Fonctions de plusieurs variables

Presque rien ne dépend d'une seule variable. Le rendement d'un moteur dépend du régime et de la charge, la température d'une plaque dépend de deux coordonnées, le coût d'une pièce dépend de sa longueur, de son épaisseur et du matériau. Étudier une telle fonction, c'est répondre à la question qui compte en ingénierie : où est l'optimum, et dans quelle direction faut-il aller pour l'atteindre.

Une fonction de deux variables

Définition

Une fonction de deux variables associe à chaque couple $(x, y)$ d'un domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ un nombre réel $f(x, y)$ .

Son graphe n'est plus une courbe mais une surface dans l'espace, d'équation $z = f(x, y)$ . On peut penser à un relief : $f(x,y)$ est l'altitude au point de coordonnées (x, y).

Le domaine de définition obéit aux mêmes trois interdits qu'en une variable (dénominateur non nul, radicande positif, argument du log strictement positif), sauf qu'il s'agit maintenant d'une région du plan, qu'on décrit et qu'on dessine.

Exemple travaillé. Cherchons le domaine de $f(x,y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} + \ln(y)$ .

Deux conditions, une par terme. Le radicande doit être positif : $x^2 + y^2 \leq 4$ , c'est-à-dire le disque fermé de rayon 2. L'argument du logarithme doit être strictement positif : $y > 0$ , c'est-à-dire le demi-plan au-dessus de l'axe des abscisses. Le domaine est l'intersection des deux.

faire glisser la flèchex = 0,9

bornes de l'intégrale intérieure à cette position : de 0 à 1,79

Le domaine de f, demi-disque supérieur de rayon 2. Le bord courbe appartient au domaine puisque le radicande peut être nul, mais le bord droit du bas n'en fait pas partie : le logarithme y serait celui de zéro. Aire du domaine : 6,283.

Une fonction de deux variables ne se définit donc pas sur un intervalle mais sur une surface, et c'est déjà un dessin à faire avant tout calcul.

Lignes de niveau

Définition

La ligne de niveau de valeur k est l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $f(x,y) = k$ .

C'est exactement le principe d'une carte topographique : chaque courbe joint les points de même altitude. Et la lecture est la même : des lignes serrées signalent une pente forte, des lignes espacées un terrain plat.

Pour $f(x,y) = x^2 + y^2$ , les lignes de niveau sont les cercles $x^2 + y^2 = k$  : la surface est un paraboloïde, un bol posé sur l'origine.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Les lignes de niveau de f = x² + y², des cercles concentriques, et le gradient qui les traverse perpendiculairement. Les cercles se resserrent en s'éloignant du centre : la pente augmente.

À quoi ça sert concrètement

Les lignes de niveau permettent de voir la fonction sans la dessiner en 3D. Un minimum apparaît comme un point entouré de courbes fermées de plus en plus petites ; un col (point-selle) apparaît là où les courbes se croisent en X. C'est souvent le moyen le plus rapide de vérifier un résultat.

Dérivées partielles

Comment dériver une fonction qui dépend de deux variables ? On les traite une à la fois.

Définition

La dérivée partielle de f par rapport à x, notée $\partial f/\partial x$ , s'obtient en dérivant f par rapport à x en traitant y comme une constante. Symétriquement pour $\partial f/\partial y$ .

Il n'y a donc aucune règle nouvelle à apprendre : ce sont les dérivées usuelles, avec une variable gelée.

Exemple travaillé. $f(x, y) = x^3y^2 + 3x - 5y$

$\partial f/\partial x = 3x^2y^2 + 3$ (le terme $-5y$ est une constante vis-à-vis de x, sa dérivée est nulle)
$\partial f/\partial y = 2x^3y - 5$ (le terme $3x$ disparaît de la même façon)

L'erreur systématique

Oublier de traiter l'autre variable comme une constante multiplicative. Dans

x^3y^2

, quand on dérive par rapport à x, le facteur

y^2

reste : la dérivée est

3x^2y^2

, pas

3x^2

. Le réflexe : remplacer mentalement y par 7, dériver, puis remettre y.

L'interprétation géométrique : $\partial f/\partial x$ est la pente de la surface dans la direction de l'axe des x, c'est-à-dire la pente qu'on ressentirait en marchant plein est sur le relief.

