Diagramme de Clapeyron : cycles, travail et rendement

Une motopompe de secours tourne sur un petit moteur à essence, et sa notice n'en donne qu'un dessin : sur un diagramme pression-volume, un contour fermé tracé avec des flèches, et les valeurs de ses quatre coins. Rien qu'en lisant ce contour, le moteur fournit-il du travail ou en consomme-t-il, et combien par tour ? Et quelle part de la chaleur qu'il reçoit devient du travail ?

Les transformations des chapitres 6 et 7 se calculaient une à une. Une machine les enchaîne et revient à son point de départ, et le travail de chaque transformation se lit comme une aire, comme le chapitre 5 l'a posé.

Lire un chemin

Une mole de gaz passe de 10 L à 20 L en restant à 3 bar. Sur le diagramme de Clapeyron, qui porte la pression en ordonnée et le volume en abscisse, chaque état est un point et chaque transformation un chemin entre deux points : ici, le point glisse vers la droite à hauteur constante. Un autre gaz passe de 1 à 3 bar sans que son volume change : le point monte à la verticale. La forme du chemin suffit à nommer la transformation, sans aucun calcul.

Quatre formes, quatre transformations. Un segment vertical : le volume ne varie pas, c'est une isochore (chapitre 6).
Un segment horizontal : la pression ne varie pas, c'est une isobare (chapitre 6).
Une hyperbole : le produit de la pression par le volume ne varie pas, c'est une isotherme (chapitre 6).
Une courbe de même allure mais plus raide : c'est une adiabatique, et sa pente supplémentaire vient de la variation de température qui accompagne la variation de volume (chapitre 7).

Ce que le diagramme ne montre pas

Ni la température, ni la chaleur, ni le temps.

La température se déduit de la position du point par l'équation d'état, et les isothermes tracées en pointillés au fond des figures de ce parcours servent précisément à la rendre lisible. La chaleur ne se lit nulle part : elle se calcule. Et le temps n'existe pas sur ce diagramme, qui ne montre que des états d'équilibre successifs.

Vérification rapideon peut se reprendre

Le point d'un gaz passe de 10 L à 20 L sous 3 bar maintenus. Quelle est la transformation, et quel signe a le travail reçu par le gaz ?

L'aire enfermée par un cycle

Une mole d'air, gaz parfait diatomique, est à 1 bar et 300 K. Sa pression passe à 3 bar sans que son volume change, puis sa température atteint 1800 K sous cette pression de 3 bar ; la pression retombe ensuite à 1 bar à volume bloqué, et la température revient à 300 K sous 1 bar. Le gaz est alors exactement dans son état de départ. Un tel enchaînement est un cycle : la machine qui le décrit peut le recommencer indéfiniment. Chaque étape échange du travail et de la chaleur, que le chapitre 1 compte positifs quand le gaz les reçoit. Mais le gaz est revenu à son point de départ : son travail total est-il nul ? Avant de lancer la figure, répondre à sa question : quels signes ont le travail $W$ et la chaleur $Q$ reçus par le gaz, pour chaque transformation ?

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · piston bloqué par des butées

Étape 1 / 4

Bilan de chaque transformation
Étape	W	Q	ΔU
1 → 2 isochore	0 J	12,5 kJ	12,5 kJ
2 → 3 isobare	-7,48 kJ	26,2 kJ	18,7 kJ
3 → 4 isochore	0 J	-24,9 kJ	-24,9 kJ
4 → 1 isobare	2,49 kJ	-8,73 kJ	-6,24 kJ

Cycle moteur · travail net -4,99 kJ · chaleur reçue 38,7 kJ · rendement 12,9 %.

Un cycle moteur de quatre transformations, parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre. Les chevrons donnent le sens, et l'aire hachurée qui se construit pendant le déroulement est le travail net.

À manipuler

Avant chaque transformation, choisir les signes de

W

et de

Q

parmi les trois propositions, puis dérouler et lire la ligne du tableau. De retour au point 1, additionner les quatre

W

, puis les quatre

\Delta U

.
Constater que les

\Delta U

se compensent et que les

W

ne se compensent pas.

