Chaleur, température et capacité thermique

Les Eaux d'Escarlens captent une eau à 13 °C toute l'année, la gazéifient et la mettent en bouteilles ; avant la gazéification, elle doit descendre à 4 °C. Nadia Ferrand, responsable maintenance et énergie, veut savoir ce que représente ce refroidissement pour 20 m³ d'eau par heure : quelle énergie retirer, donc quelle puissance de froid demander au groupe d'eau glacée. Elle pose aussi une seconde question. Lorsqu'une eau déjà refroidie à 4 °C est renvoyée dans la cuve de tête, qui contient de l'eau à 13 °C, la température du mélange est-elle la moyenne des deux, ou penche-t-elle d'un côté ?

Les unités, l'écart de température et la convention de signe sont ceux du chapitre 1, dont ce chapitre dépend.

Un mélange n'est pas une moyenne

Un kilogramme de cuivre sorti d'une eau bouillante, donc à 100 °C, est plongé dans un kilogramme d'eau à 20 °C, dans un récipient isolé. Les deux masses sont égales : la température finale devrait-elle tomber à mi-chemin, à 60 °C ? Mettre les deux corps en contact dans la figure suivante, et lire ce qu'elle donne.

Capacité et chaleur échangée par chaque corps
Corps	c (J/kg·K)	C = mc (J/K)	Variation	Chaleur reçue
1,00 kg de cuivre	385	385,0	-73,3 K	-28,2 kJ
1,00 kg de eau	4185	4185	6,74 K	28,2 kJ

Équilibre à 26,7 °C, pour une capacité totale de 4,57 kJ/K. La somme des chaleurs reçues vaut zéro : ce que l'un cède, l'autre le reçoit. L'axe parcouru est l'avancement de l'échange, et non une durée.

Un kilogramme de cuivre sorti d'une eau bouillante, donc à cent degrés, plongé dans un kilogramme d'eau froide. Les deux masses sont égales : où tombera l'équilibre ?

À manipuler

Choisir d'abord la température d'équilibre parmi les trois que la figure propose, puis mettre en contact.
Relever dans le tableau la variation de température de chaque corps et la chaleur qu'il reçoit.
Comparer les deux chaleurs, puis les deux variations, et chercher ce qui fait que les secondes ne se ressemblent pas.

La mesure donne 26,7 °C, et non 60 : le cuivre perd plus de 73 degrés, l'eau en gagne moins de 7, et l'équilibre tombe tout près de l'eau de départ. Deux faits sont à expliquer. Les deux corps ont échangé la même quantité de chaleur, en sens opposés, et pourtant l'un a changé de température onze fois plus que l'autre. Ce qui fixe le résultat n'est donc ni la masse ni la température de départ prises seules : c'est ce qu'il faut de chaleur à chaque corps pour changer de température. Ce chapitre l'installe en trois temps : la différence entre chaleur et température, la grandeur qui les relie, puis le bilan qui prédit l'équilibre.

Deux mots, deux natures

Dans la figure, la température décrit chaque corps à un instant : le cuivre était à 100 °C, il est à 26,7 °C. La chaleur décrit ce qui a traversé la frontière entre les deux corps pendant qu'ils se rapprochaient. Le chapitre 1 a posé cette différence entre une variable d'état et une grandeur d'échange, et le chapitre 2 a relié la température à l'agitation des molécules.

Température et chaleur

La température mesure l'agitation microscopique moyenne des constituants d'un corps : c'est une variable d'état, qui décrit le corps à un instant.

La chaleur est le transfert d'énergie dû à une différence de température : c'est une grandeur d'échange, qui décrit ce qui traverse une frontière pendant une transformation.

Les deux grandeurs ne vont pourtant pas toujours ensemble. Deux mains frottées l'une contre l'autre s'échauffent sans qu'aucune chaleur ne leur soit fournie : c'est un travail qui élève leur température. À l'inverse, un thermomètre peut rester immobile pendant que de la chaleur est reçue, comme le chapitre suivant le montrera pour la glace qui fond.

