La conduction

Les bureaux des Eaux d'Escarlens, qui mettent en bouteilles une eau gazeuse, sont accolés à la halle de conditionnement. Un pan de leur mur extérieur, de 12 m², sépare une pièce à 20 °C d'un dehors à −5 °C, et il superpose trois couches : du plâtre, de la laine de verre et du parpaing. Nadia Ferrand, responsable maintenance et énergie, veut savoir combien de watts ce mur laisse passer, et laquelle des trois couches fait le gros du travail. Elle se pose aussi une question sur la conduite d'eau glacée qui traverse la halle : si l'on double l'épaisseur de son calorifuge, l'isolant qui l'enveloppe, la chaleur qui entre dans l'eau est-elle divisée par deux ?

Le chapitre 1 a posé le watt et le chapitre 3 la chaleur échangée, dont ce chapitre dépend. Il chiffre maintenant la chaleur qui traverse la matière sans que celle-ci bouge.

La loi de Fourier

Deux barres de même section et de même longueur, l'une en laine de verre et l'autre en aluminium, relient une paroi à 20 °C à une paroi à −5 °C. L'écart de température est le même, la géométrie aussi, et pourtant l'aluminium laisse passer plus de six mille fois plus de chaleur. Ni l'écart ni les dimensions ne suffisent donc à prédire le flux : il faut une grandeur propre à la matière. Ce transfert de proche en proche, sans déplacement de matière, s'appelle la conduction.

Loi de Fourier

En chaque point d'un solide, la densité de flux thermique, c'est-à-dire le flux rapporté à un mètre carré, est proportionnelle à la pente de la température, et dirigée vers le froid :

$\varphi'' = -\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}$

où $\varphi''$ est en watts par mètre carré, le double prime signalant une grandeur rapportée à un mètre carré, et $\lambda$ est la conductivité thermique du matériau, en watts par mètre et par kelvin. Le signe moins dit seulement que la chaleur descend la pente.

La loi suppose un matériau homogène dont la conductivité est prise constante sur l'écart considéré, ce que tout le chapitre admet. Elle ne vaut plus telle quelle pour un isolant mouillé, qui conduit bien plus que le même isolant sec : la valeur du catalogue est celle du matériau sec.

En mathématiques, la même loi s'écrit $q = -k\,\operatorname{grad} T$ (les opérateurs vectoriels) : $k$ y est la conductivité $\lambda$ , et $q$ la densité de flux $\varphi''$ .

La paroi plane

La loi lie le flux à la pente en un point, mais un mur de bureau se décrit autrement : deux températures de face et une épaisseur, sans aucune pente connue. Quelle pente porter dans la loi pour le mur de 12 m² entre 20 et −5 °C ?

La paroi plane

À travers une paroi plane d'épaisseur $e$ et de surface $S$ , en régime permanent, c'est-à-dire quand plus aucune température ne varie dans le temps, le flux est le même à toute profondeur. La pente est donc constante, le profil de température est une droite, et le flux total vaut :

$\varphi = \lambda\,S\,\frac{T_1 - T_2}{e}$

où $\varphi$ est le flux thermique en watts, compté de la face 1 vers la face 2 : il est positif quand la face 1 est la plus chaude, dans le sens où la chaleur circule. Ce n'est donc pas la convention du receveur du chapitre 1, qui compterait négativement la chaleur que la face chaude perd.

Rien ne s'accumule dans la paroi : un matériau dont la température ne bouge pas n'a reçu ni cédé de chaleur sensible (chapitre 3), si bien que tout ce qui entre par une face ressort par l'autre. En revanche, dans un mur qui se refroidit pendant la nuit, la pente varie avec la profondeur et la formule ne vaut plus.

Le flux est proportionnel à trois choses : la surface offerte, l'écart de température imposé, et la conductivité du matériau. Il est inversement proportionnel à l'épaisseur. Un isolant joue sur les deux leviers à la fois : une conductivité quarante à soixante fois plus faible que celle du béton, et une épaisseur que l'on peut augmenter à peu de frais.

