Les échangeurs thermiques · Thermodynamique

Un échangeur est l'appareil qui fait passer de la chaleur d'un fluide à un autre sans les mélanger. Il y en a dans toute installation : le radiateur d'une voiture, le condenseur et l'évaporateur d'une pompe à chaleur, le ballon d'eau chaude, la ventilation double flux d'un bâtiment.

Le chapitre précédent a donné le coefficient d'échange d'une paroi. Celui-ci le met au travail sur une surface traversée par deux écoulements, et il établit d'abord un fait que le dessin seul rend évident : le sens de circulation des deux fluides change tout, sans rien coûter.

Ce qu'un échangeur fait

Définition

Un échangeur transfère de la chaleur entre deux fluides séparés par une paroi, sans qu'ils se mélangent.

Chaque fluide y est un système ouvert en écoulement permanent, et son bilan est donc celui du chapitre 9 :

$\varphi = \dot m\,c\,\Delta T$

qui n'est rien d'autre que $\dot m\,\Delta h$ pour un fluide dont la température seule varie.

L'échangeur relie les deux moitiés du parcours

Le bilan de chaque veine est le premier principe en écoulement, celui du chapitre 9. Le transfert à travers la paroi obéit à la loi de Fourier et aux coefficients de surface, ceux des chapitres 13 et 14.

Un échangeur est donc l'endroit où la thermodynamique des écoulements et les transferts thermiques se rejoignent, et c'est pourquoi il vient après les deux.

Le débit de capacité thermique

$C = \dot m\,c \qquad\text{en watts par kelvin}$

C'est la puissance qu'il faut fournir à la veine pour élever sa température d'un kelvin. Le fluide dont ce débit est le plus petit est celui qui varie le plus en température, et c'est lui qui limite l'échange.

Co-courant ou contre-courant

sonde à 50 % · écart 31,2 K

Grandeurs de l'échangeur
Débit de capacité chaud	2090 W/K
Débit de capacité froid	1670 W/K
Nombre d'unités de transfert	1,19
Efficacité	0,574
Écart logarithmique moyen	31,2 K
Puissance échangée	62,5 kW

Montage contre-courant, efficacité 57 %, puissance 62,5 kW. Basculer d'un sens à l'autre ne change ni les débits, ni la conductance, ni les températures d'entrée : seule la disposition change.

Deux veines d'eau dans le même échangeur, avec le même appareil et les mêmes débits. Basculer d'un sens à l'autre pour voir ce que la seule disposition change.

À manipuler

Basculer sur co-courant, puis revenir à contre-courant, et comparer les deux puissances échangées : rien n'a changé d'autre que la disposition des tuyaux, et le contre-courant transfère davantage.
Regarder la forme des deux profils à co-courant : ils se rapprochent et se rejoignent presque. L'écart s'effondre, et c'est cet écart qui fait le transfert.
Regarder maintenant à contre-courant : les deux profils restent presque parallèles, et l'écart se maintient sur toute la longueur.
Déplacer la sonde d'un bout à l'autre dans les deux montages, en lisant l'écart local : à co-courant il chute d'un facteur important, à contre-courant il varie à peine.
Comparer enfin les températures de sortie à contre-courant : le fluide froid ressort plus chaud que le fluide chaud, ce qu'aucun montage à co-courant ne permet.

Pourquoi le contre-courant l'emporte toujours

Le transfert local est proportionnel à l'écart local de température. Un échangeur est donc d'autant meilleur que cet écart se maintient sur toute sa longueur.

À co-courant, les deux fluides entrent du même côté : l'écart est maximal à l'entrée et s'effondre ensuite, puisque l'un monte pendant que l'autre descend. La fin de l'échangeur ne sert presque à rien.

À contre-courant, ils entrent par des côtés opposés : l'écart reste à peu près constant, et toute la longueur travaille.

Ce que le co-courant ne pourra jamais faire

À co-courant, les deux températures de sortie tendent l'une vers l'autre : la sortie du froid ne peut jamais dépasser la sortie du chaud, même avec un échangeur infiniment grand.

À contre-courant, elle le peut, et c'est le cas dans la figure. Ce croisement est impossible à co-courant, et il n'a rien d'une violation : à chaque position de l'appareil, le fluide chaud reste plus chaud que le froid qui se trouve en face de lui, et c'est la seule chose que le second principe exige.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi un échangeur à contre-courant transfère-t-il plus qu'un échangeur à co-courant identique ?

L'efficacité et la méthode NUT

Un exercice donne rarement les quatre températures. Il donne les deux entrées, les débits et l'appareil, et demande le reste.

