La convection et le rayonnement

La convection

Au chapitre 13, un flux traverse une couche en proportion de l'écart de température, et à l'inverse de sa résistance $e/\lambda$. Appliquée à la seule paroi de la conduite, 4 mm d'un acier de conductivité $\lambda = 50$ W/(m·K), cette loi donne $0{,}004/50 = 8 \times 10^{-5}$ m²·K/W. Pour les 85 K qui séparent la vapeur du local, cela fait plus d'un million de watts par mètre carré, soit 200 kW par mètre de conduite de 60 mm de diamètre : un résultat absurde. La résistance qui limite la perte n'est pas dans l'acier. Elle est dans l'air qui le longe : au contact de la paroi, il est presque immobile et freine la chaleur, puis il l'emporte en se déplaçant. Cet échange entre une paroi et un fluide en mouvement est la convection, et c'est lui qui se cache derrière le coefficient de surface donné d'avance.

La lettre $h$ désignait au chapitre 9 l'enthalpie massique. Elle désigne ici, comme dans tous les ouvrages de transferts, un coefficient d'échange : l'unité, W/(m²·K) et non J/kg, dit toujours de laquelle il s'agit. Appliquée à un corps qui refroidit dans l'air, cette loi est celle que les équations différentielles nomment loi de refroidissement de Newton.

Deux régimes, deux ordres de grandeur. La convection est naturelle quand le mouvement du fluide naît du transfert lui-même : l'air réchauffé devient moins dense, et il monte. Elle est forcée quand un ventilateur ou une pompe impose le mouvement.

Ces valeurs ne comptent que la convection : les surfaces d'un bâtiment échangent aussi par un second mode, chiffré plus bas.

Un ventilateur fait passer l'air d'une dizaine de W/(m²·K) au plus à vingt au moins : l'ordre de grandeur change d'un cran. Un fluide qui bout, comme dans l'évaporateur du chapitre 12, échange au moins cinquante fois mieux que l'air même soufflé, et jusqu'à des dizaines de milliers de fois mieux que l'air immobile. C'est pourquoi un appareil conçu pour échanger de la chaleur fait circuler son fluide vite, et pourquoi un évaporateur peut rester petit. Le vaporiseur du chapitre 4, qui prend sa chaleur à l'air ambiant, est un échangeur à air : sa surface se règle sur ce coefficient.

Le rayonnement

Autour de la conduite, l'air ne porte pas toute la chaleur. Un thermos le montre (chapitre 1) : entre ses deux parois, le vide supprime la conduction et la convection, et le café refroidit pourtant, lentement. Reste un troisième mode, qui n'a besoin d'aucun support : le rayonnement. Toute surface émet des ondes électromagnétiques, visibles ou non, d'autant plus que sa température absolue est haute, et les surfaces voisines en absorbent une part.

En revanche, le terme d'émission ne suffit pas : une paroi à 20 °C dans une pièce à 20 °C n'échange rien, alors que son émission seule vaut environ 380 W/m² pour $\varepsilon = 0{,}9$. Prendre ce seul terme donnerait un flux énorme et faux.

Ce que la puissance quatrième change. L'émission varie comme la puissance quatrième de la température absolue : doubler la température absolue la multiplie par seize. Aux températures d'une flamme ou d'un four, elle domine tout le reste, et aucun calcul de four ne peut l'ignorer. Aux températures d'un bâtiment, elle pèse moins en valeur absolue, mais elle reste du même ordre que la convection.

C'est le rapport de 0,9 à 0,05 qui donne le facteur dix-huit : un métal poli rayonne dix-huit fois moins qu'une surface peinte, et réfléchit d'autant le rayonnement qu'il reçoit. L'émissivité est donc le levier de ce mode : une peinture ou un poli la change, sans toucher à la conduction ni à la convection.

Les trois modes ensemble

Le rayonnement comme un coefficient

Sur la conduite, la convection se calcule d'un trait, $h\,S\,\Delta T$, alors que le rayonnement demande des puissances quatrièmes. Les deux ne s'additionnent pas en une résistance tant que l'un est proportionnel à l'écart et l'autre non : face à un local à 20 °C, une surface à 100 °C rayonne 2,4 fois plus qu'à 60 °C, alors que l'écart de température n'a que doublé (80 K contre 40 K). Pourtant, sur un écart modeste devant les températures absolues, la courbe du rayonnement se confond avec sa tangente, la droite qui la touche et en suit la pente. Cela tient à la factorisation $T_p^4 - T_e^4 = (T_p^2 + T_e^2)(T_p + T_e)(T_p - T_e)$, dont les deux premiers facteurs valent presque $2T_m^2$ et $2T_m$.

Autour de 300 K et pour $\varepsilon = 0{,}9$, $h_r$ vaut 5,5 W/(m²·K) : chaque kelvin d'écart ajoute 5,5 watts par mètre carré à l'échange, autant que la convection naturelle le long d'un mur. Pour l'acier oxydé de la conduite, d'émissivité 0,8, avec $T_m = 330{,}65$ K, il vaut 6,6. Sur un écart de trente kelvins autour de 300 K, l'approximation se trompe de moins d'un pour cent. En revanche, entre un four à 900 °C et l'atelier qui l'entoure, elle sous-estime l'échange de plus d'un quart : il faut alors revenir aux puissances quatrièmes. S'il se range dans un coefficient de surface, ce n'est pas que le rayonnement soit faible, c'est qu'il est devenu proportionnel à l'écart.

