Le diagramme de Clapeyron et les cycles · Thermodynamique

Les chapitres précédents ont calculé des transformations une par une. Une machine n'en fait jamais une seule : elle enchaîne, et elle revient à son point de départ pour recommencer. C'est ce retour qui définit un cycle, et c'est lui qui permet à une machine de fonctionner indéfiniment.

Le diagramme de Clapeyron, qui porte la pression en ordonnée et le volume en abscisse, rend cet enchaînement lisible d'un coup d'œil. Mieux : il donne le travail net sans qu'aucune intégrale ne soit écrite, sous la forme de l'aire enfermée par le cycle. Et le sens dans lequel cette aire est parcourue dit si la machine produit du travail ou en consomme.

Lire un chemin

Chaque transformation a sa forme, et elle se reconnaît sans calcul.

Quatre formes, quatre transformations

Un segment vertical : le volume ne varie pas, c'est une isochore.
Un segment horizontal : la pression ne varie pas, c'est une isobare.
Une hyperbole : le produit de la pression par le volume ne varie pas, c'est une isotherme.
Une courbe de même allure mais plus raide : c'est une adiabatique, et sa pente supplémentaire vient de l'échauffement.

Ce que le diagramme ne montre pas

Ni la température, ni la chaleur, ni le temps.

La température se déduit de la position du point par l'équation d'état, et les isothermes tracées en pointillés au fond des figures de ce parcours servent précisément à la rendre lisible. La chaleur ne se lit nulle part : elle se calcule. Et le temps n'existe pas sur ce diagramme, qui ne montre que des états d'équilibre successifs.

L'aire enfermée par un cycle

Le travail net d'un cycle

Sur un cycle, l'énergie interne revient à sa valeur de départ, donc $\Delta U = 0$ et :

$W_{\text{net}} = -Q_{\text{net}}$

Le travail net est, en valeur absolue, l'aire enfermée par le cycle sur le diagramme.

Pourquoi l'aller et le retour ne s'annulent pas

Sur un chemin qui va vers la droite, le gaz se détend et fournit du travail. Sur le chemin de retour, il est comprimé et en reçoit.

Si les deux chemins étaient identiques, les deux aires seraient égales et le bilan serait nul. C'est parce que le retour se fait par un chemin différent, plus bas ou plus haut, que les deux aires diffèrent, et il reste la surface comprise entre les deux.

Une machine ne produit donc rien en se contentant d'aller et venir : elle produit parce qu'elle revient autrement qu'elle n'est partie.

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · piston bloqué par des butées

Bilan de chaque transformation
Étape	W	Q	ΔU	ΔS
1 → 2 isochore	0 J	12,5 kJ	12,5 kJ	22,8 J/K
2 → 3 isobare	-7,48 kJ	26,2 kJ	18,7 kJ	20,2 J/K
3 → 4 isochore	0 J	-24,9 kJ	-24,9 kJ	-22,8 J/K
4 → 1 isobare	2,49 kJ	-8,73 kJ	-6,24 kJ	-20,2 J/K

Cycle moteur · travail net -4,99 kJ · chaleur reçue 38,7 kJ · rendement 12,9 %.

Un cycle moteur à quatre temps, parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre. Les chevrons donnent le sens, et l'aire hachurée qui se construit pendant le déroulement est le travail net.

À manipuler

Dérouler le cycle jusqu'au bout et regarder l'aire se construire : elle s'étend pendant la détente vers la droite, puis une part s'efface pendant la compression de retour. Ce qui reste à la fin est exactement le rectangle enfermé.
Suivre les chevrons : le cycle tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, et la ligne de bilan sous le tableau annonce un cycle moteur.
Additionner les quatre travaux du tableau : leur somme est négative, ce qui signifie que le gaz en fournit. C'est la définition d'un moteur.
Additionner les quatre variations d'énergie interne : elles se compensent exactement, puisque le cycle revient à son point de départ.

Le sens de parcours décide de tout

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · masse posée sur un piston libre

Bilan de chaque transformation
Étape	W	Q	ΔU	ΔS
1 → 2 isobare	-2,49 kJ	8,73 kJ	6,24 kJ	20,2 J/K
2 → 3 isochore	0 J	24,9 kJ	24,9 kJ	22,8 J/K
3 → 4 isobare	7,48 kJ	-26,2 kJ	-18,7 kJ	-20,2 J/K
4 → 1 isochore	0 J	-12,5 kJ	-12,5 kJ	-22,8 J/K

Cycle récepteur · travail net 4,99 kJ · chaleur reçue 33,7 kJ · COP froid 6,75, COP chaud 7,75.