Voici le relief de cet exemple, avec en chaque point la direction de plus grande pente. On y voit ce que les deux formules calculées ci-dessus veulent dire.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Les lignes de niveau de f = x³y² + 3x − 5y, et son gradient. Contrairement au bol de la section précédente, ce relief n'a aucune symétrie : les deux dérivées partielles y valent des choses différentes en presque tout point, et c'est le cas général.

À manipuler

Poser la sonde sur une ligne de niveau, puis juste à côté. Le vecteur affiché est le gradient : il est toujours perpendiculaire à la ligne de niveau qui passe par ce point, et il pointe vers les valeurs croissantes. Vérifier aussi son rotationnel : il est nul partout, et ce n'est pas un hasard. Un champ qui dérive d'un potentiel ne tourne jamais.

Le contrôle numérique, en deux lignes

Une dérivée partielle se vérifie sans rien démontrer : on fait varier la variable concernée d'un pas minuscule, on regarde de combien f a bougé, et l'on divise. Si le nombre obtenu ne colle pas à la formule, la formule est fausse.
C'est le même contrôle qu'en une variable, et il coûte trois lignes de programme.

Sur $f(x,y) = x^3y^2 + 3x - 5y$ , dont les dérivées partielles valent $\partial f/\partial x = 3x^2y^2 + 3$ et $\partial f/\partial y = 2x^3y - 5$ , le contrôle donne :

Point	$\partial f/\partial x$ mesurée	par la formule	$\partial f/\partial y$ mesurée	par la formule
$(1 ; 1)$	6,000	6	−3,000	−3
$(2 ; -1)$	15,000	15	−21,000	−21
$(-1 ; 3)$	30,000	30	−11,000	−11
$(0{,}5 ; 2)$	6,000	6	−4,500	−4,5

Le même contrôle s'applique au théorème de Schwarz : dériver $\partial f/\partial x$ par rapport à $y$ , puis $\partial f/\partial y$ par rapport à $x$ , et constater que les deux donnent $6x^2y$ , soit $-24$ au point $(2 ; -1)$ .

Dérivées secondes et théorème de Schwarz

On peut redériver, ce qui donne quatre dérivées secondes : $\partial ^2f/\partial x^2$ , $\partial ^2f/\partial y^2$ , et les deux croisées $\partial ^2f/\partial x\partial y$ et $\partial ^2f/\partial y\partial x$ .

Théorème de Schwarz

Si les dérivées secondes sont continues, ce qui est le cas de toutes les fonctions du programme, les dérivées croisées sont égales :

\partial ^2f/\partial x\partial y = \partial ^2f/\partial y\partial x

L'ordre de dérivation n'a donc pas d'importance. En pratique, c'est un contrôle gratuit : on calcule les deux croisées, et elles doivent coïncider. Si ce n'est pas le cas, une des dérivées premières est fausse.

Sur l'exemple : $\partial ^2f/\partial x\partial y = \partial (3x^2y^2 + 3)/\partial y = 6x^2y$ , et $\partial ^2f/\partial y\partial x = \partial (2x^3y - 5)/\partial x = 6x^2y$ ✓

Gradient

Définition

Le gradient de f est le vecteur formé de ses dérivées partielles :

\operatorname{grad} f = ( \partial f/\partial x , \partial f/\partial y )

C'est un vecteur, alors que f est un nombre. Cette transformation d'un champ scalaire en champ vectoriel est l'idée centrale du chapitre suivant.

Les trois propriétés à retenir

1. Le gradient pointe dans la direction où f croît le plus vite : c'est la ligne de plus grande pente, celle que suivrait l'eau à l'envers.
2. Sa norme est la valeur de cette pente maximale.
3. Il est perpendiculaire aux lignes de niveau. Logique : le long d'une ligne de niveau, l'altitude ne change pas, donc la direction de plus grande variation lui est orthogonale.

C'est ce qui fait du gradient l'outil de base de toutes les méthodes d'optimisation : pour trouver un minimum, on avance dans la direction opposée au gradient. C'est la descente de gradient, qui est aussi l'algorithme au cœur de l'apprentissage automatique.

pas0,12

départ (-2,5 ; 2)erreur 0

La descente est arrivée au fond. Sur des lignes de niveau presque circulaires, le gradient pointe droit sur le but.

Une descente de gradient sur un relief en cuvette allongée. À chaque pas, on repart perpendiculairement à la ligne de niveau, dans le sens de la descente. Le trajet n'est pas droit : le gradient vise la plus forte pente locale, qui n'est pas la direction du but.

