La régression linéaire et les moindres carrés

Chaque année, avant la moisson, la coopérative du plateau de Vérelles annonce à ses acheteurs le tonnage de blé qu'elle collectera, et réserve en conséquence les camions et la place au silo. Ses techniciens estiment le rendement de chaque parcelle à l'œil, en quintaux par hectare, et se trompent couramment de dix. La coopérative dispose pourtant de relevés : la pluie tombée au printemps sur chaque parcelle, son sol, l'azote apporté, et le rendement des récoltes passées. Une droite tirée de ces relevés ferait-elle mieux que l'œil, de combien se tromperait-elle, et que vaudrait sa prévision pour un printemps plus sec que tous ceux qu'elle a vus ? Ce chapitre s'appuie sur le vocabulaire de l'apprentissage du premier chapitre, sur les variables qualitatives mises en colonnes du chapitre sur la préparation, et sur la droite des moindres carrés établie côté mathématiques dans le chapitre sur la corrélation et les moindres carrés.

La question

Trois techniciens de la coopérative estiment la même parcelle : 58, 66 et 71 quintaux par hectare. Elle en rendra 64. Aucun des trois n'a tort ou raison au sens d'un oui ou d'un non : chacun est plus ou moins loin, et rien ne dit d'avance lequel croire. Ce qu'il faudrait, c'est une règle qui produise un nombre à partir de ce qu'on sait de la parcelle, et une façon de mesurer de combien elle se trompe.

Régression

Une régression cherche une fonction qui, à partir d'attributs $x$ , produit une valeur numérique $\hat{y}$ aussi proche que possible de la valeur réelle $y$ .

Contrairement au partitionnement, la bonne réponse est connue sur les exemples d'apprentissage : on peut donc mesurer l'erreur.

En revanche, prédire une catégorie n'est pas une régression. La différence n'est pas de degré, elle est de nature.
Pour une catégorie, une parcelle malade ou saine par exemple, une réponse est juste ou fausse, et l'on compte les erreurs. Se tromper de peu n'existe pas.
Pour un nombre, aucune prévision n'est exacte, et ce qui compte est l'ampleur de l'écart. Prévoir 64,3 quintaux au lieu de 64,5 est un excellent résultat ; prévoir 41 est une faute. La même prévision n'est ni juste ni fausse : elle est plus ou moins loin.
Toute la suite découle de là. Il faut choisir comment résumer une collection d'écarts en un seul nombre, et ce choix n'est pas neutre.

Une droite, et ce qu'on lui demande

Le modèle le plus simple suppose que $y$ dépend de $x$ de façon affine :

\hat{y} = a x + b

Reste à choisir $a$ et $b$ . La figure ci-dessous laisse le faire à la main, sur sept parcelles. Chaque trait vertical est l'écart entre un relevé et la droite, son résidu, et chaque carré est construit sur ce trait : son aire est le carré du résidu.

pente a0,02origine b56,27

somme des carrés 212,23

Le minimum vaut 0,28, soit 211,95 de moins qu'ici.

Sept parcelles, et une droite à régler. L'aire totale des carrés est ce que la méthode minimise : elle part de 212,23 et descend jusqu'à 0,28 pour la meilleure droite. Chercher ce minimum à la main est le plus court chemin pour comprendre d'où vient la formule. Droite optimale : y = 0,05 x + 55,171, somme 0,28.

À manipuler

Faire glisser les curseurs « pente a » et « origine b » jusqu'à ce que la somme des carrés, affichée sous la figure, cesse de baisser. Noter la somme atteinte, puis cliquer sur « poser la meilleure droite » et noter les valeurs de a et de b. Constater que la somme ne descend pas sous 0,28, puis calculer a × 200 + b : on retrouve 65,1, le rendement moyen des sept parcelles, qui ont reçu 200 mm en moyenne.