La figure donne la réponse. Les quatre travaux valent 0, −7,48 kilojoules (kJ, un kilojoule valant mille joules), 0 et +2,49 kJ : leur somme, −4,99 kJ, n'est pas nulle, bien que le gaz soit revenu à son point de départ. Les variations d'énergie interne, elles, se compensent exactement : $U$ est une fonction d'état, que le gaz retrouve à l'identique (chapitre 5).

Le travail net d'un cycle

Sur un cycle, l'énergie interne revient à sa valeur de départ, donc $\Delta U = 0$ et :

$W_{\text{net}} = -Q_{\text{net}}$

Le travail net est, en valeur absolue, l'aire enfermée par le cycle sur le diagramme.

Pourquoi l'aller et le retour ne s'annulent pas. Sur un chemin qui va vers la droite, le gaz se détend et fournit du travail ; sur le chemin de retour, il est comprimé et en reçoit. Si les deux chemins étaient identiques, les deux aires seraient égales et le bilan serait nul : un gaz qui repasserait par la même courbe à l'aller et au retour n'enfermerait aucune aire. C'est parce que le retour se fait par un chemin différent, plus bas ou plus haut, que les deux aires diffèrent, et il reste la surface comprise entre les deux. Une machine ne produit donc rien en se contentant d'aller et venir : elle produit parce qu'elle revient autrement qu'elle n'est partie.

Le bilan du cycle de la figure, ligne par ligne

Pour une mole d'air, $C_v = \frac52 R \approx 20{,}8$ et $C_p = \frac72 R \approx 29{,}1$ J/(mol·K) (chapitre 6). Chaque ligne emploie la formule de sa transformation, avec l'écart de température $\Delta T$ de l'étape.

Étape	Transformation	$\Delta T$	$W$	$Q$
1 → 2	isochore	+600 K	0	$20{,}8 \times 600 \approx +12{,}5$ kJ
2 → 3	isobare	+900 K	$-8{,}314 \times 900 \approx -7{,}48$ kJ	$29{,}1 \times 900 \approx +26{,}2$ kJ
3 → 4	isochore	−1200 K	0	$20{,}8 \times (-1200) \approx -24{,}9$ kJ
4 → 1	isobare	−300 K	$-8{,}314 \times (-300) \approx +2{,}49$ kJ	$29{,}1 \times (-300) \approx -8{,}73$ kJ

Les quatre $\Delta U = W + Q$ valent +12,5, +18,7, −24,9 et −6,24 kJ : leur somme est nulle, et le tableau se referme. Le travail net vaut −4,99 kJ, et la chaleur nette +4,99 kJ.

Le sens de parcours décide de tout

Les mêmes quatre états, parcourus dans l'ordre inverse, ramènent le gaz au même point de départ par le même contour. Chaque transformation repasse sur son chemin dans l'autre sens, donc chaque travail change de signe : le travail net vaut +4,99 kJ au lieu de −4,99 kJ, et le gaz consomme ce qu'il fournissait.

Le théorème visuel à retenir. Un cycle parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre est moteur : il fournit du travail, et il faut pour cela lui fournir de la chaleur. Un cycle parcouru dans le sens inverse est récepteur : il consomme du travail. C'est le sens des réfrigérateurs et des pompes à chaleur, que les chapitres 11 et 12 étudient.

La raison tient au sens du parcours de la partie haute : dans le sens horaire, la détente se fait en haut, à forte pression, et la compression en bas, à faible pression. Le gaz fournit alors plus qu'il ne reçoit.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Un cycle parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre enferme une aire de 600 J. Que vaut le travail net reçu par le gaz sur un tour ?

2.La notice d'une machine donne un contour parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, qui enferme 3 kJ. Que dire de la machine ?

Le rendement d'un cycle moteur

Le cycle de la figure fournit 4,99 kJ par tour. Il reçoit pour cela 38,7 kJ de chaleur et en cède 33,7 kJ. Quelle part de ce qu'on lui donne ressort en travail ? Trois quotients se présentent. Diviser par la chaleur nette, 4,99 kJ, donne 100 %, un moteur parfait que personne n'a construit ; diviser par la chaleur cédée, 33,7 kJ, donne 14,8 % ; diviser par la chaleur reçue, 38,7 kJ, donne 12,9 %. Une seule de ces divisions rapporte le travail à ce que la machine a coûté.