Le même cycle, parcouru en sens inverse. Les quatre états sont identiques, le travail net a changé de signe, et la machine est devenue réceptrice.

À manipuler

Comparer les quatre points numérotés avec ceux de la figure précédente : ce sont les mêmes états, dans l'ordre inverse.
Comparer les deux lignes de bilan : le travail net a exactement changé de signe, et la mention est passée de moteur à récepteur.
Suivre les chevrons : ils tournent maintenant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et c'est la seule différence visible sur le tracé.

Le théorème visuel à retenir

Un cycle parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre est moteur : il fournit du travail, et il en faut fournir de la chaleur.

Un cycle parcouru dans le sens inverse est récepteur : il consomme du travail, et il déplace de la chaleur du froid vers le chaud. C'est le principe d'un réfrigérateur et d'une pompe à chaleur.

La raison tient au sens du parcours de la partie haute : dans le sens horaire, la détente se fait en haut, à forte pression, et la compression en bas, à faible pression. Le gaz fournit alors plus qu'il ne reçoit.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un cycle est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sur un diagramme de Clapeyron. Que peut-on en dire ?

Le rendement d'un cycle moteur

Définition

$\eta = \frac{\text{ce que la machine fournit}}{\text{ce qu'il a fallu lui donner}} = \frac{|W_{\text{net}}|}{Q_{\text{reçue}}}$

où $Q_{\text{reçue}}$ est la somme des seules chaleurs positives du cycle.

Le dénominateur n'est pas la chaleur nette

L'erreur consiste à diviser par la somme algébrique des chaleurs. Celle-ci vaut exactement le travail net, et le rendement sortirait toujours égal à un.

Ce qu'il a fallu donner à la machine, c'est la chaleur qu'elle a reçue, et elle seule. Celle qu'elle a cédée au milieu froid est une perte, pas une dépense évitée : elle figure au numérateur par son absence, jamais au dénominateur.

Le bilan du cycle de la première figure

Les quatre travaux valent 0, −7,48 kJ, 0 et +2,49 kJ, soit un travail net de −4,99 kJ : le gaz en fournit cinq kilojoules par cycle.

Les quatre chaleurs valent +12,5 kJ, +26,2 kJ, −24,9 kJ et −8,73 kJ. La chaleur reçue est la somme des deux positives, soit 38,7 kJ.

$\eta = \frac{4{,}99}{38{,}7} \approx 12{,}9\ \%$

Moins d'un huitième de la chaleur fournie ressort en travail. Ce chiffre médiocre n'est pas dû à un mauvais dimensionnement : le chapitre 10 montrera qu'aucune machine ne peut faire beaucoup mieux entre ces températures, et dira pourquoi.

La méthode

Placer les états un par un, en calculant les trois variables de chacun par l'équation d'état.
Identifier chaque transformation par la grandeur qui reste constante entre deux états consécutifs.
Dresser un tableau à une ligne par transformation, et y calculer le travail, la variation d'énergie interne et la chaleur.
Vérifier la fermeture : la somme des variations d'énergie interne doit être nulle sur un cycle complet. Si elle ne l'est pas, une transformation est fausse, et ce contrôle la désigne avant d'aller plus loin.
Séparer les chaleurs positives des négatives avant de calculer un rendement, et ne sommer que les positives au dénominateur.
Vérifier les unités avant le résultat : un rendement est un rapport de deux énergies, donc un nombre sans dimension, compris entre zéro et un. Un rendement en joules signale une division oubliée, et un rendement supérieur à un une chaleur négative comptée au dénominateur.
Contrôler par le sens de parcours : un cycle horaire doit rendre un travail net négatif, donc fourni. Un signe contraire au sens du tracé est une erreur de signe quelque part dans le tableau.

Synthèse

Sur un diagramme de Clapeyron, l'isochore est verticale, l'isobare horizontale, l'isotherme une hyperbole, et l'adiabatique une courbe plus raide.
Le diagramme ne montre ni la température, ni la chaleur, ni le temps : les deux premières se calculent, la troisième n'y existe pas.
Sur un cycle, $\Delta U = 0$ , donc le travail net est l'opposé de la chaleur nette.
Le travail net est l'aire enfermée par le cycle, et elle n'est pas nulle parce que le retour emprunte un autre chemin que l'aller.
Un cycle horaire est moteur ; un cycle antihoraire est récepteur, et c'est celui d'un réfrigérateur ou d'une pompe à chaleur.
Le rendement vaut le travail net rapporté à la seule chaleur reçue, jamais à la chaleur nette.
La somme des variations d'énergie interne d'un cycle doit être nulle : c'est le contrôle qui désigne une erreur avant tout autre calcul.