique.

Une courbe en cloche sépare trois zones : le liquide à gauche, le mélange de liquide et de vapeur sous la cloche, dit diphasique parce qu'il a deux phases, et la vapeur surchauffée à droite, c'est-à-dire plus chaude que la température où elle commencerait à condenser à cette pression. Le sommet de la cloche est le point critique, à 101 °C et 40,6 bar pour le R134a : au-dessus, liquide et vapeur ne se distinguent plus.

En revanche, un fluide trop chaud n'a plus de cloche à traverser : à 110 °C, le R134a ne condenserait plus, quelle que soit la pression. La figure ne trace la cloche que jusqu'à 80 °C, bien assez pour un cycle qui condense à 40 °C.

Saturé, et le titre

Un point sous la cloche n'est ni du liquide seul ni de la vapeur seule : il faut dire dans quelle proportion il est l'un et l'autre.

Liquide saturé, vapeur saturée et titre

Le bord gauche de la cloche est la courbe du liquide saturé, un liquide sur le point de bouillir ; le bord droit, celle de la vapeur saturée, une vapeur sur le point de se condenser. Sous la cloche, le titre $x$ dit la part de la masse déjà vaporisée : 0 sur le bord gauche, 1 sur le bord droit.

Un diagramme complet porte aussi des isentropiques, courbes obliques de la zone de vapeur le long desquelles l'entropie (chapitre 10) ne change pas : une compression idéale en suit une. La figure ne les trace pas, et le point 2 y est calculé. La figure est celle du R134a, et la méthode ne change pas avec le fluide : seul le diagramme change.

compresseur · 399 kJ/kg · 2,93 bar

Étape 1 / 4

Les quatre points du cycle
Point	h (kJ/kg)	P (bar)	T (°C)	Titre
1 · sortie d'évaporateur	398,6	2,93	0,00	1,0
2 · refoulement du compresseur	432,1	10,2	52,4	surchauffée
3 · sortie de condenseur	256,4	10,2	40,0	0,0
4 · sortie de détendeur	256,4	2,93	0,00	0,28

Effet frigorifique 142 kJ/kg, travail de compression 33,5 kJ/kg, rejet au condenseur 176 kJ/kg. Coefficient de performance 4,25 en froid et 5,25 en chaud ; la borne de Carnot du froid vaut 6,83. Puissance frigorifique 209 kW.

Un cycle frigorifique au R134a, évaporant à zéro degré et condensant à quarante : le groupe d'eau glacée du site. Le schéma montre l'installation, et le point du diagramme parcourt le cycle en même temps que le fluide traverse les organes.

À manipuler

Avancer d'un organe à la fois, et répondre aux deux questions quand la figure s'arrête : où va le point à la traversée du détendeur, puis quelle part du fluide s'est déjà vaporisée.
Noter à chaque arrêt la pression du point : elle ne change que dans le compresseur et le détendeur, donc la température de saturation reste à 0 °C de 4 à 1 et à 40 °C de 2 à 3.
Lire enfin sous la figure la puissance frigorifique et le coefficient de performance en froid, puis comparer cette puissance à celle que demande l'eau captée.

Dans la figure, le segment du détendeur est vertical : la pression chute de 10,17 à 2,93 bar, et l'enthalpie reste à 256,4 kJ/kg.

Pourquoi le détendeur est isenthalpique

Un détendeur ne comporte aucune pièce mobile : c'est un étranglement. Il ne produit ni ne reçoit de travail technique, et il est assez court pour n'échanger aucune chaleur.

Le premier principe en écoulement donne alors $\Delta h = 0$ . L'enthalpie se conserve alors même que la pression s'effondre et que la température chute de plusieurs dizaines de degrés : c'est le cas, vu au chapitre 9, d'une vanne sur un fluide réel près de sa liquéfaction.

Les quatre points, et le calcul

Le geste, en quatre relevés et trois soustractions.

Point 1, sortie d'évaporateur : vapeur saturée à la pression basse. Son enthalpie se lit sur la cloche.
Point 2, refoulement du compresseur : vapeur surchauffée à la pression haute.
Point 3, sortie de condenseur : liquide saturé à la pression haute. Son enthalpie se lit sur la cloche.
Point 4, sortie de détendeur : même enthalpie que le point 3.

