Les échangeurs thermiques

Un échange sans mélange

L'eau captée doit perdre 209 kW pour passer de 13 à 4 °C, à 20 m³/h, soit 5,56 kg/s : c'est la puissance de froid du chapitre 3. Le groupe ne la produit pas dans cette eau : il refroidit une eau glacée qui circule en circuit fermé (chapitre 12), et mêler les deux eaux diluerait celle de la bouteille. La chaleur doit donc traverser une paroi. Combien d'eau glacée faut-il pour emporter ces 209 kW en s'échauffant de 1 à 7 °C ? Cette entrée à 1 °C, un seul kelvin au-dessus de l'évaporation du groupe, est une idéalisation : un vrai groupe en garde plusieurs, et l'eau gèlerait près de 0 °C. Le chapitre la garde pour que les nombres restent simples. La formule $Q = mc\Delta T$ donne des joules pour une masse donnée ; ici l'eau coule sans cesse, et c'est ce qui passe chaque seconde qu'il faut compter.

La puissance $\varphi$ est comptée positivement, de la veine chaude vers la veine froide : la convention du receveur compterait négative la chaleur de la veine chaude, et la valeur absolue de l'écart évite d'y revenir à chaque ligne. Pour l'échangeur du site, $5{,}56 \times 4185 \times 9 \approx 209$ kW côté eau captée, et $8{,}32 \times 4185 \times 6 \approx 209$ kW côté eau glacée : il faut 8,32 kg/s d'eau glacée. En revanche, la formule suppose que la température seule change : un fluide qui bout ou se condense dans l'appareil échange sans changer de température (chapitre 4). Le chapitre prend aussi les capacités massiques constantes, le coefficient $U$ le même sur toute la surface, et aucune perte vers l'extérieur.

Trois familles d'appareils. Les plaques sont des tôles embouties et empilées, les deux fluides circulant dans les canaux qu'elles forment, un sur deux : très compact, c'est l'appareil du site. Un faisceau de tubes fait passer un fluide dans les tubes et l'autre autour ; il tient les hautes pressions. Les ailettes sont de fines lames serties sur des tubes, qui multiplient la surface côté air, là où l'échange est mauvais, comme au radiateur d'une voiture. Le bilan de chaque veine vient du chapitre 9 ; le transfert à travers la paroi vient de la conduction et de la convection. Tout ce qui suit vaut pour les trois familles, sur l'exemple des plaques.

Le fluide qui limite l'échange

Dans l'échangeur du site, les deux veines échangent la même puissance, 209 kW, et pourtant l'eau captée varie de 9 K et l'eau glacée de 6 K. La première varie davantage alors qu'elle coule moins vite : 5,56 kg/s contre 8,32. Ni le débit massique seul, ni la capacité massique seule ne dit quelle veine varie le plus.

L'eau captée a $C = 5{,}56 \times 4185 \approx 23{,}3$ kW/K, l'eau glacée $34{,}8$ kW/K. Le plus petit des deux, noté $C_{\min}$, est celui de la veine qui varie le plus en température, et c'est elle qui limite l'échange, comme la suite le montre ; le plus grand se note $C_{\max}$, et le rapport $C_r = C_{\min}/C_{\max}$, compris entre 0 et 1, vaut ici 0,67. Ce $C$ est un débit, en watts par kelvin, et non la capacité thermique d'un corps, en joules par kelvin, du chapitre 3 : il dit ce que la veine absorbe chaque seconde, et non ce qu'un objet stocke.

Deux cas limites reviendront. Un fluide qui change d'état échange sans varier en température : son $C$ est infini, et $C_r$ tend vers 0. Deux veines de même débit de capacité, deux airs de même débit par exemple, donnent $C_r = 1$.

La conductance de l'appareil

Combien de plaques faut-il ? La chaleur de l'eau captée traverse trois obstacles en série : la couche d'eau captée contre la plaque, la tôle d'inox, la couche d'eau glacée de l'autre côté. Pour une tôle de 0,6 mm ($\lambda = 16$ W/(m·K)) entre deux eaux en convection forcée, dont le coefficient d'échange vaut environ 5 000 W/(m²·K) de chaque côté (table du chapitre 14), quel est le coefficient global ? Additionner les deux coefficients donnerait 10 000, les moyenner 5 000, et aucun des deux n'est juste : ce sont les résistances, inverses des coefficients, qui s'additionnent en série, comme celles des couches d'un mur au chapitre 13.

