Intégrales multiples

L'idée

Trois lectures selon ce qu'on intègre :

C'est le même passage que de la longueur à l'aire : au lieu de découper un segment en petits $dx$, on découpe une surface en petits $dx dy$.

Reste à savoir de quoi on parle quand on dit « un domaine D du plan ». En voici un, sans rien de particulier.

Rien dans ce dessin ne dit ce qu'on intègre : le domaine est le terrain, la fonction est ce qu'on y accumule. Les deux se choisissent indépendamment, et l'on peut très bien intégrer la même fonction sur deux domaines différents, ou deux fonctions sur le même.

Le théorème de Fubini

La mécanique de calcul. On intègre d'abord par rapport à une variable, en traitant l'autre comme une constante, exactement comme on dérive partiellement. On obtient une fonction de la seule variable restante, qu'on intègre ensuite normalement. Il n'y a rien de nouveau à savoir calculer : uniquement à savoir écrire les bornes.

Sur un rectangle

Quand $D = [a;b] \times [c;d]$, les bornes sont constantes et l'ordre n'a aucune importance.

Exemple travaillé. $\iint x y dx dy$ sur $[0;2] \times [0;3]$.

À l'intérieur, y est une constante : $\int _{0}^{2} xy\,dx = y \left[x^2/2\right]_{0}^{2} = 2y$.

$= \int _{0}^{3} 2y\,dy = \left[y^2\right]_{0}^{3} =$ $9$

Cas particulier commode : si $f(x,y) = g(x) h(y)$ et que le domaine est un rectangle, l'intégrale double se factorise en produit de deux intégrales simples. Ici : $(\int _{0}^{2} x\,dx)(\int _{0}^{3} y\,dy) = 2 \times 4{,}5 = 9$ ✓, mais cette factorisation ne vaut que sur un rectangle.

Sur un domaine quelconque

C'est là qu'est la vraie difficulté du chapitre, et elle est géométrique, pas calculatoire.

La méthode qui évite toutes les erreurs de bornes.

Dessiner le domaine. Puis, pour intégrer d'abord en y : tracer une flèche verticale qui traverse le domaine. Elle entre par la courbe du bas (borne inférieure) et sort par celle du haut (borne supérieure). Faisons ensuite balayer cette flèche de gauche à droite : les positions extrêmes donnent les bornes en x. Cette méthode est infaillible et prend dix secondes.

Exemple travaillé. Calculer $\iint _D x dx dy$ sur le triangle de sommets (0,0), (1,0) et (1,1).

Appliquons la méthode : on dessine, on trace la flèche, on lit.

La figure se traduit mot à mot : le domaine est délimité par $y = 0$ en bas, $y = x$ en haut, et x va de 0 à 1.

$\iint _D x\,dx\,dy = \int _{0}^{1} ( \int _{0}^{x} x\,dy )\,dx = \int _{0}^{1} x\cdot \left[y\right]_{0}^{x}\,dx = \int _{0}^{1} x^2\,dx =$ $1/3$

Intervertir l'ordre

Le même domaine se décrit de deux façons, et c'est le sens de la flèche qui change, pas le domaine. Voici exactement le triangle précédent, balayé dans l'autre sens.

On lit donc : y va de 0 à 1, et pour chaque y, x va de $y$ à $1$.

$\int _{0}^{1} ( \int _{y}^{1} x\,dx )\,dy = \int _{0}^{1} \left[x^2/2\right]_{y}^{1}\,dy = \int _{0}^{1} (1 - y^2)/2\,dy = (1/2)(1 - 1/3) =$ $1/3$ ✓

Les deux ordres donnent le même résultat, mais pas toujours la même difficulté.

Pourquoi l'ordre d'intégration compte. Certaines intégrales sont impossibles dans un ordre et immédiates dans l'autre. L'exemple classique est $∬ e^{y^2} dx dy$ sur le triangle $0 \leq x \leq y \leq 1$ : intégrer d'abord en y demanderait une primitive de $e^{y^2}$, qui n'existe pas sous forme élémentaire. En intégrant d'abord en x, il apparaît un facteur y qui rend la seconde intégration immédiate par la forme $u'e^u$. Quand on bloque, essayer l'autre ordre avant de chercher une astuce.

Exemple travaillé. Voyons ce cas de près, puisqu'il justifie à lui seul toute la section. Le domaine $0 \leq x \leq y \leq 1$ est le triangle au-dessus de la diagonale.

L'intégrale intérieure devient alors immédiate, puisque $e^{y^2}$ ne dépend pas de x :

Le facteur $y$ qui rend tout possible n'est pas une astuce : c'est la longueur de la flèche, qui vaut $y - 0 = y$. Balayé dans l'autre sens, ce même domaine aurait donné $\int _{0}^{1} ( \int _{x}^{1} e^{y^2} dy ) dx$, et l'intégrale intérieure n'a pas de primitive élémentaire. Le calcul s'arrête là, non par manque d'astuce, mais parce que la fonction n'en a pas.

L'ordre d'intégration est un choix, et il se paie. Les deux ordres décrivent le même domaine et donnent le même nombre. Mais l'un peut mener à une intégrale intérieure sans primitive élémentaire, et l'autre non. Devant une intégrale double qui bloque, la première chose à essayer n'est pas une astuce de calcul : c'est l'autre ordre, ce qui suppose de redessiner le domaine et d'en relire les bornes.

Coordonnées polaires

Dès qu'un disque, un secteur ou une couronne apparaît, les bornes cartésiennes deviennent des racines carrées. La figure ci-dessous le montre mieux qu'un argument.

En polaires, ce même disque devient le rectangle $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ : des bornes constantes, et plus une seule racine. Le changement de variables ne simplifie pas le calcul par magie, il redresse le domaine.

