Équations différentielles et oscillations

L'équation du second ordre

La structure de résolution est exactement la même qu'au premier ordre :

L'équation homogène et l'équation caractéristique

Pour résoudre $a y'' + b y' + c y = 0$, on cherche des solutions de la forme $y = e^{rx}$. Alors $y' = r e^{rx}$ et $y'' = r^2 e^{rx}$, et l'équation devient :

Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, tout se ramène à une équation du second degré ordinaire.

C'est le point remarquable du chapitre : un problème d'analyse se ramène entièrement à une équation du second degré, et les trois cas du discriminant correspondent à trois comportements physiques distincts.

Les trois cas

Cas 1 : $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$.

Aucune oscillation : une somme de deux exponentielles. Si les deux racines sont négatives, la solution décroît vers 0 sans jamais changer de signe. C'est le régime apériodique (ou surcritique) : le système revient à l'équilibre sans le dépasser, comme une porte munie d'un ferme-porte bien serré.

Cas 2 : $\Delta = 0$ : une racine double $r_0 = -b/(2a)$.

Le facteur $x$ devant la seconde constante est indispensable : sans lui, on n'aurait qu'une seule solution indépendante au lieu de deux. C'est le régime critique, celui du retour à l'équilibre le plus rapide possible sans dépassement. C'est le réglage recherché pour un amortisseur de voiture ou un galvanomètre.

Cas 3 : $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $r = \alpha \pm i\beta$, avec $\alpha = -b/(2a)$ et $\beta = \sqrt{-\Delta }/(2a)$.

C'est le régime pseudo-périodique : une oscillation de pulsation β, dont l'amplitude est modulée par l'enveloppe $e^{\alpha x}$. Si $\alpha < 0$, les oscillations s'amortissent ; si $\alpha = 0$, elles durent indéfiniment.

Les racines se lisent dans le plan complexe

Les trois cas ne sont pas trois règles à mémoriser séparément : c'est une seule situation, celle de deux racines dans le plan complexe, vue sous trois angles. Prenons trois systèmes de même pulsation propre $\omega _0 = 3$, et faisons seulement varier l'amortissement.

Deux lectures, et elles suffisent à répondre à la plupart des questions du chapitre.

L'abscisse dit si le système revient. C'est la partie réelle α : à gauche de l'axe vertical le système s'éteint en $e^{\alpha t}$, à droite il s'emballe. Un système est stable si et seulement si toutes ses racines sont dans le demi-plan de gauche, et c'est très exactement le critère qu'utilise l'automatique.

L'ordonnée dit s'il oscille. Une racine posée sur l'axe horizontal ne produit aucune oscillation ; une racine au-dessus donne un cosinus de pulsation égale à sa hauteur. Amortir un système, c'est faire glisser ses racines vers la gauche, et le régime critique est le moment précis où elles se rejoignent sur l'axe réel.

Cinq équations de même pulsation propre, dont seul l'amortissement change, montrent le déplacement des racines :

Les quatre premières ont la même pulsation propre, $\sqrt{9} = 3$ : seul l'amortissement change, et c'est lui seul qui déplace les racines. La quatrième, sans amortissement du tout, a ses racines exactement sur l'axe vertical et oscille indéfiniment sans s'éteindre. La dernière a un amortissement négatif, ce qui pousse ses racines à droite de l'axe : la solution s'emballe au lieu de s'éteindre, et c'est le mode de défaillance qu'un asservissement mal réglé produit.

Ces trois régimes sont tracés côte à côte plus bas, dans la section sur l'oscillateur amorti : les voir superposés vaut mieux que de les imaginer un par un.

L'oscillateur harmonique

C'est le cas le plus simple et le plus fondamental : pas de frottement, donc pas de terme en $y'$.

L'équation caractéristique est $r^2 + \omega _0^2 = 0$, dont les racines sont $\pm i\omega _0$ : purement imaginaires. On est dans le cas 3 avec $\alpha = 0$, d'où :

Cette solution s'écrit aussi sous forme d'une seule sinusoïde :

$y(t) = C \cos(\omega _0t - \varphi )$,   avec $C = \sqrt{A^2 + B^2}$ l'amplitude et φ la phase à l'origine.

Les deux écritures sont équivalentes : la première est commode pour appliquer les conditions initiales, la seconde pour lire l'amplitude. On passe de l'une à l'autre en développant $\cos(\omega _0t - \varphi )$.

Exemple travaillé. Traçons $y(t) = 2\cos(2t - \pi /3)$, qui est la seconde écriture avec $C = 2$, $\omega _0 = 2$ et $\varphi = \pi /3$.

