Opérateurs vectoriels

Une température varie d'un point à l'autre d'une pièce : c'est un champ scalaire, un nombre par point. Un courant d'air, lui, a en chaque point une direction et une intensité : c'est un champ vectoriel. Trois opérateurs (gradient, divergence, rotationnel) suffisent à décrire comment ces champs varient, et c'est avec eux que s'écrivent la mécanique des fluides, la thermique et les équations de Maxwell.

Champs scalaires et champs vectoriels

Définitions

Un champ scalaire associe un nombre à chaque point de l'espace : $f(x,y,z)$ . C'est le cas d'une température, d'une pression, d'un potentiel électrique, d'une altitude.

Un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point : $V(x,y,z) = (P, Q, R)$ . C'est le cas de la vitesse d'un fluide, du champ électrique, du champ magnétique, de la force de pesanteur.

Ces deux objets se dessinent différemment, et c'est déjà la moitié de la compréhension : un champ scalaire se lit par ses lignes de niveau, un champ vectoriel par ses flèches. La figure ci-dessous porte les deux à la fois, ce qui est exactement la situation du gradient.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

En orange les lignes de niveau du champ scalaire f = x² + y², en vert le champ de vecteurs grad f. Les flèches sont partout perpendiculaires aux lignes de niveau, et pointent vers les valeurs croissantes.

Les trois opérateurs se distinguent d'abord par ce qu'ils prennent en entrée et ce qu'ils rendent :

Opérateur	Entrée	Sortie
gradient	champ scalaire	champ vectoriel
divergence	champ vectoriel	champ scalaire
rotationnel	champ vectoriel	champ vectoriel
laplacien	champ scalaire	champ scalaire

Le contrôle qui ne coûte rien

Avant tout calcul, se demander ce que le résultat doit être. Si on obtient un nombre là où on attend un vecteur (ou l'inverse), on a confondu deux opérateurs. Ce simple contrôle de nature élimine la moitié des erreurs de ce chapitre.

L'opérateur nabla

Pour écrire les trois opérateurs d'une seule façon, on introduit le symbole nabla :

\nabla = ( \partial /\partial x , \partial /\partial y , \partial /\partial z )

Ce n'est pas un vecteur au sens strict, mais un vecteur d'opérations : chaque composante attend une fonction à dériver. Il se manipule cependant comme un vecteur, ce qui donne les trois écritures compactes :

$\operatorname{grad} f = \nabla f$ (nabla appliqué à un scalaire)
$\operatorname{div} V = \nabla \cdot V$ (produit scalaire de nabla par un champ vectoriel → un nombre)
$\operatorname{rot} V = \nabla \wedge V$ (produit vectoriel de nabla par un champ vectoriel → un vecteur)

Le moyen de tout retrouver

Le type du résultat se lit dans le symbole : un produit scalaire donne un nombre (divergence), un produit vectoriel donne un vecteur (rotationnel). Si on ne se souvient plus d'une formule, écrire

\nabla \cdot V

\nabla \wedge V

et appliquer la règle du produit correspondante, vue au chapitre de géométrie.

Gradient

Définition

\operatorname{grad} f = ( \partial f/\partial x , \partial f/\partial y , \partial f/\partial z )

Rappel des trois propriétés vues au chapitre précédent : il pointe dans la direction de plus forte croissance, sa norme est la pente maximale, et il est perpendiculaire aux surfaces de niveau.

Ces trois propriétés sont une seule et même chose vue sous trois angles, et la figure précédente les montre ensemble. En voici une seconde, sur un champ en selle, où la direction de plus forte croissance change de sens selon l'endroit.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Le gradient de f = x² − y². Les flèches fuient l'origine le long de l'axe des x et s'en rapprochent le long de l'axe des y : c'est un point col, ni maximum ni minimum.

En physique, le gradient relie systématiquement un potentiel à un champ, avec un signe moins qui traduit « ça descend » :

champ électrique : $E = - \operatorname{grad} V$
force dérivant d'une énergie potentielle : $F = - \operatorname{grad} E_p$
flux de chaleur (loi de Fourier) : $q = - k \operatorname{grad} T$ . La chaleur va du chaud vers le froid.

Exemple. $f(x,y,z) = x^2y + z^3$

\operatorname{grad} f = (2xy , x^2 , 3z^2)

Divergence

Définition

Pour $V = (P, Q, R)$  :

\operatorname{div} V = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y + \partial R/\partial z

Le résultat est un nombre en chaque point.