Ici, $1/U = 1/5000 + 0{,}0006/16 + 1/5000 \approx 4{,}4 \times 10^{-4}$, soit $U \approx 2\,300$ W/(m²·K) : les 48 kW/K de l'échangeur du site tiennent dans $48\,000/2300 \approx 21$ m² de plaques. Entre deux airs, où $h \approx 25$ W/(m²·K), $U$ tombe à 12 W/(m²·K) environ, et les 240 W/K de la ventilation double flux de ce chapitre demandent une vingtaine de mètres carrés : c'est le tableau des coefficients du chapitre 14, traduit en encombrement. En revanche, ce $U$ suppose des plaques propres : un dépôt de tartre ajoute une résistance $e/\lambda$ en série et fait baisser $U$.

Co-courant ou contre-courant

Les deux circuits du site se rencontrent dans un appareil de conductance 48 kW/K. L'eau captée (13 °C, 5,56 kg/s) y est le fluide chaud, et l'eau glacée (1 °C, 8,32 kg/s) le fluide froid. Les deux fluides peuvent circuler dans le même sens, à co-courant, ou en sens opposés, à contre-courant : les débits, les entrées et la surface ne changent pas, seul le raccordement des tuyaux change. Le tableau sous la figure donne aussi trois grandeurs que les sections suivantes définissent (l'écart logarithmique moyen, le nombre d'unités de transfert, l'efficacité) : pour l'instant, seules la puissance et les sorties comptent.

À contre-courant, l'appareil échange 209 kW : l'eau captée ressort à 4,0 °C et l'eau glacée à 7,0 °C, trois kelvins plus chaude. L'annonce du constructeur est donc possible. À co-courant, le même appareil n'échange que 162 kW, et l'eau captée ne descend qu'à 6,0 °C. Le transfert local suit l'écart local : un échangeur est d'autant meilleur que cet écart se maintient sur toute sa longueur. Le croisement des sorties n'a rien d'une violation du second principe : à chaque position de l'appareil, le fluide chaud reste plus chaud que le froid qui se trouve en face de lui, et c'est la seule chose que ce principe exige.

À co-courant, les deux sorties ne se croisent jamais, même avec un appareil infiniment grand : les deux eaux tendent vers une température commune, celle d'un mélange, que le bilan du chapitre 3 donne en pondérant par les débits de capacité. Pour l'échangeur du site, $(23{,}3 \times 13 + 34{,}8 \times 1)/(23{,}3 + 34{,}8) \approx 5{,}8$ °C : l'eau captée ne descendrait jamais sous 5,8 °C à co-courant, quels que soient la surface et le prix, et la consigne de 4 °C impose le contre-courant. À contre-courant, le fluide de plus petit débit de capacité peut aller jusqu'à la température d'entrée de l'autre. Le contre-courant fait donc au moins aussi bien que le co-courant, et mieux dès qu'aucun fluide ne change d'état.

L'écart logarithmique moyen

Quand les quatre températures sont connues, la puissance se tire de la conductance, à condition de connaître l'écart moyen entre les deux fluides. Pour l'échangeur du site à co-courant, l'écart local passe de 12 K à l'entrée ($13 - 1$) à 0,4 K à la sortie. La moyenne arithmétique, 6,2 K, donnerait $48 \times 6{,}2 \approx 297$ kW, alors que l'appareil n'échange que 162 kW. À contre-courant, les écarts d'extrémité valent 6,0 et 3,0 K : la moyenne, 4,5 K, donne 217 kW au lieu de 209. La moyenne arithmétique ne trompe que peu quand les deux écarts sont voisins, beaucoup quand ils ne le sont pas.

Pour l'échangeur du site à co-courant, l'écart d'entrée vaut 12 K et l'écart de sortie 0,384 K, d'où $\Delta T_{\text{lm}} = (12 - 0{,}384)/\ln(12/0{,}384) \approx 3{,}375$ K et $48 \times 3{,}375 = 162$ kW. À contre-courant, $\Delta T_1 = 13 - 7{,}0 = 6{,}0$ K, l'entrée de l'eau captée face à la sortie de l'eau glacée, et $\Delta T_2 = 4{,}0 - 1 = 3{,}0$ K : $\Delta T_{\text{lm}} \approx 4{,}35$ K et $48 \times 4{,}35 \approx 209$ kW. En revanche, quand les deux écarts sont égaux, la formule devient 0/0 : l'écart moyen vaut alors cet écart commun. L'écart logarithmique suppose les quatre températures connues : il donne la surface d'un appareil dont les sorties sont imposées, et sert de contrôle quand elles ont été calculées.