À manipuler

Cliquer ailleurs sur le relief pour changer le point de départ, et vérifier que la descente rejoint le même fond. Augmenter ensuite le pas jusqu'à ce qu'elle cesse de converger : au lieu de descendre, elle saute d'un versant à l'autre en s'éloignant. C'est le réglage qui décide, pas le relief.

Cette figure dit la troisième propriété mieux qu'une phrase. Chaque segment du trajet coupe la ligne de niveau à angle droit, parce que c'est exactement ce que fait le gradient. Et l'on voit du même coup sa limite : sur un relief allongé, la plus forte pente locale n'est pas la direction du minimum, et la descente louvoie.

En dimension 3, la définition s'étend sans changement : $\operatorname{grad} f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z)$ .

Plan tangent et différentielle

En une variable, la tangente approchait la courbe. Ici, c'est un plan qui approche la surface.

Plan tangent

En $(a, b)$  :

z = f(a,b) + (\partial f/\partial x)(a,b) \cdot (x - a) + (\partial f/\partial y)(a,b) \cdot (y - b)

On reconnaît la structure de la tangente : la valeur au point, plus la pente fois le déplacement, une fois dans chaque direction.

Définition

La différentielle totale de f est

df = (\partial f/\partial x) dx + (\partial f/\partial y) dy

Elle exprime la variation de f provoquée par de petites variations $dx$ et $dy$  : chaque variable contribue proportionnellement à la sensibilité de f dans sa direction.

Exemple travaillé. Mesurons ce que vaut vraiment cette approximation sur $f(x,y) = x^2 + y^2$ au point $(1 ; 1)$ , où le plan tangent est $z = 2x + 2y - 2$ .

$dx = dy$	Variation vraie	Approximation $2\,dx + 2\,dy$	Écart	Écart / pas²
0,5	2,500000	2,000000	0,500000	2
0,2	0,880000	0,800000	0,080000	2
0,1	0,420000	0,400000	0,020000	2
0,05	0,205000	0,200000	0,005000	2
0,01	0,040200	0,040000	0,000200	2

La dernière colonne ne bouge pas : l'écart est proportionnel au carré du pas. Diviser le pas par dix divise donc l'erreur par cent. C'est ce qui rend la différentielle utilisable pour une incertitude : tant que les écarts de mesure restent petits, le terme négligé est d'un ordre de grandeur en dessous de celui qu'on garde.

C'est la justification de toute la section suivante : approcher la surface par son plan tangent n'est pas une commodité, c'est une approximation dont on connaît le prix.

Propagation des incertitudes

C'est l'application concrète la plus fréquente.

\Delta f \approx |\partial f/\partial x| \Delta x + |\partial f/\partial y| \Delta y

Les valeurs absolues correspondent au cas le plus défavorable, où toutes les erreurs s'ajoutent.

Exemple travaillé. L'aire d'un rectangle est $S = L \times l$ , avec $L = 10 \pm 0{,}1 cm$ et $l = 5 \pm 0{,}05 cm$ .

$\partial S/\partial L = l = 5$ et $\partial S/\partial l = L = 10$

\Delta S \approx 5 \times 0{,}1 + 10 \times 0{,}05 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1 cm^2

L'aire vaut donc $50 \pm 1 cm^2$ , soit une incertitude relative de 2 % : la somme des incertitudes relatives sur L (1 %) et sur l (1 %). C'est un résultat général pour un produit, et il vaut la peine d'être retenu.

Règle de la chaîne

Quand x et y dépendent eux-mêmes d'un paramètre t, f devient une fonction de t seul, et :

df/dt = (\partial f/\partial x)(dx/dt) + (\partial f/\partial y)(dy/dt)

C'est la dérivée composée à plusieurs entrées : on somme les contributions de chaque chemin par lequel t influence f. En physique, cette formule donne la variation d'une grandeur le long d'une trajectoire.

Exemple travaillé. Prenons $f(x,y) = x^2 + y^2$ , le bol de tout à l'heure, et parcourons le cercle unité : $x = \cos t$ , $y = \sin t$ .

\frac{df}{dt} = 2x \cdot (-\sin t) + 2y \cdot \cos t = -2\cos t \sin t + 2 \sin t \cos t = 0

La dérivée est nulle, et pour une raison qui n'a rien d'un hasard de calcul : le cercle unité est précisément la ligne de niveau $f = 1$ . En la suivant, l'altitude ne change pas.

