Le cycle frigorifique et la compression réelle · Thermodynamique

Le chapitre précédent a décrit les machines par leurs flux, sans dire comment elles s'y prennent. Celui-ci ouvre la boîte : une machine frigorifique fait bouillir un fluide là où elle veut prendre de la chaleur, et le fait condenser là où elle veut en déposer. C'est la chaleur latente du chapitre 4, mise au travail.

Le calcul ne se fait plus avec l'équation d'état, qui ne vaut pas près de la liquéfaction, mais sur un diagramme enthalpique construit sur des mesures. Et il ne demande presque rien : placer quatre points, puis soustraire des enthalpies. C'est le geste que ce chapitre installe, et c'est celui que demandent les copies.

Les quatre organes

La boucle

L'évaporateur fait bouillir le fluide à basse pression : il absorbe de la chaleur latente, et c'est là que le froid est produit.
Le compresseur élève la pression de la vapeur, et c'est le seul organe qui consomme du travail.
Le condenseur fait condenser le fluide à haute pression : il rejette la chaleur latente, et c'est là que la chaleur est déposée.
Le détendeur ramène le fluide à basse pression, sans travail ni échange.

Pourquoi passer par un changement d'état

Faire bouillir un fluide absorbe une chaleur latente, bien plus grande que ce qu'un simple échauffement fournirait, et surtout à température constante.

Un échangeur travaille d'autant mieux que l'écart local se maintient, ce que le chapitre précédent a établi. Un fluide qui bout offre exactement cela : une température fixe tout le long, et un coefficient d'échange dix à cent fois supérieur à celui d'un gaz.

Et puisque la température d'ébullition dépend de la pression, il suffit de choisir la pression pour choisir la température à laquelle le fluide prend ou dépose sa chaleur. Toute la machine tient dans cette phrase.

Le diagramme enthalpique

Lire le diagramme

L'enthalpie massique est portée en abscisse, en kilojoules par kilogramme, et la pression en ordonnée, sur une échelle logarithmique.

Une courbe en cloche sépare trois zones : le liquide à gauche, le mélange sous la cloche, la vapeur surchauffée à droite. Le sommet de la cloche est le point critique.

évaporateur · 393 kJ/kg · 2,01 bar

Les quatre points du cycle
Point	h (kJ/kg)	P (bar)	T (°C)	Titre
1 · sortie d'évaporateur	392,7	2,01	-10,0	1,0
2 · refoulement du compresseur	437,3	10,2	57,5	surchauffée
3 · sortie de condenseur	256,4	10,2	40,0	0,0
4 · sortie de détendeur	256,4	2,01	-10,0	0,34

Effet frigorifique 136 kJ/kg, travail de compression 44,6 kJ/kg, rejet au condenseur 181 kJ/kg. Coefficient de performance 3,05 en froid et 4,05 en chaud, pour une borne de Carnot de 5,26. Puissance frigorifique 6,82 kW.

Un cycle frigorifique au R134a, évaporant à moins dix degrés et condensant à quarante. Le schéma de gauche montre l'installation, et le point de droite parcourt le cycle en même temps que le fluide traverse les organes.

À manipuler

Faire circuler le fluide et suivre les deux vues ensemble : l'organe actif s'allume à gauche pendant que le segment correspondant s'accentue à droite.
Suivre le segment de l'évaporateur, de 4 vers 1 : il est horizontal, donc à pression constante, et il traverse la cloche de gauche à droite. Le fluide y bout, et sa température ne bouge pas.
Suivre le détendeur, de 3 vers 4 : le segment est vertical. L'enthalpie ne change pas, et c'est la propriété la moins intuitive du cycle.
Lire le titre du point 4 dans le tableau : environ un tiers du fluide s'est déjà vaporisé pendant la détente, et ce tiers ne produira aucun froid.
Lire enfin les deux coefficients sous la figure : ils diffèrent exactement de un, comme au chapitre précédent.

Les quatre points, et le calcul

Le geste, en quatre relevés et trois soustractions

Point 1, sortie d'évaporateur : vapeur saturée à la pression basse. Son enthalpie se lit sur la cloche.
Point 2, refoulement du compresseur : vapeur surchauffée à la pression haute.
Point 3, sortie de condenseur : liquide saturé à la pression haute. Son enthalpie se lit sur la cloche.
Point 4, sortie de détendeur : même enthalpie que le point 3.

$q_{\text{froid}} = h_1 - h_4 \qquad w = h_2 - h_1 \qquad q_{\text{chaud}} = h_2 - h_3$

$\text{COP}_{\text{froid}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}$

Pourquoi le détendeur est isenthalpique

Un détendeur ne comporte aucune pièce mobile : c'est un étranglement. Il ne produit ni ne reçoit de travail technique, et il est assez court pour n'échanger aucune chaleur.

Le premier principe en écoulement, celui du chapitre 9, donne alors $\Delta h = 0$ . Le segment est vertical, et l'enthalpie se conserve alors même que la pression s'effondre et que la température chute de plusieurs dizaines de degrés.

Le titre en sortie de détendeur

La règle des mélanges

Dans la zone diphasique, l'enthalpie d'un mélange de titre $x$ vaut :

$h = (1-x)\,h_{\text{liq}} + x\,h_{\text{vap}} \qquad\text{d'où}\qquad x = \frac{h - h_{\text{liq}}}{h_{\text{vap}} - h_{\text{liq}}}$

les deux enthalpies de saturation étant prises à la pression du mélange.

