La conduction · Thermodynamique

Les douze chapitres précédents traitaient des gaz, des transformations et des machines. Celui-ci change d'objet : il regarde comment la chaleur traverse la matière, et à quelle vitesse.

C'est le premier des trois modes de transfert, et le plus simple : de proche en proche, sans que rien ne se déplace. Une cuillère plongée dans une casserole chauffe par son manche sans que le métal bouge. Ce chapitre chiffre ce transfert, introduit la résistance thermique qui le mesure, et se referme sur une remarque que les étudiants de ce site sont mieux placés que quiconque pour comprendre.

La loi de Fourier

Définition

À travers une paroi plane d'épaisseur $e$ et de surface $S$ , en régime permanent :

$\varphi = \lambda\,S\,\frac{T_1 - T_2}{e}$

où $\varphi$ est le flux thermique en watts et $\lambda$ la conductivité thermique du matériau, en watts par mètre et par kelvin.

Le flux est donc proportionnel à trois choses : la surface offerte, l'écart de température imposé, et la conductivité du matériau. Il est inversement proportionnel à l'épaisseur, ce qui est la raison d'être de tout isolant.

Matériau	$\lambda$ en W/(m·K)
Aluminium	230
Acier	50
Béton	1,75
Parpaing	1,05
Verre	1,0
Bois	0,15
Plâtre	0,25
Laine de verre	0,038
Polystyrène	0,038

Quatre décades séparent les extrêmes

De l'aluminium à la laine de verre, la conductivité est divisée par six mille. Un millimètre de laine isole donc autant que six mètres d'aluminium.

C'est ce rapport qui rend le dimensionnement thermique si sensible au choix des matériaux, et qui explique qu'un pont thermique, c'est-à-dire un endroit où l'isolant est interrompu par une structure, coûte hors de proportion avec sa surface.

La résistance thermique

Définition

$R = \frac{e}{\lambda} \qquad\text{en}\ \text{m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}$

Le flux surfacique s'écrit alors :

$\varphi'' = \frac{T_1 - T_2}{R}$

Les couches s'ajoutent

Une paroi composite oppose au flux la somme des résistances de ses couches :

$R_{\text{total}} = \sum_k \frac{e_k}{\lambda_k}$

parce que le flux les traverse l'une après l'autre, et qu'en régime permanent il est le même dans toutes. Ce qui entre par une face ressort par l'autre : rien ne s'accumule.

sonde à 157 mm · -3,45 °C

Résistance et chute de température de chaque élément
Élément	R (m²·K/W)	Part	Chute
échange intérieur	0,130	4 %	1,07 K
platre	0,0520	2 %	0,427 K
laine-de-verre	2,63	86 %	21,6 K
parpaing	0,190	6 %	1,56 K
échange extérieur	0,0400	1 %	0,329 K

Résistance totale 3,04 m²·K/W, donc U = 0,329 W/(m²·K), soit 8,21 W/m² et 98,6 W pour 12,0 m². Les couches sont dessinées à l'échelle de leur épaisseur, et le profil à celle de leur résistance.

Un mur isolé par l'intérieur. Les couches sont dessinées à l'échelle de leur épaisseur, et le profil de température à celle de leur résistance. Déplacer la sonde à travers l'épaisseur.

À manipuler

Déplacer la sonde d'une face à l'autre et suivre la température : elle chute très peu dans le plâtre et dans le parpaing, et presque tout d'un coup dans la laine.
Lire la colonne des parts dans le tableau : la laine ne fait qu'un tiers de l'épaisseur du mur et porte plus de quatre-vingts pour cent de sa résistance.
Regarder la flèche du flux sous le mur : elle garde la même épaisseur d'un bout à l'autre. En régime permanent, ce qui entre ressort, et c'est ce qui permet d'additionner les résistances.
Remarquer que la pente du profil est la plus forte là où la résistance est la plus grande : le profil suit les résistances, pas les épaisseurs.

