Chaleur, température et capacité thermique · Thermodynamique

Les deux mots sont confondus dans la langue courante, et cette confusion coûte cher. Un radiateur ne contient pas de chaleur, il en fournit. Un corps n'est pas chaud parce qu'il contient beaucoup de chaleur, mais parce que son agitation interne est forte. La température décrit un état ; la chaleur décrit un échange.

Ce chapitre installe la distinction, puis la grandeur qui les relie : la capacité thermique, c'est-à-dire ce qu'il faut dépenser pour élever d'un degré la température d'un corps. Il se referme sur le bilan calorimétrique, qui est le premier bilan d'énergie du parcours et le modèle de tous les suivants.

Deux mots, deux natures

Définitions

La température mesure l'agitation microscopique moyenne des constituants d'un corps. C'est une variable d'état : elle décrit le corps à un instant.

La chaleur est un transfert d'énergie dû à une différence de température. C'est une grandeur d'échange : elle décrit ce qui traverse une frontière pendant une transformation.

Un corps ne contient pas de chaleur

Un corps contient de l'énergie, sous forme d'agitation de ses constituants. Il n'en contient ni « sous forme de chaleur » ni « sous forme de travail » : ces deux mots désignent des manières d'en échanger, pas des manières d'en stocker.

La formule qui suit, $Q = mc\Delta T$ , ne dit donc pas combien de chaleur un corps contient. Elle dit combien il faut lui en fournir pour changer sa température d'une quantité donnée.

Le sens du transfert n'est pas négociable

La chaleur va toujours du corps chaud vers le corps froid, jamais l'inverse, et elle s'arrête quand les deux températures sont égales.

Ce fait, qui paraît évident, est le contenu du second principe. Aucune des lois de ce chapitre ni du suivant ne l'interdit : le premier principe autoriserait parfaitement un café à se réchauffer en refroidissant la pièce. C'est un chapitre entier de ce parcours qui viendra dire pourquoi cela ne se produit jamais.

La capacité thermique

Définition

La chaleur sensible échangée par un corps dont la température varie s'écrit :

$Q = m\,c\,\Delta T$

où $m$ est la masse en kilogrammes, $c$ la capacité thermique massique en joules par kilogramme et par kelvin, et $\Delta T$ la variation de température.

Le mot « sensible » veut dire que le thermomètre la sent, par opposition à la chaleur latente du chapitre suivant, qui ne fait pas bouger le thermomètre.

Corps	Capacité thermique massique
Eau liquide	4185 J/(kg·K)
Glace	2090 J/(kg·K)
Air	1005 J/(kg·K)
Bois	environ 1700 J/(kg·K)
Béton	environ 880 J/(kg·K)
Acier	environ 460 J/(kg·K)
Cuivre	385 J/(kg·K)

0,00 kJ fournis · 15 °C · liquide

Chaleur de chaque étape
Étape	De	À	Chaleur	Part
liquide	15 °C	95 °C	335 kJ	100 %

Chaleur totale 335 kJ pour 1,00 kg d'eau. Les segments épais sont les paliers : la chaleur y entre sans que la température monte.

Un kilogramme d'eau chauffé de quinze à quatre-vingt-quinze degrés, sans changement d'état. La droite a pour pente l'inverse de la capacité thermique, et rien d'autre.

À manipuler

Chauffer et suivre la montée : elle est parfaitement droite, puisque aucun palier n'est traversé entre quinze et quatre-vingt-quinze degrés.
Relever la chaleur totale dans le tableau : elle vaut 335 kilojoules, c'est-à-dire exactement le produit de la masse, de la capacité et des quatre-vingts degrés d'écart.
Remarquer que la pente de la droite est l'inverse de la capacité thermique : plus un corps a de capacité, plus sa montée est lente à puissance donnée. C'est pourquoi une casserole d'eau met si longtemps à chauffer.

L'eau est une exception, et elle explique beaucoup

Avec 4185 J/(kg·K), l'eau a une capacité thermique massique dix fois supérieure à celle de la plupart des métaux. Chauffer un kilogramme d'eau d'un degré coûte autant que chauffer dix kilogrammes de cuivre du même degré.

Trois conséquences en découlent directement. L'eau est l'excellent fluide caloporteur des circuits de chauffage. Les climats côtiers sont tempérés, la mer absorbant de l'énergie sans s'échauffer beaucoup. Et faire bouillir une casserole prend bien plus longtemps que chauffer la casserole elle-même.

Un ballon d'eau chaude

Porter 200 litres d'eau de 15 à 60 °C :

$Q = 200 \times 4185 \times 45 \approx 3{,}77 \times 10^7\ \text{J}$

soit environ 10,5 kWh, puisqu'un kilowattheure vaut 3,6 millions de joules.

Avec une résistance de 2000 W, il faut $3{,}77 \times 10^7 / 2000 \approx 18\,800$ s, c'est-à-dire un peu plus de cinq heures. Ce sont bien les ordres de grandeur d'un chauffe-eau domestique, et le calcul a demandé une seule formule.