Matériau	$\lambda$ en W/(m·K)
Aluminium	230
Acier	50
Béton armé	2,3
Béton plein, non armé	1,75
Parpaing	1,05
Verre	1,0
Plâtre	0,25
Bois	0,15
Laine de verre	0,038
Polystyrène	0,038

Presque quatre facteurs dix séparent les extrêmes. De l'aluminium à la laine de verre, la conductivité est divisée par six mille : un millimètre de laine isole autant que six mètres d'aluminium. Sur le mur de 12 m² des bureaux, 20 cm de béton armé laisseraient passer 3 450 W sous 25 K d'écart entre leurs faces, et 20 cm de laine de verre 57 W.

C'est ce rapport qui rend le dimensionnement thermique si sensible au choix des matériaux, et qui explique qu'un pont thermique, c'est-à-dire un endroit où l'isolant est interrompu par une structure, coûte hors de proportion avec sa surface.

La résistance thermique

Le mur des bureaux superpose 13 mm de plâtre, 100 mm de laine de verre et 200 mm de parpaing. Dans la formule de la paroi plane, quelle conductivité et quelle épaisseur écrire ? Aucune des trois conductivités ne convient seule, aucune des trois épaisseurs non plus, et la température entre deux couches n'est pas donnée.

Définition

Deux résistances servent, selon qu'on raisonne par mètre carré ou pour toute la paroi :

$R = \frac{e}{\lambda}\ \ \text{en m}^2\cdot\text{K/W} \qquad R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda\,S} = \frac{R}{S}\ \ \text{en K/W}$

La première, la résistance surfacique, compare des matériaux et donne la densité de flux :

$\varphi'' = \frac{T_1 - T_2}{R}$

La seconde, la résistance absolue, donne le flux total $\varphi = (T_1 - T_2)/R_{\text{th}}$ .

La lettre $R$ désignait jusqu'ici la constante des gaz parfaits, 8,314 J/(mol·K). Elle désigne désormais une résistance thermique, comme c'est l'usage chez les thermiciens : l'unité suffit à les distinguer.

Les couches s'ajoutent. Une paroi composite oppose au flux la somme des résistances de ses couches :

$R_{\text{total}} = \sum_k \frac{e_k}{\lambda_k}$

parce que le flux les traverse l'une après l'autre, et qu'en régime permanent il est le même dans toutes. Cette addition ne vaut que pour des couches de même surface traversées dans le même sens : deux parois placées côte à côte relèvent d'une autre règle, vue plus bas.

Les deux faces de la paroi

Les trois couches du mur des bureaux opposent ensemble 2,87 m²·K/W. Sous 25 K d'écart, le flux serait de 8,7 W/m². Un fluxmètre, l'appareil qui mesure une densité de flux, collé sur le mur, en lit 8,2. Le calcul oublie quelque chose : entre l'air de la pièce et le plâtre, comme entre le parpaing et le dehors, il reste une mince couche d'air qui freine elle aussi la chaleur.

Résistance de surface et coefficient de transmission

La résistance de surface est celle de cette couche d'air : $R_s = 1/h$ , où $h$ est le coefficient d'échange de surface, en W/(m²·K), que le chapitre 14 chiffre. Pour un mur de bâtiment, $R_{si} = 0{,}13$ m²·K/W côté intérieur ( $h = 7{,}7$ ) et $R_{se} = 0{,}04$ côté extérieur ( $h = 25$ ).

L'inverse de la résistance totale, surfaces comprises, est le coefficient de transmission $U = 1/R_{\text{total}}$ , en W/(m²·K), et la densité de flux vaut $\varphi'' = U\,(T_{\text{int}} - T_{\text{ext}})$ . Ce $U$ n'est ni l'énergie interne des chapitres précédents ni la tension de l'électricien : l'unité les distingue.