Épaisseur et résistance ne se confondent pas

Dans la figure, le parpaing est deux fois plus épais que la laine et n'oppose que le quatorzième de sa résistance. Regarder l'épaisseur d'un mur ne dit donc rien de son isolation.

L'erreur symétrique consiste à croire qu'un mur épais est forcément bien isolé. Un mur de pierre d'un mètre oppose environ 0,5 m²·K/W, soit moins que cinq centimètres de laine.

L'analogie qui n'en est pas une

Ce chapitre a demandé d'additionner des résistances en série, parcourues par un même flux, sous l'effet d'un écart imposé. Cette phrase a déjà été écrite ailleurs.

Les deux domaines partagent la même machine

Thermique	Électrique
Écart de température $\Delta T$	Tension $U$
Flux thermique $\varphi$	Courant $I$
Résistance thermique $R_{\text{th}}$	Résistance $R$
$\Delta T = R_{\text{th}}\,\varphi$	$U = R\,I$

Ce n'est pas une ressemblance lointaine : c'est la même équation. Les résistances thermiques s'associent en série et en parallèle exactement comme les résistances électriques, et les lois des nœuds et des mailles s'y appliquent mot pour mot.

Ce qui a été appris sur les circuits se transporte donc tel quel, y compris la réduction d'un réseau et le pont diviseur : la chute de température dans une couche est à l'écart total ce que sa résistance est à la résistance totale.

Ce qui se transporte, et ce qui ne se transporte pas

La machine mathématique se transporte intégralement. La mise en équation, non.

Reconnaître un réseau de résistances une fois qu'il est écrit fait gagner beaucoup de temps. Savoir où tracer les frontières d'un système thermique, quelles surfaces compter et quels coefficients employer reste un travail propre à la thermique, et c'est celui que les deux chapitres suivants demandent.

Vérification rapideon peut se reprendre

Une paroi est faite de deux couches en série, de résistances 0,2 et 1,8 m²·K/W, sous un écart de 20 K. Quelle est la chute de température dans la première ?

La méthode

Repérer le régime : les expressions de ce chapitre supposent le régime permanent, c'est-à-dire un flux constant dans le temps.
Découper la paroi en couches, et calculer la résistance de chacune par $e/\lambda$ .
Additionner les résistances traversées l'une après l'autre, sans oublier celles des échanges de surface que le chapitre suivant ajoutera.
Calculer le flux surfacique par l'écart total divisé par la résistance totale, puis le flux réel en multipliant par la surface.
Remonter le profil couche par couche : la chute dans une couche vaut le flux surfacique multiplié par sa résistance.
Vérifier les unités avant le résultat : une conductivité est en watts par mètre et par kelvin, une résistance thermique surfacique en mètres carrés-kelvins par watt. Leur produit avec un flux surfacique doit rendre des kelvins, et rien d'autre.
Contrôler par les proportions : la couche la plus résistante doit porter la plus grande chute de température. Un profil où l'isolant chuterait peu signale une conductivité prise à l'envers.

Synthèse

La conduction transporte la chaleur de proche en proche, sans déplacement de matière.
La loi de Fourier donne $\varphi = \lambda S (T_1 - T_2)/e$  : le flux croît avec la surface, l'écart et la conductivité, et décroît avec l'épaisseur.
La résistance thermique vaut $R = e/\lambda$ , et les couches en série s'additionnent.
En régime permanent, le flux est le même dans toutes les couches : rien ne s'accumule.
Quatre décades séparent l'aluminium de la laine de verre, ce qui rend le choix du matériau décisif.
La chute de température se répartit au prorata des résistances, et non des épaisseurs.
Le formalisme est identique à celui des circuits électriques : $\Delta T = R_{\text{th}}\varphi$ est la loi d'Ohm, et les associations s'y font de la même façon.
Ce qui se transporte d'un domaine à l'autre est la machine mathématique, jamais la mise en équation.