D'où viennent les résistances de surface

Le chapitre 13 a posé que chaque face d'une paroi oppose une résistance de surface $R_s = 1/h$, de 0,13 m²·K/W à l'intérieur et de 0,04 à l'extérieur, sans dire d'où viennent ces nombres. Sur un mur isolé, ils pèsent peu. Sur un simple vitrage ? Le verre se chiffre avec le chapitre 13 : 4 mm de conductivité $\lambda = 1{,}0$ W/(m·K) font une résistance de $0{,}004/1{,}0 = 0{,}004$ m²·K/W. Mais contre chaque face, la mince couche d'air presque immobile dont le chapitre 13 a fait la résistance de surface, qu'on appelle aussi le film d'air, freine aussi la chaleur ; le tableau de la figure en fait deux lignes à part, « surface intérieure » et « surface extérieure ». Lesquelles pèsent le plus, le verre ou ces deux films ? La figure pose la question avant de montrer le profil de température, et affiche en pied la résistance totale et son inverse, le coefficient de transmission $U$ du chapitre 13.

Deux règles à ne pas confondre. Les voies d'une même face, convection et rayonnement, sont parallèles : leurs coefficients s'additionnent. Les couches d'une paroi, films d'air compris, sont en série : en régime permanent (chapitre 13), le même flux les traverse l'une après l'autre, et ce sont leurs résistances qui s'additionnent. Le coefficient de transmission du chapitre 13 en est l'inverse :

$U = \frac{1}{R_{\text{total}}} = \frac{1}{\dfrac{1}{h_i} + \sum_k \dfrac{e_k}{\lambda_k} + \dfrac{1}{h_e}} \qquad\text{en W/(m}^2\cdot\text{K)}$

Le flux traversant vaut $U\,S\,(T_{\text{int}} - T_{\text{ext}})$. Pour le simple vitrage de la figure, $U = 5{,}75$ W/(m²·K) : près de dix-huit fois celui du mur isolé du chapitre précédent, 0,329. Un mètre carré de ce vitrage laisse passer autant de chaleur que dix-sept à dix-huit mètres carrés de ce mur.

Un double vitrage emprisonne entre deux verres une lame d'air d'une quinzaine de millimètres, trop mince pour que l'air y circule beaucoup : elle ajoute près de 0,18 m²·K/W, et U tombe de 5,8 à 2,8 W/(m²·K). Un dépôt métallique invisible, d'émissivité 0,03, coupe en plus le rayonnement entre les deux verres : c'est le vitrage dit peu émissif, dont le coefficient descend vers 1,1 à 1,4.

La méthode

1. Nommer ce que la chaleur traverse et ce qu'elle quitte. Dans l'épaisseur, les couches se suivent et leurs résistances $e/\lambda$ s'ajoutent ; à chaque face, la convection et le rayonnement agissent côte à côte et leurs coefficients s'ajoutent.
2. Convertir les températures en kelvins dès qu'un rayonnement intervient, puisque la puissance quatrième porte sur la température absolue. Un écart, lui, vaut le même nombre dans les deux échelles.
3. Choisir la forme du rayonnement. Le bilan en $T_p^4 - T_e^4$ vaut toujours ; le coefficient $h_r = 4\varepsilon\sigma T_m^3$ ne vaut que si l'écart reste modeste devant les températures absolues, comme dans un bâtiment ou un local, et pas au voisinage d'un four.
4. Calculer le flux de chaque voie, ou le flux total par le coefficient d'échange de surface $h_{\text{total}}$ quand le rayonnement est ramené à un coefficient.
5. Ajouter les résistances de surface à celles des couches, calculer la résistance totale, et en prendre l'inverse pour le coefficient $U$.
6. Contrôler l'ordre de grandeur : $h$ de l'air en convection naturelle entre 2 et 10, un coefficient $U$ de mur isolé autour de 0,3 W/(m²·K), un simple vitrage autour de 5,8, un double vitrage autour de 2,8.
7. Recouper le rayonnement par son coefficient. Le flux rayonné calculé en $T^4$, divisé par $S\,\Delta T$, doit redonner $h_r$ à quelques pour cent près, et se placer entre 4 et 8 W/(m²·K) aux températures ambiantes. Un écart plus grand trahit des degrés Celsius dans la puissance quatrième, ou un écart de température trop large pour la tangente.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec les lois du cours. Le calcul traite la cuve de dioxyde de carbone (CO₂) au soleil ; le premier exercice type répond à l'ouverture, et le second refait la démarche dans un fournil.

La tôle reçoit environ 202 W/m² et s'installe à 48 °C sans vent ; avec le vent, elle retombe à 38 °C. La chaleur qui entre dans la cuve suit l'écart entre la tôle et le CO₂ liquide, 68 K sans vent et 58 K avec, selon la loi du chapitre 13 : le vent retire environ 15 % de l'apport. Le CO₂ reste à −20 °C sous 19,7 bar parce que cette chaleur est reprise par du CO₂ qui se vaporise ; sur la courbe du chapitre 4, un contenu qui monterait à 15 °C serait sous 50,9 bar.