Pourquoi des carrés, et pas des valeurs absolues

Il faut résumer sept écarts en un seul nombre, et les additionner tels quels ne marcherait pas : un écart de

+3

et un écart de

-3

s'annuleraient, et une droite absurde obtiendrait un score parfait.
Il faut donc rendre les écarts positifs, et deux façons se présentent : la valeur absolue ou le carré.
Le carré l'emporte pour deux raisons. La première est mathématique : la somme des carrés est dérivable partout, ce qui donne une solution en formule fermée, alors que la valeur absolue impose une recherche numérique. La seconde est un choix assumé : le carré pénalise davantage les grands écarts. Une erreur de 10 compte cent fois une erreur de 1, et non dix fois. Le modèle préfère donc dix erreurs moyennes à une seule énorme.
Ce choix se retourne contre soi dès qu'un relevé est faux, et la section sur le levier en montre le prix.

La solution, en formules

La droite qui minimise $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ , la droite des moindres carrés, est donnée par

a = \frac{\overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}}{\overline{x^2} - \bar{x}^2} \qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x}

La seconde égalité dit que la droite passe par le point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$ , quelle que soit la pente.

D'où viennent ces formules. La somme des carrés est une fonction de deux variables, $a$ et $b$ . Au minimum, ses deux dérivées partielles s'annulent, ce qui donne deux équations linéaires en $a$ et $b$ . Les résoudre donne exactement les deux expressions ci-dessus. La pente s'écrit aussi avec les écarts à la moyenne : $a = \sum_i (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \,/\, \sum_i (x_i - \bar{x})^2$ , la même formule, plus courte à la main.
Ce minimum est trouvé d'un coup, sans itération et sans départ à choisir, ce qui est un luxe. En revanche, ces formules ne valent que pour un modèle linéaire en ses paramètres : aucun autre modèle de ce module n'aura cette chance, et c'est précisément le sujet du chapitre suivant.
Que la droite passe par le point moyen n'est pas un détail non plus. C'est ce qui explique la figure du levier plus bas : deux droites ajustées sur des données presque identiques se croisent au voisinage du centre du nuage, et divergent aux extrémités.

Ce que la pente veut dire

Une pente est une association, pas un mécanisme

La meilleure droite des sept parcelles a une pente de

0{,}050

quintal par hectare et par millimètre. Elle se lit ainsi : parmi les parcelles observées, celles qui ont reçu 10 mm de pluie de plus au printemps ont rendu en moyenne 0,5 quintal de plus.
Elle ne dit pas qu'irriguer une parcelle de 10 mm lui ferait gagner 0,5 quintal. Cette seconde affirmation porte sur une intervention, et rien dans des relevés observés ne la justifie : les parcelles les plus arrosées sont peut-être aussi celles dont le sol est le plus profond.
La différence n'est pas une subtilité de langage : c'est elle qui sépare une description d'une décision. Le premier chapitre l'a déjà montré avec le paradoxe de Simpson, un renversement complet du sens d'une comparaison selon qu'on agrège ou non.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.La droite des moindres carrés passe toujours par…

2.Sur les parcelles de la coopérative, la pente vaut 0,050 quintal par hectare et par millimètre de pluie. Que permet-elle d'affirmer ?

Mesurer l'erreur

Deux modèles prévoient le rendement de cinq parcelles. Le premier se trompe de 2 quintaux sur chacune ; le second tombe juste sur quatre et se trompe de 10 sur la cinquième. Leur écart moyen est le même, 2 quintaux, et pourtant le second annonce au silo dix quintaux par hectare qui n'arriveront pas. Résumer une collection d'écarts en un seul nombre est un choix, et trois résumés sont d'usage.

Trois mesures, trois questions

RMSE (root mean square error), l'écart quadratique moyen : $\sqrt{\frac{1}{n}\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}$ . Dans l'unité de $y$ , et sensible aux grands écarts.

MAE (mean absolute error), l'écart absolu moyen : $\frac{1}{n}\sum_i |y_i - \hat{y}_i|$ . Dans l'unité de $y$ aussi, et beaucoup plus stable.