L'efficacité et le nombre d'unités de transfert (NUT)

Un énoncé donne rarement les quatre températures : il donne les deux entrées, les débits et l'appareil, et demande les sorties. Pour l'échangeur du site à contre-courant, essayer une sortie de l'eau captée à 6 °C. La puissance serait $23{,}3 \times 7 \approx 163$ kW, et l'eau glacée ressortirait à $1 + 163/34{,}8 \approx 5{,}7$ °C. Les écarts d'extrémité valent alors 7,3 et 5,0 K, l'écart moyen 6,1 K, et $48 \times 6{,}1 \approx 292$ kW : l'appareil transférerait presque le double, l'essai est faux, et il faudrait en tenter un autre, puis un autre. Une méthode qui donne les sorties sans tâtonner part de ce que l'appareil pourrait faire au mieux.

Aucun appareil ne va plus loin, car l'un des fluides sortirait alors au-delà de l'entrée de l'autre : $\varepsilon$ reste donc comprise entre 0 et 1, et seul un appareil infini atteindrait 1. La lettre $\varepsilon$ n'a ici aucun rapport avec l'émissivité du chapitre 14.

L'efficacité ne dépend que de trois nombres : le NUT, le rapport $C_r$ et le sens de circulation. Les constructeurs la publient en abaques, des courbes à lire, pour les autres géométries ; pour les deux montages de ce chapitre, elle s'écrit, avec $e$ la base des logarithmes népériens :

• à contre-courant, pour un rapport $C_r$ quelconque : $\varepsilon = \dfrac{1 - e^{-\text{NUT}(1 - C_r)}}{1 - C_r\,e^{-\text{NUT}(1 - C_r)}}$ ;
• à contre-courant, pour deux débits de capacité égaux ($C_r = 1$) : $\varepsilon = \dfrac{\text{NUT}}{1 + \text{NUT}}$ ;
• pour un fluide qui change d'état ($C_r = 0$), à contre-courant comme à co-courant : $\varepsilon = 1 - e^{-\text{NUT}}$ ;
• à co-courant, pour un rapport $C_r$ quelconque : $\varepsilon = \dfrac{1 - e^{-\text{NUT}(1 + C_r)}}{1 + C_r}$, qui plafonne à $1/(1 + C_r)$ même pour un NUT infini : 0,6 pour l'échangeur du site, 0,5 pour deux débits égaux.

L'efficacité croît avec le NUT, mais de moins en moins vite. Pour un fluide qui change d'état, elle sature vite : 0,86 à NUT 2, 0,98 à NUT 4. Pour deux débits égaux, elle sature lentement : à contre-courant, 0,67 à NUT 2, 0,80 à NUT 4, 0,89 à NUT 8. Le bon NUT dépend de ce que vaut la chaleur récupérée : un échangeur de procédé s'arrête souvent vers 2 à 4, une ventilation double flux monte à 6 ou davantage, parce que chaque point d'efficacité se retrouve sur la facture de chauffage de tout un hiver.

La méthode

1. Calculer les deux débits de capacité, $\dot m c$ pour chaque veine, repérer le plus petit, $C_{\min}$, et le rapport $C_r = C_{\min}/C_{\max}$.
2. Construire la conductance : $U$ à partir des coefficients d'échange des deux faces et de la paroi, puis $UA$, puis le NUT, $UA/C_{\min}$. La conductance et les débits de capacité sont en watts par kelvin, donc le NUT est sans dimension.
3. Choisir le sens de circulation et lire l'efficacité : par la formule du sens retenu, ou sur l'abaque de l'appareil quand sa géométrie n'est ni à co-courant ni à contre-courant.
4. Calculer la puissance par $\varepsilon\,C_{\min}\,(T_{c,e} - T_{f,e})$.
5. Remonter aux deux sorties par le bilan de chaque veine, $\varphi = C\,|\Delta T|$ : la chaude baisse de $\varphi/C_c$, la froide monte de $\varphi/C_f$.
6. Contrôler par l'écart logarithmique : la puissance doit aussi valoir $U A \Delta T_{\text{lm}}$ calculé sur les quatre températures trouvées, et si les deux écarts d'extrémité sont égaux, l'écart moyen est cet écart commun.
7. Contrôler le sens physique : la sortie du chaud ne descend jamais sous l'entrée du froid, et la sortie du froid ne monte jamais au-dessus de l'entrée du chaud. Un croisement des deux sorties est permis, mais seulement à contre-courant ; à co-courant, la température commune d'un appareil infini borne l'une et l'autre.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec les formules du cours. Le calcul retrouve les valeurs que la figure affiche, et le premier exercice type refait la démarche sur un autre point de fonctionnement de la même installation.

Les trois questions de l'ouverture ont donc leur réponse. L'annonce du constructeur est possible, mais seulement à contre-courant : l'eau captée ressort à 4,0 °C et l'eau glacée à 7,0 °C. L'appareil demande 21 m² de plaques, pour une conductance de 48 kW/K. Monté à co-courant, il ne ferait descendre l'eau captée qu'à 6,0 °C, et aucune surface ne la ferait passer sous 5,8 °C.