La règle de la chaîne redonne la perpendicularité du gradient

Écrite avec le gradient, la formule devient

df/dt = \operatorname{grad} f \cdot (dx/dt, dy/dt)

 : un produit scalaire entre le gradient et le vecteur vitesse de la trajectoire.
Sur une ligne de niveau, f est constante, donc ce produit scalaire est nul, donc les deux vecteurs sont orthogonaux. C'est la troisième propriété du gradient, obtenue ici comme un simple calcul plutôt qu'admise.

En parcourant au contraire la diagonale $x = t$ , $y = t$ , on obtient $df/dt = 2t + 2t = 4t$  : cette fois on traverse les lignes de niveau, et l'altitude grimpe.

Extremums

C'est la finalité du chapitre, et la question qu'on pose le plus souvent à une fonction de deux variables.

Étape 1 : les points critiques

Définition

Un point critique est un point où toutes les dérivées partielles s'annulent :

$\partial f/\partial x = 0$ et $\partial f/\partial y = 0$

C'est une condition nécessaire d'extremum : en un sommet ou un creux, le plan tangent est horizontal. Elle n'est pas suffisante. Il faut ensuite déterminer la nature du point.

En pratique, on résout le système formé par les deux équations. C'est souvent là qu'est le calcul.

Étape 2 : la nature du point critique

On calcule les trois dérivées secondes au point critique :

$r = \partial ^2f/\partial x^2$ $s = \partial ^2f/\partial x\partial y$ $t = \partial ^2f/\partial y^2$

puis le discriminant $rt - s^2$ .

Condition	Nature du point
$rt - s^2 > 0$ et $r > 0$	minimum local
$rt - s^2 > 0$ et $r < 0$	maximum local
$rt - s^2 < 0$	point-selle (col) : ni l'un ni l'autre
$rt - s^2 = 0$	cas douteux, la méthode ne conclut pas

Les deux situations se distinguent d'un coup d'œil sur les lignes de niveau. Un extremum donne des courbes fermées qui se resserrent autour d'un point ; un col donne des courbes qui se croisent en X.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Un point col en (0 ; 0) pour f = x² − y². Les lignes de niveau ne se referment pas autour de l'origine : elles s'y croisent. C'est la signature visuelle d'un point-selle.

Ce qu'est un point-selle

C'est un col de montagne : un minimum si on le traverse dans un sens, un maximum si on le traverse dans l'autre. Il n'existe pas d'équivalent en une variable, et c'est exactement pour cela que le test

f'(x) = 0

ne suffit plus. Le point-selle est souvent la bonne réponse : ne pas chercher à tout prix un extremum.

Exemple travaillé. $f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5$

Points critiques : $\partial f/\partial x = 2x - 4 = 0$ donne $x = 2$  ; $\partial f/\partial y = 2y - 6 = 0$ donne $y = 3$ . Un seul point critique : $(2 ; 3)$ .

Dérivées secondes : $r = 2$ , $s = 0$ , $t = 2$ . Donc $rt - s^2 = 4 > 0$ et $r = 2 > 0$ .

C'est un minimum local, de valeur $f(2 ; 3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 5 = -8$ .

Contrôle par une autre voie : en complétant les carrés, $f = (x-2)^2 + (y-3)^2 - 8$ , qui est manifestement minimale en $(2 ; 3)$ et vaut −8 ✓

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Les lignes de niveau autour du minimum (2 ; 3). Elles se referment en cercles de plus en plus petits, et toutes les flèches du gradient s'écartent du centre : c'est la signature visuelle d'un minimum. À comparer point par point avec la figure du col, plus bas.

Exemple travaillé : un point-selle. $f(x,y) = x^2 - y^2$

$\partial f/\partial x = 2x = 0$ et $\partial f/\partial y = -2y = 0$  : point critique $(0 ; 0)$ .

$r = 2$ , $s = 0$ , $t = -2$ , donc $rt - s^2 = -4 < 0$  : point-selle.

On le vérifie directement : le long de l'axe des x, $f = x^2$ a un minimum en 0 ; le long de l'axe des y, $f = -y^2$ a un maximum. La surface a la forme d'une selle de cheval.

Un col ne se dessine pas de tête, et c'est bien le problème. Mais il n'est pas nécessaire de dessiner la surface : ses deux coupes passant par l'origine suffisent, et ce sont deux paraboles ordinaires.

f(x) = x^2g(x) = -x^2

Les deux coupes de f(x, y) = x² − y² passant par l'origine. En parcourant l'axe des x (la parabole vers le haut), l'origine est un minimum. En parcourant l'axe des y (celle vers le bas), c'est un maximum. Le même point, deux réponses opposées.