Coefficient de détermination : $R^2 = 1 - \dfrac{\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2}$ . Sans unité. Il compare le modèle à la prévision la plus bête possible, qui consiste à toujours répondre la moyenne.

En revanche, aucune des trois ne dit où le modèle se trompe : deux modèles de même RMSE peuvent se tromper l'un un peu partout, l'autre toujours sur les parcelles calcaires. C'est le graphe des résidus, plus bas, qui le montre.

Laquelle regarder, et dans quel ordre.

Le RMSE d'abord, parce qu'il est dans l'unité du problème. Dire « on se trompe de 3,1 quintaux par hectare en moyenne » se comprend sans explication, alors qu'un $R^2$ de 0,71 ne se comprend qu'en connaissant la variance des données.
Le MAE ensuite, et surtout l'écart entre les deux. Le RMSE est toujours supérieur ou égal au MAE, et le rapport entre eux mesure l'irrégularité des erreurs. Les deux modèles du début ont le même MAE, 2 ; le premier a un RMSE de 2, le second de 4,47 : c'est l'écart entre les deux mesures qui trahit la grosse erreur isolée.
Le $R^2$ en dernier, comme point de comparaison. Un $R^2$ de 0 signifie que le modèle ne fait pas mieux que répondre toujours la moyenne. Un $R^2$ négatif, ce qui arrive sur des données nouvelles, signifie qu'il fait pire.

Un R² élevé ne veut pas dire un bon modèle

Il monte mécaniquement quand la variable expliquée est très étalée, et il monte toujours quand on ajoute une colonne, même une colonne de bruit pur.
Il ne dit rien sur la forme de l'erreur, rien sur les données que le modèle n'a pas vues, et rien sur le fait que le modèle serait valable si on agissait sur les variables.
La section suivante montre quatre jeux de données où le

R^2

est identique et où les situations n'ont rien à voir.

Quatre jeux, les mêmes chiffres

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Ce que ces quatre jeux démontrent. Ils ont la même moyenne en $x$ (9,00), la même moyenne en $y$ (7,50), le même écart-type (2,03), la même droite ( $y = 0{,}50x + 3{,}00$ ) et le même $R^2$ (0,67). Un tableau de résultats les déclarerait identiques.
Le premier est le seul où une droite est le bon modèle.
Le deuxième est une parabole nette : la relation existe, elle est parfaitement déterministe, et elle n'est pas affine. Y répondre par une droite est une erreur de modèle, pas une erreur de mesure.
Le troisième est une droite parfaite gâchée par un seul relevé faux.
Le quatrième n'a qu'une seule valeur de $x$ , sauf pour un point isolé qui détermine à lui seul toute la pente. Retirer ce point rend le calcul impossible.
Aucun résumé numérique ne les distingue. La figure les distingue en une seconde. C'est la démonstration la plus économique qui existe de la règle : regarder avant de calculer.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Que mesure le coefficient de détermination R² ?

2.Les quatre jeux d'Anscombe ont la même moyenne, le même écart-type, la même droite et le même R². Que faut-il en conclure ?

3.Ajouter au modèle une colonne de nombres tirés au hasard fait…

Un seul relevé faux

pente a0,05origine b55,17

somme des carrés 43,3

Le minimum vaut 25,47, soit 17,83 de moins qu'ici.

Les sept parcelles précédentes, plus une huitième à 280 mm dont la benne a été mal pesée au silo. La droite affichée au départ est celle qui était juste avant. Poser la meilleure droite montre où les moindres carrés vont la chercher : elle quitte le nuage pour aller au-devant du point aberrant, parce que son carré à lui pèse plus que tous les autres réunis. Droite optimale : y = 0,022 x + 60,1, somme 25,47.

À manipuler

Lire la somme des carrés de la droite de départ, celle des sept parcelles justes, puis cliquer sur « poser la meilleure droite ». Noter la nouvelle valeur de la pente a. Constater qu'elle tombe d'environ 0,050 à 0,022 : la droite pivote vers le relevé de 280 mm, et s'éloigne des sept autres.