Un corps ne contient pas de chaleur

Un corps contient de l'énergie, sous forme d'agitation de ses constituants. « Chaleur » et « travail » désignent deux manières d'en échanger, pas deux manières d'en stocker.

La formule de la section suivante ne dit donc pas combien de chaleur un corps contient : elle dit combien il faut lui en fournir pour changer sa température d'une quantité donnée.

Le sens du transfert est imposé. Laissée à elle-même, la chaleur va toujours du corps chaud vers le corps froid, et elle s'arrête quand les deux températures sont égales. Une machine frigorifique fait bien passer de la chaleur du froid vers le chaud, mais seulement en consommant du travail. Un simple bilan d'énergie n'interdirait pas à un café de se réchauffer en refroidissant la pièce : c'est le second principe qui l'exclut.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Une lime frotte un morceau d'acier pendant une minute, sans flamme ni plaque chauffante : l'acier devient chaud au toucher. Que peut-on dire ?

2.Une plaque chauffante fournit de la chaleur à de la glace qui fond, et un thermomètre plongé dedans reste à 0 °C. Que conclure ?

La capacité thermique

Cent kilojoules fournis à un kilogramme d'eau l'échauffent de 23,9 K. Fournis à un kilogramme de cuivre, ils l'échauffent de 259,7 K, soit onze fois plus. La même chaleur n'a donc pas le même effet sur deux corps, et la formule qui prédit cet effet doit contenir une grandeur propre à la matière.

La chaleur sensible

La chaleur sensible échangée par un corps dont la température varie, sans changer d'état, s'écrit :

$Q = m\,c\,\Delta T$

où $m$ est la masse en kilogrammes, $c$ la capacité thermique massique en joules par kilogramme et par kelvin, c'est-à-dire la chaleur qu'il faut apporter à un kilogramme du corps pour l'échauffer d'un kelvin, et $\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}$ la variation de température, lue « température finale moins température initiale ». $Q$ est la chaleur reçue par le corps : positive s'il s'échauffe, négative s'il refroidit, selon la convention du receveur.

Un écart de température vaut autant en kelvins qu'en degrés Celsius, les deux échelles ayant le même pas (chapitre 1) : passer de 25 à 10 °C, c'est une variation de −15 K. Pour l'eau, un litre pèse un kilogramme.

Le mot « sensible » veut dire que le thermomètre la sent, par opposition à la chaleur latente du chapitre suivant, qui ne le fait pas bouger. La formule ne vaut donc qu'entre deux changements d'état : un kilogramme de glace chauffé de −10 à +10 °C ne suit pas $mc\Delta T$ avec une seule capacité, puisqu'il fond en route.

Corps	Capacité thermique massique
Eau liquide	4185 J/(kg·K)
Glace	2090 J/(kg·K)
Air, à pression constante	1005 J/(kg·K)
Bois	environ 1700 J/(kg·K)
Béton	environ 880 J/(kg·K)
Acier	environ 460 J/(kg·K)
Cuivre	385 J/(kg·K)

Pour un gaz, la capacité dépend de la façon de chauffer : à volume constant, l'air n'a que 718 J/(kg·K), et le chapitre sur l'isobare et l'isochore dira pourquoi.

L'eau est une exception, et elle explique beaucoup. Avec 4185 J/(kg·K), l'eau a une capacité thermique massique neuf à onze fois supérieure à celle de l'acier ou du cuivre : chauffer un kilogramme d'eau d'un degré coûte autant que chauffer onze kilogrammes de cuivre. Trois conséquences en découlent. L'eau est un excellent fluide caloporteur, c'est-à-dire un fluide qui transporte la chaleur, dans les circuits de chauffage et de froid. Les climats côtiers sont tempérés, la mer absorbant de l'énergie sans s'échauffer beaucoup. Et faire bouillir une casserole prend bien plus longtemps que chauffer la casserole elle-même.