Définition

L'efficacité compare ce que l'échangeur transfère à ce qu'il transférerait s'il était infiniment grand :

$\varepsilon = \frac{\varphi}{\varphi_{\max}} \qquad\text{avec}\qquad \varphi_{\max} = C_{\min}\,(T_{c,e} - T_{f,e})$

Le nombre d'unités de transfert mesure la taille de l'appareil rapportée au fluide qui limite :

$\text{NUT} = \frac{UA}{C_{\min}}$

L'efficacité ne dépend que de trois nombres

Le nombre d'unités de transfert, le rapport des deux débits de capacité, et le sens de circulation. Rien d'autre.

Deux échangeurs très différents partageant ces trois nombres ont donc la même efficacité, et c'est ce qui rend la méthode utilisable en dimensionnement : elle répond sans connaître les températures de sortie, qu'elle donne ensuite.

Les rendements décroissants d'un grand échangeur

L'efficacité croît avec le nombre d'unités de transfert, mais de moins en moins vite. Passer de un à deux fait gagner beaucoup, passer de quatre à huit ne fait presque plus rien.

Doubler la surface d'un échangeur déjà efficace double son prix et son encombrement pour quelques pour cent de gain. C'est la raison économique pour laquelle les échangeurs réels tournent autour d'un nombre d'unités de transfert de deux à quatre, et non davantage.

L'écart logarithmique moyen

Définition

Lorsque les quatre températures sont connues, la puissance s'écrit aussi :

$\varphi = U\,A\,\Delta T_{\text{lm}} \qquad\text{avec}\qquad \Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)}$

où $\Delta T_1$ et $\Delta T_2$ sont les écarts aux deux extrémités de l'appareil.

Deux méthodes, une seule physique

L'écart logarithmique moyen et la méthode du nombre d'unités de transfert sont exactement équivalents : ils viennent de la même intégration.

Ils ne répondent simplement pas à la même question. L'écart logarithmique suppose les quatre températures connues et donne la surface nécessaire ; la méthode NUT part de l'appareil et des deux entrées, et donne les sorties. C'est la seconde qui correspond au problème courant, et la première sert alors de contrôle.

La moyenne logarithmique, et non arithmétique, vient de ce que l'écart décroît exponentiellement le long de l'appareil.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un échangeur a un nombre d'unités de transfert de 4 et une efficacité de 0,85. Que gagne-t-on à doubler sa surface ?

La méthode

Calculer les deux débits de capacité, $\dot m c$ pour chaque veine, et repérer le plus petit. C'est lui qui limite l'échange et qui sert de référence à tout le reste.
Calculer le rapport des deux et le nombre d'unités de transfert, $UA/C_{\min}$ .
Lire ou calculer l'efficacité selon le sens de circulation, et en déduire la puissance par $\varepsilon\,C_{\min}\,(T_{c,e} - T_{f,e})$ .
Remonter aux deux sorties par le bilan de chaque veine, $\varphi = C\,\Delta T$ .
Contrôler par l'écart logarithmique : la puissance doit aussi valoir $U A \Delta T_{\text{lm}}$ calculé sur les quatre températures trouvées. Les deux méthodes doivent s'accorder.
Vérifier les unités avant le résultat : un débit de capacité est en watts par kelvin, une conductance globale aussi, et leur rapport, le nombre d'unités de transfert, est donc sans dimension. L'efficacité l'est également, et elle reste comprise entre zéro et un.
Contrôler le sens physique : la sortie du chaud ne descend jamais sous l'entrée du froid, et la sortie du froid ne monte jamais au-dessus de l'entrée du chaud. Un croisement des sorties entre elles est en revanche permis, mais seulement à contre-courant.

Synthèse

Un échangeur transfère de la chaleur entre deux fluides séparés par une paroi, sans les mélanger.
Chaque veine obéit au premier principe en écoulement : $\varphi = \dot m c \Delta T$ .
Le débit de capacité $C = \dot m c$ désigne le fluide qui limite : c'est le plus petit des deux.
À co-courant, l'écart s'effondre dès l'entrée et la fin de l'appareil ne travaille plus ; à contre-courant, il se maintient sur toute la longueur.
Le contre-courant transfère donc toujours davantage, à appareil et à débits identiques, et il ne coûte rien de plus.
À contre-courant, la sortie du froid peut dépasser celle du chaud ; à co-courant, jamais.
L'efficacité ne dépend que de trois nombres : le nombre d'unités de transfert, le rapport des débits de capacité, et le sens.
L'efficacité sature : au-delà d'un nombre d'unités de transfert de trois ou quatre, agrandir l'appareil ne rapporte plus grand-chose.
L'écart logarithmique moyen et la méthode NUT sont équivalents, et répondent à deux questions différentes.