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L'effet de levier, et pourquoi la position compte. Un relevé faux au bord du domaine change la pente de 55 %. Le même écart au centre ne la change pas du tout : il ne déplace que le niveau.
La raison est dans la formule. La droite passe toujours par le centre de gravité du nuage, donc un point situé près de ce centre ne peut que pousser la droite vers le haut ou vers le bas. Un point situé loin agit comme un bras de levier : plus il est éloigné en $x$ , plus il fait pivoter la droite. Un tel point s'appelle un relevé à fort levier.
La conséquence pratique est nette : les relevés à vérifier en priorité ne sont pas les plus surprenants en $y$ , ce sont ceux qui sont extrêmes en $x$ . Ce sont eux qui décident de la pente, et donc de toutes les prévisions.

Plusieurs attributs

La pluie seule explique peu le rendement : sur les relevés de la coopérative, elle n'en explique qu'un quart, et deux parcelles arrosées pareil diffèrent de dix quintaux selon que leur sol est profond ou calcaire. Une droite à un seul attribut ne peut pas le voir, puisque le sol n'y figure pas.

Régression multiple

Avec $p$ attributs, le modèle s'écrit $\hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + \dots + b_p x_p$ .

En rangeant les attributs dans une matrice $X$ dont la première colonne ne contient que des 1, les coefficients qui minimisent la somme des carrés sont la solution de l'équation normale

(X^{\top} X)\, \beta = X^{\top} y

Une variable qualitative entre par des colonnes indicatrices : une modalité sert de référence, et les autres reçoivent chacune une colonne valant 1 ou 0.

En revanche, coder le sol par 0, 1 et 2 dans une seule colonne affirmerait que l'argile est à mi-chemin du limon et du calcaire, ce que rien ne justifie : c'est le piège que le chapitre sur la préparation a décrit, et la raison des indicatrices.

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Ce que ce tableau démontre, ligne par ligne

Les données ont été fabriquées par une recette connue : $58 - 10$ si le sol est calcaire $+\ 0{,}05 \times$ pluie, plus un bruit d'écart-type 3. Le modèle ne la connaît pas et doit la retrouver.

Chaque valeur réelle tombe dans la marge estimée. La constante 58 est dans $58{,}56 \pm 1{,}09$ , le coefficient de la pluie 0,05 dans $0{,}048 \pm 0{,}005$ , celui du sol calcaire $-10$ dans $-10{,}20 \pm 0{,}71$ .

Le sol argileux ressort à $-0{,}04 \pm 0{,}59$ , une marge qui contient zéro. C'est exactement ce que dit la recette : l'argile ne diffère pas du limon. Le modèle a su le dire.

La pluie seule donne un $R^2$ de 0,225. La même pluie, accompagnée du sol, participe à un $R^2$ de 0,710. Une variable n'est pas informative en soi : elle l'est en présence des autres.

Ajouter la distance au silo fait passer le $R^2$ de 0,710 à 0,711. Elle n'entre pas dans la recette, et le modèle le montre en ne lui accordant rien. Noter que le $R^2$ a tout de même augmenté : il augmente toujours.

Le RMSE vaut 3,11 pour un bruit de 3,00. Il n'existe aucun modèle capable de descendre au-dessous de 3 sur ces données, quelle que soit sa sophistication. Le modèle affine a atteint la limite du problème, et tout effort supplémentaire serait dépensé à apprendre du bruit.

L'incertitude est le chiffre qu'on oublie de lire. Un coefficient sans sa marge n'est pas un résultat, c'est une décimale.
Le calcul tient en trois lignes : l'écart-type des résidus donne la variance résiduelle, et la diagonale de $\sigma^2 (X^{\top}X)^{-1}$ donne la variance de chaque coefficient. Deux écarts-types de part et d'autre délimitent l'intervalle usuel.
Sa lecture est immédiate. Un intervalle qui contient zéro signifie que les données ne permettent pas d'affirmer que la variable joue un rôle, ce qui est très différent d'affirmer qu'elle n'en joue aucun. Un intervalle large signifie qu'il faudrait plus de relevés avant de conclure quoi que ce soit.