$x = r \cos \theta$    $y = r \sin \theta$    avec $r \geq 0$ et $\theta \in [0 ; 2\pi [$

Le principe est le même pour tout changement de variables, et il se voit sur le cas linéaire, celui du chapitre sur les matrices. Une transformation du plan déforme les aires d'un facteur constant, égal à la valeur absolue de son déterminant : c'est exactement ce que le jacobien mesure, en chaque point, pour une transformation quelconque.

Le grand avantage : sur un disque de rayon R centré à l'origine, le domaine devient le rectangle $0 \leq r \leq R$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Des bornes constantes, donc.

La raison de ce facteur exactement 2 tient en une ligne. Sans le facteur $r$, chaque tranche compte pour la même chose, qu'elle soit au centre du disque ou au bord. Or l'arc de longueur $r\,d\theta$ s'allonge avec $r$ : le jacobien n'est pas une correction, c'est la surface même du petit élément.

Exemple travaillé. Aire d'un disque de rayon R.

$A = \iint 1\,dx\,dy = \int _{0}^{2\pi } \int _{0}^{R} r\,dr\,d\theta = \int _{0}^{2\pi } \left[r^2/2\right]_{0}^{R}\,d\theta = \int _{0}^{2\pi } R^2/2\,d\theta =$ $\pi R^2$ ✓

Le résultat connu, retrouvé en trois lignes, et qu'on n'aurait pas atteint aussi simplement en cartésien.

Exemple travaillé. $\iint (x^2 + y^2) dx dy$ sur le disque de rayon 2.

En polaires, $x^2 + y^2 = r^2$, donc :

$= \int _{0}^{2\pi } \int _{0}^{2} r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = \int _{0}^{2\pi } \left[r^4/4\right]_{0}^{2}\,d\theta = \int _{0}^{2\pi } 4\,d\theta =$ $8\pi$

Notons comme l'expression $x^2 + y^2$ devient triviale : c'est le signal qu'il faut passer en polaires.

Quand passer en polaires. Dès qu'on voit un disque, une couronne, un secteur dans le domaine, ou une expression en $x^2 + y^2$ dans la fonction. Ces deux indices suffisent à décider.

Intégrales triples

Même principe, une dimension de plus. $\iiint _V f(x,y,z) dx dy dz$ s'évalue par trois intégrations successives, et $\iiint _V 1 dV$ donne le volume de V.

Deux systèmes de coordonnées adaptés, avec leur jacobien :

Exemple travaillé. Volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$, en coordonnées cylindriques.

La base, $\pi R^2$, est l'aire du disque calculée plus haut, et la hauteur multiplie. Le cylindre est un rectangle en $(r, \theta, z)$, ce qui fait que les trois intégrales se séparent.

Exemple travaillé. Volume de la boule de rayon R.

Le domaine étant un « rectangle » en (ρ, φ, θ), les trois intégrales se séparent :

$= (\int _{0}^{2\pi }\,d\theta )(\int _{0}^{\pi } \sin \varphi\,d\varphi )(\int _{0}^{R} \rho ^2\,d\rho ) = 2\pi \times 2 \times R^3/3 =$ $(4/3)\pi R^3$ ✓

Applications physiques

Ces formules sont la raison d'être du chapitre, et elles tombent régulièrement.

• Masse d'une plaque de densité surfacique ρ : $m = \iint _D \rho (x,y) dx dy$
• Centre de gravité : $x_G = (1/m) \iint _D x \rho dx dy$, et de même pour $y_G$
• Moment d'inertie par rapport à un axe : $I = \iint _D d^2 \rho dx dy$, où d est la distance à l'axe
• Valeur moyenne de f sur D : $\dfrac{1}{\text{aire}(D)} \displaystyle\iint_D f\,dx\,dy$

Toutes suivent le même schéma : on intègre la grandeur locale, pondérée par ce qui l'affecte, sur tout le domaine. Le chapitre sur les opérateurs vectoriels s'en sert pour les flux et les circulations.

L'intégrale double, autant de fois qu'il faut

Sur un rectangle les bornes sont constantes et rien ne peut mal tourner : c'est donc là qu'il faut installer le réflexe, qui est de calculer l'aire du domaine avant l'intégrale. Leur quotient est la valeur moyenne, et c'est presque toujours elle que la question demande.

La dernière question échange les deux coefficients sans toucher au domaine. Le résultat change, parce que le rectangle n'est pas un carré et qu'il pèse donc plus dans une direction que dans l'autre. Sur un domaine symétrique, les deux valeurs auraient coïncidé.

La méthode sur feuille

1. Dessiner le domaine. Ce n'est pas facultatif : c'est là que se jouent les points.
2. Choisir l'ordre et tracer la flèche : l'entrée et la sortie donnent les bornes intérieures, le balayage donne les bornes extérieures.
3. Contrôler que les bornes extérieures sont bien des constantes.
4. Si on voit un disque ou un $x^2 + y^2$, passer en polaires, et écrire le $r$ immédiatement, avant d'oublier.
5. Si le calcul bloque, essayer l'autre ordre avant de chercher une astuce : c'est souvent la seule chose qui manque.
6. Contrôle du résultat : une aire, un volume et une masse sont positifs. Et pour un domaine symétrique, une fonction impaire donne une intégrale nulle, un raccourci qui fait gagner de longues minutes.

Mettre en pratique

Les quatre calculs ci-dessous se posent avec ce qui précède et rien d'autre. La valeur attendue n'est écrite nulle part : elle est obtenue en évaluant l'intégrale, et la correction se fait à un pour cent près, ce qui laisse arrondir sans être pris en défaut.