Loi de Laplace : compression et détente adiabatiques

La centrale d'air des Eaux d'Escarlens, qui mettent en bouteilles une eau gazeuse, comprime l'air de 1 à 41 bar absolus en trois étages, chacun suivi d'un refroidisseur. Nadia Ferrand, responsable maintenance et énergie, pose la main sur la conduite à la sortie d'un étage : elle est brûlante, alors que l'air aspiré est à 20 °C et que la salle est fraîche. Le calcul à température constante du chapitre 6 répond 20 °C, ce qui contredit sa main. D'où vient cette chaleur, puisqu'aucune flamme ne touche l'air ? La direction du site se demande par ailleurs si un seul étage ne ferait pas le même travail que trois : jusqu'où l'air chaufferait-il en passant d'un coup de 1 à 41 bar, et la conduite le supporterait-elle ?

Le bilan d'énergie du chapitre 5 et l'isotherme du chapitre 6 fournissent le cadre ; reste à décrire le cas où la chaleur n'a pas le temps de passer.

Comprimer vite ou comprimer lentement

Une mole d'air, à 1 bar et 300 K, est comprimée jusqu'à 5 bar. Le chapitre 6 a traité la version lente : le cylindre, plongé dans un bain thermostaté, rend sa chaleur au bain, la température reste à 300 K, et le travail reçu vaut $nRT\ln 5$ . Dans le compresseur de la centrale, aucun bain n'accompagne le piston et la compression dure une fraction de seconde : la chaleur n'a pas le temps de traverser la paroi du cylindre. Une transformation qui n'échange aucune chaleur avec l'extérieur est dite adiabatique. Les deux compressions partent du même état et visent la même pression. Avant de lancer la figure, répondre à sa question : lequel des deux chemins fait recevoir le plus de travail au gaz ?

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · paroi isolante

Chemin 1 : adiabatique
Étape	W	Q	ΔU	ΔS
1 → 2 adiabatique	3,64 kJ	0 J	3,64 kJ	0 J/K
Total	3,64 kJ	0 J	3,64 kJ	0 J/K

Chemin 2 : isotherme
Étape	W	Q	ΔU	ΔS
1 → 3 isotherme	4,01 kJ	-4,01 kJ	0 J	-13,4 J/K
Total	4,01 kJ	-4,01 kJ	0 J	-13,4 J/K

Les grandeurs en gras sont reçues par le gaz : une valeur négative signifie qu'il en fournit. Les hachures montantes sont l'aire du chemin 1, les hachures descendantes celle du chemin 2 : chacune, mesurée depuis l'axe des volumes, est le travail des forces de pression. Travail reçu par le gaz : chemin 1, 3,64 kJ ; chemin 2, 4,01 kJ.

La même compression de 1 à 5 bar menée de deux façons. L'adiabatique, en trait plein, se fait dans une paroi isolante et chauffe le gaz à 475 K ; l'isotherme, en pointillés, se fait dans un bain thermostaté et le laisse à 300 K. Les deux aires partagent la même échelle de volumes.

À manipuler

Choisir une réponse, puis suivre le gaz le long de chaque chemin, avec la bascule ou le curseur. Relever, pour chacun, la température et le volume d'arrivée, la chaleur et le travail reçus. Chercher pourquoi deux compressions parties du même point, vers la même pression, ne s'arrêtent pas au même volume.

La figure donne la réponse, et elle surprend : c'est la compression lente qui fait recevoir le plus de travail. L'adiabatique en demande 3,64 kilojoules (kJ, un kilojoule valant mille joules), l'isotherme 4,01 kJ. Le gaz échauffé de 300 à 475 K atteint les 5 bar plus tôt, à 7,90 litres au lieu de 4,99, et le piston a moins de chemin à parcourir. Les deux compressions ne produisent pas pour autant le même gaz : l'isotherme rend au bain les 4,01 kJ qu'elle reçoit, alors que l'adiabatique les garde sous forme d'échauffement, 475 K soit 202 °C au lieu de 27. Un écart de 175 kelvins pour la même pression : traiter l'une pour l'autre ne décale pas un peu le résultat, il le rend faux sur la grandeur la plus importante, la température de la conduite.

Ce résultat est celui d'un cylindre fermé. Un compresseur aspire l'air, le comprime puis le refoule, et ce qu'il faut y payer n'est pas le seul travail du piston : le chapitre 9 reprend cette compression sur une machine traversée par l'air, et montre que l'ordre s'y inverse. C'est là que refroidir en comprimant fait économiser, et la raison pour laquelle les gros compresseurs sont refroidis.