Vérification rapideon peut se reprendre

1.Un relevé aberrant situé au centre du nuage, en abscisse…

2.La colonne sol prend trois valeurs : limon, argile et calcaire. Avec le limon pour référence, combien de colonnes indicatrices entrent dans la régression ?

3.Le coefficient du sol argileux vaut −0,04 ± 0,59. Que conclure ?

Quand ce n'est pas une droite

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Le graphe des résidus est la figure de diagnostic. On y porte l'erreur en fonction de la valeur prédite. Ce n'est pas une figure décorative : c'est celle qui dit si le modèle est bien spécifié, c'est-à-dire s'il a la bonne forme.
Un nuage sans forme autour de zéro : le modèle a capté ce qu'il y avait à capter, il ne reste que du bruit.
Une courbe : il manque un terme. Le modèle se trompe de façon systématique et prévisible, ce qui veut dire qu'on pourrait faire mieux sans nouvelle donnée.
Un entonnoir, l'erreur qui grandit avec la prévision : l'ampleur de l'erreur dépend du niveau. Un passage au logarithme règle souvent le problème.
Des points très isolés : des relevés à aller vérifier un par un.
Ici les deux $R^2$ valent 0,91 et 0,96, ce qui est une différence, mais les deux graphes de résidus disent bien davantage : à gauche, une courbe franche ; à droite, un nuage plat.

Prévoir hors du domaine observé n'engage à rien

Le modèle n'a vu que des apports d'azote compris entre 0 et 160 kg/ha. À 300 kg/ha, le rendement réel vaut 74,3 quintaux ; la droite en promet 115,5 et le modèle avec un carré en annonce 34,9.
Les deux se trompent d'une quarantaine de quintaux, en sens contraires, et le second n'est pas plus honnête que le premier : il est simplement faux différemment. Aucune sophistication du modèle ne remplace une observation.
La règle est simple à énoncer et constamment violée : un modèle ajusté sur un domaine ne dit rien de ce qui se passe en dehors. C'est précisément dans ces régions extrêmes qu'on aimerait pouvoir prévoir, et précisément là qu'on ne peut pas.

Ce que ferait scikit-learn

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error, r2_score

m = LinearRegression().fit(X, y)
print(m.coef_, m.intercept_, r2_score(y, m.predict(X)))
Xc = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False).fit_transform(X)

LinearRegression résout la même équation normale, en passant par une décomposition plus stable numériquement que l'inversion directe. Elle ne fournit pas l'incertitude des coefficients : pour cela, il faut statsmodels, dont le tableau de sortie donne aussi les intervalles.

Vérification rapideon peut se reprendre

Le graphe des résidus dessine une courbe nette. Cela signifie…

Mettre en pratique

La droite des moindres carrés se calcule à la main sur cinq points, et les trois mesures d'erreur qui la jugent aussi. Les faire une fois dispense de les croire sur parole.

La droite, et les trois mesures qui la jugent

1.
Cinq points ont pour abscisses 1, 2, 3, 4, 5 et pour ordonnées 2, 4, 5, 4, 5. Quelle est la pente de la droite des moindres carrés ?
2.
Quelle est son ordonnée à l'origine ?
3.
La somme des carrés des résidus vaut 2,4 et celle des écarts à la moyenne vaut 6. Quel est le coefficient de détermination ?
4.
Quelle est la racine de l'erreur quadratique moyenne, sur ces cinq points ?
5.
L'erreur absolue moyenne vaut la moyenne des valeurs absolues des résidus, qui sont 0,8 puis 0,6 puis 1 puis 0,6 puis 0,2. Combien vaut-elle ?