Sur ce mur, les deux résistances de surface pèsent à peine six pour cent de la résistance totale. En revanche, elles ne sont jamais à oublier : sur un simple vitrage, où le verre n'oppose presque rien, elles en portent l'essentiel.

sonde à 157 mm · −3,4 °C

Résistance et chute de température de chaque élément
Élément	R (m²·K/W)	Part	Chute
surface intérieure	0,130	4 %	1,07 K
platre	0,0520	2 %	0,427 K
laine-de-verre	2,63	86 %	21,6 K
parpaing	0,190	6 %	1,56 K
surface extérieure	0,0400	1 %	0,329 K

Résistance totale 3,04 m²·K/W, donc U = 0,329 W/(m²·K), soit 8,21 W/m² et 98,6 W pour 12,0 m². Les couches sont dessinées à l'échelle de leur épaisseur, et le profil à celle de leur résistance.

Un mur isolé par l'intérieur. Celui des bureaux du site, sous −5 °C dehors. Les couches sont dessinées à l'échelle de leur épaisseur. Laquelle des trois fera chuter le plus la température ?

À manipuler

Choisir la couche qui portera la plus grande chute de température, puis déplacer la sonde d'une face à l'autre pour suivre la température.
Relever dans le tableau la chute et la résistance de chaque ligne, puis diviser l'une par l'autre : le quotient est le même partout, 8,21 W/m².
Constater que la chute suit la résistance de la couche, et non son épaisseur.

Le tableau compte cinq lignes : les trois couches et les deux résistances de surface. La laine, qui ne fait qu'un tiers de l'épaisseur du mur, porte plus de quatre-vingts pour cent de sa résistance et presque toute la chute, de 18,5 à −3,1 °C entre ses faces. Le parpaing, deux fois plus épais, n'oppose que le quatorzième de la résistance de la laine. La chute dans une couche suit sa résistance, mais sa pente suit l'inverse de sa conductivité, puisque le même flux traverse tout. Le plâtre chute de 0,4 K sur 13 mm et le parpaing de 1,6 K sur 200 mm : le plâtre chute moins, mais son profil est quatre fois plus raide.

Regarder l'épaisseur d'un mur ne dit donc rien de son isolation : un mur de pierre d'un mètre, de conductivité 2 W/(m·K), n'oppose que 0,5 m²·K/W, à peu près autant que deux centimètres de laine.

Le flux est une puissance, en watts. L'énergie perdue sur une durée s'obtient en le multipliant par cette durée, et un wattheure vaut 3 600 joules (chapitre 1).

Vérification rapideon peut se reprendre

Une cloison laisse passer 120 W en continu entre un bureau chauffé et un couloir froid. Quelle énergie perd-elle pendant une nuit de 10 heures ?

Quelle épaisseur de laine pour une extension des bureaux ?

Une extension neuve vise un coefficient de transmission de 0,20 W/(m²·K) pour ses murs, soit une résistance totale de $1/0{,}20 = 5$ m²·K/W. Elle reprend le plâtre et le parpaing du mur de la figure.

Le plâtre, le parpaing et les deux résistances de surface en apportent déjà $0{,}052 + 0{,}190 + 0{,}13 + 0{,}04 \approx 0{,}41$ m²·K/W. La laine doit fournir le reste, 4,59 m²·K/W :

$e = R\,\lambda = 4{,}59 \times 0{,}038 \approx 0{,}17\ \text{m}$

Un peu plus de dix-sept centimètres, et l'on retient l'épaisseur commerciale immédiatement supérieure. Tout le reste du mur ne compte que pour un douzième de la résistance visée : c'est l'isolant qu'on dimensionne, et lui seul.

Le cas cylindrique

Toutes les parois ne sont pas planes. Un tube de 20 mm de rayon est entouré de 30 mm de laine, de conductivité 0,040 W/(m·K) : ce calorifuge, l'isolant qui enveloppe une conduite, va donc de 20 à 50 mm de rayon. La formule de la paroi plane, appliquée à un mètre de tube, donne 5,97 K/W avec la surface intérieure du calorifuge et 2,39 K/W avec sa surface extérieure. La valeur juste est 3,65 K/W : aucune des deux surfaces ne convient, parce que la surface traversée par le flux grandit à mesure qu'on s'éloigne de l'axe.