L'interprétation physique

La divergence mesure ce qui sort d'un petit volume autour du point.

\operatorname{div} V > 0

 : le point est une source (le fluide en jaillit, les lignes de champ divergent).
div V < 0 : le point est un puits (le fluide y disparaît).

\operatorname{div} V = 0

: autant entre que sort. Le champ est dit conservatif ou à flux conservatif. C'est le cas d'un fluide incompressible, et c'est aussi

\operatorname{div} B = 0

en magnétisme : il n'existe pas de monopôle magnétique, donc pas de source d'où le champ jaillirait.

Les deux cas extrêmes, l'un à côté de l'autre. Le premier a une divergence constante et strictement positive : toutes les flèches s'écartent de l'origine.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Un champ purement divergent, V = (x ; y). Sa divergence vaut 2 partout : chaque point est une source, et rien ne tourne.

À manipuler

Poser la sonde en dix endroits différents, près de l'origine puis loin, et relever la divergence à chaque fois. Elle vaut 2, et toujours 2 : c'est ce que « partout » veut dire, et c'est une chose qu'on croit sur parole tant qu'on ne l'a pas vérifiée soi-même. Le rotationnel, lui, reste nul : ce champ s'écarte sans jamais tourner. Faire ensuite le même relevé sur la figure suivante, où les deux nombres échangent leurs rôles.

Le second tourne sans jamais s'écarter : sa divergence est nulle en tout point, alors même que le champ est loin d'être immobile. Divergence nulle ne veut pas dire champ nul.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Un champ purement rotationnel, V = (−y ; x). Sa divergence est nulle partout : rien ne sort d'un petit volume, tout se contente de tourner autour de l'origine.

Exemple travaillé. $V = (x, y, z)$  : le champ radial qui s'éloigne de l'origine.

$\operatorname{div} V = 1 + 1 + 1 = 3 > 0$  : source partout, ce qui correspond bien à un champ qui s'écarte dans toutes les directions.

Exemple. $V = (-y, x, 0)$  : le champ de rotation autour de l'axe Oz.

$\operatorname{div} V = \partial (-y)/\partial x + \partial (x)/\partial y + 0 = 0$  : rien ne sort, rien n'entre. Une rotation ne crée ni ne détruit de matière.

Ces deux champs sont choisis pour que l'un des deux nombres soit nul partout, ce qui est commode et rare. Sur un champ quelconque, $V = (xy \,;\, x - y)$ par exemple, ni la divergence ni le rotationnel ne sont constants, et c'est le cas général.

Rotationnel

Définition

Pour $V = (P, Q, R)$  :

\operatorname{rot} V = ( \partial R/\partial y - \partial Q/\partial z , \partial P/\partial z - \partial R/\partial x , \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y )

C'est le produit vectoriel $\nabla \wedge V$ , avec la même mécanique d'indices que celle vue en géométrie : pour la première composante on oublie la ligne 1 et on croise les lignes 2 et 3, et ainsi de suite en tournant (23, 31, 12).

L'interprétation physique

Le rotationnel mesure la tendance à tourner du champ autour d'un point. L'image : place une minuscule roue à aubes dans l'écoulement ; si elle se met à tourner, le rotationnel n'est pas nul, et il est dirigé selon l'axe de rotation (règle de la main droite).

\operatorname{rot} V = 0

partout définit un champ irrotationnel.

Exemple travaillé. $V = (-y, x, 0)$ .

première composante : $\partial R/\partial y - \partial Q/\partial z = 0 - 0 = 0$
deuxième : $\partial P/\partial z - \partial R/\partial x = 0 - 0 = 0$
troisième : $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1 - (-1) = 2$

$\operatorname{rot} V = (0, 0, 2)$  : un rotationnel dirigé selon Oz, exactement l'axe autour duquel ce champ tourne. La roue à aubes tournerait dans le plan xy.

Exemple. $V = (x, y, z)$ . Toutes les dérivées croisées sont nulles, donc $\operatorname{rot} V = (0{,}0,0)$  : ce champ s'écarte mais ne tourne pas. Il diverge sans être rotationnel, alors que le précédent tournait sans diverger. Les deux opérateurs mesurent bien des choses indépendantes.

Laplacien

Définition

\Delta f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f) = \partial ^2f/\partial x^2 + \partial ^2f/\partial y^2 + \partial ^2f/\partial z^2

Il combine les deux premiers opérateurs. Il mesure l'écart entre la valeur de f en un point et la moyenne de ses voisins : positif si le point est un creux local, négatif si c'est une bosse.