Vérification rapideon peut se reprendre

Quel corps faut-il chauffer le plus longtemps, à puissance égale et pour la même élévation de température : un kilogramme d'eau ou un kilogramme de cuivre ?

Trois capacités, et laquelle employer

Le mot « capacité » recouvre trois grandeurs différentes, que les énoncés emploient indifféremment. Les distinguer évite l'erreur d'unité la plus fréquente du chapitre.

Les trois écritures

La capacité thermique massique $c$ , en J/(kg·K), s'emploie avec une masse :

$Q = m\,c\,\Delta T$

La capacité thermique molaire $C_m$ , en J/(mol·K), s'emploie avec une quantité de matière :

$Q = n\,C_m\,\Delta T$

La capacité thermique $C$ d'un corps entier, en J/K, ne demande rien d'autre :

$Q = C\,\Delta T \qquad\text{avec}\qquad C = m\,c = n\,C_m$

L'unité désigne la formule

Une capacité en joules par kilogramme et par kelvin se multiplie par des kilogrammes, jamais par des moles. Une capacité en joules par mole et par kelvin fait l'inverse.

Le contrôle est immédiat et ne se trompe jamais : le produit doit rendre des joules. C'est aussi la raison pour laquelle les chapitres sur les gaz emploieront $C_v$ et $C_p$ , qui sont molaires, alors que ce chapitre-ci emploie $c$ , qui est massique.

La capacité thermique d'un corps entier

Il est souvent plus commode de raisonner sur l'objet que sur le kilogramme.

Définition

$C = m\,c$

en joules par kelvin. La chaleur s'écrit alors $Q = C\,\Delta T$ , sans masse apparente.

Cette grandeur porte un nom d'usage courant dans le bâtiment : l'inertie thermique. Un mur de béton épais possède une grande capacité thermique, et c'est pour cela qu'il met longtemps à se réchauffer, puis longtemps à se refroidir. Le dernier chapitre du parcours s'en servira.

Le bilan calorimétrique

C'est le premier bilan d'énergie du parcours, et il annonce la forme de tous les autres.

Le principe du bilan

Deux corps placés en contact dans une enceinte isolée échangent de la chaleur jusqu'à atteindre la même température. L'enceinte n'échangeant rien avec l'extérieur, la chaleur cédée par l'un est exactement celle reçue par l'autre :

$Q_1 + Q_2 = 0$

Capacité et chaleur échangée par chaque corps
Corps	c (J/kg·K)	C = mc (J/K)	Variation	Chaleur reçue
3,00 kg de eau	4185	12560	-24,0 K	-301 kJ
2,00 kg de eau	4185	8370	36,0 K	301 kJ

Équilibre à 56,0 °C, pour une capacité totale de 20,9 kJ/K. La somme des chaleurs reçues vaut zéro : ce que l'un cède, l'autre le reçoit. L'axe parcouru est l'avancement de l'échange, et non une durée.

Trois litres d'eau chaude et deux litres d'eau froide dans un récipient isolé. Mettre en contact, et suivre les deux colonnes jusqu'à ce qu'elles se rejoignent.

À manipuler

Mettre en contact et suivre les deux colonnes : elles se rapprochent et se rejoignent sur le trait de l'équilibre, à cinquante-six degrés.
Regarder laquelle bouge le plus : l'eau froide, moins abondante, monte de trente-six degrés pendant que l'eau chaude n'en perd que vingt-quatre. La température finale penche du côté de la plus grosse masse.
Lire les deux chaleurs dans le tableau : elles sont opposées au joule près, l'une négative et l'autre positive. C'est le bilan lui-même, et c'est le contrôle à faire sur une copie.
Suivre l'énergie déjà échangée sous la figure : elle croît régulièrement, et l'axe parcouru est bien cet échange et non une durée.

Un mélange d'eau chaude et d'eau froide

Trois litres d'eau à 80 °C sont mélangés à deux litres d'eau à 20 °C, dans un récipient dont on néglige la capacité.

$m_1 c (T_f - 80) + m_2 c (T_f - 20) = 0$

La capacité massique se simplifie, puisque les deux corps sont de l'eau :

$3(T_f - 80) + 2(T_f - 20) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5T_f = 280 \quad\Longrightarrow\quad T_f = 56\ °\text{C}$

Le résultat est une moyenne pondérée par les masses, et il tombe plus près de 80 que de 20 parce que l'eau chaude est la plus abondante. C'est le contrôle immédiat d'un bilan calorimétrique : la température finale est toujours comprise entre les deux températures de départ, et penche du côté de la plus grosse masse.

Capacité et chaleur échangée par chaque corps
Corps	c (J/kg·K)	C = mc (J/K)	Variation	Chaleur reçue
1,00 kg de cuivre	385	385,0	-73,3 K	-28,2 kJ
1,00 kg de eau	4185	4185	6,74 K	28,2 kJ

Équilibre à 26,7 °C, pour une capacité totale de 4,57 kJ/K. La somme des chaleurs reçues vaut zéro : ce que l'un cède, l'autre le reçoit. L'axe parcouru est l'avancement de l'échange, et non une durée.