Résistance d'une paroi cylindrique

Pour un tube de longueur $L$ , de rayon intérieur $r_1$ et de rayon extérieur $r_2$ , où $\ln$ est le logarithme népérien :

$R_{\text{th}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\,\lambda\,L} \qquad\text{en}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$

C'est une résistance absolue : elle diminue quand le tube s'allonge, puisque la chaleur dispose de plus de surface pour passer. On la donne donc pour un mètre de conduite.

D'où sort le logarithme. Le flux total $\varphi = -\lambda\,(2\pi r L)\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}r$ est le même à tout rayon, alors que la surface $2\pi r L$ croît avec le rayon : $\mathrm{d}T$ est donc proportionnel à $\mathrm{d}r/r$ , dont la primitive est un logarithme (voir l'intégration). En revanche, quand l'épaisseur est très petite devant le rayon, le logarithme se confond avec le rapport $e/r_1$ et la paroi se comporte comme une paroi plane.

La conséquence pratique est contre-intuitive : doubler l'épaisseur d'un calorifuge ne double pas sa résistance, parce que la matière ajoutée travaille sur une surface plus grande, donc moins efficacement.

Une conduite de vapeur calorifugée

Un tube d'acier de 60 mm de diamètre extérieur transporte de la vapeur à 100 °C dans un local technique à 15 °C. Il est recouvert de 40 mm de laine, de conductivité 0,040 W/(m·K), et l'on prend pour le coefficient d'échange de surface un ordre de grandeur, 10 W/(m²·K), qui réunit la convection de l'air et le rayonnement : le chapitre suivant calcule ces deux modes, et trouve davantage pour un tube nu. La vapeur qui se condense et l'acier n'opposent presque aucune résistance : la face extérieure du tube est à 100 °C.

Pour un mètre de conduite, le calorifuge oppose $\ln(70/30)/(2\pi \times 0{,}040)$ et l'échange de surface $1/(10 \times 2\pi \times 0{,}070)$  :

$\varphi = \frac{100 - 15}{\dfrac{\ln(70/30)}{2\pi \times 0{,}040} + \dfrac{1}{10 \times 2\pi \times 0{,}070}} = \frac{85}{3{,}37 + 0{,}23} \approx 24\ \text{W par mètre de conduite}$

Sur trente mètres, 710 W sont perdus en permanence.

Sans calorifuge, la seule résistance serait celle de l'échange entre le tube et l'air, $1/(10 \times \pi \times 0{,}060) \approx 0{,}53$ K/W pour un mètre de tube, et la perte atteindrait $85/0{,}53 \approx 160$ W par mètre. Le calorifuge divise donc la perte par près de sept.

Une résistance surfacique ne se pose pas sur un tube

Une résistance en m²·K/W vaut pour un mètre carré. Pour l'appliquer à un mètre de tube, il faut la diviser par la surface de ce mètre, c'est-à-dire par le périmètre $2\pi r$  : les 0,13 m²·K/W d'une face de mur deviennent 1,03 K/W sur un tube de 40 mm de diamètre. Les confondre revient à multiplier la perte par huit.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un tube de 20 mm de rayon est calorifugé par 10 mm de laine. On passe à 40 mm de laine. Par quel nombre la résistance du calorifuge est-elle multipliée ?

L'analogie qui n'en est pas une

Ce chapitre a demandé d'additionner des résistances en série, parcourues par un même flux, sous l'effet d'un écart imposé. Cette phrase a déjà été écrite ailleurs, dans la loi d'Ohm. Pour qui découvre ces règles, trois suffisent : en série, les résistances s'ajoutent ; en parallèle, ce sont les conductances ; un pont diviseur partage l'écart au prorata des résistances.