Les relevés de la cloche, en table. Un diagramme se lit à quelques kilojoules près ; une table de saturation donne les mêmes enthalpies au dixième. Pour le R134a, les pressions étant absolues (chapitre 1) et les enthalpies comptées à partir de 200 kJ/kg pour le liquide saturé à 0 °C :

Température	Pression	$h$ du liquide saturé	$h$ de la vapeur saturée
−20 °C	1,33 bar	173,6 kJ/kg	386,6 kJ/kg
−10 °C	2,01 bar	186,7 kJ/kg	392,7 kJ/kg
0 °C	2,93 bar	200,0 kJ/kg	398,6 kJ/kg
10 °C	4,15 bar	213,6 kJ/kg	404,3 kJ/kg
20 °C	5,72 bar	227,5 kJ/kg	409,7 kJ/kg
30 °C	7,70 bar	241,7 kJ/kg	414,8 kJ/kg
40 °C	10,17 bar	256,4 kJ/kg	419,4 kJ/kg
50 °C	13,18 bar	271,6 kJ/kg	423,4 kJ/kg

Seul le point 2 ne s'y lit pas, puisqu'il est dans la vapeur surchauffée : son enthalpie idéale $h_{2s}$ se lit sur l'isentropique d'un diagramme complet, ou se donne avec les données, comme sur la fiche d'un compresseur.

L'effet frigorifique est la chaleur que chaque kilogramme de fluide prend à l'eau dans l'évaporateur ; le travail de compression est le travail technique reçu par chaque kilogramme ; la chaleur rejetée est celle qu'il dépose au condenseur. Chacun est une différence d'enthalpie, par le premier principe en écoulement :

$q_{\text{froid}} = h_1 - h_4 \qquad w_t = h_2 - h_1 \qquad q_{\text{chaud}} = h_2 - h_3$

les trois échanges étant comptés positivement, dans le sens où ils circulent, comme au chapitre 11. Le coefficient de performance en froid est le rapport de l'effet utile à la dépense :

$\text{COP}_{\text{froid}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}$

Le titre en sortie de détendeur

Au point 3, le fluide est du liquide saturé à 256,4 kJ/kg. Après le détendeur, à 2,93 bar, le liquide saturé n'a que 200,0 kJ/kg et la vapeur saturée 398,6 : le point 4 tombe sous la cloche, entre les deux, et aucune de ces enthalpies ne le décrit. C'est la seconde question de la figure.

La règle des mélanges

Dans la zone diphasique, l'enthalpie d'un mélange de titre $x$ vaut :

$h = (1-x)\,h_{\text{liq}} + x\,h_{\text{vap}} \qquad\text{d'où}\qquad x = \frac{h - h_{\text{liq}}}{h_{\text{vap}} - h_{\text{liq}}}$

les deux enthalpies de saturation étant prises à la pression du mélange.

Ici, $x = (256{,}4 - 200{,}0)/(398{,}6 - 200{,}0) = 56{,}4/198{,}6 \approx 0{,}28$ . Cette formule ne vaut que sous la cloche : un titre négatif, ou supérieur à un, signale un point en réalité dans le liquide ou dans la vapeur surchauffée.

Ce que la détente coûte. Un peu plus du quart du fluide s'est déjà vaporisé, et rien ne l'a chauffé : la chaleur de cette vaporisation est prise au liquide lui-même, qui se refroidit ainsi de 40 à 0 °C. Ce quart arrive déjà vapeur dans l'évaporateur et n'y prendra plus rien : seuls les trois quarts restants produisent du froid, soit $0{,}72 \times 198{,}6 \approx 142$ kJ/kg sur les 198,6 qu'offrirait un liquide entrant à 0 °C.