Un kilogramme de cuivre bouillant plongé dans un kilogramme d'eau froide. Les deux masses sont égales, et pourtant l'une des deux colonnes ne bouge presque pas.

À manipuler

Mettre en contact et comparer les deux déplacements : le cuivre chute de plus de soixante-dix degrés, l'eau n'en gagne que sept. Les deux masses sont pourtant identiques.
Lire la colonne des capacités dans le tableau : celle de l'eau vaut onze fois celle du cuivre, et c'est tout ce qui explique l'asymétrie.
En tirer la règle : dans un mélange, c'est le corps de plus grande capacité qui impose sa température, et non le plus lourd ni le plus chaud.

Les deux écritures et leurs signes

L'écriture $Q_1 + Q_2 = 0$ emploie la convention du receveur pour les deux corps : chacun reçoit algébriquement, et celui qui refroidit reçoit une chaleur négative.

L'écriture $Q_{\text{cédée}} = Q_{\text{reçue}}$ compte les deux positivement, et impose alors de savoir d'avance qui cède et qui reçoit.

Les deux sont justes, et les mélanger ne l'est pas. La première est plus sûre, parce qu'elle ne demande pas de deviner le sens avant de calculer : le signe du résultat le donne.

La forme générale du bilan

Pour un nombre quelconque de corps dans une enceinte isolée :

$\sum_i m_i c_i (T_f - T_i) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad T_f = \frac{\displaystyle\sum_i m_i c_i T_i}{\displaystyle\sum_i m_i c_i}$

La température finale est donc une moyenne des températures initiales, pondérée par les capacités thermiques.

Le vase n'est pas toujours négligeable

Un calorimètre réel possède lui-même une capacité thermique, appelée valeur en eau, et il se met à l'équilibre avec le reste.

Elle s'ajoute simplement au dénominateur, comme un corps de plus déjà à la température du contenu initial. L'oublier explique la plus grande part de l'écart entre un résultat calculé et une mesure de laboratoire.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un kilogramme d'eau à 60 °C est mélangé à un kilogramme d'eau à 20 °C. Quelle est la température finale ?

La méthode

Repérer la nature de chaque grandeur : une température décrit un état, une chaleur décrit un échange. Les deux ne s'additionnent jamais entre elles.
Délimiter le système, et décider s'il est isolé. Un bilan calorimétrique suppose qu'aucune chaleur ne fuit, et cette hypothèse doit être énoncée.
Choisir la bonne capacité selon ce que l'énoncé donne : massique avec une masse, molaire avec une quantité de matière.
Écrire une chaleur par corps, chacune sous la forme $m c (T_f - T_i)$ , en conservant les signes, et ajouter le vase s'il en est donné un.
Poser la somme nulle et résoudre en la température finale.
Vérifier les unités avant le résultat : une capacité thermique massique est en joules par kilogramme et par kelvin, donc son produit par une masse et par un écart de température donne bien des joules. Un écart de température se compte indifféremment en kelvins ou en degrés Celsius, puisque les deux échelles ont le même pas.
Contrôler l'encadrement : la température finale est comprise entre les deux températures initiales, et penche du côté de la masse la plus grande. Un résultat hors de cet intervalle est faux, sans qu'il soit besoin de chercher où.

Synthèse

La température décrit un état et mesure l'agitation interne ; la chaleur décrit un échange dû à une différence de température.
Un corps ne contient pas de chaleur : il contient de l'énergie, dont la chaleur est un mode de transfert.
La chaleur va toujours du chaud vers le froid, ce qu'aucune loi de ce chapitre n'impose et que le second principe expliquera.
La chaleur sensible vaut $Q = mc\Delta T$ , et le mot « sensible » signifie que le thermomètre la perçoit.
L'eau possède une capacité thermique massique de 4185 J/(kg·K), environ dix fois celle des métaux courants, ce qui en fait le fluide caloporteur des circuits de chauffage.
La capacité thermique d'un corps entier vaut $C = mc$ , et c'est ce que le bâtiment appelle son inertie.
Dans une enceinte isolée, la somme des chaleurs échangées est nulle, et la température finale est une moyenne pondérée par les masses.
Trois capacités coexistent : massique en J/(kg·K), molaire en J/(mol·K) et celle du corps entier en J/K, et l'unité désigne la formule.
La température finale est la moyenne des températures initiales pondérée par les capacités, et non par les masses seules.
Dans un mélange, c'est le corps de plus grande capacité qui impose sa température, et non le plus lourd.
La valeur en eau du vase s'ajoute au dénominateur, et l'oublier explique l'essentiel de l'écart entre calcul et mesure.
Un bilan calorimétrique se contrôle par encadrement : la température finale tombe entre les deux températures de départ.