L'écart entre les deux dernières réponses dit ce qui les sépare. La racine de l'erreur quadratique pèse plus lourd que l'erreur absolue parce qu'elle élève les résidus au carré : un seul gros écart y compte davantage que plusieurs petits. Choisir l'une ou l'autre revient donc à décider si une grosse erreur rare est pire que beaucoup de petites, et c'est une question de métier, pas de statistique.

Les relevés de l'ouverture : la droite fait-elle mieux que l'œil des techniciens, de combien se trompe-t-elle, et que vaut sa prévision pour un printemps de 90 mm ?

La coopérative a relevé, sur cinq parcelles de blé, la pluie de printemps et le rendement de la dernière récolte. Ses techniciens, à l'œil, se trompent d'environ 10 quintaux par hectare. Le printemps qui s'achève n'a apporté que 90 mm.

Parcelle	Pluie de printemps (mm)	Rendement (q/ha)
1	150	62
2	180	63
3	210	66
4	240	66
5	270	68

Par où commencer ? Calculer d'abord les deux moyennes : la droite passe par le point moyen, et tous les écarts se comptent à partir de lui.

Vérification rapideon peut se reprendre

Le corrigé refuse de prévoir le rendement d'un printemps de 90 mm, alors que la droite donne 59 quintaux. Pourquoi ?

Le corrigé

Calculer le point moyen. $\bar{x} = 210$ mm et $\bar{y} = 65$ q/ha : la droite des moindres carrés passe par ce point, et la pente se calcule à partir des écarts à lui.
Calculer la pente. Les écarts à la moyenne de la pluie valent −60, −30, 0, 30 et 60 ; ceux du rendement −3, −2, 1, 1 et 3. La somme de leurs produits vaut 450, celle des carrés des premiers 9 000 : $a = 450 / 9\,000 = 0{,}05$ quintal par hectare et par millimètre. C'est la formule du cours, écrite avec les écarts à la moyenne.
Calculer l'ordonnée à l'origine. $b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 65 - 0{,}05 \times 210 = 54{,}5$ , puisque la droite passe par le point moyen. Elle s'écrit $\hat{y} = 0{,}05\,x + 54{,}5$  : 64,5 q/ha pour une parcelle qui a reçu 200 mm.
Mesurer son erreur. Les prévisions valent 62 ; 63,5 ; 65 ; 66,5 et 68, et les résidus 0 ; −0,5 ; 1 ; −0,5 et 0. Le RMSE vaut $\sqrt{1{,}5 / 5} \approx 0{,}55$ q/ha et le MAE $2 / 5 = 0{,}4$ q/ha : sur ces parcelles, la droite fait bien mieux que les dix quintaux de l'œil. Ces erreurs sont mesurées sur les parcelles mêmes qui ont servi à la tracer, et le chapitre sur la généralisation dira ce qu'elle vaut sur les autres.
Refuser la prévision hors du domaine. Les parcelles observées ont reçu de 150 à 270 mm. À 90 mm, la droite annonce 59 q/ha, mais rien dans ces relevés ne dit comment le blé réagit à un printemps aussi sec : aucune prévision honnête n'est disponible, et il faut chercher des relevés d'années sèches avant d'en annoncer une.
Vérifier. La somme des résidus vaut 0, comme pour toute droite des moindres carrés qui a une ordonnée à l'origine, et la droite passe bien par le point moyen : $0{,}05 \times 210 + 54{,}5 = 65$ .

Deux relevés suspects arrivent au silo. Lequel vérifier en priorité, avant de recalculer la prévision de collecte ?

Cinq parcelles donnent une droite de pente 0,05 quintal par millimètre. Deux relevés de plus arrivent, tous deux douteux : P, 200 mm et 57 q/ha, un rendement bas pour une pluie ordinaire ; Q, 330 mm et 61 q/ha, une pluie que le plateau n'a jamais connue. Le technicien n'a le temps d'en vérifier qu'un.

