Le second ordre : le circuit R-L-C

Le chapitre précédent a mis dans le même circuit une résistance et un composant qui stocke, et il en est sorti une exponentielle. Mettre dans le même circuit une résistance et deux composants qui stockent change complètement la nature du problème : l'énergie peut désormais passer de l'un à l'autre, aller et revenir, et le circuit se met à osciller.

Ce chapitre établit les trois comportements possibles d'un tel montage, et surtout la grandeur unique qui décide lequel des trois se produit. Cette grandeur ne dépend d'aucune unité électrique, et c'est ce qui rend ce chapitre utile bien au-delà de l'électricité : une suspension de voiture, un asservissement de position et un circuit R-L-C obéissent à la même équation et se règlent avec le même nombre.

Deux réservoirs au lieu d'un

Un condensateur stocke l'énergie dans un champ électrique, une bobine dans un champ magnétique. Mis ensemble, ils peuvent se la passer : le condensateur se décharge dans la bobine, qui établit un courant, qui recharge le condensateur en sens inverse, et ainsi de suite.

D'où vient l'oscillation

Un seul composant de stockage ne peut que se remplir ou se vider : l'énergie n'a qu'un seul endroit où aller, et le régime est monotone.

Deux composants de stockage ouvrent un aller-retour. La résistance, elle, ne stocke rien : elle prélève une part de l'énergie à chaque passage, et c'est ce prélèvement qui décide si l'aller-retour a lieu plusieurs fois, une seule, ou pas du tout.

L'équation du montage

Pour une résistance, une bobine et un condensateur en série sous un échelon $E$ , la loi des mailles et les deux relations de composant donnent :

$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\,\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}\,u_C = \frac{E}{LC}$

que l'on écrit sous la forme canonique :

$\frac{d^2u_C}{dt^2} + 2m\omega_0\,\frac{du_C}{dt} + \omega_0^2\,u_C = \omega_0^2 E$

Les deux nombres qui décident de tout

Pulsation propre et amortissement

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad\qquad m = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$

La pulsation propre $\omega_0$ est celle à laquelle le circuit oscillerait sans aucune résistance. Elle s'exprime en radians par seconde.

Le coefficient d'amortissement $m$ est sans dimension, et c'est lui seul qui décide du régime.

Que $m$ soit sans dimension n'est pas un détail d'écriture. Cela signifie qu'un circuit électrique, une suspension et un asservissement de position se comparent par le même nombre, et qu'un réglage trouvé dans un domaine se transporte tel quel dans l'autre.

Les trois régimes

$m > 1$  : régime apériodique. La réponse monte lentement vers sa valeur finale, sans jamais la dépasser.
$m = 1$  : régime critique. La réponse atteint sa valeur finale le plus vite possible sans la dépasser.
$m < 1$  : régime pseudo-périodique. La réponse dépasse sa valeur finale, puis oscille autour d'elle en s'amortissant.

R50 Ω

Régime pseudo-périodique · amortissement 0,250 · pulsation propre 10 krad/s · dépassement 44,4 % · pseudo-période 649 µs · résistance critique 200 Ω.

Tension du condensateur et courant de la maille, à vingt et un instants réguliers
Instant	Tension	Courant
0 s	0 V	0 A
100 µs	1,96 V	33,1 mA
200 µs	5,35 V	29,3 mA
300 µs	7,15 V	5,72 mA
400 µs	6,69 V	-12,7 mA
500 µs	5,18 V	-14,7 mA
600 µs	4,14 V	-5,26 mA
700 µs	4,13 V	4,26 mA
800 µs	4,75 V	6,95 mA
900 µs	5,31 V	3,55 mA
1 ms	5,42 V	-1,08 mA
1,1 ms	5,19 V	-3,11 mA
1,2 ms	4,91 V	-2,09 mA
1,3 ms	4,8 V	42,4 µA
1,4 ms	4,88 V	1,3 mA
1,5 ms	5,02 V	1,13 mA
1,6 ms	5,08 V	203 µA
1,7 ms	5,06 V	-504 µA
1,8 ms	5,01 V	-568 µA
1,9 ms	4,97 V	-196 µA
2 ms	4,97 V	172 µA

La réponse d'un circuit R-L-C série à un échelon de 5 V, avec sa tension de condensateur en haut et son courant de maille en bas. Déplacer le curseur de résistance pour traverser les trois régimes : la fenêtre de temps ne bouge pas, et c'est la courbe qui se déforme.