Ce qu'adiabatique veut dire

Dans la compression rapide de la figure, la flèche de chaleur reste absente et la colonne de chaleur affiche zéro, alors que la température monte de 175 kelvins. L'énergie qui l'élève ne vient donc que du travail du piston, comme le premier principe l'annonce quand la chaleur est nulle.

Transformation adiabatique

Une transformation est adiabatique lorsqu'elle se fait sans échange de chaleur. Le premier principe donne alors :

$Q = 0 \qquad\text{d'où}\qquad \Delta U = W$

Tout le travail reçu passe en énergie interne, donc en température pour un gaz parfait (chapitre 5).

Deux façons d'obtenir une adiabatique.

En isolant. Une paroi isolante empêche la chaleur de passer, et la transformation peut alors être aussi lente qu'on veut.

En allant vite. La chaleur met du temps à traverser une paroi. Si la transformation est bien plus rapide que ce temps, presque rien ne passe, et le résultat est le même sans aucune isolation. C'est de loin le cas le plus fréquent.

« Rapidement » veut dire rapide devant la chaleur, pas devant la pression. La chaleur met des secondes, voire des minutes, à traverser la paroi d'un cylindre ; la pression, elle, s'égalise dans le gaz à la vitesse du son, en trois dixièmes de milliseconde sur dix centimètres. Une compression d'un dixième de seconde est donc trop rapide pour la chaleur, et assez lente pour que le gaz garde à chaque instant une pression uniforme : elle reste quasi statique, et elle se trace sur un diagramme.

En revanche, « sans échange de chaleur » ne veut pas dire « à température constante » : avec $Q = 0$ , la température suit le travail. Elle monte quand le gaz en reçoit, elle baisse quand il en fournit, et elle reste en place quand il n'y en a pas. La détente dans le vide du chapitre 5 est adiabatique, et la température d'un gaz parfait n'y bouge pas.

Le mot qui décide se trouve dans l'énoncé

Sur un cylindre sans isolation particulière, rien dans le montage ne distingue les deux cas : c'est la durée qui tranche, et l'énoncé la donne d'une façon ou d'une autre.

« Lentement », « en contact avec un thermostat », « la température est maintenue » désignent une isotherme.
« Rapidement », « brusquement », « la paroi est isolante », « en quelques millisecondes » désignent une adiabatique.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Une conduite d'air comprimé est remplie lentement pendant une heure, l'air restant à la température de la salle. Quelle hypothèse prendre pour le calcul ?

2.Le gaz d'une compression adiabatique reçoit 800 J de travail. Quelle chaleur échange-t-il ?

La loi de Laplace

La figure affiche 475 K, mais aucune formule ne l'a donné. Pour dimensionner la conduite d'un compresseur, il faut prévoir la température sans dérouler de figure, et le premier principe ne suffit pas : $\Delta U = nC_v\,(T_2 - T_1)$ égale $W$ , mais $W = -\int P\,dV$ demande de savoir comment la pression varie quand la température change aussi. Quelle relation lie l'état d'arrivée à l'état de départ, sans chaleur ?

Réversible a ici un sens précis : la transformation est menée sans frottement, et assez régulièrement pour que le gaz ait à chaque instant une pression uniforme, celle que l'équation d'état lui donne. On pourrait alors la parcourir en sens inverse en repassant par les mêmes états. C'est la quasi-statique du chapitre 5 avec les frottements en moins ; le chapitre 10 précisera le mot. La détente dans le vide du chapitre 5 en est l'exact contraire.

Loi de Laplace

Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible :

$PV^{\gamma} = \text{constante} \qquad\text{avec}\qquad \gamma = \frac{C_p}{C_v}$

Les deux autres écritures s'en déduisent par l'équation d'état :

$TV^{\gamma-1} = \text{constante} \qquad\qquad T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constante}$

Le rapport $\gamma$ est celui de la relation de Mayer du chapitre 6 : 1,4 pour l'air, 5/3 pour un gaz monoatomique, comme le tableau des degrés de liberté le donne. En revanche, la loi ne vaut pas dès que la pression du gaz n'est plus uniforme : avec des frottements, ou dans un gaz qui se répand en tourbillons, le travail ne s'écrit plus avec la pression du gaz et le résultat est faux.