Le rendement d'un cycle moteur

$\eta = \frac{\text{ce que la machine fournit}}{\text{ce qu'il a fallu lui donner}} = \frac{|W_{\text{net}}|}{Q_{\text{reçue}}}$

où $Q_{\text{reçue}}$ est la somme des seules chaleurs positives du cycle.

Le dénominateur n'est pas la chaleur nette

L'erreur consiste à diviser par la somme algébrique des chaleurs. Celle-ci vaut exactement le travail net, et le rendement sortirait toujours égal à un.

Ce qu'il a fallu donner à la machine, c'est la chaleur qu'elle a reçue, et elle seule. Celle qu'elle a cédée au milieu froid est une perte : elle manque au travail produit, et c'est pourquoi le numérateur est plus petit que le dénominateur. Elle n'a rien à faire au dénominateur.

Le rendement du cycle de la figure

La chaleur reçue est la somme des deux chaleurs positives de l'étape 1 → 2 et de l'étape 2 → 3, soit $12{,}5 + 26{,}2 =$ 38,7 kJ. Le travail net vaut −4,99 kJ.

$\eta = \frac{4{,}99}{38{,}7} \approx 12{,}9\ \%$

À peine plus d'un huitième de la chaleur reçue ressort en travail. Ce chiffre médiocre ne vient pas d'un mauvais dimensionnement mais de la forme du cycle : il reçoit sa chaleur tout au long d'une montée de 300 à 1800 K, donc pour une bonne part à basse température. Le chapitre 10 montrera qu'entre ces deux températures une machine idéale atteindrait 83 %, et le chapitre 11 dira pourquoi ce cycle en reste si loin.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un cycle reçoit 20 kJ de chaleur et en cède 15 kJ. Quel travail net fournit-il, et quel est son rendement ?

Le cycle d'un moteur à essence

Le rectangle précédent se prête bien au calcul, mais aucun moteur ne le parcourt. Un moteur à essence comprime d'abord son mélange d'air et d'essence, que le calcul assimile à de l'air. Pour la mole du diagramme, le gaz occupe 24,94 L quand le piston est au plus bas et 3,118 L quand il est au plus haut : la compression se décrit par le rapport de ces deux volumes.

Taux de compression

Le taux de compression d'un moteur est le rapport de son plus grand volume à son plus petit :

$r = \frac{V_{\max}}{V_{\min}}$

Il n'a pas d'unité. Ici, $r = 24{,}94 / 3{,}118 = 8{,}0$ .

Le taux de compression n'est pas un rapport de pressions : une compression adiabatique de taux 8 multiplie la pression par $8^{1{,}4} \approx 18{,}4$ , d'après la loi de Laplace (chapitre 7).

Le cycle idéal d'un moteur à essence enchaîne quatre transformations. Le mélange est comprimé vite, donc par une adiabatique. La combustion survient piston au point haut : c'est une isochore. Le gaz se détend ensuite par une adiabatique, en poussant le piston. L'ouverture de l'échappement, représentée par une isochore, le ramène enfin à l'état de départ. Avant de lancer la figure, répondre à sa question : quels signes ont $W$ et $Q$ pour chacune de ces quatre transformations ?

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · paroi isolante

Étape 1 / 4

Bilan de chaque transformation
Étape	W	Q	ΔU
1 → 2 adiabatique	8,09 kJ	0 J	8,09 kJ
2 → 3 isochore	0 J	23,1 kJ	23,1 kJ
3 → 4 adiabatique	-21,1 kJ	0 J	-21,1 kJ
4 → 1 isochore	0 J	-10,1 kJ	-10,1 kJ

Cycle moteur · travail net -13,0 kJ · chaleur reçue 23,1 kJ · rendement 56,5 %.

Le cycle idéal d'un moteur à essence, pour un taux de compression de 8. Deux adiabatiques, la compression puis la détente, et deux isochores, la combustion puis l'échappement. Les températures extrêmes sont celles du rectangle précédent, 300 et 1800 K.

