L'enthalpie et les systèmes ouverts

Ce que la formule du piston oublie

Un kilogramme d'air est aspiré par un compresseur de la centrale à 1 bar et 20 °C, puis refoulé à 41 bar, sans frottement ni échange de chaleur. Il compte $n = 34{,}52$ mol (la masse molaire de l'air, 28,97 g/mol, que le chapitre 2 arrondit à 29). La loi de Laplace, avec des kelvins et des pressions absolues, donne la température de sortie :

$T_2 = 293{,}15 \times 41^{0{,}2857} \approx 847\ \text{K}\quad\text{soit } 574\ °\text{C}$

Le travail de l'adiabatique, $W = n\,C_v\,\Delta T$ (chapitre 7, avec $C_v = 20{,}79$ J/(mol·K) du chapitre 5), vaut alors :

$W = 34{,}52 \times 20{,}79 \times 553{,}9 \approx 397\ \text{kJ}$

La note du constructeur annonce 556 kJ pour la compression idéale. Le même désaccord s'observe sur une mole comprimée de 1 à 5 bar à partir de 300 K : 3,64 kJ par la formule, 5,10 kJ pour la machine. Dans les deux cas, la machine demande 40 % de plus, et un moteur choisi sur la formule ne fournirait que 71 % de la puissance nécessaire.

Ni un frottement, exclu des deux calculs, ni la température de sortie, qu'ils partagent, n'expliquent l'écart. La formule du piston décrit un gaz enfermé, dont seul le volume varie. Un compresseur n'enferme rien : l'air y entre, le traverse et en ressort. Sa frontière est ouverte (chapitre 1), le système est dit ouvert, et le fluide qui le parcourt forme un écoulement.

Le travail de transvasement

Un fluide qui entre dans une machine n'y entre pas tout seul : il est poussé par le fluide qui le suit. En sortant, il pousse à son tour celui qui se trouve devant lui. Ces deux poussées sont des travaux, et un cylindre fermé n'en a pas.

Sur la mole de la figure, les deux poussées sont inégales : 2,49 kJ à l'entrée, 3,95 kJ à la sortie. Les 1,46 kJ de différence sont exactement l'écart entre les 5,10 kJ de la machine et les 3,64 kJ de la formule du piston : le cas qui échouait trouve sa cause. Cet écart vient de l'échauffement : le gaz sort à 475 K, donc avec un produit $PV$ plus grand qu'à l'entrée. En revanche, une compression isotherme laisserait les deux rectangles égaux, puisque $PV = nRT$ ne varie pas quand la température est constante.

L'enthalpie, et d'où elle vient

Suivre un kilogramme de fluide à travers la machine. Il reçoit la chaleur $q$ et le travail $w_t$ de l'arbre, plus les deux transvasements, $P_1v_1$ à l'entrée et $-P_2v_2$ à la sortie, où $v$ est le volume massique, le volume d'un kilogramme, en m³/kg. Le premier principe donne, avec $u$ l'énergie interne par kilogramme :

$u_2 - u_1 = q + w_t + P_1v_1 - P_2v_2$

En rangeant chaque terme de pression du côté de l'état auquel il appartient :

$(u_2 + P_2v_2) - (u_1 + P_1v_1) = w_t + q$

La combinaison $u + Pv$ apparaît d'elle-même, à l'entrée comme à la sortie. Plutôt que de traîner le transvasement dans tous les bilans, on le range une fois pour toutes dans une grandeur nouvelle.

L'enthalpie n'est donc pas une énergie d'une autre nature : c'est l'énergie interne plus le travail d'entrée et de sortie, sous un seul nom. En revanche, dans un cylindre fermé, $PV$ n'est le travail de rien, et le bilan s'y écrit avec $U$.

Pour un gaz parfait (chapitre 2), $PV = nRT$ donne $H = U + nRT$, et $U$ ne dépend que de $T$ : l'enthalpie aussi. En différenciant, $dH = nC_v\,dT + nR\,dT$, et la relation de Mayer, $C_v + R = C_p$, donne :

$\Delta H = n\,C_p\,\Delta T$

Du molaire au massique. Cette écriture compte des moles, avec $C_p$ en J/(mol·K). Par kilogramme, elle devient $\Delta h = c_p\,\Delta T$, avec la capacité massique $c_p = n_1 C_p$, où $n_1$ est le nombre de moles d'un kilogramme. Pour l'air, $n_1 = 34{,}52$ mol et $c_p = 34{,}52 \times 29{,}10 \approx 1005$ J/(kg·K), la valeur du tableau du chapitre 3. Multiplier $C_p$ par une masse, ou $c_p$ par des moles, fausse le résultat d'un facteur d'environ trente-cinq.

Le premier principe en écoulement

Le bilan précédent vaut pour tout fluide qui traverse une machine, à deux hypothèses près, que les installations vérifient presque toujours.

En revanche, si la vitesse du fluide change fortement entre l'entrée et la sortie, l'énergie cinétique s'ajoute au bilan : ce chapitre ne traite pas ce cas.

Le travail technique se relie au travail des forces de pression (chapitre 5) par le transvasement. Le kilogramme suivi reçoit en tout le travail des forces de pression $w$, qui vaut $w_t + P_1v_1 - P_2v_2$ ; donc $w_t = w + \Delta(Pv)$. Lorsque l'écoulement est réversible, c'est-à-dire sans frottement ni tourbillon, $w = -\int P\,dv$, et :

$w_t = -\int P\,dv + \int d(Pv) = \int v\,dP$

Les deux travaux diffèrent donc exactement du transvasement : $W_t - W = \Delta(PV)$. Pour une machine réelle, avec ses frottements, $W_t = \Delta H - Q$ reste vrai, mais dépasse $\int V\,dP$ : le chapitre 12 chiffrera cet écart par un rendement de compression.

