L'enthalpie et les systèmes ouverts · Thermodynamique

Tout ce qui précède décrit un gaz enfermé dans un cylindre. Aucune machine réelle ne fonctionne ainsi. Un compresseur, une turbine, une pompe, un échangeur sont traversés par un écoulement : le fluide entre d'un côté, ressort de l'autre, et la frontière du système ne se déplace pas.

Ce changement de situation change l'écriture du bilan. Le travail que reçoit un fluide qui traverse une machine n'est pas celui que reçoit un gaz dans un piston, et les confondre est le décrochage le plus coûteux de tout le parcours. Ce chapitre établit la bonne écriture, et introduit pour cela la grandeur qui la rend simple : l'enthalpie.

Le travail de transvasement

Un fluide qui entre dans une machine n'y entre pas tout seul : il est poussé par le fluide qui le suit. Et en sortant, il pousse à son tour celui qui se trouve devant lui. Ces deux poussées sont du travail, et elles n'existent pas dans un cylindre fermé.

Le travail de transvasement

Faire entrer un volume $V$ sous la pression $P$ coûte le travail $PV$ . Le faire sortir sous la pression $P'$ en rend $P'V'$ .

Le bilan de ces deux poussées vaut donc $\Delta(PV)$ , et il s'ajoute à tout le reste.

Pourquoi une nouvelle grandeur

Le premier principe en système fermé s'écrit avec l'énergie interne. En écoulement, il faudrait y ajouter chaque fois le terme de transvasement, et le traîner dans tous les calculs.

Plutôt que de le répéter, on le range une fois pour toutes dans la définition d'une grandeur nouvelle. L'enthalpie n'est donc pas une énergie d'une autre nature : c'est l'énergie interne plus le travail d'entrée et de sortie, rassemblés sous un seul nom.

Définition

$H = U + PV$

Pour un gaz parfait, l'enthalpie ne dépend que de la température :

$\Delta H = n\,C_p\,\Delta T$

Le premier principe en écoulement

Écoulement permanent

Pour un fluide traversant une machine en régime permanent, sans variation notable d'énergie cinétique ni d'altitude :

$w_t + q = \Delta h$

où $w_t$ est le travail technique reçu par unité de masse, $q$ la chaleur reçue par unité de masse, et $\Delta h$ la variation d'enthalpie massique entre la sortie et l'entrée.

Les deux écritures, côte à côte

En système fermé : $\Delta U = W + Q$ , avec $W = -\int P\,dV$ .
En système ouvert : $\Delta H = W_t + Q$ , avec $W_t = \int V\,dP$ .

Les deux travaux ne sont pas égaux, et ils diffèrent exactement du travail de transvasement :

$W_t - W = \Delta(PV)$

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · compresseur

Bilan de chaque transformation
Étape	W technique	Q	ΔH	ΔS
1 → 2 adiabatique	5,10 kJ	0 J	5,10 kJ	0 J/K

Les grandeurs en gras sont reçues par le gaz : une valeur négative signifie qu'il en fournit. L'aire hachurée, mesurée depuis l'axe des pressions, est le travail technique.

Une compression adiabatique dans un compresseur. Le fluide entre à gauche, traverse la machine et ressort à droite. L'aire hachurée, mesurée depuis l'axe des pressions, est le travail technique.

À manipuler

Regarder le dessin de gauche : il n'y a plus de piston, mais une machine traversée par un écoulement, avec une entrée et une sortie. Le symbole se resserre dans le sens de l'écoulement, ce qui est la convention du compresseur.
Lire le tableau : il ne donne ni travail de piston, ni énergie interne, mais le travail technique et la variation d'enthalpie. Ce ne sont pas d'autres colonnes du même bilan, ce sont les seules qui aient un sens sur ce montage.
Comparer ces deux nombres : ils sont égaux, puisque la chaleur est nulle. C'est le premier principe en écoulement, lu directement.
Regarder où l'aire se construit : elle se mesure depuis l'axe vertical, c'est-à-dire à gauche de la courbe, et non en dessous.

L'erreur qui coûte le plus cher du parcours

Calculer le travail d'un compresseur avec la formule du piston, $-\int P\,dV$ , donne un résultat faux et plausible.