À manipuler

Avant chaque transformation, choisir les signes de

W

et de

Q

parmi les trois propositions, puis dérouler et lire la ligne du tableau. Relever la température après la compression, puis le rendement de la ligne de bilan.
Constater que le rendement est plus de quatre fois celui du rectangle, entre les mêmes températures extrêmes.

La figure donne la réponse. Pendant les deux adiabatiques, la chaleur est nulle et le travail égale la variation d'énergie interne. Les températures s'en déduisent par la loi de Laplace : la compression porte le gaz de 300 à $300 \times 8^{0{,}4} \approx 689$ K, et la détente le ramène de 1800 à $1800 / 8^{0{,}4} \approx 783$ K. Le cycle reçoit toute sa chaleur pendant la combustion, entre 689 et 1800 K, et non à partir de 300 K.

Étape	Transformation	$\Delta T$	$W$	$Q$
1 → 2	adiabatique	+389 K	$20{,}8 \times 389 \approx +8{,}09$ kJ	0
2 → 3	isochore	+1111 K	0	$20{,}8 \times 1111 \approx +23{,}1$ kJ
3 → 4	adiabatique	−1017 K	$20{,}8 \times (-1017) \approx -21{,}1$ kJ	0
4 → 1	isochore	−483 K	0	$20{,}8 \times (-483) \approx -10{,}0$ kJ

Le travail net vaut environ $8{,}09 - 21{,}1 \approx -13{,}0$ kJ et la chaleur reçue 23,1 kJ : le rendement, calculé sans arrondi intermédiaire, vaut $56{,}5\ \%$ , contre 12,9 % pour le rectangle entre les mêmes températures extrêmes. Le gaz reçoit sa chaleur plus chaude, et c'est ce qui compte : le chapitre 11 dira pourquoi. Un raccourci confirme le nombre. Les deux adiabatiques multiplient la température par le même facteur $8^{0{,}4} \approx 2{,}30$ , si bien que la chaleur cédée vaut la chaleur reçue divisée par 2,30, et $\eta = 1 - 8^{-0{,}4} \approx 56{,}5\ \%$  : le rendement ne dépend que du taux de compression.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Un cylindre comprime 0,54 L de mélange jusqu'à 0,06 L. Quel est son taux de compression ?

2.Un moteur de taux de compression 9 aspire de l'air à 300 K et le comprime vite. Quelle température atteint l'air en fin de compression ?

3.Deux moteurs fonctionnent entre 300 et 1800 K. Le premier reçoit toute sa chaleur entre 700 et 1800 K, le second entre 300 et 1800 K. Lequel a le meilleur rendement ?

La méthode

Fixer un état de départ et la quantité de gaz, puis placer les autres états en calculant les trois variables de chacun par l'équation d'état (chapitre 2).
Identifier chaque transformation par la grandeur qui reste constante entre deux états consécutifs.
Dresser un tableau à une ligne par transformation, et y calculer l'écart de température, le travail, la chaleur et la variation d'énergie interne.
Fermer le cycle : la somme des variations d'énergie interne doit être nulle sur un cycle complet. Si elle ne l'est pas, une transformation est fausse, et ce contrôle la désigne avant d'aller plus loin.
Séparer les chaleurs positives des négatives avant de calculer un rendement, et ne sommer que les positives au dénominateur.
Contrôler par le sens de parcours : un cycle horaire doit rendre un travail net négatif, donc fourni. Un signe contraire au sens du tracé est une erreur de signe quelque part dans le tableau.
Contrôler le rendement par la chaleur nette : la somme de toutes les chaleurs, signes compris, doit être l'opposé du travail net, et le rendement tombe entre zéro et un. Un rendement égal à un, ou supérieur, signale une chaleur négative comptée au dénominateur.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec les formules du cours. Le calcul répond à l'ouverture pour le moteur de la notice, et le premier exercice type refait la démarche sur le second modèle de la gamme.