Refroidir et étager une compression

Dans un cylindre fermé, le chapitre 7 a montré qu'à 5 bar une compression rapide demande moins de travail de piston qu'une compression lente : 3,64 kJ contre 4,01 kJ pour une mole. Dans un compresseur, c'est le travail technique qui compte, et l'ordre s'inverse : 5,10 kJ contre 4,01 kJ.

Refroidir l'air en le comprimant paie donc, mais un compresseur rapide n'a pas le temps d'échanger de la chaleur à travers ses parois. La solution industrielle est de comprimer en plusieurs étages, en ramenant l'air à sa température d'entrée dans un échangeur, un refroidisseur, entre deux étages : l'air y cède sa chaleur à de l'eau. Les compresseurs de la centrale ont trois étages de même rapport de pression, $41^{1/3} \approx 3{,}45$, avec un refroidisseur après chacun, jusqu'aux réservoirs. Avant de lancer la figure, répondre à sa question : lequel des deux chemins fait recevoir le plus de travail technique à l'air ?

La figure donne la réponse. Le chemin en un seul étage demande le plus de travail technique : 556 kJ, contre 375 kJ pour les trois étages, à raison de 125 kJ par étage et de rien pendant les refroidissements. La bande qui sépare les deux aires hachurées vaut 182 kJ : c'est le travail économisé, soit 74 % des 244 kJ qui séparent l'adiabatique de l'isotherme, pour trois échangeurs.

La colonne de la chaleur s'additionne en −375 kJ, l'opposé exact du travail, puisque l'air ressort à la température où il est entré : toute l'énergie que l'arbre fournit finit en chaleur dans l'eau des refroidisseurs, comme le chapitre 5 l'a chiffré pour le remplissage d'un réservoir.

L'étagement a un second bénéfice : l'air ne dépasse plus 144 °C en sortie d'étage, au lieu de 574 °C. Chaque étage de plus rapproche de l'isotherme, avec un gain de plus en plus petit, et l'isotherme reste la limite qu'aucune machine ne franchit.

Les organes d'une installation, et ce que chacun conserve

Une installation enchaîne quelques appareils, et chacun impose une contrainte au fluide qui le traverse : le détendeur du dioxyde de carbone (CO₂) de la cuve, un organe qui baisse la pression du fluide sans qu'il fournisse de travail ; le compresseur de la centrale ; la chaudière du nettoyage en place, le circuit qui lave les cuves et les lignes.

Comment cette table s'emploie. Devant un organe, la première question n'est pas « que vaut le travail » mais « qu'est-ce qui ne varie pas ». Une vanne ne demande aucun calcul de sortie : l'enthalpie est la même des deux côtés, et la pression de sortie est donnée. Un échangeur n'en demande presque aucun non plus : la pression est la même, et $q = \Delta h$ donne la seconde grandeur. La chaudière du nettoyage en place porte 1,5 m³ d'eau par heure, soit 0,4167 kg/s, de 13 à 85 °C. Pour un liquide, dont le volume varie à peine, $\Delta h \approx c\,\Delta T$ : $q = 4185 \times 72 \approx 301$ kJ/kg, soit 126 kW pour ce débit. Reste le compresseur, qui se calcule comme plus haut. Le cycle frigorifique enchaîne deux échangeurs, un compresseur et un détendeur, et chacun se traite ainsi.

Reconnaître le bon cadre

Deux questions suffisent. La matière traverse-t-elle la frontière ? Si oui, le système est ouvert, et le bilan s'écrit en enthalpie. Si non, il est fermé, et le bilan s'écrit en énergie interne.

La frontière se déplace-t-elle ? Cette question ne tranche pas entre fermé et ouvert : elle dit seulement s'il faut compter, en plus, un travail de piston. Un cylindre de moteur à soupapes closes est fermé ; le même cylindre pendant l'admission est ouvert, bien que son piston bouge. Un compresseur, une turbine, une pompe, un échangeur, une vanne sont ouverts en permanence.

La méthode

1. Trancher entre fermé et ouvert avant d'écrire quoi que ce soit, en regardant si la matière traverse la frontière. Ce choix décide de toutes les formules qui suivent.
2. Choisir la grandeur du bilan : énergie interne pour un système fermé, enthalpie pour un système ouvert.
3. Calculer la variation d'enthalpie par $n C_p \Delta T$, ou $c_p \Delta T$ par kilogramme, et non par $C_v$, ce qui est l'erreur symétrique de la précédente.
4. Appliquer le principe en écoulement, $w_t + q = \Delta h$, et en tirer l'inconnue.
5. Ne pas mêler le molaire et le massique : $C_p$ se multiplie par des moles, $c_p$ par des kilogrammes, et une puissance se tire d'une grandeur massique en la multipliant par le débit massique.
6. Contrôler par le rapport gamma : sur une adiabatique de gaz parfait, le travail technique doit valoir $\gamma$ fois le travail de piston. Un rapport égal à un signale que la même formule a servi deux fois.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec les formules du cours. Le calcul répond à la seconde question de l'ouverture ; la première a sa réponse dans l'exemple chiffré plus haut, et le premier exercice type refait la démarche sur un autre point de fonctionnement.

La seconde question de l'ouverture a sa réponse : les trois étages demandent un peu moins de 55 mégajoules (MJ), soit 15,2 kilowattheures (kWh), 20 % de plus que le minimum isotherme de 45,6 MJ. Un seul étage en demanderait 81 MJ : l'étagement économise un tiers de l'énergie du remplissage.