Les trois se lisent sans calcul. L'amplitude vaut 2, c'est la hauteur atteinte. La période est l'écart entre les deux maximums marqués, $3{,}67 - 0{,}52 = \pi$, ce qui redonne bien $T = 2\pi /\omega _0 = 2\pi /2$. Et la phase se lit sur le premier maximum : il tombe en $t = \pi /6$ et non en zéro, parce que $\varphi /\omega _0 = (\pi /3)/2 = \pi /6$.

Exemples de systèmes régis par cette équation :

L'oscillateur amorti

On ajoute un frottement proportionnel à la vitesse :

Le coefficient λ est le facteur d'amortissement (λ > 0). Le discriminant réduit vaut $\lambda ^2 - \omega _0^2$, ce qui donne les trois régimes selon la comparaison entre λ et ω₀ :

Dans le troisième cas, les racines sont $-\lambda \pm i\sqrt{\omega _0^2 - \lambda ^2}$, et la pseudo-pulsation vaut $\omega = \sqrt{\omega _0^2 - \lambda ^2}$. Elle est toujours inférieure à la pulsation propre : l'amortissement ralentit les oscillations, en plus de les réduire.

Les trois régimes se distinguent d'un coup d'œil. Voici les trois solutions d'un même système, de pulsation propre $\omega _0 = 3$, lâché de la même hauteur et sans vitesse initiale, pour trois valeurs du facteur d'amortissement. Ce sont exactement les trois jeux de racines de la figure du plan complexe.

Les trois courbes partent de la même hauteur avec une vitesse nulle, et elles sont bien solutions de la même équation à l'amortissement près : c'est ce qui rend leur comparaison licite. Sans cette précaution, on comparerait trois systèmes différents et l'on n'en conclurait rien.

Le résultat le moins intuitif est celui du milieu : augmenter l'amortissement au-delà du régime critique ralentit le retour à l'équilibre au lieu de l'accélérer. C'est pour cela qu'un amortisseur de voiture est réglé au voisinage du cas critique, et non « le plus amorti possible ».

L'amplitude décroît comme $e^{-\lambda t}$. La quantité $1/\lambda$ est le temps caractéristique d'extinction.

Exemple travaillé. $y'' + 4y' + 3y = 0$, avec $y(0) = 2$ et $y'(0) = 0$.

Équation caractéristique : $r^2 + 4r + 3 = 0$, $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$, racines $r = (-4 \pm 2)/2$, soit $-1$ et $-3$.

Conditions initiales : $y(0) = A + B = 2$, et $y'(t) = -A e^{-t} - 3B e^{-3t}$ donne $y'(0) = -A - 3B = 0$, donc $A = -3B$. En reportant : $-3B + B = 2$, donc $B = -1$ et $A = 3$.

$y(t) = 3e^{-t} - e^{-3t}$

Régime apériodique : les deux racines sont réelles et négatives, la solution tend vers 0 sans osciller.

Le régime forcé et la résonance

On excite maintenant le système par une force extérieure, typiquement sinusoïdale :

La solution générale est la somme de deux parties, dont l'interprétation physique est essentielle :

• la solution homogène, qui contient $e^{-\lambda t}$ et s'éteint : c'est le régime transitoire ;
• la solution particulière, qui oscille à la pulsation ω de l'excitation et subsiste : c'est le régime permanent (ou forcé).

On cherche la solution particulière sous la forme $y = P \cos(\omega t) + Q \sin(\omega t)$, on injecte, et on identifie les coefficients de $\cos$ et de $\sin$.

Exemple travaillé. Sur $y'' + 0{,}6\, y' + 4y = 3\cos(1{,}2\, t)$, avec un système au repos au départ, la solution complète et son régime permanent se superposent ainsi.

Le système part au repos, il oscille d'abord de façon compliquée, à deux pulsations mêlées, la sienne et celle qu'on lui impose. Puis $e^{-0{,}3t}$ fait son œuvre : au bout d'une quinzaine de secondes l'écart entre les deux courbes est descendu sous 1 %, et il ne subsiste que l'oscillation forcée, à la pulsation 1,2 de l'excitation et non à la pulsation propre 2.

L'amplitude du régime permanent dépend de ω, et elle passe par un maximum lorsque ω est proche de $\omega _0$ : c'est la résonance.