Lire le contour de la notice

1.
Le contour de la notice est parcouru dans l'ordre A, B, C, D, puis retour en A, pour une mole d'air (gaz parfait diatomique, C_v = 5R/2 et C_p = 7R/2, avec R = 8,314 J/(mol·K)). L'état A est à 2 bar et 300 K. De A à B, le volume est bloqué et la pression double. De B à C, la pression est maintenue et le volume double. De C à D, le volume est bloqué et la pression revient à 2 bar. De D à A, la pression est maintenue jusqu'au retour en A. Quel volume l'air occupe-t-il en A, en litres, à 0,01 L près ?
2.
Quelle est la température en C, en kelvins, à 1 K près ?
3.
Quel travail net le gaz reçoit-il sur un tour, avec son signe, en kilojoules (kJ, un kilojoule valant mille joules), à 0,01 kJ près ?
4.
Quelle chaleur le gaz reçoit-il sur un tour, en ne comptant que les étapes où il en reçoit, en kilojoules, à 0,01 kJ près ?
5.
Quel est le rendement du cycle, en pourcentage, à 0,1 point près ?

L'ouverture a sa réponse pour le moteur de la notice. Son contour est parcouru dans le sens horaire : c'est un moteur, qui fournit environ 2,49 kJ de travail par tour et transforme 10,5 % de la chaleur qu'il reçoit, soit 23,7 kJ. Le dessin et les valeurs de ses quatre coins suffisent.

Le second modèle de la gamme tient-il le rendement que la maintenance exige ?

Le constructeur propose un second modèle de motopompe. Sa notice donne le contour d'un tour, pour une mole d'air traitée comme dans le calcul précédent. L'état A est à 1 bar et 300 K. De A à B, le volume est bloqué jusqu'à 4 bar. De B à C, la pression est maintenue jusqu'à ce que le volume soit multiplié par 1,5. De C à D, le volume est bloqué jusqu'à 1 bar. De D à A, la pression est maintenue jusqu'au retour en A. La maintenance exige au moins 3,0 kJ de travail par tour et un rendement d'au moins 12 %. Calculer le travail net reçu par le gaz sur un tour, avec son signe, en kilojoules à 0,01 kJ près, puis le rendement, en pourcentage à 0,1 point près, et dire si le modèle tient l'exigence.

Par où commencer ? Chercher la température de chaque coin du contour, puis la formule de chaque étape avant tout calcul de chaleur.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi le dénominateur du rendement est-il la somme des deux chaleurs positives, et non la chaleur nette du tour ?

Le corrigé

Placer les coins du contour. De A à B, le volume est bloqué et la pression est multipliée par 4 : $T_B = 1200$ K. De B à C, la pression est maintenue et le volume multiplié par 1,5 : $T_C = 1800$ K. De C à D, le volume est bloqué et la pression revient à 1 bar, divisée par 4 : $T_D = 450$ K. La dernière étape ramène à 300 K.
Calculer le travail de chaque étape. Les deux étapes à volume bloqué n'en reçoivent aucun. Sur la première isobare, $W_{BC} = -8{,}314 \times 600 \approx -4{,}99$ kJ ; sur la seconde, $W_{DA} = -8{,}314 \times (-150) \approx +1{,}25$ kJ. Le travail net vaut −3,74 kJ : le contour est horaire, c'est un moteur, et les 3,0 kJ exigés sont tenus.
Calculer la chaleur de chaque étape. $Q_{AB} = 20{,}8 \times 900 \approx +18{,}7$ kJ, $Q_{BC} = 29{,}1 \times 600 \approx +17{,}5$ kJ, $Q_{CD} = 20{,}8 \times (-1350) \approx -28{,}1$ kJ, $Q_{DA} = 29{,}1 \times (-150) \approx -4{,}36$ kJ.
Fermer le cycle. La chaleur nette vaut $18{,}7 + 17{,}5 - 28{,}1 - 4{,}36 \approx +3{,}74$ kJ, l'opposé du travail net : le tableau est juste.
Calculer le rendement. La chaleur reçue est la somme des deux positives, $18{,}7 + 17{,}5 \approx 36{,}2$ kJ, d'où $\eta = 3{,}74 / 36{,}2 \approx$ 10,3 %.
Conclure et vérifier. 10,3 % reste sous les 12 % exigés : le modèle fournit assez de travail par tour, mais pas assez rapporté à la chaleur reçue, et il ne fait pas mieux que le moteur de la notice, à 10,5 %. En oubliant l'isochore de A à B et en ne comptant que la chaleur de B à C, on trouverait $3{,}74 / 17{,}5 \approx 21$ % et l'on conclurait à tort que le modèle convient : ici, le choix du dénominateur change la décision.