D'où vient cette loi. Sur un petit déplacement, sans chaleur, le premier principe s'écrit $nC_v\,dT = -P\,dV$ , avec la capacité $C_v$ du chapitre 5 et la pression du gaz lui-même, ce que le mot « réversible » autorise. En remplaçant $P$ par $nRT/V$ et en divisant par $nC_vT$  :

$\frac{dT}{T} = -\frac{R}{C_v}\,\frac{dV}{V} = -(\gamma - 1)\,\frac{dV}{V}$

puisque $R = C_p - C_v$ par la relation de Mayer, et donc $R/C_v = \gamma - 1$ . Entre l'état 1 et l'état 2, chaque membre s'intègre en un logarithme : $\ln\dfrac{T_2}{T_1} = (\gamma - 1)\ln\dfrac{V_1}{V_2}$ , c'est-à-dire $\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$  : le produit $TV^{\gamma-1}$ a la même valeur aux deux états. Remplacer $T$ par $PV/nR$ donne enfin $PV^{\gamma} =$ constante.

Laquelle des trois employer. Celle qui contient les deux grandeurs de l'énoncé, et aucune autre. Un compresseur est piloté en pression, et c'est donc la troisième qui sert le plus souvent. Élevée à la puissance $1/\gamma$ , elle donne la forme commode :

$T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$

L'exposant vaut $0{,}4/1{,}4 \approx 0{,}2857$ pour l'air. Les températures y sont en kelvins et les pressions absolues, comme au chapitre 1 : un rapport de pressions relatives, ou une température en degrés Celsius, donne un résultat faux.

La même compression, calculée

Une mole d'air est comprimée de 1 à 5 bar en partant de 300 K, comme dans la figure.

Si elle est isotherme, la température finale vaut 300 K, par définition.

Si elle est adiabatique :

$T_2 = 300 \times 5^{\frac{0{,}4}{1{,}4}} = 300 \times 5^{0{,}2857} \approx 475\ \text{K}$

soit 202 °C, ce que la figure affichait.

Une adiabatique est plus raide qu'une isotherme. Sur le diagramme de la figure, les deux courbes partent du même point et l'adiabatique monte plus vite : l'isotherme n'augmente la pression que par le rapprochement des molécules, l'adiabatique y ajoute leur échauffement. Au point de départ, sa pente vaut exactement $\gamma$ fois celle de l'isotherme.

Vérification rapideon peut se reprendre

De l'air à 300 K est comprimé de 1 à 3 bar en un dixième de seconde. Quelle température finale attendre ?

Le travail d'une adiabatique

Le tableau de la figure donne 3,64 kJ pour la compression adiabatique. Comment obtenir ce travail quand l'énoncé ne donne que des pressions et des volumes, ni la quantité de gaz ni les températures ?

Deux écritures équivalentes

La chaleur étant nulle, le travail vaut toute la variation d'énergie interne :

$W = \Delta U = n\,C_v\,(T_2 - T_1)$

En remplaçant les températures par l'équation d'état, il vient une forme qui n'emploie que les pressions et les volumes :

$W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{\gamma - 1}$

La première écriture est la plus rapide quand la loi de Laplace vient de donner la température finale. La seconde sert quand l'énoncé ne donne que des pressions et des volumes.

Le travail de la compression, de deux façons

Dans la figure, l'air passe de 1 bar sous 24,94 L à 5 bar sous 7,90 L, soit de 300 à 475 K.

Par les températures : $W = 20{,}8 \times (475{,}1 - 300) \approx 3640$ J.

Par les pressions et les volumes, avec les pascals et les mètres cubes :

$W = \frac{5\times10^5 \times 7{,}90\times10^{-3} - 10^5 \times 24{,}94\times10^{-3}}{0{,}4} = \frac{3950 - 2494}{0{,}4} \approx 3640\ \text{J}$

Les deux écritures s'accordent, et le travail est positif : le gaz reçoit.

En détente, $P_2V_2$ est plus petit que $P_1V_1$ et la seconde écriture donne un travail négatif : le gaz en fournit, et sa température baisse.

Comprimer chauffe, détendre refroidit

Un moteur Diesel n'a pas de bougie. Il comprime l'air de son cylindre en quelques millisecondes jusqu'à un volume vingt fois plus petit : on dit que son taux de compression est de 20, c'est-à-dire que le rapport du volume de départ au volume d'arrivée vaut 20. Le gazole injecté s'enflamme alors seul, vers 250 °C. L'air est-il assez chaud ? L'énoncé donne des volumes : l'écriture de Laplace qui les contient est $TV^{\gamma-1}$ .

La compression d'un moteur Diesel

Un taux de compression de 20, en partant de l'air ambiant à 300 K :

$T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 300 \times 20^{0{,}4} \approx 300 \times 3{,}31 \approx 994\ \text{K}$

soit plus de 720 °C, bien au-dessus des 250 °C où le gazole s'enflamme seul.