Un ballon d'eau chaude

Porter 200 litres d'eau, soit 200 kg, de 15 à 60 °C :

$Q = 200 \times 4185 \times 45 \approx 3{,}77 \times 10^7\ \text{J}$

soit environ 10,5 kWh, puisqu'un kilowattheure vaut 3,6 millions de joules.

Avec une résistance de 2000 W, il faut $3{,}77 \times 10^7 / 2000 \approx 18\,800$ s, c'est-à-dire un peu plus de cinq heures. Ce sont bien les ordres de grandeur d'un chauffe-eau domestique, et le calcul a demandé une seule formule.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un échantillon passe de 15 °C à 95 °C. Dans $Q = mc\Delta T$ , que vaut $\Delta T$  ?

Un corps entier plutôt qu'un kilogramme

Une plaque d'acier de 2 kg et un bloc de béton de 1 kg reçoivent chacun 50 kJ. Le béton a la capacité massique la plus forte, 880 contre 460 J/(kg·K) : à masse égale, il s'échaufferait moins. Mais le bloc ne pèse qu'un kilogramme, et il s'échauffe pourtant davantage : 56,8 K contre 54,3 K pour l'acier. Comparer les capacités massiques seules trompe quand les masses diffèrent.

La capacité thermique d'un corps entier

La capacité thermique $C$ d'un corps entier est la chaleur qu'il faut lui apporter pour l'échauffer d'un kelvin. Elle s'exprime en joules par kelvin :

$C = m\,c \qquad\text{et}\qquad Q = C\,\Delta T$

La capacité massique $c$ ne dépend que de la matière : deux plaques du même acier, l'une deux fois plus lourde que l'autre, ont la même $c$ et des $C$ dans le rapport de deux. En revanche, $c$ n'est pas rigoureusement constante : tout le chapitre la prend constante sur l'écart de température considéré, ce qui est une bonne approximation sur quelques dizaines de kelvins et une simple estimation sur plusieurs centaines, où la capacité d'un solide varie sensiblement. Ici, $C_{\text{acier}} = 2 \times 460 = 920$ J/K et $C_{\text{béton}} = 880$ J/K : le corps de plus petite capacité d'ensemble est celui qui s'échauffe le plus, d'où 54,3 K pour l'acier et 56,8 K pour le béton.

La capacité d'un corps entier est souvent la plus commode, parce qu'elle permet de raisonner sur l'objet plutôt que sur le kilogramme. Elle est au cœur de ce que le bâtiment appelle l'inertie thermique : un mur de béton épais a une grande capacité, et c'est l'une des raisons pour lesquelles il met longtemps à se réchauffer, puis longtemps à se refroidir.

Vérification rapideon peut se reprendre

Dix kilogrammes de bois (1700 J/(kg·K)) et trois kilogrammes d'eau (4185 J/(kg·K)) reçoivent chacun 60 kJ. Lequel s'échauffe le plus ?

Le bilan calorimétrique

Le cuivre et l'eau de la première figure ont trouvé leur équilibre à 26,7 °C, et aucune moyenne ne donne ce nombre. Il se calcule, à partir de ce que la chaleur cédée par l'un est exactement celle que l'autre reçoit.

Le principe du bilan

Deux corps placés en contact dans une enceinte isolée échangent de la chaleur jusqu'à atteindre la même température, dite température d'équilibre : c'est l'équilibre thermique que fonde le principe zéro du chapitre 1. L'enceinte n'échangeant rien avec l'extérieur, la chaleur cédée par l'un est exactement celle reçue par l'autre. Écrire cette égalité est un bilan calorimétrique :

$Q_1 + Q_2 = 0$

En revanche, dans un récipient qui fuit, la somme n'est plus nulle : le calcul donne alors la température qu'on aurait eue sans fuite, et la mesure s'en écarte d'autant. Le bilan suppose aussi qu'aucun des corps ne change d'état.

