Le premier principe et les échanges d'énergie

Le travail des forces de pression

Un piston de 100 cm² est enfoncé de 10 cm dans un cylindre, contre l'air qu'il comprime, maintenu à 4 bar. Quelle énergie l'air reçoit-il ? Une force est une poussée, mesurée en newtons (N). Le travail d'une force constante est l'énergie qu'elle transmet en déplaçant son point d'application : c'est la force multipliée par la distance parcourue dans son sens, $W = F\,d$. La pression étant une force par surface (chapitre 1), la force sur le piston vaut $F = P \times S = 4 \times 10^5 \times 0{,}01 = 4000$ N, et le travail $4000 \times 0{,}10 = 400$ J. La surface multipliée par la course est le volume balayé, ici $0{,}01 \times 0{,}10 = 10^{-3}$ m³ : le travail est aussi la pression multipliée par la variation de volume, sans qu'il faille connaître la surface ni la course séparément.

Le piston de l'exemple donne $\Delta V = -10^{-3}$ m³, donc $W = -4 \times 10^5 \times (-10^{-3}) = +400$ J : c'est la valeur de $F\,d$, et le signe moins de la formule rend positif le travail d'une compression. Le $\delta$ droit, à la place du $d$ d'une petite variation, rappelle que $W$ n'est pas la variation d'une grandeur de l'état du gaz : la section suivante en donne la raison.

En revanche, un volume qui augmente ne suffit pas à fournir du travail : il faut une pression extérieure en face. $P_{\text{ext}}$ est celle du milieu, et elle diffère de la pression du gaz dès que la transformation est brusque.

Quand la pression du gaz remplace la pression extérieure. Si la transformation est quasi statique, c'est-à-dire faite d'une suite d'états d'équilibre (chapitre 1), le gaz reste à chaque instant en équilibre avec ce qui le presse, et $P_{\text{ext}}$ se confond avec sa propre pression $P$, que $PV = nRT$ relie au volume (chapitre 2) :

$W = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV$

Le signe $\int$ se lit « somme de tous les petits travaux, du volume $V_1$ au volume $V_2$ ». C'est le cas de toutes les figures du parcours, sauf la détente dans le vide plus bas.

L'aire sous la courbe. Sur un diagramme qui porte la pression du gaz en ordonnée et son volume en abscisse, $\int P\,dV$ est l'aire comprise entre la courbe de la transformation et l'axe des volumes. Un gaz qui se détend fournit cette aire : son $W$ est négatif. Un gaz qu'on comprime la reçoit : son $W$ est positif. Cette lecture donnera, sur un cycle, le travail net sans qu'aucune intégrale ne soit écrite.

Deux chemins, deux travaux

Un gaz ne passe pas d'un état à un autre d'une seule manière. Une mole d'air, traitée en gaz parfait diatomique, est à 1 bar et 300 K ; elle doit arriver à 3 bar et 600 K, deux états d'équilibre fixés. Deux protocoles y mènent. Dans le premier, le gaz est comprimé de 1 à 1,5 bar dans un bain qui le maintient à 300 K (une transformation isotherme, à température constante), puis chauffé à volume bloqué (isochore) jusqu'à 600 K, où sa pression atteint 3 bar. Dans le second, il est d'abord chauffé à volume bloqué jusqu'à 3 bar, ce qui l'amène à 900 K, puis refroidi sous une pression maintenue à 3 bar (isobare) jusqu'à 600 K. Les deux protocoles partent du même état et arrivent au même état. Le travail et la chaleur échangés sont-ils pour autant les mêmes ? Avant de lancer la figure, répondre à sa question : lequel des deux chemins fait recevoir le plus de travail au gaz ?

La figure donne la réponse. Le chemin 2 fait recevoir le plus de travail : 2,49 kilojoules (kJ, un kilojoule valant mille joules), contre 1,01 kJ pour le chemin 1, soit près de deux fois et demie plus, alors que les états de départ et d'arrivée sont les mêmes. Son aire sous la courbe est plus grande, parce que le gaz y est comprimé sous 3 bar, quand le premier chemin le comprime sous une pression comprise entre 1 et 1,5 bar. La chaleur dépend du chemin elle aussi : 5,22 kJ reçus sur le premier, 3,74 kJ sur le second. Il n'existe donc aucune fonction du seul état qui donnerait le travail ou la chaleur, et parler du travail « contenu » dans un gaz n'a pas de sens.

Leur somme, en revanche, est la même : 1,01 + 5,22 et 2,49 + 3,74 font, à l'arrondi près, 6,24 kJ, et c'est aussi la valeur de la colonne $\Delta U$ sur les deux chemins. Le gaz a gagné 300 K, donc sa variation d'énergie interne n'est pas nulle, et pourtant elle ne dépend pas de la route. Deux grandeurs qui dépendent du chemin ont une somme qui n'en dépend pas : le principe suivant en fait une loi.

Le premier principe

Sur les deux chemins, $W + Q$ vaut 6,24 kJ : c'est la variation d'une grandeur que le gaz possède, et qui ne dépend que de l'état où il se trouve.

Ce principe a deux limites. Il suppose le système fermé : une matière qui traverse la frontière emporte de l'énergie avec elle, et le chapitre 9 ajoute ce terme. Il énonce aussi une conservation, qui ne donne aucun sens au temps : le café qui se réchaufferait en refroidissant la pièce le respecterait, comme le chapitre 3 l'a noté, et c'est le chapitre 10 qui l'exclut.