À manipuler

Amener le curseur tout à gauche : le circuit oscille longuement, le dépassement approche les cent pour cent, et le courant change de signe à chaque demi-pseudo-période.
Chercher la position où la ligne sous la figure annonce le régime critique : elle correspond exactement à la résistance critique indiquée, et c'est la dernière position sans dépassement.
Continuer vers la droite : la courbe devient de plus en plus lente, et le régime permanent n'est plus atteint dans la fenêtre. Une résistance très grande ralentit donc, alors qu'une résistance modérée accélérait.
Suivre le panneau du bas pendant tout le déplacement : le courant part toujours de zéro, parce que c'est la bobine qui impose sa continuité.

La résistance critique

$R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$

C'est la valeur qui rend $m = 1$ . En dessous, le circuit oscille ; au-dessus, il n'oscille pas.

Sur le circuit de la figure

$L = 10$ mH et $C = 1$ µF donnent $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-8}} = 10\,000$ rad/s, soit une fréquence propre de $10\,000/2\pi \approx 1590$ Hz.

La résistance critique vaut $2\sqrt{10^{-2}/10^{-6}} = 2\sqrt{10^4} = 200$ Ω.

L'amortissement se calcule alors sans effort : $m = R/200$ . Avec les 50 Ω de la figure, $m = 0{,}25$ , et le régime est pseudo-périodique.

Vérification rapideon peut se reprendre

Un circuit R-L-C série a une résistance critique de 400 Ω. Sa résistance réelle vaut 100 Ω. Quel est son régime ?

Le dépassement ne dépend que de l'amortissement

C'est le résultat le plus utile du chapitre, et le plus surprenant au premier abord.

Premier dépassement

$D = e^{-\dfrac{m\pi}{\sqrt{1-m^2}}}$

exprimé en fraction de la valeur finale, et atteint à la demi-pseudo-période.

Ni $L$ , ni $C$ , ni $R$ n'apparaissent séparément : seul $m$ compte. Deux circuits qui n'ont aucune valeur de composant en commun, mais le même amortissement, dépassent exactement du même pourcentage. Ce qui les distingue est la vitesse à laquelle ils le font, et c'est $\omega_0$ qui la fixe.

Amortissement $m$	Dépassement
0,1	73 %
0,25	44 %
0,5	16 %
0,7	4,6 %
1	aucun

Pourquoi 0,7 revient partout

Un amortissement de l'ordre de $0{,}7$ donne un dépassement de quelques pour cent seulement, tout en restant nettement plus rapide que le régime critique.

C'est le compromis retenu par défaut dans presque tous les réglages d'asservissement, et la raison pour laquelle cette valeur se rencontre bien au-delà de l'électricité.

Le régime critique n'est pas le plus rapide en tout

Le régime critique est le plus rapide parmi ceux qui ne dépassent pas. Si un dépassement est tolérable, un régime pseudo-périodique atteint la valeur finale plus tôt.

Le choix ne se fait donc pas sur la vitesse seule, mais sur ce que le dépassement coûte : sur un ascenseur il se paierait en confort, sur un bras de robot en collision.

La pseudo-période

Définition

$T_p = \frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-m^2}}$

Ce n'est pas une période au sens strict, puisque le signal ne se répète pas à l'identique : il décroît d'un passage au suivant. C'est l'intervalle entre deux passages successifs dans le même sens, et il se mesure directement sur un relevé.