Le cuivre et l'eau, mis en équation

En notant $T_{\text{éq}}$ la température d'équilibre, chaque corps reçoit $m\,c\,(T_{\text{éq}} - T_{\text{initiale}})$  : un nombre négatif pour le cuivre qui refroidit, positif pour l'eau qui s'échauffe.

$1 \times 385\,(T_{\text{éq}} - 100) + 1 \times 4185\,(T_{\text{éq}} - 20) = 0$

$4570\,T_{\text{éq}} = 38\,500 + 83\,700 = 122\,200 \quad\Longrightarrow\quad T_{\text{éq}} \approx 26{,}7\ °\text{C}$

Le cuivre a reçu $385 \times (26{,}7 - 100) \approx -28{,}2$ kJ, l'eau $4185 \times (26{,}7 - 20) \approx +28{,}2$ kJ : leur somme est nulle, et c'est le contrôle à faire à la fin de tout calcul.

Plus de deux corps

La forme générale du bilan

Pour un nombre quelconque de corps dans une enceinte isolée :

$\sum_i m_i c_i (T_{\text{éq}} - T_i) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad T_{\text{éq}} = \frac{\displaystyle\sum_i m_i c_i T_i}{\displaystyle\sum_i m_i c_i}$

Le signe $\sum$ se lit « somme sur tous les corps », un terme par corps. La température d'équilibre est donc une moyenne des températures de départ, chacune comptée avec le poids $m_i c_i$ , c'est-à-dire la capacité thermique du corps. Elle ne l'est par les masses seules que si tous les corps sont de la même matière.

Il en découle un contrôle immédiat : la température d'équilibre est toujours comprise entre les températures de départ, et elle penche du côté du corps dont la capacité $mc$ est la plus grande. C'est le corps de plus grande capacité qui impose sa température, et non le plus lourd ni le plus chaud : un kilogramme d'eau pèse autant qu'un kilogramme de cuivre, mais sa capacité est onze fois plus grande, et l'équilibre tombe tout près de lui.

Le récipient est un corps de plus

Un récipient réel participe à l'échange, puisqu'il se met à l'équilibre avec son contenu. Un calorimètre est une enceinte isolée où l'on mesure des échanges de chaleur, et son vase est le récipient intérieur qui contient les corps. Il se traite comme un corps de plus, parti de la température du contenu initial : sa capacité s'ajoute au dénominateur de la moyenne pondérée, et sa capacité multipliée par cette température s'ajoute au numérateur. Les calorimètres donnent souvent la capacité de leur vase sous la forme d'une valeur en eau $\mu$  : la masse d'eau qui aurait la même capacité, soit $C_{\text{vase}} = \mu\,c_{\text{eau}}$ .

Pour 200 g d'eau à 20 °C dans un vase de valeur en eau 20 g, auxquels on ajoute 100 g d'eau à 80 °C, le vase compte comme 20 g d'eau de plus à 20 °C : l'équilibre s'établit à $(220 \times 20 + 100 \times 80)/320 = 38{,}75$ °C, contre 40 °C si le vase était négligé. Ajouter le vase au seul dénominateur donnerait 37,5 °C en calculant en degrés Celsius, et 20,4 °C en calculant en kelvins : un résultat qui change avec l'échelle est faux.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Deux kilogrammes d'eau à 60 °C sont mélangés à un kilogramme d'eau à 30 °C, dans un récipient isolé dont la capacité est négligée. Quelle est la température finale ?

2.Un kilogramme d'acier à 300 °C est plongé dans un kilogramme d'eau à 20 °C. En négligeant l'eau vaporisée au contact, quelle température finale attendre ?

