Le second ordre : le circuit R-L-C

Deux réservoirs au lieu d'un

Un condensateur stocke l'énergie dans un champ électrique, une bobine dans un champ magnétique. Mis ensemble, ils peuvent se la passer : le condensateur se décharge dans la bobine, qui établit un courant, qui recharge le condensateur en sens inverse, et ainsi de suite.

D'où vient l'oscillation. Un seul composant de stockage ne peut que se remplir ou se vider : l'énergie n'a qu'un seul endroit où aller, et le régime est monotone.

Deux composants de stockage ouvrent un aller-retour. La résistance, elle, ne stocke rien : elle prélève une part de l'énergie à chaque passage, et c'est ce prélèvement qui décide si l'aller-retour a lieu plusieurs fois ou pas du tout, la frontière entre les deux étant le régime critique.

L'équation du montage

Une résistance $R$, une bobine $L$ et un condensateur $C$ sont en série, et le montage reçoit à l'instant zéro un échelon de tension $E$, le condensateur étant déchargé. L'équation s'écrit en trois gestes, avec les deux relations de composant du chapitre précédent.

La loi des mailles. La tension de la source se partage entre les trois composants :

$E = Ri + L\,\frac{di}{dt} + u_C$

Une seule inconnue. Le courant de la maille est celui du condensateur, $i = C\,\dfrac{du_C}{dt}$. En dérivant une fois de plus, $\dfrac{di}{dt} = C\,\dfrac{d^2u_C}{dt^2}$. En remplaçant les deux dans la loi des mailles :

$LC\,\frac{d^2u_C}{dt^2} + RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = E$

La forme canonique. En divisant tout par $LC$ pour que la dérivée seconde soit seule devant :

La dérivée seconde est ce qui fait de ce montage un second ordre : il a fallu dériver deux fois pour que les trois tensions s'expriment avec la même grandeur, parce que deux composants stockent.

Les deux nombres qui décident de tout

Les deux s'obtiennent en comparant les deux écritures de l'équation, coefficient par coefficient. Devant $u_C$ : $\omega_0^2 = 1/(LC)$. Devant la dérivée première : $2m\omega_0 = R/L$, donc $m = \dfrac{R}{2L\omega_0} = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$.

Que $m$ soit sans dimension n'est pas un détail d'écriture. Cela signifie qu'un circuit électrique, une suspension et un asservissement de position se comparent par le même nombre, et qu'un réglage trouvé dans un domaine se transporte tel quel dans l'autre.

Pourquoi trois régimes, et pas un de plus

L'équation sans second membre admet des solutions de la forme $e^{rt}$. En dérivant deux fois et en remplaçant, le facteur $e^{rt}$, jamais nul, se simplifie, et il reste l'équation caractéristique :

$r^2 + 2m\omega_0\,r + \omega_0^2 = 0$

Son discriminant réduit vaut $m^2\omega_0^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2\,(m^2 - 1)$. Le facteur $\omega_0^2$ est toujours positif : le signe ne dépend que de $m$, et c'est pour cela que $m = 1$ est la frontière.

Les trois régimes, et la forme de la réponse de chacun. $m > 1$ : régime apériodique. Deux racines réelles, toutes deux négatives, $r = -m\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{m^2 - 1}$. La réponse est une somme de deux exponentielles, $u_C(t) = E + A\,e^{r_1 t} + B\,e^{r_2 t}$ : elle monte vers sa valeur finale sans jamais la dépasser. C'est la racine la plus proche de zéro, $-\omega_0\left(m - \sqrt{m^2 - 1}\right)$, qui s'éteint le plus lentement et commande la fin de la réponse.
$m = 1$ : régime critique. Une racine double, $r = -\omega_0$, et la réponse $u_C(t) = E\left[1 - (1 + \omega_0 t)\,e^{-\omega_0 t}\right]$. Elle atteint sa valeur finale le plus vite possible sans la dépasser.
$m < 1$ : régime pseudo-périodique. Deux racines complexes, $r = -m\omega_0 \pm j\,\omega_0\sqrt{1 - m^2}$. La réponse est une sinusoïde amortie, $u_C(t) = E\left[1 - e^{-m\omega_0 t}\left(\cos\omega_p t + \dfrac{m}{\sqrt{1 - m^2}}\sin\omega_p t\right)\right]$, avec $\omega_p = \omega_0\sqrt{1 - m^2}$ : elle dépasse sa valeur finale, puis oscille autour d'elle en s'amortissant.

Les constantes $A$ et $B$ du régime apériodique, comme celles qui ont donné les deux autres formes, se fixent par les deux conditions initiales : $u_C(0) = 0$, puisque le condensateur est déchargé, et $i(0) = 0$, puisque la bobine impose la continuité du courant.

La lettre $j$ désigne l'unité imaginaire, $j^2 = -1$, notée $i$ en mathématiques : en électricité, $i$ est déjà le courant. La partie réelle des racines, $-m\omega_0$, donne la vitesse d'extinction, en $e^{-m\omega_0 t}$ ; leur partie imaginaire, $\omega_0\sqrt{1 - m^2}$, donne la pseudo-pulsation $\omega_p$ des oscillations. Le chapitre de mathématiques sur les complexes donne tout ce qu'il faut pour lire ces racines, et le chapitre sur Fresnel et les complexes y reviendra.