En pratique, tout système réel possède un amortissement, qui borne l'amplitude à la résonance. Plus λ est petit, plus le pic est haut et étroit : c'est le facteur de qualité du système, recherché dans un filtre sélectif, redouté dans une structure mécanique.

La lecture est directe : à excitation constante, le système le moins amorti des trois répond près de cinq fois plus fort que le plus amorti, et seulement au voisinage de sa pulsation propre. C'est la raison pour laquelle on accorde une radio, et la raison pour laquelle on brise le pas cadencé sur un pont.

Conditions initiales

Deux constantes, donc deux conditions. Elles portent presque toujours sur la position et la vitesse initiales.

Pensons à dériver la solution avant d'utiliser la condition sur $y'(0)$, sans oublier de dériver aussi la solution particulière.

Exemple travaillé. Sur $y'' + 9y = 0$, fixons la position de départ à $y(0) = 1$ et faisons varier la seule vitesse initiale.

C'est ce que les deux constantes autorisent, et rien de plus. La pulsation, elle, ne dépend d'aucune condition initiale : elle est inscrite dans l'équation, et c'est pour cela qu'une corde de guitare donne la même note quelle que soit la force du pincement.

Le régime, autant de fois qu'il faut

Quatre nombres se lisent sur l'équation caractéristique avant toute résolution, et ils suffisent à décrire entièrement le comportement : le seuil qui sépare les régimes, le discriminant qui dit lequel s'applique, la vitesse d'extinction et la pulsation réelle des oscillations.

Comparer la dernière réponse à la pulsation propre $\sqrt{k}$. Elle lui est toujours inférieure : un système amorti oscille plus lentement que le même système sans frottement, et l'écart grandit avec l'amortissement jusqu'à faire disparaître l'oscillation au seuil critique.

Où la démarche dérape

Un raisonnement qui sépare proprement l'amplitude et la fréquence, et qui se trompe sur la seconde.

À calculer soi-même

Quatre nombres qui décrivent un même système : une masse de 2 kilogrammes sur un ressort de raideur 200. Ce sont les quatre grandeurs qu'on calcule en premier devant n'importe quel oscillateur.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Normaliser : coefficient 1 devant $y''$.
2. Écrire l'équation caractéristique et calculer Δ. C'est le nœud de tout l'exercice.
3. Appliquer la forme correspondant au cas : les trois formes doivent être sues par cœur, il n'y a pas le temps de les redémontrer en 30 minutes.
4. Nommer le régime (apériodique, critique, pseudo-périodique) : c'est souvent une question à part entière.
5. Pour un second membre, chercher la solution particulière de la même forme, en vérifiant qu'elle n'est pas déjà solution de l'homogène.
6. Additionner, puis appliquer les deux conditions initiales sur la solution complète.
7. Contrôle : dériver deux fois et réinjecter. Vérifier aussi le comportement à l'infini : un système amorti doit tendre vers sa position d'équilibre.
8. Situer les racines dans le plan complexe quand on doute du régime : à gauche de l'axe vertical le système revient, au-dessus de l'axe horizontal il oscille.

Synthèse

• $a y'' + b y' + c y = f$ : la structure est celle du premier ordre, avec deux constantes et donc deux conditions initiales.
• Tout repose sur l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$.
• $\Delta > 0$ → $A e^{r_1x} + B e^{r_2x}$ → apériodique.
• $\Delta = 0$ → $(A + Bx)e^{r_0x}$ → critique, le retour le plus rapide sans dépassement.
• $\Delta < 0$ → $e^{\alpha x}(A \cos \beta x + B \sin \beta x)$ → pseudo-périodique, oscillations amorties.
• Le signe de α (partie réelle) dit si le système revient à l'équilibre ou diverge, et la partie imaginaire dit s'il oscille et à quelle pulsation. Les trois cas sont trois positions de racines dans le plan complexe, pas trois règles séparées.
• Oscillateur harmonique $y'' + \omega _0^2y = 0$ : $\omega _0$ pulsation propre, $T = 2\pi /\omega _0$.
• Amorti $y'' + 2\lambda y' + \omega _0^2y = 0$ : régime selon la comparaison de λ et ω₀ ; pseudo-pulsation $\omega = \sqrt{\omega _0^2 - \lambda ^2} < \omega _0$.
• Régime forcé : le transitoire s'éteint, le permanent oscille à la pulsation imposée. Résonance quand $\omega \approx \omega _0$, avec un facteur d'amplification $\omega _0/(2\lambda )$ ; sans amortissement, l'amplitude croît en $t$ et diverge.
• Conditions initiales en dernier, sur la solution complète.