L'adiabatique et la loi de Laplace · Thermodynamique

Les trois transformations précédentes fixaient chacune une variable d'état. Celle-ci fixe autre chose : elle interdit tout échange de chaleur. Aucune des trois variables n'y est constante, et les trois varient ensemble.

Ce cas n'est pas une curiosité théorique. Il décrit toute transformation assez rapide pour que la chaleur n'ait pas le temps de traverser la paroi : la compression dans un moteur, le coup de pompe qui échauffe un pneu, la détente d'un gaz qui s'échappe d'une bouteille. Et c'est là que se joue la confusion la plus coûteuse du parcours, celle qui consiste à traiter une compression rapide comme si elle était isotherme.

Ce qu'adiabatique veut dire

Définition

Une transformation est adiabatique lorsqu'elle se fait sans échange de chaleur :

$Q = 0 \qquad\text{d'où}\qquad \Delta U = W$

Tout le travail reçu passe alors en énergie interne, donc en température.

Deux façons d'obtenir une adiabatique

En isolant. Une paroi isolante empêche la chaleur de passer, et la transformation peut alors être aussi lente qu'on veut.

En allant vite. La chaleur met du temps à traverser une paroi. Si la transformation est bien plus rapide que ce temps, presque rien ne passe, et le résultat est le même sans aucune isolation.

Le second cas est de loin le plus fréquent en pratique, et c'est celui que les énoncés décrivent en disant « rapidement », « brusquement » ou « en un dixième de seconde ».

La loi de Laplace

Loi de Laplace

Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible :

$PV^{\gamma} = \text{constante} \qquad\text{avec}\qquad \gamma = \frac{C_p}{C_v}$

Les deux autres écritures s'en déduisent par l'équation d'état :

$TV^{\gamma-1} = \text{constante} \qquad\qquad T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constante}$

Laquelle des trois employer

Celle qui contient les deux grandeurs de l'énoncé, et aucune autre.

Un compresseur est piloté en pression, et c'est donc la troisième qui sert le plus souvent, sous la forme commode :

$T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$

Gaz	$\gamma$	$C_v$	$C_p$
Monoatomique, comme l'hélium	5/3 ≈ 1,67	$\frac{3}{2}R$	$\frac{5}{2}R$
Diatomique, comme l'air	7/5 = 1,40	$\frac{5}{2}R$	$\frac{7}{2}R$

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · paroi isolante

Bilan de chaque transformation
Étape	W	Q	ΔU	ΔS
1 → 2 adiabatique	3,64 kJ	0 J	3,64 kJ	0 J/K

Les grandeurs en gras sont reçues par le gaz : une valeur négative signifie qu'il en fournit. L'aire hachurée, mesurée depuis l'axe des volumes, est le travail des forces de pression.

Une compression adiabatique de 1 à 5 bar. La paroi isolante dessinée autour du cylindre interdit tout échange, et la température monte de 300 à 475 kelvins sans qu'aucune chaleur ne soit fournie.

À manipuler

Dérouler la compression et suivre la température : elle passe de 300 à 475 kelvins, alors que la flèche de chaleur reste absente et que le tableau affiche zéro. L'échauffement ne vient donc pas d'un chauffage, mais du travail reçu.
Regarder les particules : elles se rapprochent et accélèrent en même temps, ce qui n'arrivait sur aucune des trois transformations précédentes.
Comparer la courbe aux deux isothermes tracées en pointillés au fond : le chemin adiabatique les traverse au lieu de suivre l'une d'elles, et c'est la signature du régime.
Lire la colonne de la variation d'énergie interne : elle vaut exactement le travail reçu, puisque la chaleur est nulle.

Le travail d'une adiabatique

Deux écritures équivalentes

La chaleur étant nulle, le travail vaut toute la variation d'énergie interne :

$W = \Delta U = n\,C_v\,(T_2 - T_1)$

En remplaçant les températures par l'équation d'état, il vient une forme qui n'emploie que les pressions et les volumes :

$W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{\gamma - 1}$

La première écriture est presque toujours la plus rapide, puisque la loi de Laplace donne d'abord la température finale. La seconde sert quand l'énoncé ne donne aucune température, ce qui arrive sur un énoncé formulé en pressions et en volumes seuls.