Sur une adiabatique de gaz diatomique, le rapport entre les deux vaut exactement $\gamma$ , soit 1,40. Un compresseur dimensionné avec la mauvaise formule est sous-dimensionné de quarante pour cent, et rien dans le nombre obtenu ne le signale.

La règle est simple et sans exception : un piston fermé, la formule du piston ; une machine traversée, le travail technique.

Le compresseur de la figure, chiffré

Une mole d'air comprimée de 1 à 5 bar, adiabatiquement, en partant de 300 K.

La température de sortie, par Laplace : $T_2 = 300 \times 5^{0{,}2857} \approx 475$ K.

Le travail technique : $W_t = \Delta H = n C_p \Delta T = 29{,}1 \times 175 \approx 5{,}09$ kJ.

Le travail qu'aurait donné la formule du piston : $n C_v \Delta T = 20{,}8 \times 175 \approx 3{,}64$ kJ.

L'écart est de 1,45 kJ, soit précisément le travail de transvasement. Et le rapport des deux vaut $29{,}1/20{,}8 = 1{,}40$ , qui est $\gamma$ .

Vérification rapideon peut se reprendre

Quel travail faut-il calculer pour dimensionner le moteur d'un compresseur ?

Reconnaître le bon cadre

Deux questions suffisent

La matière traverse-t-elle la frontière ? Si oui, le système est ouvert, et le bilan s'écrit en enthalpie.

La frontière se déplace-t-elle ? Si oui, il y a un travail de piston, et le système est fermé.

Un cylindre de moteur pendant la combustion est fermé, soupapes closes. Le même cylindre pendant l'admission est ouvert. Un compresseur, une turbine, une pompe, un échangeur, une vanne sont ouverts en permanence, et c'est le cas de tous les composants du cycle frigorifique.

	Système fermé	Système ouvert
Exemple	gaz dans un piston	compresseur, turbine, échangeur
Ce qui traverse	énergie seule	énergie et matière
Grandeur du bilan	énergie interne $U$	enthalpie $H$
Travail	$W = -\int P\,dV$	$W_t = \int V\,dP$
Capacité employée	$C_v$	$C_p$
Sur le diagramme	aire sous la courbe	aire à gauche de la courbe

La méthode

Trancher entre fermé et ouvert avant d'écrire quoi que ce soit, en regardant si la matière traverse la frontière. Ce choix décide de toutes les formules qui suivent.
Choisir la grandeur du bilan : énergie interne pour un système fermé, enthalpie pour un système ouvert.
Calculer la variation d'enthalpie par $n C_p \Delta T$ , et non par $C_v$ , ce qui est l'erreur symétrique de la précédente.
Appliquer le principe en écoulement, $W_t + Q = \Delta H$ , et en tirer l'inconnue.
Vérifier les unités avant le résultat : une enthalpie est une énergie, et le produit $PV$ qu'elle contient en est une aussi, un pascal fois un mètre cube valant un joule. Une enthalpie massique, en joules par kilogramme, ne se compare pas à une enthalpie molaire.
Contrôler par le rapport gamma : sur une adiabatique de gaz parfait, le travail technique doit valoir $\gamma$ fois le travail de piston. Un rapport égal à un signale que la même formule a servi deux fois.

Synthèse

Une machine traversée par un écoulement est un système ouvert, et le cylindre fermé des chapitres précédents n'en décrit aucune.
Faire entrer et sortir le fluide coûte du travail, appelé transvasement, et il vaut $\Delta(PV)$ .
L'enthalpie $H = U + PV$ range ce terme une fois pour toutes dans la définition d'une grandeur.
Pour un gaz parfait, $\Delta H = n C_p \Delta T$  : elle ne dépend que de la température, comme l'énergie interne.
En écoulement permanent, le premier principe s'écrit $W_t + Q = \Delta H$ .
Le travail technique vaut $\int V\,dP$ , et il diffère du travail de piston du travail de transvasement.
Sur une adiabatique de gaz diatomique, le rapport des deux travaux vaut exactement $\gamma = 1{,}40$  : employer la mauvaise formule sous-dimensionne de quarante pour cent.
Sur un diagramme pression-volume, le travail de piston est l'aire sous la courbe, le travail technique l'aire à gauche.