Aucune des deux coupes ne ment, et c'est pourquoi « la dérivée s'annule » ne peut plus suffire à conclure dès qu'il y a deux variables. Il faut regarder toutes les directions à la fois, et c'est exactement ce que fait la quantité $rt - s^2$  : son signe négatif dit qu'il existe deux directions où la courbure est de sens contraire.

La nature d'un point critique, autant de fois qu'il faut

En une variable, une dérivée seconde positive suffit à conclure au minimum. En deux variables, deux dérivées secondes positives ne suffisent pas, et c'est la seule chose vraiment nouvelle du chapitre. Le terme croisé peut tout renverser.

Les trois dérivées secondes, et ce qu'elles décident

Soit $f(x, y) = x^2 - xy - 2y^2$ , dont le gradient s'annule en $(0 \,;\, 0)$ .

$r = \partial^2 f / \partial x^2$
$s = \partial^2 f / \partial x \partial y$
$t = \partial^2 f / \partial y^2$
$rt - s^2$
La nature du point : 1 pour un minimum, 2 pour un maximum, 3 pour un col

Renouveler l'exercice jusqu'à tomber sur un cas où $r$ et $t$ sont tous deux positifs et où le point est pourtant un col. Ces cas existent, et ils sont la raison d'être du test $rt - s^2$  : sans lui, deux dérivées secondes positives feraient conclure à un minimum qui n'existe pas.

Où la démarche dérape

Un gradient nul, une conclusion d'une seule ligne, et un contre-exemple à deux pas.

Un gradient nul pris pour un extremum

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

Soit $f(x, y) = x^2 - y^2$ . On étudie le point $(0 \,;\, 0)$ .

À calculer soi-même

Quatre nombres, tous obtenus en dérivant partiellement. Traiter l'autre variable comme une constante est le seul geste à acquérir, et il s'acquiert en le faisant.

Dériver partiellement, puis évaluer

1.
Pour $f(x,y) = x^2 y + 3y^2$ , combien vaut $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ au point $(2 ; 1)$ ?
2.
Pour $f(x,y) = x^2 + y^2$ , quelle est la norme du gradient au point $(3 ; 4)$ ?
3.
Pour la même fonction, que donne l'approximation par le plan tangent en $(1 ; 2)$ pour le point $(1{,}1 ; 2{,}1)$ ?
4.
La fonction $f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13$ admet un minimum. Quelle en est la valeur ?

Exercices type

Domaine de

f(x, y) = \ln(x + y) + \sqrt{1 - x^2 - y^2}

Deux conditions :

$x + y > 0$  : le demi-plan strictement au-dessus de la droite $y = -x$  ;
$1 - x^2 - y^2 \geq 0$  : le disque fermé de rayon 1.

Le domaine est l'intersection : le demi-disque de rayon 1 situé au-dessus de la droite $y = -x$ , bord courbe inclus mais bord droit exclu.

Dérivées partielles de

f(x,y) = e^{xy}

$\partial f/\partial x = y e^{xy}$ (forme $u'e^u$ avec $u = xy$ , dont la dérivée en x vaut y)

\partial f/\partial y = x e^{xy}

Vérification de Schwarz : $\partial ^2f/\partial x\partial y = \partial (y e^{xy})/\partial y = e^{xy} + xy e^{xy}$ , et $\partial ^2f/\partial y\partial x = \partial (x e^{xy})/\partial x = e^{xy} + xy e^{xy}$ ✓

Gradient de

f(x,y) = x^2 + y^2

au point (1,2) et interprétation

$\operatorname{grad} f = (2x, 2y)$ , donc au point (1,2) : $(2, 4)$ .

Norme : $\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ . C'est la pente maximale en ce point.

Le vecteur (2,4) est colinéaire à (1,2), c'est-à-dire dirigé radialement vers l'extérieur : la fonction croît le plus vite en s'éloignant de l'origine. Et il est bien perpendiculaire au cercle de niveau passant par (1,2) ✓

Plan tangent à

z = x^2 + y^2

en (1, 1)

$f(1 ; 1) = 2$ , $\partial f/\partial x(1 ; 1) = 2$ , $\partial f/\partial y(1 ; 1) = 2$ .

$z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1)$ , soit $z = 2x + 2y - 2$ .