La méthode

Délimiter le système, et le supposer isolé. Nommer tous les corps qui échangent, récipient compris, et énoncer qu'aucune chaleur ne fuit et qu'aucun corps ne change d'état.
Relever pour chaque corps sa masse, sa capacité massique et sa température de départ. Convertir les litres d'eau en kilogrammes, et prendre la capacité massique avec une masse, ou la capacité d'ensemble seule.
Écrire une chaleur par corps sous la forme $m c (T_{\text{éq}} - T_i)$ , en gardant les signes de la convention du receveur. Le récipient part de la température de son contenu initial. Écrire plutôt « chaleur cédée = chaleur reçue » est juste aussi, mais impose de savoir d'avance qui cède : les deux écritures ne se mélangent pas.
Poser la somme nulle et résoudre en $T_{\text{éq}}$ .
Contrôler les unités du produit : une masse en kilogrammes par une capacité en joules par kilogramme et par kelvin, par un écart en kelvins ou en degrés Celsius, donne des joules.
Contrôler l'encadrement : la température d'équilibre est comprise entre les températures de départ, et elle penche du côté de la plus grande capacité $mc$ , qui n'est le plus lourd que si les corps sont de la même matière.
Refaire le calcul en kelvins. Ajouter 273,15 à chaque température de départ doit donner un équilibre plus haut de 273,15 exactement. Un résultat qui change avec l'échelle trahit un corps oublié au numérateur, le plus souvent le récipient.

Mettre en pratique

Les calculs ci-dessous se posent à la main, avec la formule du cours. Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

Refroidir l'eau captée

1.
Le site refroidit 20 m³ d'eau par heure, soit 20 000 kg, de 13 à 4 °C. Quelle énergie faut-il retirer en une heure, en mégajoules (MJ), à 1 MJ près ? La capacité massique de l'eau vaut 4185 J/(kg·K).
2.
Cette énergie, retirée en une heure, correspond à quelle puissance de froid, en kilowatts, à 1 kW près ? Une heure compte 3600 s, et un watt est un joule par seconde.
3.
Un refroidisseur de secours retire 100 kW à de l'eau qui passe de 13 à 4 °C. Quelle masse d'eau traite-t-il par seconde, en kilogrammes par seconde, à 0,01 près ?

La première question de l'ouverture a sa réponse : environ 753 mégajoules (MJ) à retirer chaque heure, soit 209 kW de froid à demander au groupe d'eau glacée, en continu.

Une eau déjà refroidie à 4 °C est renvoyée dans la cuve de tête, pleine d'eau à 13 °C : la température du mélange est-elle la moyenne des deux ?

La cuve de tête des Eaux d'Escarlens est en inox et pèse 300 kg ; elle contient 3 000 L d'eau à 13 °C. Un renvoi y verse 1 000 L d'eau déjà refroidie à 4 °C. L'inox a pour capacité massique 460 J/(kg·K), et l'enceinte est supposée isolée. Calculer la température d'équilibre du mélange, à 0,1 °C près, puis dire si elle est la moyenne des deux températures.

Par où commencer ? Dresser la liste de tout ce qui échange de la chaleur, et écrire la capacité thermique de chacun avant toute température.

Vérification rapideon peut se reprendre

Pourquoi poser trois chaleurs et non deux, alors que la cuve est bien plus légère que l'eau ?