Ce que l'énergie interne contient

Les 6,24 kJ de la figure ne sont ni du travail ni de la chaleur, qui sont deux manières d'échanger de l'énergie et non deux manières d'en stocker. Où ces joules sont-ils logés ? Dans le gaz lui-même.

En revanche, un cylindre de gaz emporté dans un wagon à 90 km/h n'a pas plus d'énergie interne qu'à l'arrêt : son mouvement d'ensemble est de l'énergie cinétique du wagon, pas de l'énergie interne du gaz.

L'énergie interne d'un gaz parfait

Le gaz de la figure a changé de température, de pression et de volume à la fois. Laquelle de ces trois variables fixe son énergie interne ? Le modèle du gaz parfait (chapitre 2) donne une prévision : ses molécules n'interagissent pas, hors les chocs, de sorte qu'il n'a aucune énergie de liaison, seulement l'agitation, que la température mesure (chapitre 2). Son énergie interne ne devrait donc dépendre que de la température. Une expérience le vérifie, et elle se décrit en trois lignes.

Passer de la température à l'énergie interne

Dans la figure, le chauffage à volume bloqué du premier chemin, de 300 à 600 K, ne reçoit aucun travail, puisque le volume ne change pas : les 6,24 kJ de chaleur qu'il reçoit deviennent tous de l'énergie interne. Pour une mole et 300 K d'élévation, cela fait 20,8 J par kelvin. Cette valeur sert-elle pour une autre transformation que ce chauffage ?

Volume bloqué, aucun travail n'est reçu et $\Delta U = Q$ : c'est ce qui permet de mesurer $C_v$. Elle sert pour toute transformation parce que, pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$ : chaque kelvin gagné en stocke autant, de quelque façon qu'il ait été gagné. Elle vaut $\frac32 R \approx 12{,}5$ J/(mol·K) pour un gaz monoatomique, dont les molécules n'ont qu'un atome, comme l'hélium, et $\frac52 R \approx 20{,}8$ J/(mol·K) pour un gaz diatomique, à deux atomes par molécule, comme l'air ; le chapitre 6 dira d'où viennent ces deux valeurs. L'écart $\Delta T$ vaut autant en kelvins qu'en degrés Celsius (chapitre 3). Pour la figure, $\Delta U = 1 \times 20{,}8 \times 300 = 6240$ J, la valeur de la colonne $\Delta U$.

En revanche, cette règle est celle du gaz parfait : pour un liquide ou un solide, les liaisons comptent, et ce sont elles que la chaleur latente d'un changement d'état vient défaire (chapitre 4).

Comprimer un gaz parfait sans changer sa température ne change donc pas son énergie interne, alors qu'il a reçu du travail : il a cédé exactement autant de chaleur, $Q = -W$. C'est le rôle des refroidisseurs d'un compresseur.

Le travail et la chaleur selon la frontière

Un bain d'eau isolé est chauffé par une résistance plongée dedans et alimentée par un câble qui traverse la paroi. L'énergie qui entre est-elle un travail ou une chaleur ? Cela dépend du système. Pour l'ensemble formé de l'eau et de la résistance, l'énergie arrive par un fil, et non sous l'effet d'un écart de température : c'est un travail, $W = P\,t$, la puissance électrique en watts multipliée par la durée en secondes. Pour l'eau seule, la résistance, plus chaude qu'elle, lui cède de l'énergie par un écart de température : c'est une chaleur. Le même transfert est un travail pour un système et une chaleur pour l'autre, comme le chapitre 1 l'a posé pour la chaleur d'un réservoir.

L'électricité du compresseur de la centrale d'air se compte de la même façon : pour le système formé du moteur et du compresseur, elle entre par un câble, c'est un travail. Ce qui sépare le travail de la chaleur est le mode de franchissement de la frontière, et non l'effet produit : chauffer un litre d'eau par une flamme ou par une résistance mène au même état final.

La méthode

1. Délimiter le système et vérifier qu'il est fermé. Le principe sous cette forme suppose qu'aucune matière ne traverse la frontière, et c'est aussi ce choix qui décide si un apport est un travail ou une chaleur.
2. Calculer la variation d'énergie interne en premier, par $n C_v \Delta T$. Elle ne demande que les deux températures, et elle est souvent nulle.
3. Calculer le travail par $-P_{\text{ext}}\,\Delta V$, avec des pascals et des mètres cubes, en conservant son signe. Hors du quasi statique, c'est la pression extérieure qui compte, et non celle du gaz.
4. En déduire la chaleur par $Q = \Delta U - W$, plutôt que de la calculer séparément. Le principe sert alors de calcul, et non de vérification.
5. Lire les trois signes ensemble : $\Delta U$ a le signe de $\Delta T$, et le travail est positif en compression, négatif en détente.
6. Confronter le résultat à son cas limite : volume bloqué, $W = 0$ et $\Delta U = Q$ ; température constante, $Q = -W$ ; paroi isolante, $Q = 0$ et $\Delta U = W$. Un bilan qui s'éloigne du cas limite le plus proche contient une erreur de signe ou d'unité.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

La première question de l'ouverture a sa réponse : pour un remplissage complet, l'eau des refroidisseurs emporte environ 45,6 mégajoules (MJ), soit 12,7 kilowattheures (kWh). L'air ne garde rien de cette énergie sous forme d'énergie interne, puisqu'il ressort à la température où il est entré : l'électricité du compresseur finit en chaleur. C'est un minimum, celui d'une compression refroidie sans cesse : les trois étages réels demandent davantage, comme le chapitre 9 le chiffrera.