Adiabatique ou isotherme, la comparaison qui compte

C'est l'erreur la plus coûteuse du parcours, et elle mérite d'être chiffrée une fois pour toutes.

La même compression, sous deux hypothèses

Une mole d'air est comprimée de 1 à 5 bar, en partant de 300 K.

Si la compression est isotherme, c'est-à-dire assez lente pour qu'un bain thermostaté maintienne la température, la température finale vaut 300 K, par définition. Le travail reçu vaut $nRT\ln 5 \approx 4014$ J.

Si la compression est adiabatique, c'est-à-dire assez rapide pour qu'aucune chaleur ne s'échappe :

$T_2 = 300 \times 5^{\frac{0{,}4}{1{,}4}} = 300 \times 5^{0{,}2857} \approx 475\ \text{K}$

soit 202 °C au lieu de 27. Le travail reçu vaut $nC_v\Delta T \approx 3640$ J.

Un écart de 175 kelvins sur la température finale, pour la même compression. Traiter l'une pour l'autre ne donne pas un résultat légèrement décalé : il donne un résultat faux sur la grandeur la plus importante.

1,00 bar · 24,9 L · 300 K · bain thermostaté

Bilan de chaque transformation
Étape	W	Q	ΔU	ΔS
1 → 2 isotherme	4,01 kJ	-4,01 kJ	0 J	-13,4 J/K

Les grandeurs en gras sont reçues par le gaz : une valeur négative signifie qu'il en fournit. L'aire hachurée, mesurée depuis l'axe des volumes, est le travail des forces de pression.

La même compression de 1 à 5 bar, menée cette fois lentement dans un bain thermostaté. Comparer l'état d'arrivée et l'aire hachurée avec ceux de la figure précédente.

À manipuler

Comparer les deux états d'arrivée : 475 kelvins sur la figure adiabatique, 300 sur celle-ci. Les deux compressions partent du même point et vont à la même pression, et elles n'aboutissent pas au même endroit.
Comparer les deux volumes finaux : l'adiabatique laisse un volume plus grand, le gaz échauffé résistant davantage à la compression.
Comparer les deux aires hachurées : celle de l'adiabatique est plus grande, ce qui signifie qu'une compression rapide coûte plus de travail qu'une compression lente. Refroidir en comprimant fait économiser, et c'est pourquoi les gros compresseurs sont refroidis.
Comparer enfin les colonnes de chaleur : nulle d'un côté, franchement négative de l'autre. C'est le bain thermostaté qui évacue, et c'est lui qui permet l'économie.

Comprimer lentement coûte moins cher

Sur la même compression de 1 à 5 bar, l'isotherme demande environ 4,0 kilojoules et l'adiabatique 3,6 en travail de piston.

L'écart s'inverse pourtant sur un compresseur, où c'est le travail technique qui compte : 5,1 kilojoules en adiabatique contre 4,0 en isotherme, soit un quart de plus. C'est la raison pour laquelle les compresseurs industriels sont refroidis, et pourquoi les grosses machines compriment en plusieurs étages avec un refroidissement entre chacun.

Le mot qui décide se trouve dans l'énoncé

Rien dans le montage ne distingue les deux cas : c'est la durée qui tranche, et l'énoncé la donne toujours d'une façon ou d'une autre.

« Lentement », « en contact avec un thermostat », « la température est maintenue » désignent une isotherme.
« Rapidement », « brusquement », « la paroi est isolante », « en quelques millisecondes » désignent une adiabatique.

Devant un compresseur, un choc, un coup de pompe ou une détente brutale, c'est l'adiabatique qu'il faut prendre, et le réflexe inverse est un réflexe de perdant.

Vérification rapideon peut se reprendre

De l'air est comprimé de 1 à 5 bar en un dixième de seconde dans un compresseur. Quelle température finale attendre, en partant de 300 K ?

Une adiabatique est plus raide qu'une isotherme

Sur un diagramme pression-volume, les deux courbes partent du même point, et l'adiabatique monte plus vite en compression.

La raison tient en une phrase : en comprimant, l'isotherme n'augmente la pression que par le rapprochement des molécules, tandis que l'adiabatique y ajoute leur échauffement. Deux causes au lieu d'une, donc une pente plus forte, et le rapport des deux pressions finales vaut exactement le rapport des volumes élevé à la puissance $\gamma - 1$ .