Le corrigé

Écrire la capacité de chaque corps. L'eau de la cuve : $3000 \times 4185 = 12\,555\,000$ J/K. La cuve : $300 \times 460 = 138\,000$ J/K. L'eau du renvoi : $1000 \times 4185 = 4\,185\,000$ J/K. La température d'équilibre est une moyenne pondérée par ces capacités, et un litre d'eau pèse un kilogramme.
Poser le bilan avec le signe du receveur. La cuve part de la température de son contenu, 13 °C : $12\,555\,000\,(T_{\text{éq}} - 13) + 138\,000\,(T_{\text{éq}} - 13) + 4\,185\,000\,(T_{\text{éq}} - 4) = 0$ . La somme est nulle parce que l'enceinte est isolée.
Résoudre en la température d'équilibre. La cuve part de la même température que son eau, donc leurs capacités se regroupent : $12\,555\,000 + 138\,000 = 12\,693\,000$ J/K. En mégajoules par kelvin, ces capacités valent 12,693 et 4,185, et $T_{\text{éq}} = \dfrac{12{,}693 \times 13 + 4{,}185 \times 4}{12{,}693 + 4{,}185} \approx 10{,}77$ °C, soit 10,8 °C.
Comparer à la moyenne simple. La moyenne de 13 et de 4 °C vaut 8,5 °C. Le mélange est à 10,8 °C : il penche du côté de l'eau à 13 °C, dont la capacité est trois fois plus grande. La réponse à l'ouverture est donc non, ce n'est pas la moyenne.
Vérifier. L'équilibre est bien compris entre 4 et 13 °C, du côté de la plus grande capacité. L'eau de la cuve et la cuve cèdent $12\,693\,000 \times 2{,}23 \approx 28{,}3$ MJ, et l'eau du renvoi reçoit $4\,185\,000 \times 6{,}77 \approx 28{,}3$ MJ : le bilan est nul. Refait en kelvins, le calcul donne 283,92 K, soit 10,77 °C. Sans la cuve, on trouverait 10,75 °C : l'écart de 0,02 K est négligeable ici, la cuve pesant moins de 1 % de la capacité totale, mais cela ne se sait qu'en la comptant.

L'eau chaude versée dans le tambour porte-t-elle le linge jusqu'au seuil de désinfection de 71 °C ?

Une blanchisserie hospitalière désinfecte son linge par la chaleur : le bain doit atteindre au moins 71 °C. Une machine reçoit, dans son tambour d'inox de 60 kg, 40 kg de linge de coton sec à 18 °C, puis 100 L d'eau à 80 °C. Le coton a pour capacité massique environ 1300 J/(kg·K), l'inox 460 J/(kg·K) ; le tambour part de 18 °C, comme le linge, et l'enceinte est supposée isolée. Calculer la température du bain, à 0,1 °C près, puis dire si le seuil est atteint.

Par où commencer ? Dresser la liste de tout ce qui échange de la chaleur, et écrire la capacité thermique de chacun avant toute température.

Le corrigé

Écrire la capacité de chaque corps. Le linge : $40 \times 1300 = 52\,000$ J/K. Le tambour : $60 \times 460 = 27\,600$ J/K. L'eau : $100 \times 4185 = 418\,500$ J/K, un litre d'eau pesant un kilogramme.
Poser le bilan avec le signe du receveur. Le linge et le tambour partent tous deux de 18 °C, et leurs capacités s'additionnent, $52\,000 + 27\,600 = 79\,600$ J/K : $79\,600\,(T_{\text{éq}} - 18) + 418\,500\,(T_{\text{éq}} - 80) = 0$ .
Résoudre en la température d'équilibre. $T_{\text{éq}} = \dfrac{79\,600 \times 18 + 418\,500 \times 80}{79\,600 + 418\,500} \approx 70{,}1$ °C.
Conclure sur le seuil. 70,1 °C reste sous 71 °C : le bain ne désinfecte pas. En oubliant le tambour, on trouverait 73,1 °C, et l'on conclurait à tort que le seuil est atteint : ici, le récipient change la décision. Une eau à 81,1 °C suffirait.
Vérifier. L'équilibre est compris entre 18 et 80 °C et tombe près de l'eau, la plus grande capacité. Le linge et le tambour reçoivent $79\,600 \times 52{,}1 \approx 4{,}15$ MJ, et l'eau cède $418\,500 \times 9{,}9 \approx 4{,}15$ MJ : le bilan est nul.

Un mélange n'est pas une moyenne

Deux mots, deux natures

La capacité thermique

Un corps entier plutôt qu'un kilogramme

Le bilan calorimétrique

Plus de deux corps

La méthode

Mettre en pratique

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