Extremums de

f(x,y) = x^3 - 3x + y^2

$\partial f/\partial x = 3x^2 - 3 = 0$ donne $x = \pm 1$  ; $\partial f/\partial y = 2y = 0$ donne $y = 0$ .

Deux points critiques : $(1 ; 0)$ et $(-1 ; 0)$ .

Dérivées secondes : $r = 6x$ , $s = 0$ , $t = 2$ , donc $rt - s^2 = 12x$ .

En $(1 ; 0)$  : $12 > 0$ et $r = 6 > 0$ → minimum local, valeur $f = -2$ .
En $(-1 ; 0)$  : $-12 < 0$ → point-selle, valeur $f = 2$ .

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Les lignes de niveau de f = x³ − 3x + y². À droite, autour de (1 ; 0), elles se referment : c'est le minimum. À gauche, autour de (−1 ; 0), elles se croisent : c'est le col. Une même fonction porte les deux, et le dessin les distingue avant tout calcul.

C'est le seul endroit du chapitre où les deux natures cohabitent sur la même surface, et la figure vaut d'être comparée aux deux précédentes.

Une résistance

R = U/I

est mesurée avec U = 12 ± 0,1 V et I = 3 ± 0,05 A. Incertitude sur R ?

$\partial R/\partial U = 1/I = 1/3$ et $\partial R/\partial I = -U/I^2 = -12/9 = -4/3$

\Delta R \approx (1/3)(0{,}1) + (4/3)(0{,}05) = 0{,}033 + 0{,}067 = 0{,}1 \Omega

Donc $R = 4 \pm 0{,}1 \Omega$ , soit 2,5 % : la somme des incertitudes relatives sur U (0,83 %) et sur I (1,67 %). Comme pour un produit, les incertitudes relatives s'additionnent dans un quotient.

La méthode sur feuille

Pour dériver partiellement, geler mentalement l'autre variable en la remplaçant par un nombre.
Après les dérivées secondes, vérifier Schwarz : les croisées doivent être égales. C'est gratuit et ça attrape les erreurs de calcul.
Pour un extremum : d'abord le système $\partial f/\partial x = 0$ et $\partial f/\partial y = 0$ , ensuite seulement $rt - s^2$ .
Ne pas oublier le point-selle : c'est une réponse valable, et souvent la bonne.
Contrôler qu'un minimum trouvé est cohérent : évaluer f en deux ou trois points voisins, la valeur doit être supérieure.
Pour une incertitude, valeurs absolues partout, et vérifier que le résultat est plausible en ordre de grandeur.
En cas de doute sur la nature d'un point, regarder les lignes de niveau : fermées autour du point, c'est un extremum ; croisées en X, c'est un col.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.En un point où $∂f/∂x = 0$ et $∂f/∂y = 0$ , la fonction admet :

2.Que représente le gradient d'une fonction de deux variables ?

3.Pour calculer $∂f/∂x$ , que fait-on de la variable y ?

4.Le théorème de Schwarz affirme que, pour une fonction usuelle :

Synthèse

Le graphe est une surface $z = f(x,y)$  ; les lignes de niveau $f = k$ en donnent la carte topographique.
Dérivée partielle : on dérive par rapport à une variable, l'autre étant traitée comme une constante.
Schwarz : les dérivées croisées sont égales. Un contrôle gratuit.
Gradient $\operatorname{grad} f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y)$  : direction de plus grande croissance, norme = pente max, perpendiculaire aux lignes de niveau.
Plan tangent : $z = f(a,b) + f'_x(a,b)(x-a) + f'_y(a,b)(y-b)$ .
Différentielle $df = (\partial f/\partial x)dx + (\partial f/\partial y)dy$ → propagation des incertitudes (avec valeurs absolues).
Point critique : toutes les dérivées partielles nulles. Condition nécessaire, pas suffisante.
Nature : $rt - s^2 > 0$ avec $r > 0$ → minimum ; avec $r < 0$ → maximum ; $rt - s^2 < 0$ → point-selle ; $= 0$ → indéterminé.
Et le même verdict se lit sur les lignes de niveau : refermées autour du point pour un extremum, croisées en X pour un col.

Une fonction de deux variables

Lignes de niveau

Dérivées partielles

Dérivées secondes et théorème de Schwarz

Gradient

Plan tangent et différentielle

Propagation des incertitudes

Règle de la chaîne

Extremums

Étape 1 : les points critiques

Étape 2 : la nature du point critique

La nature d'un point critique, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique

Étape 1 : les points critiques

Étape 2 : la nature du point critique