C'est l'opérateur des grandes équations de la physique :

$\Delta f = 0$  : équation de Laplace : régime stationnaire, potentiel dans le vide ;
$\partial f/\partial t = k \Delta f$  : équation de la chaleur : la diffusion lisse les écarts ;
$\partial ^2f/\partial t^2 = c^2 \Delta f$  : équation des ondes.

Exemple. $f = x^2 + y^2 + z^2$ → $\Delta f = 2 + 2 + 2 = 6$ .

Les deux identités à connaître

Identités fondamentales

$\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = 0$ : un champ de gradient ne tourne jamais.

$\operatorname{div}(\operatorname{rot} V) = 0$ : un champ de rotationnel n'a ni source ni puits.

Toutes deux se démontrent par calcul direct, en utilisant le théorème de Schwarz : les termes s'annulent deux à deux parce que les dérivées croisées sont égales.

À quoi elles servent

Elles fournissent des tests immédiats. Si l'énoncé demande si un champ dérive d'un potentiel, calculer son rotationnel : s'il n'est pas nul, la réponse est non, sans autre calcul. Et si on obtient un

\operatorname{div}(\operatorname{rot} V)

non nul, on a fait une erreur. Le résultat est nécessairement zéro.

Champs conservatifs et potentiel

Théorème

Sur un domaine « sans trou » (simplement connexe), $\operatorname{rot} V = 0$ si et seulement si il existe un champ scalaire f tel que $V = \operatorname{grad} f$ . On dit alors que V dérive du potentiel f, et que le champ est conservatif.

Conséquence physique majeure : le travail d'une telle force ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des points de départ et d'arrivée. Sur un circuit fermé, il est nul. C'est ce qui donne un sens à l'énergie potentielle.

Méthode pour retrouver le potentiel : c'est un exercice type :

Vérifier que $\operatorname{rot} V = 0$ .
Intégrer $\partial f/\partial x = P$ par rapport à x. La « constante » d'intégration est une fonction de y et z.
Dériver le résultat par rapport à y, l'identifier à Q, et en tirer cette fonction.
Recommencer avec z si nécessaire.

Exemple travaillé. $V = (2xy, x^2 + 2y, 0)$ .

Rotationnel : la troisième composante vaut $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 2x - 2x = 0$ , les deux autres sont nulles. Le champ est donc conservatif.

$\partial f/\partial x = 2xy$ → $f = x^2y + g(y)$
$\partial f/\partial y = x^2 + g'(y)$ , qu'on identifie à $x^2 + 2y$ → $g'(y) = 2y$ → $g(y) = y^2 + C$

$f(x,y) = x^2y + y^2 + C$

Contrôle : $\operatorname{grad} f = (2xy, x^2 + 2y)$ ✓

Circulation, flux et les deux grands théorèmes

Ces deux théorèmes relient ce qui se passe à l'intérieur d'un domaine à ce qui se passe sur son bord. Ils généralisent le théorème fondamental de l'analyse, qui disait déjà que l'intégrale d'une dérivée sur un segment ne dépend que des deux extrémités.

Définitions

La circulation de V le long d'une courbe C est $\int _C V \cdot dl$ (le travail d'une force). Le flux de V à travers une surface S est $\iint _S V \cdot n dS$ (le débit à travers une surface).

Flux-divergence (Green-Ostrogradski)

le flux sortant d'une surface fermée égale l'intégrale de la divergence sur le volume intérieur.

\iint _S V \cdot n dS = \iiint _v \operatorname{div} V dV

Théorème de Stokes

la circulation le long d'une courbe fermée égale le flux du rotationnel à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur cette courbe.

\oint _C V \cdot dl = \iint _S \operatorname{rot} V \cdot n dS

L'idée commune, et son intérêt pratique

Dans les deux cas : ce qui traverse le bord se lit dans ce qui se passe à l'intérieur. C'est ce qui permet, en électromagnétisme, de passer des équations de Maxwell sous forme locale (avec div et rot) à leur forme intégrale (théorème de Gauss, loi d'Ampère), et de calculer un champ par un argument de symétrie plutôt que par une intégrale.

Conséquence directe des identités : si $\operatorname{rot} V = 0$ , alors la circulation sur tout circuit fermé est nulle (Stokes). On retrouve la propriété des champs conservatifs. Et si $\operatorname{div} V = 0$ , le flux à travers toute surface fermée est nul.