Le contrôle : une compression d'un facteur vingt en isotherme aurait laissé l'air à 27 °C, et aucun moteur Diesel n'existerait. C'est l'hypothèse adiabatique, et elle seule, qui rend ce moteur possible.

La détente fait l'inverse. Quand on ouvre en grand le robinet d'une bouteille d'air comprimé, l'air resté à l'intérieur pousse celui qui sort : il fournit du travail, $W < 0$ , sans avoir le temps de recevoir de la chaleur, et $\Delta U = W$ le refroidit. La bouteille devient froide au toucher et son robinet se couvre de buée. C'est le travail fourni qui refroidit, et non la baisse de pression : dans la détente dans le vide du chapitre 5, la pression chute aussi, et la température d'un gaz parfait ne bouge pas, parce que rien n'y est poussé.

Vérification rapideon peut se reprendre

On vide d'un coup une bouteille d'air comprimé. Pourquoi l'air resté à l'intérieur se refroidit-il ?

La méthode

Poser la question de la durée avant tout calcul : la chaleur a-t-elle le temps de traverser la paroi ? Si non, la transformation est adiabatique ; si oui, isotherme.
Écrire la chaleur nulle si la transformation est adiabatique, et en déduire immédiatement $\Delta U = W$ .
Choisir l'écriture de Laplace qui contient les deux grandeurs connues, et elle seule, avec des températures en kelvins et des pressions absolues.
Calculer la température finale avant le travail : celui-ci s'obtient ensuite par $nC_v\Delta T$ .
Contrôler le sens du résultat : une compression adiabatique chauffe toujours, et plus qu'une isotherme. Une température finale plus petite que l'initiale après compression signale un rapport de pressions pris à l'envers, et une température de plusieurs milliers de kelvins un exposant inversé. Une détente refroidit quand le gaz pousse un piston ou le gaz qui sort, et ne refroidit pas dans le vide.
Recouper le travail par l'autre écriture : $nC_v\Delta T$ et $(P_2V_2 - P_1V_1)/(\gamma - 1)$ doivent s'accorder. Un écart signale une des deux températures, ou un exposant, à reprendre.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec les formules du cours. Le calcul répond à la seconde question de l'ouverture, et le premier exercice type à la première.

Un seul étage au lieu de trois

1.
La centrale aspire l'air à 20 °C et le comprime de 1 à 41 bar absolus. Si un seul étage faisait tout, sans refroidissement, la compression serait trop rapide pour échanger de la chaleur (γ = 1,40). Quelle température l'air aurait-il à la sortie, en degrés Celsius, à 1 °C près ?
2.
La conduite de sortie est prévue pour 150 °C. Quel rapport de pressions un étage ne doit-il pas dépasser, pour que l'air aspiré à 20 °C reste sous cette limite, à 0,1 près ?

La seconde question de l'ouverture a sa réponse : un seul étage porterait l'air à environ 574 °C, loin au-dessus de ce que la conduite supporte. Un étage ne peut pas dépasser un rapport de pressions de 3,6. Deux étages de rapport 6,4 le dépasseraient encore, et trois étages de rapport 3,45 (la racine cubique de 41), avec un refroidisseur après chacun qui ramène l'air à 20 °C, restent dessous : c'est la raison des trois étages. Le chapitre 9 chiffre ce que cet étagement coûte et fait économiser.

D'où vient la chaleur de la conduite à la sortie d'un étage, et la conduite la supporte-t-elle ?

Le premier étage d'un compresseur de la centrale d'air aspire l'air à 1 bar et 20 °C, et le refoule à 3,45 bar absolus en un dixième de seconde. Une mole d'air est suivie dans le cylindre, traité comme un système fermé et comme un gaz parfait diatomique ( $\gamma = 1{,}40$ , $C_v = 20{,}8$ J/(mol·K)) : c'est une idéalisation, l'air réel traversant la machine. La conduite de sortie est prévue pour 150 °C. Calculer la température de l'air refoulé, en degrés Celsius, à 1 °C près, puis le travail reçu par la mole, en kilojoules, à 0,01 kJ près, et dire si la conduite supporte cette température. Dire enfin de combien l'hypothèse isotherme sous-estimerait la température, en kelvins, à 1 K près.

Par où commencer ? Relire la durée de la compression et ce qu'elle laisse faire à la chaleur, avant de choisir la formule.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi la loi de Laplace, et non $P_1V_1 = P_2V_2$ , relie-t-elle ici les deux états ?