Thermique	Électrique
Écart de température $\Delta T$ , en K	Tension $U$ , en V
Flux thermique $\varphi$ , en W	Courant $I$ , en A
Résistance thermique $R_{\text{th}} = e/(\lambda S)$ , en K/W	Résistance $R = \rho L/S$ , en Ω
$\Delta T = R_{\text{th}}\,\varphi$	$U = R\,I$

L'épaisseur joue la longueur, et $1/\lambda$ la résistivité. Ce n'est pas une ressemblance lointaine : c'est la même équation. Les résistances thermiques absolues, en K/W, s'associent en série et en parallèle exactement comme les résistances électriques.

En parallèle, jamais les résistances surfaciques : ce sont les conductances $S/R$ , en W/K, qui s'ajoutent, une conductance étant le flux qui passe par kelvin d'écart. Un pan de la façade des bureaux compte 12 m² de mur, de résistance 3,04 m²·K/W, et une fenêtre ancienne de 2 m², de résistance 0,174 m²·K/W, surfaces comprises. Le mur a une conductance de 3,9 W/K, la fenêtre de 11,5 W/K, et la façade de 15,4 W/K. La fenêtre, six fois plus petite, perd près de trois fois plus que le mur.

Ce qui a été appris sur les circuits se transporte donc tel quel, y compris la réduction d'un réseau et le pont diviseur : la chute de température dans une couche est à l'écart total ce que sa résistance est à la résistance totale.

Ce qui se transporte, et ce qui ne se transporte pas

La machine mathématique se transporte, à trois conditions, qu'un circuit électrique remplit presque toujours et une paroi pas toujours. Le flux doit aller droit d'une face à l'autre : au droit d'un pont thermique, il contourne l'isolant, et les chemins en parallèle ne donnent plus qu'une estimation. Les résistances doivent être constantes : celle du rayonnement dépend de la température, et le chapitre suivant la linéarise pour pouvoir l'additionner. Et le régime doit être permanent : un mur qui se refroidit la nuit restitue la chaleur qu'il a stockée, comme un condensateur qui se décharge.

La mise en équation, elle, ne se transporte pas. Savoir où tracer les frontières d'un système thermique, quelles surfaces compter et quels coefficients employer reste un travail propre à la thermique, et c'est celui que les chapitres suivants demandent.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Un mur de 10 m², de résistance 2,5 m²·K/W, porte une porte de 2 m², de résistance 0,5 m²·K/W. Laquelle des deux laisse passer le plus de chaleur ?

2.Une paroi est faite de deux couches en série, de résistances 0,2 et 1,8 m²·K/W, sous un écart de 20 K. Quelle est la chute de température dans la première ?

La méthode

Repérer le régime et les hypothèses : les expressions de ce chapitre supposent le régime permanent, une conductivité constante, et un flux qui va droit d'une face à l'autre.
Découper la paroi en couches, et calculer la résistance de chacune : $e/\lambda$ pour une couche plane, $\ln(r_2/r_1)/(2\pi\lambda)$ par mètre pour une couche cylindrique, avec des rayons et non des diamètres.
Ajouter les résistances de surface : 0,13 et 0,04 m²·K/W pour un mur de bâtiment, $1/(h \cdot 2\pi r_2)$ par mètre de conduite, avec la surface réellement offerte à l'air. Une résistance surfacique, en m²·K/W, ne s'additionne à une résistance absolue, en K/W, qu'après division par la surface.
Additionner les résistances traversées l'une après l'autre, et les conductances $S/R$ des parois placées côte à côte.
Calculer le flux : l'écart total divisé par la résistance totale, puis multiplié par la surface si la résistance est surfacique.
Remonter le profil couche par couche : la chute dans une couche vaut le flux multiplié par sa résistance, tous deux surfaciques ou tous deux absolus.
Vérifier par la somme des chutes : les chutes de toutes les couches et de toutes les surfaces doivent redonner exactement l'écart total, et la couche la plus résistante doit porter la plus grande. Un profil où l'isolant chuterait peu signale une conductivité prise à l'envers.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec la loi de Fourier et les résistances du cours. Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