C'est une perte inhérente au cycle, et elle explique une part de l'écart à la borne de Carnot. La réduire demande de refroidir le liquide sous sa température de condensation avant la détente, ce que font toutes les installations soignées : le point 3 se déplace vers la gauche, et l'effet frigorifique grandit.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Une chambre froide évapore à −20 °C et condense à 30 °C. Le liquide sort du condenseur à 241,7 kJ/kg ; à la pression basse, le liquide saturé a 173,6 kJ/kg et la vapeur saturée 386,6. Quelle part du fluide est vapeur à la sortie du détendeur ?

2.À 2,93 bar, le liquide saturé a 200,0 kJ/kg et la vapeur saturée 398,6. Où est un fluide à cette pression et à 430 kJ/kg ?

La compression réelle

La fiche du compresseur du groupe donne, pour une compression idéale de 2,93 à 10,17 bar, une enthalpie de refoulement $h_{2s} = 423{,}7$ kJ/kg, soit 25,1 kJ/kg de plus qu'à l'aspiration. L'arbre de la machine réelle fournit pourtant davantage : frottements, fuites et tourbillons s'ajoutent au travail utile.

Rendement isentropique

Une compression idéale serait adiabatique et réversible, donc isentropique : verticale sur un diagramme entropique, et oblique sur le diagramme enthalpique. Une compression réelle consomme davantage :

$\eta_{\text{is}} = \frac{h_{2s} - h_1}{h_2 - h_1}$

où $h_{2s}$ est l'enthalpie de refoulement d'une compression isentropique et $h_2$ celle de la compression réelle.

Le rendement est donc inférieur à un, et le travail réel est l'idéal divisé par lui : $w_t = (h_{2s} - h_1)/\eta_{\text{is}}$ . Un compresseur de rendement 0,75 consomme un tiers de plus que l'idéal. En revanche, un rendement supérieur à un serait un travail réel plus petit que l'idéal, que le second principe interdit.

Où passe le travail supplémentaire. Il ne disparaît pas : il finit en chaleur dans le fluide lui-même. Le point de refoulement réel est donc plus à droite et plus chaud que le point idéal, et le condenseur devra évacuer ce supplément. Le coefficient en froid, lui, ne pâtit que du travail plus grand : l'effet frigorifique ne change pas, puisque le condenseur ramène toujours le fluide au même liquide saturé.

Le groupe d'eau glacée, chiffré

Évaporation à 0 °C, condensation à 40 °C, rendement isentropique 0,75 et $h_{2s} = 423{,}7$ kJ/kg. L'eau glacée est supposée sortir à 1 °C, un seul kelvin au-dessus de l'évaporation : c'est une idéalisation, car un vrai groupe garde plusieurs kelvins d'écart, et l'eau gèlerait près de 0 °C.

Point	État	Pression	Température	$h$
1, sortie d'évaporateur	vapeur saturée	2,93 bar	0 °C	398,6 kJ/kg
2, refoulement	vapeur surchauffée	10,17 bar	52 °C	432,1 kJ/kg
3, sortie de condenseur	liquide saturé	10,17 bar	40 °C	256,4 kJ/kg
4, sortie de détendeur	mélange, $x = 0{,}28$	2,93 bar	0 °C	256,4 kJ/kg

L'effet frigorifique vaut $398{,}6 - 256{,}4 = 142{,}2$ kJ/kg. Le travail réel vaut $(423{,}7 - 398{,}6)/0{,}75 \approx 33{,}47$ kJ/kg, soit 33,5, d'où $h_2 = 398{,}6 + 33{,}5 = 432{,}1$ kJ/kg. La chaleur rejetée vaut $432{,}1 - 256{,}4 = 175{,}7$ kJ/kg.

$\text{COP}_{\text{froid}} = \frac{142{,}2}{33{,}47} \approx 4{,}25 \qquad \text{COP}_{\text{chaud}} = \frac{175{,}7}{33{,}47} \approx 5{,}25$

Les deux coefficients diffèrent de un, comme au chapitre 11. La borne de Carnot entre 0 et 40 °C vaut $273{,}15/40 \approx 6{,}83$  : le groupe en atteint 62 %, dans la fourchette habituelle d'une machine réelle, entre la moitié et les deux tiers de sa borne (chapitre 11).