Divergence et rotationnel, autant de fois qu'il faut

Les deux opérateurs se calculent sur les mêmes neuf coefficients, et la confusion porte sur lesquelles des dérivées entrent dans quoi. La divergence n'emploie que les trois dérivées d'une composante par sa propre variable ; le rotationnel n'emploie que les six autres. Les deux ensembles sont disjoints, ce qui explique qu'un champ puisse avoir l'un sans l'autre.

Les deux opérateurs sur un champ tiré au sort

Soit le champ $\vec{V} = \left(x - y - 3z ;;; x + 4y + 2z ;;; -x - y + 2z\right)$ .

La divergence de $\vec{V}$
La première coordonnée de $\vec{\text{rot}}\,\vec{V}$
La deuxième coordonnée
La troisième coordonnée
Contrôle : la divergence du rotationnel

La dernière question est le contrôle que personne ne fait. La divergence d'un rotationnel est nulle pour tout champ, sans exception : une valeur non nulle dénonce donc une erreur dans les trois coordonnées précédentes, et le vérifier ne coûte que deux additions.

Où la démarche dérape

Une propriété de linéarité, appliquée à un facteur qui n'est pas constant.

Un facteur sorti de la divergence

Une seule étape est fausse. Désigner laquelle.

Soit le champ $\vec{V} = (x \;;\; 0 \;;\; 0)$ et la fonction $f(x, y, z) = x$ . On cherche la divergence du champ $f\,\vec{V}$ .

À calculer soi-même

Quatre questions, une par opérateur. Ce sont des calculs courts : la difficulté est de se rappeler lequel des quatre rend un nombre et lequel rend un vecteur.

Appliquer le bon opérateur

1.
Pour le champ $\vec{F} = (x^2 ; y^2 ; z^2)$ , combien vaut $\operatorname{div}\vec{F}$ au point $(1 ; 2 ; 3)$ ?
2.
Pour $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ , combien vaut le laplacien $\Delta f$ en tout point ?
3.
Pour le champ plan $\vec{F} = (-y ; x)$ , combien vaut la composante selon $z$ du rotationnel ?
4.
La circulation de ce même champ $\vec{F} = (-y ; x)$ le long du cercle de rayon 1 parcouru dans le sens direct.

Exercices type

Divergence et rotationnel de

V = (x^2, y^2, z^2)

\operatorname{div} V = 2x + 2y + 2z

Rotationnel : chaque composante fait intervenir des dérivées croisées, toutes nulles ici (P ne dépend que de x, Q que de y, R que de z).

$\operatorname{rot} V = (0, 0, 0)$  : le champ est irrotationnel.

Laplacien de

f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)

\partial f/\partial x = 2x/(x^2 + y^2)

\partial ^2f/\partial x^2 = (2(x^2+y^2) - 2x\cdot 2x)/(x^2+y^2)^2 = (2y^2 - 2x^2)/(x^2+y^2)^2

Par symétrie, $\partial ^2f/\partial y^2 = (2x^2 - 2y^2)/(x^2+y^2)^2$ .

$\Delta f =$ $0$ (hors de l'origine).

Ce champ est harmonique : c'est le potentiel logarithmique, celui d'un fil chargé rectiligne.

Le champ

V = (y, x, 0)

dérive-t-il d'un potentiel ?

Troisième composante du rotationnel : $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1 - 1 = 0$ . Les deux autres sont nulles.

Oui. Recherche du potentiel : $\partial f/\partial x = y$ → $f = xy + g(y)$  ; puis $\partial f/\partial y = x + g'(y) = x$ → $g' = 0$ .

$f = xy + C$

Le champ

V = (-y, x, 0)

dérive-t-il d'un potentiel ?

On a calculé plus haut $\operatorname{rot} V = (0, 0, 2) \neq 0$ .

Non. Ce champ tourne, donc sa circulation sur un cercle centré à l'origine n'est pas nulle : le « travail » dépend du chemin. Aucun potentiel ne peut exister.

C'est le contre-exemple à retenir, et il ne diffère du précédent que par un signe.

Vérifier que

\operatorname{div}(\operatorname{rot} V) = 0

pour

V = (yz, xz, xy)

\operatorname{rot} V = (\partial (xy)/\partial y - \partial (xz)/\partial z , \partial (yz)/\partial z - \partial (xy)/\partial x , \partial (xz)/\partial x - \partial (yz)/\partial y)

= (x - x , y - y , z - z) = (0{,}0,0)

Sa divergence est donc nulle, conformément à l'identité. Au passage, ce champ est irrotationnel : il dérive du potentiel $f = xyz$ .