Le mur des bureaux

1.
Un pan du mur extérieur des bureaux, de 12 m², superpose 13 mm de plâtre (0,25 W/(m·K)), 100 mm de laine de verre (0,038) et 200 mm de parpaing (1,05). Sa résistance de surface vaut 0,13 m²·K/W à l'intérieur et 0,04 à l'extérieur. Quelle est sa résistance totale, en m²·K/W, à 0,01 près ?
2.
L'air des bureaux est à 20 °C et le dehors à −5 °C. Quelle puissance le mur laisse-t-il passer, en watts, à 1 W près ?
3.
Quelle est la chute de température dans la laine, en kelvins, à 0,1 K près ?
4.
L'entreprise voudrait ramener la perte du mur à 75 W en ajoutant de la laine. Quelle épaisseur totale de laine faut-il, en millimètres, à 1 mm près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : le mur laisse passer environ 99 W, et la laine fait à elle seule presque toute la chute de température.

Doubler le calorifuge de la conduite d'eau glacée divise-t-il par deux la chaleur qui entre dans l'eau ?

Dans la halle des Eaux d'Escarlens, l'eau glacée part à 1 °C dans une conduite d'acier de 90 mm de diamètre extérieur, entourée de 25 mm de mousse isolante de conductivité 0,035 W/(m·K). L'air de la halle est à 25 °C. L'eau et l'acier n'opposent presque aucune résistance : la face extérieure du tube est à 1 °C. L'échange entre la surface de la mousse et l'air a pour coefficient d'échange de surface 10 W/(m²·K), convection et rayonnement réunis. Nadia Ferrand envisage de passer à 50 mm de mousse. Calculer la chaleur qui entre dans l'eau par mètre de conduite, en watts par mètre à 0,1 W/m près, avec 25 mm puis avec 50 mm de mousse, puis la baisse en pourcentage, à 1 % près, et dire si doubler l'épaisseur divise cette chaleur par deux.

Par où commencer ? Dresser la liste des résistances que la chaleur franchit, de l'air de la halle jusqu'à l'eau, et écrire la formule de chacune pour un mètre de conduite avant d'y porter un seul nombre.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi recalculer la résistance de l'échange de surface pour 50 mm de mousse, au lieu de reprendre celle de 25 mm ?

Le corrigé

Poser les rayons. Le tube a un rayon de 45 mm. Avec 25 mm de mousse, le rayon extérieur vaut 70 mm ; avec 50 mm, 95 mm. Le logarithme porte sur le rapport des rayons, et non sur l'épaisseur.
Calculer la résistance de la mousse pour un mètre de conduite. $\ln(70/45)/(2\pi \times 0{,}035) \approx 2{,}009$ K/W pour 25 mm, et $\ln(95/45)/(2\pi \times 0{,}035) \approx 3{,}398$ K/W pour 50 mm.
Calculer la résistance de l'échange à la surface de la mousse. Un mètre de conduite offre à l'air $2\pi r_2$ mètres carrés : $1/(10 \times 2\pi \times 0{,}070) \approx 0{,}227$ K/W pour 25 mm, et $1/(10 \times 2\pi \times 0{,}095) \approx 0{,}168$ K/W pour 50 mm. La surface grandit avec le rayon, donc cette résistance diminue.
Additionner les deux résistances et diviser l'écart. La chaleur traverse la mousse puis l'échange de surface, l'une après l'autre. Avec 25 mm : $24/(2{,}009 + 0{,}227) \approx 10{,}7$ W/m. Avec 50 mm : $24/(3{,}398 + 0{,}168) \approx 6{,}7$ W/m.
Comparer les deux cas. La baisse vaut $(10{,}73 - 6{,}73)/10{,}73 \approx 37\ \%$ , et non 50 %. La résistance de la mousse n'est multipliée que par $3{,}398/2{,}009 \approx 1{,}69$ , parce que la matière ajoutée enveloppe une surface plus grande. Diviser la chaleur par deux demanderait de doubler la résistance totale. La réponse à l'ouverture est donc non.
Vérifier. Les chutes de température doivent redonner l'écart : avec 25 mm, $10{,}73 \times 2{,}009 \approx 21{,}6$ K dans la mousse et $10{,}73 \times 0{,}227 \approx 2{,}4$ K à la surface, soit 24,0 K. La surface de la mousse est alors à 22,6 °C, à moins de 3 K de l'air de la halle. Une surface bien plus froide que l'air, par une mousse trop mince ou déchirée, se couvrirait de buée, l'eau de l'air humide s'y condensant : l'air humide est hors du programme, et ce risque se nomme ici sans se calculer.