Pour un amortissement faible, $\sqrt{1-m^2}$ est proche de 1 et la pseudo-période se confond presque avec la période propre. À $m = 0{,}5$ , l'écart n'est encore que de 15 %.

Vérification rapideon peut se reprendre

Deux circuits R-L-C ont le même amortissement, mais le second a des composants quatre fois plus petits en produit $LC$ . Que peut-on dire de leurs réponses ?

La même équation ailleurs

L'équation canonique de ce chapitre ne contient aucune grandeur électrique. Elle décrit tout système qui possède deux réservoirs d'énergie et une perte.

	Circuit R-L-C	Masse, ressort et amortisseur
Grandeur suivie	tension $u_C$	position $x$
Premier réservoir	condensateur $C$	ressort de raideur $k$
Second réservoir	bobine $L$	masse $m$
Perte	résistance $R$	amortisseur
Pulsation propre	$1/\sqrt{LC}$	$\sqrt{k/m}$

Ce qui se transporte, et ce qui ne se transporte pas

Ce qui se transporte est la machine mathématique : les trois régimes, la formule du dépassement, le rôle de l'amortissement, la valeur 0,7.

Ce qui ne se transporte pas est la mise en équation. Écrire la loi des mailles sur un circuit et écrire le principe fondamental de la dynamique sur une masse sont deux gestes différents, qui s'apprennent séparément.

Reconnaître l'équation une fois qu'elle est écrite fait gagner beaucoup de temps ; croire que la reconnaître dispense de savoir l'écrire en fait perdre encore plus.

La méthode

Écrire la loi des mailles sur le circuit, puis remplacer la tension de chaque composant par sa relation, pour obtenir une équation en une seule grandeur.
Identifier la forme canonique par comparaison des coefficients, et en tirer $\omega_0$ et $m$ .
Calculer la résistance critique $R_c = 2\sqrt{L/C}$ , et comparer la résistance réelle à cette valeur. Le rapport des deux est l'amortissement.
Nommer le régime avant tout calcul de réponse : il décide de la forme de la solution, et une forme choisie au hasard rend un résultat faux qui ressemble à un résultat juste.
Chiffrer le dépassement par la formule, s'il y a lieu, en se rappelant qu'il ne dépend que de $m$ .
Vérifier les unités avant le résultat : $\omega_0$ est en radians par seconde, $2\sqrt{L/C}$ est en ohms, et l'amortissement est sans dimension. Un amortissement qui porterait une unité signale une formule inversée, et c'est précisément celle qui décide du régime.
Contrôler aux deux bouts : la réponse part de sa valeur initiale, le courant part de zéro puisque la bobine l'impose, et tout se termine sur la valeur du régime établi.

Synthèse

Deux composants de stockage dans un même circuit permettent à l'énergie de faire des allers-retours, ce qu'un seul ne permet pas.
L'équation canonique s'écrit $y'' + 2m\omega_0 y' + \omega_0^2 y = \omega_0^2 y_\infty$ .
La pulsation propre vaut $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , et elle fixe la vitesse de tout ce qui se passe.
Le coefficient d'amortissement $m = \frac{R}{2}\sqrt{C/L}$ est sans dimension, et il décide seul du régime.
Trois régimes : apériodique pour $m > 1$ , critique pour $m = 1$ , pseudo-périodique pour $m < 1$ .
La résistance critique vaut $R_c = 2\sqrt{L/C}$ , et c'est la frontière entre oscillation et absence d'oscillation.
Le dépassement ne dépend que de $m$  : 44 % à $m = 0{,}25$ , 16 % à $m = 0{,}5$ , 4,6 % à $m = 0{,}7$ .
La pseudo-période vaut $T_p = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1-m^2})$ , et elle se confond presque avec la période propre aux faibles amortissements.
La même équation décrit une masse au bout d'un ressort : la machine mathématique se transporte, la mise en équation non.