Flux de

V = (x, y, z)

à travers la sphère de rayon R

Par le théorème de flux-divergence, $\operatorname{div} V = 3$ , donc :

$\Phi = \iiint 3 dV = 3 \times (4/3)\pi R^3 =$ $4\pi R^3$

Vérification directe : sur la sphère, V est radial de norme R et la normale lui est colinéaire, donc $V \cdot n = R$ partout. Le flux vaut $R \times 4\pi R^2 = 4\pi R^3$ ✓

C'est exactement l'argument par lequel on établit le théorème de Gauss en électrostatique.

La méthode sur feuille

Identifier la nature des objets : le résultat doit-il être un nombre ou un vecteur ? C'est le premier contrôle.
Écrire $\nabla \cdot V$ ou $\nabla \wedge V$ si on hésite sur une formule : le produit scalaire et le produit vectoriel la redonnent.
Pour un rotationnel, respecter l'ordre des indices (23, 31, 12) et vérifier les signes : c'est là que se perdent les points.
Pour savoir si un champ est conservatif, calculer d'abord $\operatorname{rot} V$ . Nul → chercher le potentiel par intégrations successives.
Après avoir trouvé un potentiel, contrôle en calculant son gradient.
Face à un flux à travers une surface fermée, penser au flux-divergence : l'intégrale de volume est souvent bien plus simple.
Un $\operatorname{div}(\operatorname{rot} V)$ ou un $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)$ non nul est nécessairement une erreur de calcul.

Divergence et rotationnel se retiennent mieux en regardant des champs élémentaires qu'en récitant leurs formules. Les deux premiers sont tracés plus haut : $V = (x ; y)$ , qui s'écarte de l'origine, a une divergence de 2 et un rotationnel nul ; $V = (-y ; x)$ , qui tourne, a l'inverse. Il en manque un troisième, celui où les deux sont nuls.

Cliquer un point du champ pour y lire sa valeur, sa divergence et son rotationnel.

Un champ uniforme, V = (1 ; 0). Toutes les flèches sont identiques : rien ne s'écarte, rien ne tourne, et la sonde donne zéro pour les deux quantités où qu'on la pose.

Le premier champ s'écarte de l'origine : il sort de toute petite boîte plus qu'il n'y entre, sa divergence est positive, et il ne tourne pas. Le deuxième tourne sans jamais s'éloigner : ce qui entre dans une boîte en ressort, divergence nulle, mais rotationnel non nul. Le troisième ne fait ni l'un ni l'autre. Divergence et rotationnel mesurent deux comportements indépendants, et un champ peut avoir l'un sans l'autre.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.La divergence d'un champ de vecteurs est :

2.Le gradient s'applique à :

3.Que vaut $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)$ pour une fonction f deux fois dérivable ?

4.Un champ de vecteurs a une divergence nulle partout. Comment l'interpréter ?

Synthèse

Champ scalaire = un nombre par point ; champ vectoriel = un vecteur par point.
grad : scalaire → vecteur. $\operatorname{div}$  : vecteur → scalaire. $\operatorname{rot}$  : vecteur → vecteur. $\Delta$  : scalaire → scalaire.
Nabla $\nabla = (\partial /\partial x, \partial /\partial y, \partial /\partial z)$  : $\nabla f$ , $\nabla \cdot V$ , $\nabla \wedge V$ . Le type du produit donne le type du résultat.
Divergence = ce qui sort. $> 0$ source, $< 0$ puits, $= 0$ flux conservatif.
Rotationnel = tendance à tourner. $= 0$ → irrotationnel.
Laplacien $\Delta f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f)$  : opérateur de Laplace, de la chaleur et des ondes.
$\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = 0$ et $\operatorname{div}(\operatorname{rot} V) = 0$  : toujours. Ce sont des tests, et des détecteurs d'erreur.
$\operatorname{rot} V = 0$ ⟺ V dérive d'un potentiel ⟺ le travail ne dépend pas du chemin.
Flux-divergence : flux sortant = intégrale de la divergence sur le volume. Stokes : circulation sur un contour = flux du rotationnel à travers une surface qui s'y appuie.

Champs scalaires et champs vectoriels

L'opérateur nabla

Gradient

Divergence

Rotationnel

Laplacien

Les deux identités à connaître

Champs conservatifs et potentiel

Circulation, flux et les deux grands théorèmes

Divergence et rotationnel, autant de fois qu'il faut

Où la démarche dérape

À calculer soi-même

Exercices type

La méthode sur feuille

Synthèse

Mettre en pratique