Passer à 50 mm de laine de roche allège-t-il beaucoup la perte du tuyau qui chauffe la serre ?

Une exploitation de maraîchage chauffe sa serre à l'eau chaude. L'eau, à 75 °C, parcourt 40 m de hangar non chauffé, à 8 °C, dans un tube d'acier de 80 mm de diamètre extérieur, entouré de 25 mm de laine de roche de conductivité 0,040 W/(m·K). L'eau et l'acier n'opposent presque aucune résistance. Le coefficient d'échange de surface vaut 10 W/(m²·K). Le chef d'exploitation hésite à passer à 50 mm de laine. Calculer la perte par mètre de conduite, en watts par mètre à 0,1 W/m près, avec 25 mm puis avec 50 mm de laine, puis la puissance économisée sur les 40 m, en watts à 10 W près, et dire si la perte est divisée par deux.

Par où commencer ? Écrire, pour un mètre de conduite, la liste des résistances traversées de l'eau jusqu'à l'air du hangar, avec la formule de chacune, avant les nombres.

Le corrigé

Poser les rayons. Le tube a un rayon de 40 mm. Avec 25 mm de laine, le rayon extérieur vaut 65 mm ; avec 50 mm, 90 mm.
Calculer la résistance de la laine pour un mètre de conduite. $\ln(65/40)/(2\pi \times 0{,}040) \approx 1{,}932$ K/W pour 25 mm, et $\ln(90/40)/(2\pi \times 0{,}040) \approx 3{,}227$ K/W pour 50 mm.
Calculer la résistance de l'échange à la surface de la laine. La surface offerte à l'air est celle de la laine, $2\pi r_2$ par mètre : $1/(10 \times 2\pi \times 0{,}065) \approx 0{,}245$ K/W, puis $1/(10 \times 2\pi \times 0{,}090) \approx 0{,}177$ K/W.
Additionner et diviser l'écart. L'écart vaut $75 - 8 = 67$ K. Avec 25 mm : $67/(1{,}932 + 0{,}245) \approx 30{,}8$ W/m. Avec 50 mm : $67/(3{,}227 + 0{,}177) \approx 19{,}7$ W/m.
Chiffrer l'économie. $(30{,}78 - 19{,}69) \times 40 \approx 440$ W, soit une baisse de 36 % : la perte n'est pas divisée par deux, la résistance de la laine n'étant multipliée que par 1,67.
Vérifier. Sans laine, l'échange du tube nu perdrait $67 \times 10 \times 2\pi \times 0{,}040 \approx 168$ W/m : les 25 mm de laine divisent déjà la perte par plus de cinq, et les 25 mm de plus n'économisent que 11 W/m. Les chutes redonnent l'écart : avec 25 mm, $30{,}78 \times 1{,}932 + 30{,}78 \times 0{,}245 \approx 67$ K.

La loi de Fourier

La paroi plane

La résistance thermique

Les deux faces de la paroi

Le cas cylindrique

L'analogie qui n'en est pas une

La méthode

Mettre en pratique

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