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Un compresseur de rendement isentropique 0,60 devrait fournir 24 kJ/kg au fluide s'il était idéal. Que consomme-t-il ?

2.Un groupe évapore à 0 °C. Sa condensation passe de 40 à 30 °C, l'air du local étant plus frais. Que devient son coefficient de performance en froid ?

La méthode

Relever les deux pressions de saturation à partir des deux températures, sur la table ou sur le diagramme.
Placer les points 1 et 3 sur la cloche : vapeur saturée à basse pression, liquide saturé à haute pression, et lire leurs enthalpies.
Placer le point 4 à la verticale du point 3, sur l'isobare basse, et calculer son titre par la règle des mélanges.
Obtenir le point 2 : prendre $h_{2s}$ dans les données, puis diviser $h_{2s} - h_1$ par le rendement isentropique pour avoir le travail réel.
Calculer les trois échanges par simples différences d'enthalpie, et le coefficient par leur rapport.
Passer aux puissances : un débit en kilogrammes par seconde, multiplié par une enthalpie en kilojoules par kilogramme, donne des kilowatts ; le débit se tire de la puissance frigorifique demandée divisée par l'effet frigorifique.
Contrôler par trois bornes : le titre du point 4 tombe entre zéro et un ; la chaleur rejetée vaut le froid produit plus le travail ; le coefficient reste sous la borne $T_f/(T_c - T_f)$ , en kelvins, et au-dessus de sa moitié.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec la table du chapitre. Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

L'électricité du groupe d'eau glacée

1.
Pour produire 209 kW de froid avec un effet frigorifique de 142,2 kJ/kg, quel débit de R134a faut-il faire circuler, en kilogrammes par seconde, à 0,01 près ?
2.
Le travail de compression vaut 33,5 kJ/kg. Quelle puissance électrique le compresseur absorbe-t-il, en kilowatts, à 1 kW près ?
3.
Quelle puissance le condenseur doit-il évacuer, en kilowatts, à 1 kW près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : le compresseur absorbe environ 49 kW d'électricité pour fournir les 209 kW de froid, et le condenseur rejette 258 kW.

La vapeur qui sort du détendeur est-elle du froid perdu, et que coûte la chaleur de l'été au compresseur ?

Par forte chaleur, le circuit de condensation du groupe d'eau glacée des Eaux d'Escarlens ne tient plus ses 35 °C : le R134a y condense à 50 °C au lieu de 40 °C, l'évaporation restant à 0 °C. Le rendement isentropique du compresseur reste 0,75, et sa fiche donne $h_{2s} = 428{,}3$ kJ/kg à cette pression. Calculer, à 0,01 près, la part du fluide déjà vaporisée à la sortie du détendeur et le coefficient de performance en froid, puis, à 1 kW près, la puissance électrique du compresseur pour les mêmes 209 kW de froid. Conclure sur ce que coûte la condensation à 50 °C, et dire si la vapeur du détendeur est du froid perdu.

Par où commencer ? Poser les quatre points et leur enthalpie, en commençant par ceux que la table donne directement, avant de chercher ce que l'énoncé fournit en plus.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi diviser par 0,75 le travail isentropique pour obtenir le travail réel ?