Parcelle	Pluie de printemps (mm)	Rendement (q/ha)
1	140	61
2	170	63
3	200	64
4	230	66
5	260	67
P	200	57
Q	330	61

Par où commencer ? Situer chaque relevé suspect par rapport à la pluie moyenne des cinq parcelles, avant de regarder son rendement.

Le corrigé

Situer les suspects en abscisse. Les cinq parcelles ont reçu 200 mm en moyenne. P y est exactement ; Q en est à 130 mm, plus loin que toutes les autres, qui n'en sont qu'à 60 mm au plus.
Prévoir l'effet de P. Un relevé au centre ne fait pas pivoter la droite, il ne change que son niveau. Le calcul le confirme : avec P, la pente reste 0,05 et l'ordonnée à l'origine passe de 54,2 à 53,0, soit 1,2 q/ha de moins sur toutes les prévisions.
Prévoir l'effet de Q. Un relevé loin du centre agit comme un bras de levier. Avec Q, la pente tombe de 0,05 à 0,0045 : la droite devient presque plate, et la pluie ne semble plus jouer aucun rôle.
Choisir. Vérifier Q d'abord : il décide de la pente, donc de toutes les prévisions, alors que P ne les décale que d'un peu plus d'un quintal. Le relevé le plus surprenant en rendement n'est pas le plus dangereux.
Vérifier aux deux bouts du domaine. À 140 mm, la droite des cinq parcelles prévoit 61,2 q/ha, 60,0 avec P et 63,3 avec Q ; à 260 mm, 67,2, puis 66,0 et 63,8. P abaisse les deux prévisions de la même quantité ; Q relève l'une et abaisse l'autre : il fait pivoter la droite.

Huit résidus d'un modèle de consommation de chauffage : que disent son RMSE et son MAE, et quel immeuble aller voir ?

Un réseau de chaleur urbain prévoit la consommation de chacun des immeubles qu'il dessert. Sur huit immeubles, son modèle s'est trompé pour le mois de janvier, en mégawattheures (consommation réelle moins consommation prévue), de 2, −1, 1, −2, 0, 1, −1 et 16, dans l'ordre des immeubles 1 à 8.

Par où commencer ? Calculer les deux mesures sur les huit résidus, puis comparer leur rapport à 1.

Le corrigé

Calculer le MAE. La somme des valeurs absolues vaut 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 1 + 1 + 16 = 24, et le MAE 24 / 8 = 3 MWh.
Calculer le RMSE. La somme des carrés vaut 4 + 1 + 1 + 4 + 0 + 1 + 1 + 256 = 268, et le RMSE $\sqrt{268 / 8} = \sqrt{33{,}5} \approx 5{,}79$ MWh.
Lire leur rapport. Le RMSE vaut près de deux fois le MAE, 1,93 fois exactement. Des erreurs de tailles comparables donneraient un rapport proche de 1 ; un rapport de 2 signale qu'une poignée d'erreurs domine la somme des carrés. Ici, l'immeuble 8 pèse 256 sur 268.
Aller voir l'immeuble 8. Trois issues sont possibles : un relevé faux, un compteur lu deux fois par exemple, à corriger ; un immeuble que le modèle ne sait pas traiter, une piscine raccordée en cours d'hiver par exemple, à signaler ; ou un régime à part, qui mérite son propre modèle. Dans les trois cas, la moyenne seule aurait caché le problème.
Vérifier sans lui. Sur les sept autres immeubles, le MAE vaut 8 / 7 ≈ 1,14 et le RMSE $\sqrt{12 / 7} \approx 1{,}31$  : le rapport revient à 1,15, et c'est bien l'immeuble 8 qui faisait l'écart.

La question

Une droite, et ce qu'on lui demande

Ce que la pente veut dire

Mesurer l'erreur

Quatre jeux, les mêmes chiffres

Un seul relevé faux

Plusieurs attributs

Quand ce n'est pas une droite

Mettre en pratique

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