Ce que la détente coûte

En sortie de détendeur, un tiers environ du fluide s'est déjà vaporisé. Or ce tiers a absorbé sa chaleur latente à l'intérieur du détendeur, c'est-à-dire nulle part d'utile : il n'en reste que les deux tiers pour produire du froid dans l'évaporateur.

C'est une perte inhérente au cycle, et elle explique une part de l'écart à la borne de Carnot. La réduire demande de sous-refroidir le liquide avant la détente, ce que font toutes les installations soignées.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le segment du détendeur est-il vertical sur un diagramme enthalpique ?

La compression réelle

Rendement isentropique

Une compression idéale serait adiabatique et réversible, donc isentropique, et verticale sur un diagramme entropique. Une compression réelle consomme davantage :

$\eta_{\text{is}} = \frac{h_{2s} - h_1}{h_2 - h_1}$

où $h_{2s}$ est l'enthalpie de refoulement d'une compression isentropique et $h_2$ celle de la compression réelle.

Où passe le travail supplémentaire

Il ne disparaît pas : il finit en chaleur dans le fluide lui-même. Le point de refoulement réel est donc plus à droite et plus chaud que le point idéal, et le condenseur devra évacuer ce supplément.

Un compresseur de rendement isentropique 0,75 consomme donc un tiers de plus que l'idéal, et ce tiers se retrouve intégralement au condenseur. C'est pourquoi un mauvais compresseur dégrade deux fois le coefficient de performance : une fois par ce qu'il consomme, une fois par ce qu'il ajoute à évacuer.

Le cycle de la figure, chiffré

Évaporation à −10 °C, soit 2,01 bar, et condensation à 40 °C, soit 10,17 bar.

Point 1 : vapeur saturée à −10 °C, $h_1 = 392{,}7$ kJ/kg.
Point 3 : liquide saturé à 40 °C, $h_3 = 256{,}4$ kJ/kg.
Point 4 : même enthalpie, $h_4 = 256{,}4$ kJ/kg, dans la zone diphasique.

L'effet frigorifique : $h_1 - h_4 = 392{,}7 - 256{,}4 = 136{,}3$ kJ/kg.

Le titre au point 4 : à −10 °C, $h_{\text{liq}} = 186{,}7$ et $h_{\text{vap}} = 392{,}7$ , d'où

$x = \frac{256{,}4 - 186{,}7}{392{,}7 - 186{,}7} \approx 0{,}34$

Trente-quatre pour cent du fluide arrive déjà vaporisé dans l'évaporateur.

La puissance frigorifique, pour un débit de 0,05 kg/s : $136{,}3 \times 0{,}05 \approx 6{,}8$ kW.

Le coefficient de performance vaut alors un peu plus de trois, pour une borne de Carnot de 5,3 entre ces deux températures : la machine atteint environ les trois cinquièmes du maximum concevable, ce qui est représentatif d'une installation réelle.

Vérification rapideon peut se reprendre

Sur une machine frigorifique, qu'obtient-on en abaissant la température de condensation de 45 à 35 °C ?

La méthode

Relever les deux pressions de saturation à partir des deux températures, sur la table ou sur le diagramme.
Placer les points 1 et 3 sur la cloche : vapeur saturée à basse pression, liquide saturé à haute pression, et lire leurs enthalpies.
Placer le point 4 à la verticale du point 3, sur l'isobare basse, et calculer son titre par la règle des mélanges.
Placer le point 2 en suivant l'isentropique depuis le point 1 jusqu'à la pression haute, puis corriger par le rendement isentropique s'il est donné.
Calculer les trois échanges par simples différences d'enthalpie, et le coefficient par leur rapport.
Vérifier les unités avant le résultat : les enthalpies sont massiques, en kilojoules par kilogramme, et leur produit par un débit en kilogrammes par seconde donne des kilowatts. Un coefficient de performance est sans dimension, et un résultat en kilojoules signale une division oubliée.
Contrôler par la borne et par le bilan : le coefficient doit rester sous $T_f/(T_c - T_f)$ , la chaleur rejetée doit valoir le froid produit plus le travail, et le titre au point 4 doit tomber entre zéro et un.

Synthèse

Une machine frigorifique fait bouillir son fluide là où elle prend de la chaleur et le fait condenser là où elle en dépose.
Le changement d'état offre une chaleur latente élevée, à température constante, et un excellent coefficient d'échange.
Choisir la pression, c'est choisir la température à laquelle le fluide prend ou dépose sa chaleur.
Le diagramme enthalpique porte l'enthalpie en abscisse et la pression en ordonnée logarithmique, avec une cloche séparant liquide, mélange et vapeur.
Le cycle se lit en quatre points, et le calcul se réduit à trois différences d'enthalpie.
Le détendeur est isenthalpique : segment vertical, parce qu'il n'échange ni travail technique ni chaleur.
Le titre en sortie de détendeur vaut environ un tiers, et cette part ne produit aucun froid.
Le rendement isentropique compare la compression réelle à la compression idéale, et le travail supplémentaire finit en chaleur à évacuer au condenseur.
Réduire l'écart entre les deux températures améliore tout : moins de travail, même effet utile.