Le corrigé

Trancher l'hypothèse. Un dixième de seconde est bien plus court que le temps que met la chaleur à traverser la paroi : $Q = 0$ , la compression est adiabatique, traitée comme réversible. Le choix décide de tout ce qui suit.
Choisir l'écriture de Laplace. L'énoncé donne deux pressions et une température : $T_2 = T_1\,(P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}$ , avec $T_1 = 293{,}15$ K.
Calculer la température. $T_2 = 293{,}15 \times 3{,}45^{0{,}2857} \approx 293{,}15 \times 1{,}4245 \approx 417{,}6$ K, soit 144 °C. La conduite supporte 150 °C : elle tient, avec 6 K de marge. La chaleur de la conduite vient du travail du piston, qui élève l'énergie interne de l'air sans qu'aucune chaleur ne lui soit apportée : c'est la réponse à l'ouverture.
Calculer le travail. La chaleur étant nulle, $W = \Delta U = n\,C_v\,(T_2 - T_1) = 20{,}8 \times 124{,}4 \approx$ 2,59 kJ.
Mesurer l'écart avec l'isotherme. Comprimée à température constante, la mole resterait à 20 °C : l'hypothèse isotherme sous-estime la température de 124 K. Elle demanderait aussi plus de travail de piston, $RT\ln 3{,}45 \approx 3{,}02$ kJ, pour un gaz qui ressort bien plus frais.
Vérifier. Par l'autre écriture, avec 24,37 L au départ et 10,06 L à l'arrivée : $W = \dfrac{3{,}45\times10^5 \times 10{,}06\times10^{-3} - 10^5 \times 24{,}37\times10^{-3}}{0{,}4} = \dfrac{3471 - 2437}{0{,}4} \approx 2590$ J. Les deux écritures s'accordent, et la température a monté, comme toute compression adiabatique.

Le coup de poing d'un briquet à piston enflamme-t-il l'amadou ?

Un atelier de démonstration d'un musée des techniques présente le briquet à piston : un cylindre de 30 cm³ d'air à 1 bar et 20 °C, dont un coup de poing enfonce le piston en un centième de seconde jusqu'à réduire l'air au vingt-cinquième de son volume. Au fond du cylindre, un brin d'amadou, un champignon séché, s'enflamme vers 250 °C. L'air est traité comme un gaz parfait diatomique ( $\gamma = 1{,}40$ , $C_v = 20{,}8$ J/(mol·K), $R = 8{,}314$ J/(mol·K)), sans fuite. Calculer la température de l'air en fin de course, en degrés Celsius, à 1 °C près, puis le travail qu'il reçoit, en joules, à 1 J près, et dire si l'amadou s'enflamme. Dire enfin quelle température donnerait l'hypothèse isotherme, en degrés Celsius.

Par où commencer ? Relire la durée de l'enfoncement et la grandeur que l'énoncé donne pour relier les deux états, avant de choisir l'écriture de la loi.

Le corrigé

Trancher l'hypothèse. Un centième de seconde ne laisse pas à la chaleur le temps de traverser la paroi : la compression est adiabatique, $Q = 0$ et $\Delta U = W$ .
Choisir l'écriture de Laplace. L'énoncé donne un rapport de volumes, 25 : l'écriture qui le contient est $T_2 = T_1\,(V_1/V_2)^{\gamma-1}$ .
Calculer la température. $T_2 = 293{,}15 \times 25^{0{,}4} \approx 293{,}15 \times 3{,}624 \approx 1062$ K, soit 789 °C.
Calculer le travail. La quantité d'air est $n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{10^5 \times 30\times10^{-6}}{8{,}314 \times 293{,}15} \approx 1{,}23\times10^{-3}$ mol, donc $W = n\,C_v\,(T_2 - T_1) \approx 1{,}23\times10^{-3} \times 20{,}8 \times 769{,}1 \approx$ 20 J.
Conclure. 789 °C dépasse largement 250 °C : l'amadou s'enflamme. Dans l'hypothèse isotherme, l'air resterait à 20 °C et rien ne s'allumerait : ici, l'hypothèse change la décision.
Vérifier. La pression finale vaut $25^{1{,}4} \approx 90{,}5$ bar, sous 1,2 cm³, et l'autre écriture donne $W = \dfrac{90{,}5\times10^5 \times 1{,}2\times10^{-6} - 10^5 \times 30\times10^{-6}}{0{,}4} \approx 20$ J. Les deux écritures s'accordent. Un cylindre réel perd de la chaleur et de l'air par ses parois : 789 °C est une limite haute, que le coup de poing doit atteindre en un instant.

L'adiabatique et la loi de Laplace

Comprimer vite ou comprimer lentement

Ce qu'adiabatique veut dire

La loi de Laplace

Le travail d'une adiabatique

Comprimer chauffe, détendre refroidit

La méthode

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