Le corrigé

Relever les enthalpies de saturation. À 0 °C, la vapeur saturée a 398,6 kJ/kg, d'où $h_1 = 398{,}6$ kJ/kg, et le liquide saturé 200,0. À 50 °C, le liquide saturé a 271,6 kJ/kg, d'où $h_3 = 271{,}6$ kJ/kg.
Placer le point 4. Le détendeur conserve l'enthalpie : $h_4 = 271{,}6$ kJ/kg, à 2,93 bar. Ce point est sous la cloche, puisque 200,0 < 271,6 < 398,6.
Calculer le titre. $x = (271{,}6 - 200{,}0)/(398{,}6 - 200{,}0) = 71{,}6/198{,}6 \approx 0{,}36$  : plus du tiers du fluide arrive déjà vapeur dans l'évaporateur, contre 0,28 à 40 °C. Cette vapeur vient du liquide lui-même, qui s'est refroidi de 50 à 0 °C en bouillant en partie : c'est la réponse à la seconde question de l'ouverture.
Calculer l'effet frigorifique. $398{,}6 - 271{,}6 = 127{,}0$ kJ/kg, contre 142,2 à 40 °C : la vapeur du détendeur ne prend plus de chaleur à l'eau, et c'est en ce sens que ce froid-là est perdu. Il n'a pas disparu : c'est la capacité du liquide à bouillir dans l'évaporateur qui a été dépensée plus tôt.
Calculer le travail réel. $(428{,}3 - 398{,}6)/0{,}75 = 29{,}7/0{,}75 \approx 39{,}6$ kJ/kg, et $h_2 = 398{,}6 + 39{,}6 = 438{,}2$ kJ/kg.
Calculer le coefficient. $127{,}0/39{,}6 \approx 3{,}21$ .
Passer à la puissance électrique. Le débit vaut $209/127{,}0 \approx 1{,}646$ kg/s, et le compresseur absorbe $1{,}646 \times 39{,}6 \approx 65$ kW, contre 49 kW par temps normal : un tiers de plus pour les mêmes 209 kW, parce que chaque degré de condensation gagné dégrade à la fois le travail et l'effet frigorifique.
Vérifier. Le condenseur rejette $1{,}646 \times (438{,}2 - 271{,}6) \approx 274$ kW, et $209 + 65 = 274$ kW : le bilan est nul. La borne de Carnot vaut $273{,}15/50 \approx 5{,}46$ , et le coefficient en atteint 59 %, dans la fourchette habituelle.

Une patinoire peut-elle compter sur un coefficient de performance de 3,8 pour sa dalle ?

Une patinoire de quartier refroidit sa dalle avec un groupe au R134a qui évapore à −10 °C et condense à 30 °C. La dalle demande 40 kW de froid. Le rendement isentropique du compresseur est de 0,70 et sa fiche donne $h_{2s} = 420{,}6$ kJ/kg. Calculer, à 0,01 près, la part du fluide déjà vaporisée à la sortie du détendeur et le coefficient de performance en froid, puis, à 0,1 kW près, la puissance électrique du compresseur. Dire si un coefficient de 3,8 est crédible pour ces températures.

Par où commencer ? Poser les quatre points et leur enthalpie, en commençant par ceux que la table donne directement, avant de chercher ce que l'énoncé fournit en plus.

Le corrigé

Relever les enthalpies de saturation. À −10 °C, la vapeur saturée a 392,7 kJ/kg et le liquide saturé 186,7 ; à 30 °C, le liquide saturé a 241,7 kJ/kg. Donc $h_1 = 392{,}7$ et $h_3 = 241{,}7$ kJ/kg.
Placer le point 4 et calculer son titre. $h_4 = h_3 = 241{,}7$ kJ/kg, et $x = (241{,}7 - 186{,}7)/(392{,}7 - 186{,}7) = 55{,}0/206{,}0 \approx 0{,}27$ .
Calculer l'effet frigorifique. $392{,}7 - 241{,}7 = 151{,}0$ kJ/kg.
Calculer le travail réel. $(420{,}6 - 392{,}7)/0{,}70 = 27{,}9/0{,}70 \approx 39{,}9$ kJ/kg.
Calculer le coefficient. $151{,}0/39{,}9 \approx 3{,}79$ .
Passer à la puissance électrique. Le débit vaut $40/151{,}0 \approx 0{,}265$ kg/s, et le compresseur absorbe $0{,}265 \times 39{,}9 \approx 10{,}6$ kW.
Vérifier. La borne de Carnot entre −10 et 30 °C vaut $263{,}15/40 \approx 6{,}58$  : un coefficient de 3,79 en atteint 58 %, dans la fourchette habituelle de la moitié aux deux tiers. L'annonce de 3,8 est crédible. Le condenseur rejette $40 + 10{,}6 = 50{,}6$ kW.

Les quatre organes

Le diagramme enthalpique

La cloche et ses trois zones

Saturé, et le titre

Les quatre points, et le calcul

Le titre en sortie de détendeur

La compression réelle

La méthode

Mettre en pratique

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