Où l'adiabatique se rencontre

Quatre situations courantes

Le moteur Diesel. L'air est comprimé d'un facteur vingt en quelques millisecondes, ce qui le porte au-delà de six cents degrés. Le gazole injecté s'enflamme alors seul, sans bougie : c'est l'échauffement adiabatique qui allume le moteur.

La pompe à vélo. Son corps chauffe nettement à l'usage, et la chaleur ne vient pas du frottement du piston mais de la compression elle-même.

L'aérosol qui givre. Le gaz se détend brutalement en sortant, donc il refroidit, et l'humidité de l'air se dépose en givre sur la buse. Une détente adiabatique refroidit toujours.

Le vent de foehn. Une masse d'air qui redescend le versant d'une montagne se comprime sous le poids de l'atmosphère et s'échauffe, ce qui explique qu'un vent descendant soit chaud et sec.

La compression d'un moteur Diesel

Un taux de compression de 20, en partant de l'air ambiant à 300 K :

$T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 300 \times 20^{0{,}4} \approx 300 \times 3{,}31 \approx 994\ \text{K}$

soit plus de 720 °C, bien au-dessus de la température d'auto-inflammation du gazole, qui se situe vers 250 °C.

Le contrôle : une compression d'un facteur vingt en isotherme aurait laissé l'air à 27 °C, et aucun moteur Diesel n'existerait. C'est l'hypothèse adiabatique, et elle seule, qui rend ce moteur possible.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi la buse d'un aérosol givre-t-elle lorsqu'on l'utilise longtemps ?

La méthode

Trancher entre les deux hypothèses avant tout calcul, sur la durée décrite par l'énoncé. Ce choix décide de tout ce qui suit.
Écrire la chaleur nulle si la transformation est adiabatique, et en déduire immédiatement $\Delta U = W$ .
Choisir l'écriture de Laplace qui contient les deux grandeurs connues, et elle seule.
Calculer la température finale avant le travail : celui-ci s'obtient ensuite sans effort par $nC_v\Delta T$ .
Vérifier les unités avant le résultat : $\gamma$ est sans dimension, et les exposants $(\gamma-1)/\gamma$ aussi. Un rapport de pressions élevé à une puissance doit rester un nombre pur, et une température finale plus petite que l'initiale après compression signale un exposant pris à l'envers.
Contrôler l'échauffement : une compression adiabatique chauffe toujours, une détente adiabatique refroidit toujours. C'est ce qui fait qu'un aérosol givre en se vidant.

Synthèse

Une transformation adiabatique se fait sans échange de chaleur : $Q = 0$ et $\Delta U = W$ .
Elle s'obtient en isolant la paroi, ou plus souvent en allant assez vite pour que la chaleur n'ait pas le temps de passer.
La loi de Laplace s'écrit $PV^{\gamma} =$ constante, avec $\gamma = C_p/C_v$ , valant 1,40 pour un gaz diatomique.
Les deux autres écritures, $TV^{\gamma-1}$ et $T^{\gamma}P^{1-\gamma}$ , s'en déduisent par l'équation d'état, et l'on choisit celle qui contient les grandeurs de l'énoncé.
Comprimer de 1 à 5 bar mène à 300 K en isotherme et à 475 K en adiabatique : la confusion ne décale pas le résultat, elle le fausse.
Le mot qui tranche est dans l'énoncé, et il porte sur la durée : lentement contre rapidement.
Le travail vaut $n C_v \Delta T$ , ou $(P_2V_2 - P_1V_1)/(\gamma - 1)$ quand l'énoncé ne donne aucune température.
Comprimer lentement coûte moins de travail technique que comprimer vite, et c'est pourquoi les gros compresseurs sont refroidis.
Une compression adiabatique chauffe toujours, une détente adiabatique refroidit toujours.
Le moteur Diesel repose entièrement sur cet échauffement : un taux de vingt porte l'air à plus de 720 °C, et le carburant s'enflamme seul.
Sur un diagramme pression-volume, l'adiabatique est plus raide que l'isotherme, parce qu'elle ajoute l'échauffement au rapprochement.