Le moteur d'une débroussailleuse tient-il les garanties de son constructeur ?

Un atelier de motoculture contrôle le moteur à deux temps d'une débroussailleuse, qui décrit un cycle par tour. Sa notice donne le contour d'un tour pour 0,0040 mol d'air, traité en gaz parfait diatomique ( $R = 8{,}314$ J/(mol·K), $C_v = 20{,}8$ et $C_p = 29{,}1$ J/(mol·K)). L'état 1 est à 1,0 bar et 300 K. De 1 à 2, le volume est bloqué jusqu'à 2,5 bar. De 2 à 3, la pression est maintenue jusqu'à doubler le volume. De 3 à 4, le volume est bloqué jusqu'à 1,0 bar. De 4 à 1, la pression est maintenue jusqu'au retour. Le moteur tourne à 3000 tours par minute (tr/min), et le constructeur garantit une puissance d'au moins 0,60 kW, soit 600 W, et un rendement d'au moins 11 %. Calculer le travail net reçu par le gaz sur un tour, avec son signe, en joules à 0,1 J près, puis la puissance fournie, en watts à 1 W près, puis le rendement, en pourcentage à 0,1 point près, et dire si les deux garanties sont tenues.

Par où commencer ? Chercher la température de chaque coin du contour, puis ce que chaque étape garde constant avant d'écrire une chaleur ou un travail.

Le corrigé

Placer les coins du contour. $T_2 = 300 \times 2{,}5 = 750$ K (volume bloqué, pression multipliée par 2,5), $T_3 = 750 \times 2 = 1500$ K (pression maintenue, volume doublé), $T_4 = 1500 / 2{,}5 = 600$ K (volume bloqué, pression divisée par 2,5), et le retour à 300 K.
Calculer le travail de chaque étape. Seules les isobares en reçoivent : $W_{23} = -0{,}0040 \times 8{,}314 \times 750 \approx -24{,}9$ J et $W_{41} = -0{,}0040 \times 8{,}314 \times (-300) \approx +9{,}98$ J. Le travail net vaut −15,0 J (−14,97 avant arrondi) : le contour est horaire, c'est un moteur.
Calculer la chaleur de chaque étape. $Q_{12} = 0{,}0040 \times 20{,}8 \times 450 \approx +37{,}4$ J, $Q_{23} = 0{,}0040 \times 29{,}1 \times 750 \approx +87{,}3$ J, $Q_{34} = 0{,}0040 \times 20{,}8 \times (-900) \approx -74{,}9$ J, $Q_{41} = 0{,}0040 \times 29{,}1 \times (-300) \approx -34{,}9$ J.
Fermer le cycle. La chaleur nette vaut $37{,}4 + 87{,}3 - 74{,}9 - 34{,}9 \approx +15$ J, l'opposé du travail net.
En tirer la puissance. 3000 tr/min font 50 tours par seconde, et chaque tour fournit 14,97 J : $14{,}97 \times 50 \approx$ 748 W, au-dessus des 600 W garantis.
Calculer le rendement. La chaleur reçue vaut $37{,}4 + 87{,}3 = 124{,}7$ J, d'où $\eta = 14{,}97 / 124{,}7 \approx$ 12,0 %, au-dessus des 11 % garantis. Les deux garanties sont tenues. La vérification : la puissance et le rendement ne dépendent pas des mêmes grandeurs, l'une du travail et du nombre de tours, l'autre du rapport du travail à la chaleur reçue, et les deux tiennent.

Le diagramme de Clapeyron et les cycles

Lire un chemin

L'aire enfermée par un cycle

Le sens de parcours décide de tout

Le rendement d'un cycle moteur

Le cycle d'un moteur à essence

La méthode

Mettre en pratique

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