Le dépassement ne dépend que de l'amortissement

C'est le résultat le plus utile du chapitre, et le plus surprenant au premier abord.

La formule sort directement de la réponse pseudo-périodique. À $t = T_p/2$, soit $\omega_p t = \pi$, le cosinus vaut $-1$ et le sinus s'annule : il reste $u_C = E\left(1 + e^{-m\omega_0 T_p/2}\right)$, et l'exposant $m\omega_0 T_p/2$ vaut exactement $m\pi/\sqrt{1-m^2}$.

Ni $L$, ni $C$, ni $R$ n'apparaissent séparément : seul $m$ compte. Deux circuits qui n'ont aucune valeur de composant en commun, mais le même amortissement, dépassent exactement du même pourcentage. Ce qui les distingue est la vitesse à laquelle ils le font, et c'est $\omega_0$ qui la fixe.

Pourquoi 0,7 revient partout. Un amortissement de l'ordre de $0{,}7$ donne un dépassement de quelques pour cent seulement, tout en restant nettement plus rapide que le régime critique.

C'est le compromis retenu par défaut dans presque tous les réglages d'asservissement, et la raison pour laquelle cette valeur se rencontre bien au-delà de l'électricité.

La pseudo-période

Ce n'est pas une période au sens strict, puisque le signal ne se répète pas à l'identique : il décroît d'un passage au suivant. C'est l'intervalle entre deux passages successifs dans le même sens, et il se mesure directement sur un relevé. Le facteur $\sqrt{1-m^2}$ vient de la partie imaginaire des racines : l'amortissement ne fait pas que réduire l'amplitude, il ralentit aussi les oscillations.

Pour un amortissement faible, $\sqrt{1-m^2}$ est proche de 1 et la pseudo-période se confond presque avec la période propre. À $m = 0{,}5$, l'écart n'est encore que de 15 %.

La même équation ailleurs

L'équation canonique de ce chapitre ne contient aucune grandeur électrique. Elle décrit tout système qui possède deux réservoirs d'énergie et une perte.

La masse est notée $M$ pour ne pas la confondre avec l'amortissement $m$ ; le chapitre de mathématiques, qui n'emploie pas cette lettre pour l'amortissement, la note $m$. C'est l'inverse de la capacité qui joue le rôle de la raideur : un petit condensateur, comme un ressort raide, rappelle fort.

Ce qui se transporte, et ce qui ne se transporte pas. Ce qui se transporte est la machine mathématique : les trois régimes, la formule du dépassement, le rôle de l'amortissement, la valeur 0,7.

Ce qui ne se transporte pas est la mise en équation. Écrire la loi des mailles sur un circuit et écrire le principe fondamental de la dynamique sur une masse sont deux gestes différents, qui s'apprennent séparément.

Reconnaître l'équation une fois qu'elle est écrite fait gagner beaucoup de temps ; croire que la reconnaître dispense de savoir l'écrire en fait perdre encore plus.

Le chapitre des impédances retrouvera ce même amortissement sous un autre nom, le facteur de qualité $Q = 1/(2m)$, qui chiffre la surtension d'un circuit à la résonance.

La méthode

1. Écrire la loi des mailles sur le circuit, puis remplacer la tension de chaque composant par sa relation, $u_L = L\,di/dt$ et $i = C\,du_C/dt$, pour obtenir une équation en une seule grandeur.
2. Identifier la forme canonique par comparaison des coefficients, et en tirer $\omega_0$ et $m$.
3. Calculer la résistance critique $R_c = 2\sqrt{L/C}$, et comparer la résistance réelle à cette valeur. Le rapport des deux est l'amortissement.
4. Nommer le régime avant tout calcul de réponse : il décide de la forme de la solution, et une forme choisie au hasard rend un résultat faux qui ressemble à un résultat juste.
5. Chiffrer le dépassement par la formule, s'il y a lieu, en se rappelant qu'il ne dépend que de $m$.
6. Vérifier les unités avant le résultat : $\omega_0$ est en radians par seconde, $2\sqrt{L/C}$ est en ohms, et l'amortissement est sans dimension. Un coefficient $m$ qui porterait une unité signale une formule inversée, et c'est précisément celle qui décide du régime.
7. Contrôler aux deux bouts : la réponse part de sa valeur initiale, le courant part de zéro puisque la bobine l'impose, et tout se termine sur la valeur du régime établi.

Mettre en pratique

Le calcul répond à la première question de l'ouverture, et le premier exercice type à la seconde.

La première question de l'ouverture a sa réponse : le filtre d'entrée a une pulsation propre de 707,1 rad/s, soit une fréquence propre de 112,5 Hz, une résistance critique de 1,414 Ω et un amortissement de 0,7071, la valeur de compromis du chapitre. La tension du condensateur culmine à 417,3 V, 4,3 % au-dessus de 400 V et bien sous ses 450 V : la mise sous tension sans précharge ne le détruirait pas. Le dépassement vaut ici exactement $e^{-\pi}$, parce que $m/\sqrt{1-m^2}$ vaut 1 quand $m = 1/\sqrt{2}$.